lugar das raizes 4

7/31/2019 Lugar Das Raizes 4

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O mtodo do lugar das razes -Exemplos

5.1 Introduo

Neste captulo, apresentamos exemplos de projeto de controladores utilizando o mtodo dolugar das razes.

5.2 Projeto de controladores utilizando o lugar das razes

Antes de apresentarmos os exemplos da utilizao do lugar das razes para o projeto decontroladores, vamos fazer uma breve reviso da anlise de resposta transitria de sistemas

de 2a. ordem.

5.2.1 Reviso: Resposta transitria de sistemas de 2a. ordem

Suponha o seguinte sistema de 2a. ordem:

G(s) =2n

s(s + 2n).

Um sistema de controle em malha fechada com G(s) (veja Figura 5.1) pode ser descritocomo:

Y(s)R(s)

= G(s)1 + G(s)

= 2ns2 + 22ns +

2n

.

75


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Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama

Figura 5.1: Sistema de 2a. ordem em malha fechada.

Os plos em malha fechada (veja Figura 5.2) so dados por:

s = jd,

onde a atenuao do sistema e d a freqncia natural amortecida. As seguintesrelaes podem ser definidas:

d = n

1 2, = n,

cos =

n= .

Figura 5.2: Plos complexos e grandezas associadas.

A resposta transitria deste sistema assume diferentes comportamentos de acordo como valor do coeficiente de amortecimento (veja Figura 5.3):

13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 76 DRAFT V 4.0


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Figura 5.3: Resposta transitria a degrau em funo de .

Sistema sub-amortecido (0 < < 1): a resposta a degrau do sistema no domniodo tempo dada por:

y(t) = 1 expnt

1 2sin

dt + tan1

1 2

, para t 0.

Sistema com amortecimento crtico ( = 1): a resposta do sistema no domniodo tempo dada por:

y(t) = 1 expnt(1 + nt), para t 0.

Sistema superamortecido ( > 1): neste caso a resposta no domnio do tempo:

y(t) = 1+

1

2

2 1( +2 1) exp(+

2

1)nt

1

2

2 1(

2 1)exp(

21)nt para t 0.

Para este sistema de 2a. ordem possvel estabelecer uma relao entre as grandezasque especificam a resposta transitria a degrau e os plos do sistema.

A resposta transitria a degrau para este sistema (veja Figura 5.4) pode ser caracteri-zado pelas seguintes grandezas:



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Figura 5.4: Resposta transitria do sistema de segunda ordem e suas grandezas caractersticas.

Tempo de subida tr

O tempo de subida tr aqui definido como o tempo que o sistema demora para subir de 0e 100% do valor final:

tr = d

.

Instante do pico tp

O instante do pico tp se refere ao instante da ocorrncia do primeiro pico do sobresinal:

tp =

d.

Mximo sobresinal Mp

O mximo sobresinal definido da seguinte forma:

Mp =y(tp) y()

y() 100%,

e pode ser calculado da seguinte forma:

Mp = exp

12

.



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Tempo de acomodao ts

O tempo de acomodao ts definido como o instante de tempo tal que o sinal de erropassa a ser menor que um determinado valor percentual, em geral, definido como 2% ou5%.

O tempo de acomodao ts em geral aproximado atravs das seguintes equaes:

Critrio de 2%:ts =

4

n. (5.1)

Critrio de 5%:

ts =3

n.

Estas aproximaes no entanto podem fornecer erros significativos como pode ser ob-servado na Figura 5.5 que ilustra a variao de ts em funo de .

Figura 5.5: Tempo de acomodao ts em funo de .



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Podemos observar que o tempo de acomodao ts varia de forma discontnua. Para ocritrio de 2%, por exemplo, ts varia aproximadamente da seguinte forma:

3T < ts < 4T para 0.3 < < 0.7, 3T < ts < 6T para 0.7 < < 1.0.

Os lugares geomtricos de freqncia natural no amortecida n constante descrevemcrculos no plano s e os lugares geomtricos para coeficiente de amortecimento constante so retas no plano s como pode ser observado na Figura 5.6

Figura 5.6: (a) Lugar geomtrico para n = cte - (b) Lugar geomtrico para = cte - (c)Lugar geomtrico para = cte - (d) Lugar geomtrico para d = cte.

Exemplo 5.1Deseja-se projetar um controlador H(s) para o sistema ilustrado na Figura 5.7 onde aplanta dada por:

G(s) =0.5

s(s + 3).



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E(s)R(s) Y(s)H(s)

Controlador

G(s)

Planta

+

referencia

saida

U(s)

Figura 5.7: Sistema de controle em malha fechada.

O controlador H(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificaes:

1. Erro estacionrio ess = 0 para entrada a degrau;

2. Tempo de assentamento ts < 4seg (critrio de 2%);

3. Mximo sobresinal Mp < 5%.

O primeiro passo para o projeto a escolha da estrutura do controlador (P, PI, PD,PID, etc.). Sabemos que para satisfazer a condio do erro estacionrio ess basta utilizarum controlador proporcional H(s) = Kp j que o sistema G(s) j possui um integrador1/s.

Podemos calcular o erro estacionrio atravs da seguinte forma:

ess = limt

e(t) = lims0

sE(s),

= lim s1

1 + G(s)H(s)R(s),

= lim ss(s + 3)

s(s + 3) + 0.5Kp

1

s,

= lims0

s(s + 3)

s(s + 3) + 0.5Kp,

= 0.

Conclumos ento que o erro estacionrio ess nulo para uma entrada degrau caso sejaadotado um controlador proporcional.

Agora devemos escolher Kp de tal forma que satisfaa as condies do tempo de as-sentamento ts e do mximo sobresinal Mp. Para um controlador H(s) = Kp, a funo detransferncia do sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como:

Y(s)

R(s)=

0.5Kps2 + 3s + 0.5Kp

,

o que equivalente ao sistema de 2a. ordem padro:

Y(s)R(s)

= 2ns2 + 2ns + 2n

.



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Para um sistema de 2a. ordem padro as especificaes transitrias de mximo so-bresinal Mp e do tempo de assentamento ts estabelecem um lugar geomtrico no plano

s.

O tempo de assentamento ts (critrio de 2%) dado aproximadamente por:

ts =4

n,

como deseja-se que ts < 4seg ento:

ts < 4seg 4

n< 4

n > 1.

como = n ento:

> 1.

Para o mximo sobresinal devemos ter:

Mp < 5%

Mp = exp

12

< 0.05 1 2

< 2.99 ( 1)

1 2

> 2.99

1 2

> 0.95

2 > 0.48 2 0.48 > 0.

o que resulta em < 0.69 e > 0.69. Entretanto, sabemos que necessariamente > 0ento ficamos somente com > 0.69. Sabemos que:

cos = ,

onde o ngulo descrito por uma reta que cruza o plo complexo e a origem do sistemade coordenadas e o eixo real (contado a partir do sentido anti-horrio) Veja Figura 5.2.

Para = 0.69 = 0.8092rad = 46.37o . Ento, como:

> 0.69 < 46.37o.



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O lugar geomtrico no plano s onde esto as razes do sistema em malha fechada quesatisfazem as especificaes de ts < 4seg e Mp < 0.05 dado pela interseco das seguintes

regies:

> 1

e

< 46.37o.

A Figura 5.8 ilustra o lugar geomtrico definido por estas condies.

=0.69

=0.69

>0.69

>0.69

>1

>1


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A Figura 5.9 ilustra o lugar geomtrico e o lugar das razes do sistema em funo deKp.

Root Locus

Real Axis

Im

agAxis

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

3 2.5 2 1.5 1 0.5

0.985

0.94

0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16

0.985

0.94

0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16

=0.69

=0.69

>0.69

>0.69

Kp=4.5

1


11/23


Com esta escolha de Kp = 4.5 o sistema de controle em malha fechada pode ser escritocomo:

Y(s)

R(s)=

2ns2 + 2ns + 2n

=2.25

s2 + 3s + 2.25.

onde = 1 e n = 1.5.

A resposta a degrau do sistema em malha fechada ilustrado na Figura 5.10. Podemosobservar que o tempo de assentamento ts = 3.87seg e o mximo sobresinal Mp = 0%.

Se calcularmos o tempo de assentamento ts pela Equao 5.1 obtemos:

ts =

4

n = 2.67seg.

A Equao 5.1 fornece portanto valores muito diferentes para = 1.0.

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

System: s3Settling Time: 3.89

Mp=0%

Figura 5.10: Resposta a degrau do sistema

Exemplo 5.2Deseja-se projetar um controlador H(s) para o sistema ilustrado na Figura 5.7 onde aplanta dada por:

G(s) =0.5

(s + 3).




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1. Erro estacionrio ess = 0 para entrada a degrau;

2. Tempo de assentamento ts < 4seg (critrio de 2%);3. Mximo sobresinal Mp < 5%.

O primeiro passo para o projeto a escolha da estrutura do controlador (P, PI, PD,PID, etc.). Sabemos que para satisfazer a condio do erro estacionrio ess necessrio ainsero de um integrador 1/s em malha aberta j que o sistema G(s) um sistema de 1a.ordem. Desta forma, vamos escolher um controlador proporcional-integral PI:

H(s) = Kp

1 +

1

Tis

.

Podemos calcular o erro estacionrio atravs da seguinte forma:

ess = limt

e(t) = lims0

sE(s),

= lim s1

1 + G(s)H(s)R(s),

= lims0

Tis(s + 3)

Tis(s + 3) + 0.5Kp(Tis + 1),

= lims0

0

0 + 0.5Kp= 0.

Conclumos ento que o erro estacionrio ess nulo para uma entrada degrau caso sejaadotado um controlador proporcional-integral.

Para este caso, a funo de transferncia em malha aberta dada por:

G(s)H(s) = Kp0.5(Tis + 1)

Tis(s + 3),

Os plos e o zero em malha aberta so dados por:

plos em malha aberta: s = 0, s = 3; zero em malha aberta: s = 1/Ti.

A funo de transferncia do sistema de controle em malha fechada dada por:

Y(s)

R(s)=

G(s)H(s)

1 + G(s)H(s)=

0.5Kp(Tis + 1)

Tis(s + 3) + 0.5Kp(Tis + 1)

=0.5KpTi(s +

1Ti

)

s2 + (3 + 0.5Kp)s +0.5KpTi

.



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Root Locus

Real Axis

ImagAxis

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 02

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

4 3 2 1

0.99

0.96

0.91 0.84 0.74 0.6 0.42 0.22

0.99

0.96

0.91 0.84 0.74 0.6 0.42 0.22

Kp=5.5, s=1.2

Kp=5.5, s=4.54

=0.69

=0.69

>0.69

>0.69

1

Figura 5.11: Lugar das razes para Ti = 0.5.

A adio de um zero em malha aberta pode provocar uma mudana significativa de com-portamento do sistema em relao ao sistema de 2a. ordem. Desta forma, no podemosutilizar as equaes para o tempo de subida tr, tempo de assentamento ts, instante dopico tp e o mximo sobresinal Mp de maneira precisa. Muitas vezes, para efeito de projetoutilizamos as equaes do sistema padro, mas devemos nos lembrar que o efeito do zeroadicional pode ser significativo.

O controlador PI possui dois parmetros, o ganho proporcional Kp e o tempo integralTi. O lugar das razes obviamente construdo em funo de um nico parmetro. Destaforma, vamos escolher um valor para Ti e construir o lugar das razes em funo de Kp.

Qual o valor de Ti que devemos escolher ? Para mostrar como a escolha de Tiinfluencia a soluo para este problema vamos escolher dois valores para Ti e construir olugar das razes para estes valores.

1. Vamos escolher inicialmente fazer Ti = 0.5. Com esta escolha o zero s = 1/Tiestar entre os dois plos de malha aberta. Para este caso, a malha aberta pode serescrita como:

G(s)H(s) =0.25s + 0.5

0.5s2 + 1.5s

O lugar das razes para este sistema ilustrado na Figura 5.11

Vamos escolher no lugar das razes o ponto s = 1.2 que resulta no valor de Kp = 5.5.A outra raiz correspondente a Kp = 5.5 s = 4.54.



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O sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como:

Y(s)

R(s) =1.375s + 2.75

s2 + 5.75s + 5.5 .

A resposta a degrau para este sistema ilustrada na Figura 5.12. Note que o tempode acomodao ts = 2.72seg e o mximo sobresinal Mp = 0%.

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: r

To:y

System: T_r2ySettling Time: 2.72

Mp=0%

Figura 5.12: Resposta a degrau do sistema em malha fechada.

Para efeito de comparao, vamos analisar o comportamento do sistema de 2a. ordempadro equivalente. O sistema de 2a. ordem padro equivalente aquele que tem omesmo denominador, ou seja,

Y(s)R(s)

= 2n

s2 + 2ns + 2n= 5.5

s2 + 5.75s + 5.5.

Para este sistema, o coeficiente de amortecimento = 1.22 e a freqncia natural noamortecida n = 2.35. Utilizando a frmula para o tempo de acomodao temos:

ts =4

n=

4

1.22 2.35 = 1.4seg.

A resposta a degrau para este sistema est ilustrada na Figura 5.13. Note que o valordo tempo de assentamento ts igual a 3.48seg e o mximo sobresinal Mp = 0%. Destaforma, conclumos que a equao para o clculo do tempo de assentamento ts no

vale neste caso, e que o sistema padro possui o tempo de assentamento para respostaa degrau bastante diferente do sistema em malha fechada projetado.



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Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Mp=0%

Figura 5.13: Resposta a degrau do sistema padro.

2. Vamos escolher agora Ti = 0.2, logo 1/Ti = 5. Desta forma, o zero s = 1/Ti est esquerda dos plos em malha aberta s = 0, s = 3. A malha aberta para estaescolha de Ti dada por:

G(s)H(s) =0.1s + 0.5

0.2s2 + 0.6s

O lugar das razes em conjunto com o lugar geomtrico para ts < 4seg e Mp < 5%est ilustrado na Figura 5.14. Note que agora, o lugar das razes descreve um crculoaonde esto contidos os plos conjugados complexos. Podemos por exemplo, escolheros plos s = 1.94j0.79 que correspondem ao ganho Kp = 1.75.

A funo de transferncia em malha fechada resultante pode ser escrita como:

Y(s)

R(s)=

0.175s + 0.875

s2 + 3.875s + 4.375.

A resposta a degrau para este sistema ilustrada na Figura 5.15. Note que o tempode acomodao ts = 2.13seg e o mximo sobresinal Mp = 0%.



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Root Locus

Real Axis

ImagAxis

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

3

2

1

0

1

2

3

8 6 4 2

0.994

0.975

0.935 0.88 0.8 0.66 0.48 0.25

0.994

0.975

0.935 0.88 0.8 0.66 0.48 0.25

X XO

+

+

0.69

>0.69

s=1.94+0.79Kp=1.75

s=1.94+0.79Kp

=1.75

>1


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Para efeito de comparao, vamos analisar o comportamento do sistema de 2a. ordempadro equivalente. O sistema de 2a. ordem padro equivalente dado por:

Y(s)

R(s)=

2ns2 + 2ns + 2n

=4.375

s2 + 3.875s + 4.375.

Para este sistema, o coeficiente de amortecimento = 0.93 e a freqncia natural noamortecida n = 2.1. Utilizando a frmula para o tempo de acomodao ts temos:

ts =4

n=

4

0.93 2.1 = 2.05seg.

A resposta a degrau para este sistema est ilustrada na Figura 5.16. Note que o valordo tempo de assentamento ts igual a 2.4seg e o mximo sobresinal Mp = 0.05%.

Neste caso, a equao para o calculo do tempo de assentamento ts tambm no forneceum valor preciso. Entretanto, o sistema projetado e o sistema padro possuem tempode assentamento ts relativamente prximos.

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Figura 5.16: Resposta a degrau do sistema padro.

Exemplo 5.3Deseja-se projetar um controlador H(s) do tipo PID para o sistema ilustrado na Figura5.7 onde a planta dada por:

G(s) =1

(s + 2)(s + 3).




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19/23


Root Locus

Real Axis

ImagAxis

5 4 3 2 1 0

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

5 4 3 2 1

0.992

0.965

0.92 0.86 0.76 0.62 0.44 0.22

0.992

0.965

0.92 0.86 0.76 0.62 0.44 0.22

X X X

O

O 1 0.69

>0.69

+

+

+

s=1.2+j0.558 Kp=0.551

s=1.2j0.558 Kp=0.551

s=3.15 Kp=0.551

Figura 5.17: Lugar das razes e lugar geomtrico para ts < 4seg e Mp < 5%.

1. Escolha 1 Vamos escolher por exemplo o par de plos complexos conjugados s =1.2 j0.558 que corresponde a um coeficiente de amortecimento = 0.90 e umafreqncia natural n = 1.32rad/seg. O ganho proporcional Kp = 0.55 e o terceiroplo s = 3.1.Para estes valores o tempo derivativo Td = 0.17 e o tempo integral Ti = 0.75. Osistema de controle em malha fechada pode ser escrito como:

Y(s)

R(s)=

0.55s2 + 3.3s + 5.5

s3 + 5.55s2 + 9.3s + 5.5.

A resposta a degrau do sistema em malha fechada est ilustrada na Figura 5.18.Note que o tempo de assentamento ts corresponde a 3.28seg e o Mximo sobresinalMp = 0.1%.



20/23


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



Utilizando a equao para o tempo de assentamento ts obtemos:

ts =4

n=

4

0.9 1.32 = 3.36seg.

O sistema padro similar corresponde a:

Y(s)

R(s)=

2ns2 + 2ns + 2n

=1.74

s2 + 2.38s + 1.74.

A resposta a degrau deste sistema est ilustrado na Figura 5.19. O tempo de assen-tamento obtido ts = 3.58 e o Mximo sobresinal Mp = 0.1%.



21/23


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Figura 5.19: Resposta a degrau do sistema padro em malha fechada.

2. Escolha 2 Vamos escolher agora um outro par de plos complexos conjugados s =3.1 j1.29 que corresponde a um coeficiente de amortecimento = 0.92 e umafreqncia natural n = 3.36rad/seg. O ganho proporcional associado vale Kp =10.4, e o terceiro plo s = 9.2.A funo de transferncia em malha fechada pode ser escrita como

Y(s)

R(s)=

10.4s2 + 62.4s + 104

s3 + 15.4s2 + 68.4 + 104.

A resposta a degrau do sistema em malha fechada est ilustrada na Figura 5.20.Note que o tempo de assentamento ts corresponde a 0.83seg e o Mximo sobresinal

Mp = 4.39%.



22/23


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Mp=4.39%


Utilizando a equao para o tempo de assentamento ts obtemos:

ts =4

n=

4

0.92 3.36 = 3.1seg.

O sistema padro similar corresponde a:

Y(s)

R(s)=

2ns2 + 2ns + 2n

=11.29

s2 + 6.2s + 11.29.

A resposta a degrau deste sistema est ilustrado na Figura 5.21. O tempo de assen-tamento obtido ts = 2.44seg e o Mximo sobresinal Mp = 0.05%.



23/23


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Mp=0.05%

Figura 5.21: Resposta a degrau do sistema padro em malha fechada.

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lugar das raizes 4

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