luento 5 - jyväskylän yliopistousers.jyu.fi/~majkir/numen/luento5_flat.pdfluento 5 numeeriset...

Numeeriset menetelmat TIEA381

Luento 5

Kirsi Valjus

Jyvaskylan yliopisto

Luento 5 () Numeeriset menetelmat 3.4.2013 1 / 28

Luennon 5 sisalto

Luku 4: Ominaisarvotehtavista

Potenssiinkorotusmenetelma

QR-menetelma


Luku 4: Ominaisarvotehtvista

Luku 4. Ominaisarvotehtavista

Ominaisarvotehtaviin tormataan monilla tieteenaloilla:

rakenneanalyysissa ominaisarvotehtavan ratkaisu antaa rakenteen(laiva tai lentokone) ominaisvarahtelytaajuudet.

kvanttifysiikassa systeemeja kuvataan Schrodingerin yhtalolla,jonka ominaisarvot ovat eri tilojen energiat.

makrotalousmalleissa niin sanottujen tasapainotettujenhinnoittelustrategioiden ja tuotantorakenteiden maarittaminenjohtaa ominaisarvotehtaviin.


Luku 4: Ominaisarvotehtvista 4.1 Algebrallinen ominaisarvotehtava

4.1 Algebrallinen ominaisarvotehtava

Skalaari λ on n × n neliomatriisin AAA ominaisarvo, jos on olemassavektori xxx 6= 000, s.e.

AAAxxx = λxxx . (1)

Vektoria xxx sanotaan ominaisvektoriksi.

Matriisin ominaisarvojen muodostama joukko on matriisinspektri.

Ominaisarvot ovat ne parametrin λ arvot, joilla yhtalolla

(AAA− λIII )xxx = 000

on nollasta poikkeava ratkaisu.

Ominaisarvoa vastaava ominaisvektori ei ole yksikasitteinen:Jos xxx on ominaisvektori ja α 6= 0 mielivaltainen vakio, niin αxxxon myos ominaisvektori.



Algebrallinen omin.arvotehtava jatkuu

Ominaisarvot ovat karakteristisen polynominpn(λ) := det(AAA− λIII ) nollakohdat.

Koska n-asteisella polynomilla on tasmalleen n kompleksistajuurta, on ominaisarvojakin n kappaletta. Niita merkitaanyleensa symboleilla λ1, ..., λn.

Reaalisenkin matriisin ominaisarvot voivat olla kompleksisia.Symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat kuitenkin aina reaalisia.



Algebrallinen omin.arvotehtava jatkuu

Ominaisarvon algebrallinen kertaluku kertoo, kuinkamoninkertainen karakteristisen polynomin juuri ominaisarvo on.

Geometrinen kertaluku on ominaisarvoon liittyvien lineaarisestiriippumattomien ominaisvektoreiden lukumaara.

Jos algebrallinen kertaluku on suurempi kuin geometrinenkertaluku, ominaisarvoa sanotaan defektiiviseksi.



Esimerkki 4.1.

Tarkastellaan matriisia AAA:

AAA =

3 −1 0−1 2 −10 −1 3

; λIII =

λ 0 00 λ 00 0 λ

.AAA:n karakteristinen polynomi on

det(AAA− λIII ) =

∣∣∣∣∣∣3− λ −1 0−1 2− λ −10 −1 3− λ

∣∣∣∣∣∣ = (3− λ)

∣∣∣∣2− λ −1−1 3− λ

∣∣∣∣− (−1)

∣∣∣∣−1 −10 3− λ

∣∣∣∣= · · · = −λ3 + 8λ2 − 19λ+ 12 = p3(λ).



Esimerkki 4.1. jatkuu

Ratkaistaan p3(λ) = 0 ja saadaan λ1 = 1, λ2 = 3 ja λ3 = 4.

Sijoitetaan λ1 = 1 yhtaloon (AAA− λ1III )xxx = 000; 2 −1 0−1 1 −10 −1 2

x1

x2

x3

= 000 ⇒

2x1 − x2 = 0

−x1 + x2 − x3 = 0

−x2 + 2x3 = 0,

mista saadaan x2 = 2x1 ja x3 = −x1 + 2x1 = x1.

Siten λ1:sta vastaava ominaisvektori on xxx1 = (x1, 2x1, x1).

Merkitaan x1 = a, a ∈ R⇒ xxx1 = (a, 2a, a).




Sijoitetaan λ2 = 3 yhtaloon (AAA− λ2III )xxx = 000; 0 −1 0−1 −1 −10 −1 0

x1

x2

x3

= 000 ⇒

−x2 = 0

−x1 − x2 − x3 = 0

−x2 = 0,

mista saadaan x2 = 0 ja x3 = −x1.

Siten λ2:sta vastaava ominaisvektori on xxx2 = (x1, 0,−x1).

Merkitaan x1 = b, b ∈ R⇒ xxx2 = (b, 0,−b).

Vastaavalla tavalla saadaan λ3:sta vastaava ominaisvektorixxx3 = (c ,−c , c).



Esimerkki: 1D Schrodingerin yhtalo

Kuvaa kvanttimekaanisten systeemien riippuvuuksia

Kun hiukkanen liikkuu potentiaalin U(x) alaisena, niin hiukkasentilafunktio Ψ(x) toteuttaa Schrodingerin yhtalon{

−Ψ′′(x) + aU(x)Ψ(x) = λΨ(x), 0 < x < 1

Ψ(0) = Ψ(1) = 0

Ψ(x) - systeemin tilatλ - tilojen energiat

Ajasta riippumaton Schrodingerin yhtalo, ts. systeemin energiaei muutu ajan funktiona vaan paikan x funktiona.



Esimerkki: 1D Schrodingerin yhtalo jatkuu

Diskretisoidaan yhtalo differenssimenetelmalla: (i = 1, .., n)

−Ψ(xi − h) + 2Ψ(xi)−Ψ(xi + h)

h2+ aU(xi)Ψ(xi) = λΨ(xi),

matriisimuodossa26666664

2h2 + aU(x1) − 1

h2

− 1h2

2h2 + aU(x2) − 1

h2

. . .. . .

. . .

− 1h2

− 1h2

2h2 + aU(xn)

37777775

2666664Ψ1

Ψ2

...Ψn−1

Ψn

3777775 = λ

2666664Ψ1

Ψ2

...Ψn−1

Ψn

3777775 .

⇒ Algebrallinen ominaisarvotehtava AAAΨ = λΨ



Ominaisarvojen numeerinen laskeminen

Ominaisarvojen ja -vektorien numeerinen laskeminen on paljontyolaampaa kuin lineaarisen yhtaloryhman ratkaiseminen.

Toisin kuin lineaarisen yhtaloryhman tapauksessa, yleisetominaisarvotehtavien ratkaisumenetelmat ovat aina iteratiivisia.

Vaikka ominaisarvot voidaan periaatteessa laskea polynomienjuurten laskemiseen tarkoitetuilla algoritmeilla, ei nain kannatamenetella juuri koskaan.

Painvastoin, polynomien juuret kannattaa laskea ominaisarvojenlaskemiseen tarkoitetuilla algoritmeilla!


Luku 4: Ominaisarvotehtvista 4.2. Potenssiinkorotusmenetelmat

4.2. Potenssiinkorotusmenetelmat

Olkoon matriisin AAA ominaisarvoille voimassa|λ1| > |λ2| ≥ |λ3| ≥ . . . ≥ |λn|.

Oletetaan lisaksi, etta vastaavat ominaisvektorit on normeerattusiten, etta ‖vvv (j)‖∞ = 1, j = 1, ..., n.

Likiarvo itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle λ1 ja sitavastaavalle ominaisvektorille vvv (1) voidaan laskea iteratiivisestiseuraavalla tavalla:



Potenssiinkorotusmenetelma jatkuu

Olkoon xxx (0) alkuarvaus ominaisvektorille vvv (1).Muodostetaan jonot {xxx (k)} ja {ck} seuraavasti:

yyy (k) = AAAxxx (k),

ck+1 = y(k)j , missa j valittu s.e. |y (k)

j | = max1≤p≤n

{|y (k)p |}

xxx (k+1) =1

ck+1yyy (k).

Voidaan osoittaa, etta

limk→∞

xxx (k) = vvv (1), limk→∞

ck = λ1.



Osoitetaan, etta x (k) → v (1)

Oletetaan, etta alkuarvaus xxx (0) voidaan esittaa normeerattujenominaisvektorien lineaarikombinaationa

xxx (0) = β1vvv(1) + β2vvv

(2) + . . . + βnvvv(n) siten, etta β1 6= 0,

ts. etta ominaisvektorit vvv (i) muodostavat Rn:n kannan.

Talloin saadaan

xxx (k) =1

c1c2 . . . ck

(β1λ

k1vvv

(1) + β2λk2vvv

(2) + . . . + βnλknvvv

(n))

=λk

1

c1c2 . . . ck

(β1vvv

(1) + β2

(λ2

λ1

)k

vvv (2) + . . . + βn

(λn

λ1

)k

vvv (n)

).



Osoitetaan, etta x (k) → v (1) (cont.)

Edella saatiin

xxx (k) =λk

1

c1c2 . . . ck

(β1vvv

(1) + β2

(λ2

λ1

)k

vvv (2) + . . . + βn

(λn

λ1

)k

vvv (n)

).

Alkuperaisesta oletuksesta seuraa∣∣∣ λi

λ1

∣∣∣ < 1, kun i > 1.

Siten

limk→∞

(λi

λ1

)k

= 0

ja edelleen

limk→∞

xxx (k) =λk

1β1

c1c2 . . . ckvvv (1).



Osoitetaan, etta x (k) → v (1) (cont.)

Ominaisvektori kerrottuna vakiolla on edelleen samaan ominaisarvoonliittyva ominaisvektori.

⇒ xxx (k) konvergoi λ1:een liittyvaan ominaisvektoriin.

Lisaksi voidaan osoittaa, etta

limk→∞

ck = λ1.



Potenssiinkorotusmenetelma jatkuu

Menetelma on yksinkertainen.

Konvergenssi on hidasta, jos |λ1

λ2| ≈ 1.

Etukateen voi olla vaikea tietaa, ovatko menetelman vaatimatoletukset voimassa. (ts. |λ1| > |λi |, vvv (j) lineaarisestiriippumattomia, β1 6= 0)



Siirretty kaanteinen potenssiinkorotusmenetelma

Samaa ideaa voidaan kayttaa muidenkin ominaisarvojen laskemiseen.Tama perustuu seuraavaan huomioon:

Jos (λ,vvv) on matriisin AAA ominaispari, niin ((λ− σ)−1,vvv) on matriisin(AAA− σIII )−1 ominaispari.

Olkoon AAA:n ominaisarvot reaaliset ja λ1 > λ2 > . . . > λn.Lukua σ lahimpana oleva ominaisarvo voidaan laskea korvaamallapotenssimenetelman askel yyy (k) = AAAxxx (k) seuraavalla:

yyy (k) = (AAA− σIII )−1xxx (k).



Siirretty kaanteinen potenssiinkorotusmenetelma

Kaanteismatriisia ei muodosteta eksplisiittisesti, vaan kaytannossaratkaistaan

(AAA− σIII )yyy (k) = xxx (k)

esim. LU-hajotelmaa kayttaen.

Matriisien AAA ja (AAA− σIII )−1 ominaisvektorit ovat samat, ts.algoritmiin ei tarvitse tehda muita muutoksia.

Huomaa, etta nyt ck → 1λ−σ , ts. haluttu ominaisarvo saadaan

kaavasta λ = σ + 1ck.

Itseisarvoltaan pienin ominaisarvo λn, mikali |λn| < |λn−1|,saadaan asettamalla σ = 0.


Luku 4: Ominaisarvotehtvista 4.3. QR-menetelma

4.3. QR-menetelma

Olkoon QQQ kaantyva matriisi.

Talloin matriisit AAA ja QQQ−1AAAQQQ ovat similaarisia, eli niilla on samatominaisarvot.

Lisaksi, jos xxx on matriisin AAA ominaisvektori, niin QQQ−1xxx on matriisinQQQ−1AAAQQQ ominaisvektori.

Oletetaan, etta AAA:n ominaisarvot ovat reaaliset ja yksinkertaiset.

QR-hajotelma: Jokainen matriisi AAA voidaan esittaaortogonaalimatriisin QQQ (eli QQQ−1 = QQQT) ja ylakolmiomatrisin RRRtulona AAA = QQQRRR .



QR-menetelma jatkuu

Olkoon AAA(0) := AAA annettu matriisi.

Muodostetaan jono matriiseja {AAA(k)} seuraavasti:

Tehdaan QR-hajotelma AAA(0):lle:

AAA(0) = QQQ(0)RRR (0) ⇒ (QQQ(0))−1

AAA(0) = RRR (0).

AsetetaanAAA(1) = RRR (0)QQQ(0)

ja sijoitetaan edella ratkaistu RRR (0) :

AAA(1) = (QQQ(0))−1

AAA(0)QQQ(0).

⇒ matriisit AAA(0) ja AAA(1) ovat similaarisia, eli niilla on samatominaisarvot.



QR-menetelma jatkuu

Iteraatiolla k + 1:

Tehdaan QR-hajotelma AAA(k):lle:

AAA(k) = QQQ(k)RRR (k) ⇒ (QQQ(k))−1

AAA(k) = RRR (k).

AsetetaanAAA(k+1) = RRR (k)QQQ(k) = (QQQ(k))

−1AAA(k)QQQ(k),

ts. matriiseilla AAA(k) ja AAA(k+1) on samat ominaisarvot.

Nyt matriisien jono {AAA(k)} lahenee ylakolmiomatriisia (taidiagonaalimatriisia, jos AAA on symmetrinen), jolla on samatominaisarvot kuin matriisilla AAA = AAA(0).



QR-menetelma jatkuu

Seka kolmiomatriisin, etta diagonaalimatriisin ominaisarvot ovatdiagonaalilla, ts. jono {AAA(k)} lahenee matriisia

Λ =

λ1 . . .0 λ2...

. . . . . ....

0 . . . 0 λn

,jossa AAA:n ominaisarvotsijaitsevat diagonaalilla.

QR-hajotelman laskeminen taydelle matriisille on tyolasta⇒ kaytannossa AAA muunnetaan aluksi lahes ylakolmio- matriisiksi,

ns. Hessenberg-muotoon, jolle QR-hajotelma on laskennallisestiedullisempi muodostaa.



Esimerkki 4.2.

ul l l l l lm1 m2 m3

k1 k2 k3

Tarkastellaan kuvan yksinkertaista jousi-massa-systeemia.Jos jatetaan kitka huomiotta, niin massojen mi poikkeamat xi(t)vaakasuuntaan lepotilasta voidaan laskea differentiaaliyhtaloryhmasta

(k1 + k2)x1(t)− k2x2(t) = m1x′′1 (t)

−k2x1(t) + (k2 + k3)x2(t) = m2x′′2 (t)

−k3x2(t) + k3x3(t) = m3x′′3 (t).




Etsitaan tilannetta, jossa kaikki massat varahtelevat samalla(tuntemattomalla) taajuudella ω. Tehdaan yrite

xi(t) = vi cos(ωt), i = 1, 2, 3,

missa vvv = (v1, v2, v3) on tuntematon vektori. Sijoittamalla yrite ed.kalvon yhtaloihin havaitaan, etta ω:n ja vvv :n on toteutettavayhtaloryhma (tassa λ = ω2)k1+k2

m1

−k2

m10

−k2

m2

k2+k3

m2

−k3

m2

0 −k3

m3

k3

m3

v1

v2

v3

= λ

v1

v2

v3

.Ominaisarvotehtavan ratkaisuksi saadaan jousi–massa-systeeminkolme ominaisvarahtelytaajuutta ja ominaismuotoa, jotka vastaavateo. yhtalon kolmea ominaisparia (λi ,vvv

(i)), i = 1, 2, 3.




Olkoon yksinkertaisuuden vuoksi mi = ki = 1, i = 1, 2, 3. Lasketaanominaisarvot QR-menetelmalla.

AAA(1) =

2.80 −0.75 0.00−0.75 1.99 0.16

0.00 0.16 0.21

, AAA(3) =

3.22 −0.23 0.00−0.23 1.59 0.00

0.00 0.00 0.20

AAA(6) =

3.25 −0.03 0.00−0.03 1.56 0.00

0.00 0.00 0.20

, AAA(9) =

3.25 0.00 0.000.00 1.56 0.000.00 0.00 0.20

Omin.arvojen likiarvot ovat λ1 ≈ 3.25, λ2 ≈ 1.56, λ3 ≈ 0.20.




AAA symmetrinen ⇒ AAA(k) → diagonaalimatr. ⇒ omin. arvotdiagonaalilla.

⇒ Saadaan ominaisvarahtelytaajuudet ωi (λi = ω2i )

⇒ Saadaan ominaisvektorit vvv (i)

⇒ Systeemin ominaismuodot saadaan sijoittamalla ωi ,vvv(i) xi(t):n

lausekkeeseen⇒ Kurssin www-sivulla jousi–massa-systeemin ominaismuodot

esitettyna animaationa ajan suhteen.


luento 5 - jyväskylän yliopistousers.jyu.fi/~majkir/numen/luento5_flat.pdfluento 5 numeeriset...

Documents