luyen thi oxyz hinh 12

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt

Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt

NỘI DUNG KIẾN THỨC Điểm

Phương pháp tọa độ trong trong không gian:

Xác định tọa độ của điểm, vectơ.

Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách

giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

1

§1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

II. TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ

Cho hệ tọa độ Oxyz và u . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x; y; z) sao cho

. . .u x i y j z k . Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của u và kí hiệu là : ( ; ; )u x y z hoặc ( ; ; )u x y z

Vậy : ( ; ; )u x y z . . .u x i y j z k

Từ định nghĩa trên ta suy ra : (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)i j k

III. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của

OM là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x; y; z) là

tọa độ của điểm và kí hiệu là ( ; ; )M x y z hoặc

( ; ; )M x y z nếu : . . .OM x i y j z k .

Vậy theo định nghĩa trên, ta có :

( ;0;0)M Ox M x

(0; ;0)M Oy M y

(0;0; )M Oz M z

( ) ( ; ;0)M Oxy M x y

( ) ( ;0; )M Oxz M x z

( ) (0; ; )M Oyz M y z

Gọi 1 2 3; ;M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc

của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó

1 2 3( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )M x M y M z

Gọi 1 2 3; ;M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ

(Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó 1 2 3( ; ;0), (0; ; ), ( ;0; )M x y M y z M x z .

2 2 2

1

. . . 0

i j k

i j j k k i

Trục tung Trục

hoành

Trục

cao

Mặt phẳng tọa độ

z

x

y

O j

i

k

Oxy

Oxz

Oyz

y

M ( ; , )x y z

z

k

j

O

x

i

M1 ( ; ,0)x y



Cho ( ; ; ), ( ; ; )A A A B B BA x y z B x y z . Khi đó ( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z

IV. CÁC CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG

Cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b . Khi đó :

1. Tổng hiệu hai véctơ : 1 1 2 2 3 3( ; ; )a b a b a b a b

2. Tích một số với một véctơ : 1 2 3. ( ; ; ) m a ma ma ma m R

3. Độ dài của véctơ : 2 2 2

1 2 3a a a a ; 2 2 2

1 2 3b b b b

4. 2 2 2

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b

5. 2 2 2

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b

6. Tích vô hướng của hai véctơ : a) . . .cos( ; )a b a b a b ; b) 1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b

7. 1 1 2 2 3 3. 0 0a b a b a b a b a b

8. Góc giữa hai véctơ : 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.cos( ; ) = ; ( ; 0)

. .

a b a b a ba ba b a b

a b a a a b b b

9.

2 2 2

1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

sin ,a b a b a b a b a b a b

a ba a a b b b

10. Hai véctơ bằng nhau : 1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b a b

11. Véctơ a cùng phương với b 31 2

2 2 3

aa a

b b b

12. Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ; )A A AA x y z ; ( ; ; )B B BB x y z :

2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB AB x x y y z z

13. Tọa độ trung điểm I của đoạn AB : ; ;2 2 2

A B A B A BI I I

x x y y z zx y z

14. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :

; ;3 3 3

A B C A B C A B CG G G

x x x y y y z z zx y z

15. Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

; ;4 4 4

A B C D A B C d A B C DG G G

x x x x y y y y z z z zx y z

16. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( 1k ), nghĩa là .MA k MB thì tọa độ của M là

. . .; ;

1 1 1

A B A B A BM M M

x k x y k y z k zx y z

k k k

V. MẶT CẦU

1. Phương trình mặt cầu :

Dạng Phương trình Tâm Bán kính

Chính tắc 2 2 2 2x a y b z c R

I(a; b; c) R

Tổng quát x

2 + y

2 + z

2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

điều kiện: 2 2 2 0a b c d I(–a; –b; –c) 2 2 2R a b c d

Đặc biệt x2 + y

2 + z

2 = R

2 O(0, 0, 0) R

2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng :



Cho mp ( ) : 0Ax By Cz D và mặt cầu 2 2 2 2( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R

Gọi ( ;( )d I là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng ( ) :

1. ( ) ( ) ( ;( )

2. ( ) ( ) ( ;( ) . ( )

3. ( ) ( ) ( ;( )

S d I R

S d I R

S d I R

caét maët caàu

tieáp xuùc maët caàu Khi ñoù goïi laø tieáp dieän

khoâng caét maët caàu

Khi ( ) cắt mặt cầu (S) thì giao tuyến là đường tròn (C):

Phương trình là:

2 2 2 2

0( ) :

Ax By Cz DC

x a y b z c R

Tâm H là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu I lên mặt phẳng ( )

Bán kính 2 2 ( , )r R d I

3. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện :

Tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD :

2 2

2 2

2 2

;

IA IB

IA IC R IA

IA ID

VD: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và

D(1; -1; 2). ĐS: 2 2 2

1 1 2 4x y z

Cách 1: Gọi I(x; y; z)

2 2

2 2

2 2

1;1;1 , 2

IA IB

IB IC I R IA

IC ID

Cách 2:

Gọi phương trình mặt cầu là: 2 2 2 2 2 22 2 2 0 0x y z ax by cz d a b c d

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

2 2 2 0

6 2 4 14 01; 2; 2

2 2 4 6 0

2 2 4 6 0

a b d

a b c da b c d

a b c d

a b c d

Kết luận: Phương trình mặt cầu là: 2 2 2

1 1 2 4x y z

VI. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

1. Định nghĩa : Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b .

I

H

R

M

HM

R

I

I

R

rH

M

)(S

)(S

)(S

)(C



Tích có hướng của hai véctơ a và b là một véctơ, kí hiệu là ,a b

, và được xác định như sau :

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, ; ;

b b b

a a a a a aa b

b b b

2. Tính chất :

1. a cùng phương với b , 0a b

2. ,a b

vuông góc với cả hai véctơ a và b

3. , ,b a a b

4. , . .sin( ; )a b a b a b

3. Các ứng dụng :

1. Xét sự đồng phẳng của ba véctơ : Ba véctơ ; ; a b c đồng phẳng , . 0a b c

Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện , . 0AB AC AD

2. Tính diện tích tam giác : 221 1

, . .2 2

ABCS AB AC AB AC AB AC

3. Tính thể tích hình hộp : . ' ' ' ' , .ABCD A B C DV AB AC AD

4. Tính thể tích tứ diện : 1

, .6

ABCDV AB AC AD

5. Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện : AH là đường cao của tứ diện ABCD. Tọa độ

điểm H cho bởi :

. 0

. 0

, , [ , ] 0

AH BC AH BC

AH BD AH BD

BC BD BH BC BD BH

ñoàng phaúng

BÀI TẬP

1. Cho A(3; 4; −1); B(2; 0; 3); C(−3; 5; 4). Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC. Tính cosin

các góc A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. ĐS: 33; 51; 62;AB BC CA

45 4011 21cos ;cos ;cos ;22046 1683 3162

A B C S

2. Cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B (2; −1; 3), C(−4; 7; 5). Tính độ dài đường phân giác

trong góc B. ĐS: 15143

BD

3. Cho a = (2; 3; 1), b = (5; 7; 0), c = (3; −2; 4 ). CMR: a , b , c không đồng phẳng.

Cho d = (4; 12; 3). Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ a , b , c .

ĐS: , . 35 0;a b c d a b c

4. Cho A(1; 2; 4), B(2; −1; 0), C(−2; 3; −1). Gọi M(x, y, z) ∈ (ABC). Tìm hệ thức liên hệ giữa x,

y, z. Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính diện tích hình bình hành ABCD.

HD + ĐS: 19 17 8 29 0; ( 1;0; 5); 714ABCx y z D S

5. Cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 1), B(1; 1; −2), C(2; 1; 0), D(0; −1; 2). Đường cao AH. Tìm

tọa độ H và độ dài AH. ĐS: 143 13; ; ;2 2 2

H AH

6. Cho A(1; 2; −1). Tìm B đối xứng với A qua Oxy và C đối xứng với A qua Oz. Tính S△ABC.

a

b

,a b



§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

ĐS: (1;2;1); ( 1; 2; 1); 2 5B C S

7. Cho A(1; 2; −1), B(4; 3; 5). Xác định M thuộc Ox, sao cho M cách đều A, B. ĐS: (0;0;4)M

8. Cho A(−4; −1; 2), B(3; 5; −1). Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy và trung điểm của BC

thuộc Oxz. ĐS: (4; 5; 2)C

9. Cho A(−1; 2; 7), B(5; 4; −2). AB cắt Oxy tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa

độ M. ĐS: 7 3211; ( ; ;0)2 3 9

k M

10. Cho 0v . Gọi α , β , γ là 3 góc tạo bởi v với Ox, Oy, Oz. CMR: cos2α + cos

2β + cos

2γ = 1.

HD: ( ; ; ) (0;0;0);cos cos( ; );...v a b c v i

I. VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

Véctơ 0n được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( ) nếu giá của n vuông góc với mp ( ) ,

kí hiệu là ( )n .

Nếu hai véctơ a và b không cùng phương và giá của

chúng song song hoặc nằm trên mp ( ) (ta còn gọi hai

véctơ a và b là cặp véctơ chỉ phương của mp ( ) ) thì

mp ( ) nhận ;n a b

làm véctơ pháp tuyến.

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Phương trình tham số : Mặt phẳng ( ) đi qua 0 0 0( ; ; )M x y z và có cặp VTCP 1 2 3( ; ; ),a a a a

1 2 3( ; ; )b b b b có phương trình tham số là :

0 1 1 1 2

0 2 1 2 2 1 2

0 3 1 3 2

( , )

x x a t b t

y y a t b t t t

z z a t b t

2. Phương trình tổng quát :

Mặt phẳng ( ) đi qua 0 0 0( ; ; )M x y z và có VTPT ( ; ; )n A B C có

phương trình tổng quát là :

0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z

Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng :

0Ax By Cz D với 2 2 2 0A B C (1)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của

một mặt phẳng và mặt phẳng đó có một VTPT là ( ; ; )n A B C .

3. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

Mặt phẳng ( ) không đi qua gốc tọa độ O

và cắt Ox tại ( ;0;0)A a , cắt Oy tại (0; ;0)B b

cắt Oz tại (0;0; )C c có phương trình là :

( ) : 1x y z

a b c .

A

B

C

ab

c

O

x

y

z

0M

( ; ; )n A B C

[ , ]n a b

ab



4. Các dạng chính tắc :

Mặt phẳng ( ) Phương trình VTPT

1 Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0) ( ; ; )n A B C

2 Song song Ox hay vuông góc (Oyz) By + Cz + D = 0 (0; ; )n B C

3 Qua (chứa) Ox By + Cz = 0 (0; ; )n B C

4 Song song Oy hay vuông góc (Oxz) Ax + Cz + D = 0 ( ;0; )n A C

5 Qua (chứa) Oy Ax + Cz = 0 ( ;0; )n A C

6 Song song Oz hay vuông góc (Oxy) Ax + By + D = 0 ( ; ;0)n A B

7 Qua (chứa) Oz Ax + By = 0 ( ; ;0)n A B

8 Vuông góc Oz hay song song (Oxy) Cz + D = 0 (0;0; )n C

9 Trùng (Oxy) z = 0 (0;0;1)n

10 Vuông góc Ox hay song song (Oyz) Ax + D = 0 ( ;0;0)n A

11 Trùng (Oyz) x = 0 (1;0;0)n

12 Vuông góc Oy hay song song (Oxz) By + D = 0 (0; ;0)n B

13 Trùng (Oxz) y = 0 (0;1;0)n

5. Chùm mặt phẳng :

Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai

mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là một chùm mặt phẳng.

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D .

Khi đó mỗi mặt phẳng (P) chứa (d) có phương trình dạng :

2 2

1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0, 0m A x B y C z D n A x B y C z D m n

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D .

1. ( ) cắt ( ) 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C ; 2. ( ) // ( ) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D

3. ( ) ( ) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D ; 4. ( ) ( ) A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Góc giữa hai mặt phẳng 1 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D

và 2 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D là góc (với 0 00 90 )

thỏa mãn : 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

.cos

.

n n A A B B C C

n n A B C A B C

trong đó 1 2;n n là hai véctơ pháp tuyến của 1 2( );( ) .

V. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z đến mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D là

0 0 0

2 2 2( , )

Ax By Cz Dd M

A B C

VD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(3; 2; 1), tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + 2y + 2z – 3 = 0

P

d

2 2 2 2( ; ; )n A B C

1 1 1 1( ; ; )n A B C

00 900



ĐS: 2 2 2 64

3 2 19

x y z

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : ( , ) ( , ), ( )d d M M .

3. Khoảng cách từ 0 0 0 0( ; ; )M x y z đến các mặt phẳng tọa độ :

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tọa độ là

0 0 0 0( ; ; )M x y z

Oxy 0;d M mpOxy z

Oxz 0;d M mpOxz y

Oyz 0;d M mpOyz x

BÀI TẬP MẪU

ĐS: 2 3 3 0x y z

ĐS: 11 7 2 21 0x y z

ĐS: 02 1 0; 60x y z

ĐS: 11 2 15 3 0x y z

ĐS: ( ) :3 0P x y hoặc ( ) : 3 0P x y

ĐS: ( ) : 26 3 3 0x y z hoặc ( ) : 26 3 3 0x y z

ĐS: 1max3

a b c d



ĐS: 31,( ) ;22

d O d m

ĐS: 15; 10 22 45 0V x y z

1 2( ) :3 2 6 21 0;( ) :189 28 48 591 0x y z x y z

ĐS: 1 2( ) : 5 1 0;( ) :5 17 19 27 0x y z x y z

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với :

( ) : 7 0,( ) :3 2 12 5 0P x y z Q x y z . ĐS: ( ) : 2 3 0x y z

2. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua (1;2;1)M và chứa giao tuyến của :

( ) : 1 0,( ) : 2 3 0P x y z Q x y z . ĐS: ( ) : 2 2 1 0x y z

3. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 3 0

:3 2 1 0

x y z

x y z

vuông góc với mặt phẳng

( ) : 2 3 0P x y z . ĐS: ( ) :3 4 47 0x y z

4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách

từ O đến mặt phẳng (ABC). Viết phương trình mặt phẳng qua O, A song song với BC.

ĐS: ( ) : 9 0; ,( ) 3 3;( ) :10 17 0ABC x y z d O ABC x y z

5. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng qua C, A và vuông góc với

( ) : 2 3 1 0x y z . ĐS: ( ) : 1 0x y z

6. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với

( ) : 2 3 1 0x y z và ( )ABC . ĐS: ( ) :5 2 3 0x y z

7. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0,( ) : 5 0x y z x y z và điểm M(1; 0; 5). Tính

khoảng cách từ M đến ( ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của ( ) , ( )

đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3x – y + 1 = 0.

ĐS: 18

,( ) ;( ) :3 9 13 33 014

d M P x y z

8. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; 3). Tính

khoảng cách từ O đến (P). Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.

ĐS: 3 3( ) : 2 2 9 0; ,( ) 3; ;2 2ABC OABCP x y z d O P S V



9. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC. P

và Q là hai điểm nằm trên OC và AB sao cho 2

3

OB

OC và hai đường thẳng MN và PQ cắt

nhau. Viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỉ số .AQ

AB

ĐS: 2( ) : 6 3 6 0;3

MNPQ x y z k

10. Tìm trên Oy các điểm cách đều hai mặt phẳng ( ) : 1 0;( ) : 5 0P x y z Q x y z .

ĐS: (0; 3;0)M



§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Véctơ 0u được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của

u song song hoặc trùng với d.

2. Nhận xét :

Mỗi đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương với nhau.

Nếu u là một VTCP của đường thẳng d thì . ( )k u k R cũng là một VTCP của đường thẳng d.

Hai véctơ a và b không cùng phương và cùng vuông góc với đường thẳng d thì ;a b

là một

VTCP của d.

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Đi qua VTCP Phương trình Ghi chú

Đường

thẳng

d

0 0 0( ; ; )M x y z

1 2 3( , , )u a a a

1) Phương trình tham số :

0 1

0 2

0 3

; ( )

x x a t

y y a t t

z z a t

2) Phương trình chính tắc :

0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

Nếu mẫu bằng 0 thì tử

bằng 0. ( ; ; )A A AA x y z

( ; ; )B B BB x y z

AB 3) A A A

B A B A B A

x x y y z z

x z y y z z

Giao tuyến

của hai mặt

phẳng

4) Phương trình tổng quát :

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

với

1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C

5) Phương trình của các trục tọa độ :

Trục Ox có VTCP 1;0;0 : 0

0

x t

i Ox y

z

Trục Oy có VTCP

0

0;1;0 :

0

x

j Oy y t

z

Trục Oz có VTCP

0

0;0;1 : 0

x

k Oz y

z t

6) Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc :

u

d



VTPT của hai mặt phẳng là :

1 1 1 1

2 2 2 2

; ;

; ;

n A B C

n A B C

VTCP của d : 1 2,u n n

Tìm điểm 0 0 0 0( ; ; ) ( ) ( )M x y z Phương trình chính tắc : 0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

Đặt tỉ số này bằng t Phương trình tham số

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Giả sử : 1

2

qua v có l

qua v có l

d A à VTCP à u

d B à VTCP à v

1. 1d và 2d chéo nhau 3 véctơ ; ; u v AB không đồng phẳng ; . 0u u AB

.

2. 1d và 2d cắt nhau 3 ; ;

2 ;

u v AB

u v

veùctô khoâng ñoàng phaúng

veùctô khoâng cuøng phöông

; 0

; . 0

u v

u v AB

3. 1d song song 2d ; 0

; 0

u v

u AB

4. 1d trùng 2d ; 0

; 0

u v

u AB

5. d1 d2 . 0u v 6. d1 và d2 đồng phẳng , 0u v AB

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

+ Đường thẳng 0 0 0qua ( ; ; )

:có là ( ; ; )

M x y zd

VTCP u a b c

. + Mặt phẳng ( ) có VTPT là ( ; ; )n A B C

1. d cắt ( ) . 0u n ; 2. d song song với . 0

( )( )

u n

M P

3. d nằm trong . 0

( )( )

u n

M P

; 4. ( ) : : : :d n u a b c A B C cuøng phöông vôùi

V. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. Góc giữa hai đường thẳng :

+ d1 đi qua M1(x1; y1; z1) và có VTCP 1 2 3( ; ; )u a a a

+ d2 đi qua M2(x2; y2; z2) và có VTCP 1 2 3( ; ; )v b b b

n

M du

n

M

du

u n

n

M du

A

B u

1d

2dv

Au

v

1d

2d

B

A B u v1d

2d

u

v

A

B

1d

2d

1 2 3( ; ; )u a a a

1d

2d1 2 3( ; ; )v b b b

00 900



Góc 0 00 ;90 giữa d1 , d2 xác định bởi :

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.cos cos( , )

.

u v a b a b a bu v

u v a a a b b b

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

+ d đi qua M0(x0; y0; z0) và có VTCP ( ; ; )u a b c

+ mp(α) có VTPT ( ; ; )n A B C

Góc 0 00 ;90 giữa d và mp(α) xác định bởi :

2 2 2 2 2 2

.sin cos( , )

.

u n aA bB cCu n

u n a b c A B C

VI. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :

Khoảng cách từ điểm ( ; ; )M M MM x y z đến mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D là :

2 2 2

, ( )M M MAx By Cz D

d MA B C

Nếu ( ) song song với ( ) thì ( ),( ) ( ),( )d d M

Nếu đường thẳng song song với mp ( ) thì , ( ) , ( )d d M

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Cho đường thẳng đi qua A và có VTCP u .

Khoảng cách từ điểm ( ; ; )M M MM x y z đến đường thẳng là :

[ , ]

, ( )AM u

d Mu

VD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 1), tiếp xúc với đường thẳng 1 1 2

( ) :2 1 2

x y z

ĐS: 2 2 2

1 2 1 9x y z

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

Giả sử 1

2

qua và có là

qua và có là

A VTCP u

B VTCP v

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2 là :

1 2

[ , ].,

[ , ]

u v ABd

u v

VII. HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG

1. Điểm

Điểm M(x; y; z) Điểm M(x; y; z)

Chiếu lên Tọa độ là Đối xứng qua Tọa độ là

Ox (x; 0; 0) Ox (x; y; z)

Oy (0; y; 0) Oy (x; y; z)

Oz (0; 0; z) Oz (y; x; z)

( ; ; )n A B C

d

( ; ; )u a b c

0 00 90

A

B

u

v

1

2

Hu

0 0 0( ; ; )A x y z

M



mp(Oxy) (x; y; 0) mp(Oxy) (x; y; z)

mp(Oxz) (x; 0; z) mp(Oxz) (x; y; z)

mp(Oyz) (0; y; z) mp(Oyz) (x; y; z)

Gốc tọa độ (x; y; z)

2. Đường thẳng

Hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ Phương trình

của đường

thẳng d

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t

z z a t

Oxy

0 1

0 2

0

x x a t

y y a t

z

Oxz

0 1

0 3

0

x x a t

y

z z a t

Oyz 0 2

0 3

0x

y y a t

z z a t

VIII. GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

B1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp

B2. Xác định tọa độ các điểm cần dùng.

B3. Sử dụng kiến thức tọa độ giải toán.

VD: Bài 10/81 SGK – ban cơ bản. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

a) Chứng minh (AB’D’) // (BC’D)

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên

Giải:

Chọn hệ trục toạ độ ABDA’

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0); D(0; 1; 0), C(1; 1; 0), A’(0; 0; 1),

B’(1; 0; 1), D’(0; 1; 1), C’(1; 1; 1).

a)

(1;0;1); (0;1;1); (0;1;1); ( 1;1;0)AB AD BC BD

Mặt phẳng (AB’D’) có VTPT ( 1; 1;1)AB AD

Mặt phẳng (BC’D) có VTPT ( 1; 1;1)BC BD

Suy ra 2 mp(AB’D’) và (BC’D) song song

b) Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên chính là

khoảng cách từ A đến mp(BC’D’).

Phương trình mp(BC’D): x + y – z – 1 = 0

1 1

,( )1 1 1 3

d A BC D

Vậy khoảng cách giữa hai mp trên là1

3.

IX. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp :

_ A

_ A '

_ D '

_ C ' _ B '

_ D

_ C _ B



Cách 1. Giải hệ phương trình : 1

2

( ) ( );

( ) ( )

Cách 2. Sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức của các véctơ.

Dạng 2. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt

phẳng ( )

Phương pháp :

Viết phương trình tham số của đường thẳng qua M và vuông góc

với ( ) . Giao điểm H của và ( ) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( ) .

VD: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0.

ĐS: H(2; -3; -1)

Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:

tz

ty

tx

25

1

26

Gọi H = d (P). Ta có Hd H(6 + 2t; -1+ t; -5 -2t)

Vì H(P) 2(6 + 2t) + (1+ t) 2(52t) 3 = 0 t = 2

Vậy H(2; 3; 1)

Dạng 3. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trước

qua mặt phẳng ( )

Phương pháp :

Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( ) . Giả sử

1 1 1 0 0 0( ; ; ), ( ; ; )M x y z H x y z . Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua

( ) là 0 1 0 1 0 1(2 ;2 ,2 )M x x y y z z

Dạng 4. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường

thẳng

Phương pháp :

Cách 1. Viết phương trình mp ( ) qua M và vuông góc với . Giao

điểm H của và ( ) là hình chiếu vuông góc của M lên .

Cách 2. Viết phương trình tham số của tọa độ H theo tham số

t. Véctơ MH u là véctơ chỉ phương của . Giải phương trình :

. 0MH u tham số t Tọa độ H.

VD: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng d:

tz

ty

tx

1

22

32

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của M trên đường thẳng d khi

và chỉ khi u . MH = 0 ( u là VTCP của d)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1).

Gọi Hd suy ra: H(2 + 3t; 22t; 1+ t) nên:

MH =(1+3t; 42t; 3 + t)

H là hình chiếu của M trên d u . MH = 0

3(1+3t) 2(42t) + (3+t) = 0 t = 1

Vậy H(1; 0; 2)

Dạng 5. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trước

qua đường thẳng

)

M

H

n

H

)

a

M

)

M’

M

H

M

H

M’

d

H

M



Phương pháp : Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên .

Giả sử 1 1 1 0 0 0( ; ; ), ( ; ; )M x y z H x y z . Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua là

0 1 0 1 0 1(2 ;2 ,2 )M x x y y z z

VD: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d có phương trình :

tz

ty

tx

2

1

21

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi và chỉ

khi u . AH = 0 ( u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA/ từ đó suy ra tọa độ của A

/


Đường thẳng d có VTCP u = (2; 1; 2).

Gọi Hd suy ra: H(1+2t ; 1 t ; 2t)

nên: AH =(2t ; 1 t ; 2t5)

H là hình chiếu của A trên d u . AH = 0

2(2t) (1 t) + 2(2t + 5) = 0 t = 1

suy ra: H(1; 0; 2)

Ta có H là trung điểm của AA/ nên:

1

2

3

/

/

/

A

A

A

z

y

x

Vậy: A/(3 ; 2 ; 1).

Dạng 6. Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mp ( )

Phương pháp :

TH1: ( ) Hình chiếu vuông góc của lên mp ( ) là điểm ( )H

TH2: không vuông góc với ( ) , ( ) :

Cách 1. Viết phương trình mp ( ) chứa và ( ) vuông góc với ( )

Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đường thẳng ( ) ( ) .

Cách 2. Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc

Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên ( ) là H1, H2

Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đường thẳng H1H2.

Cách 3. Nếu cắt ( ) : Xác định ( )A . Lấy M bất kỳ không thuộc và khác A.

Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên ( )

Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đường thẳng AH.

VD: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

tz

ty

tx

55

21

56

)( Rt trên mp(P): 2x + y 2z 3 = 0.

Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và

(P) sau đó lấy Md, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình

chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và có

VTCP AH .


Gọi A là giao điểm của d và (P).

Ta có: Ad suy ra: A(65t; 1+2t; 5+5t)

Vì A(P) 2(65t) + (1+2t) 2(5+5t) 3 = 0

t = 1

A

d

H

M

(P)

d

H

A '

A



Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; 1; 5) d

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; 3; 1).

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH = (1; 4; 1)

nên có phương trình :

tz

ty

tx

1

43

2

)( Rt

Cách 4. Nếu ( )

VD: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

tz

ty

tx

35

21

46

)( Rt trên

mp(P): 2x + y 2z 3 = 0.

Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó hình chiếu

của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với d.


Ta có: d qua điểm M(6; 1; 5), có VTCP u = (4; 2; 3)

mp(P) có VTPT n = (2; 1; 2)

u . n = 0 và M(P) nên: d // (P)

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; 3; 1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương trình :

tz

ty

tx

31

23

42

Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đường thẳng 1 lên mp ( ) theo phương 2 cắt

( )

Phương pháp :

TH1: 1 2/ / Hình chiếu song song của 1 lên ( ) theo phương 2 là điểm 1 ( )H .

TH2: 1 và 2 không song song:

Viết phương trình mp ( ) chứa 1 và song song 2

Hình chiếu song song của 1 lên ( ) theo phương 2 là đường thẳng ( ) ( ) .

Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt 1 , 2 với 1 , 2 chéo nhau và

không đi qua M

Phương pháp :

Cách 1. Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1

Nếu 1 có phương trình tổng quát thì nên viết phương trình ( ) dưới dạng chùm

Nếu 1 có phương trình tham số thì lấy hai điểm A, B thuộc 1 Phương trình ( ) qua 3 điểm A, B,

M.

* Nếu 2( ) / / thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt 2 thì tìm 2 ( )N

Nếu 1/ /MN thì bài toán vô nghiệm. Nếu MN cắt 1 thì đường thẳng cần tìm là MN.

Cách 2. Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1 , mặt phẳng ( ) qua M và chứa 2

* Xét ( ) ( ) . Nếu cắt 1 và 2 thì đường thẳng là đường thẳng cần tìm. Nếu 1/ /

hoặc 2 thì bài toán vô nghiệm.

d

H

M

(P)



Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng cắt 1 ,

2 và song song với 3

Phương pháp 1: Viết phương trình mp ( ) chứa 1 và song song 3 , mp ( ) chứa 2 và song

song 3

Nếu ( ) / /( ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt ( ) thì xét ( ) ( ) .

Nếu cắt 1 và 2 thì là đường thẳng cần tìm.

Nếu 1/ / hoặc 2 thì bài toán vô nghiệm.

Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của 1 theo t1, của 2 theo t2. Lấy điểm

1 2,M N Tọa độ M, N theo t1, t2 MN theo t1, t2.

Xác định t1, t2 sao cho 3/ /MN Đường thẳng cắt 1 , 2 và song song với 3 là MN.

Phương pháp 3: Gọi 0 0 0( ; ; )M x y z là giao điểm của và 1 .

nhận VTCP của 3 làm VTCP Phương trình tham số của theo 0 0 0; ;x y z .

cắt 2 suy ra hệ 2

có nghiệm 0 0 0; ;x y z Phương trình .

VD: Viết phương trình đường thẳng cắt 2 đường thẳng d1:

tz

ty

tx

1

32 ; d2:

/

/

/

4

31

21

tz

ty

tx

và

song song với đường thẳng d: 1

4

23

1

zyx

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Ad1, Bd2 khi đó A, B khi và chỉ khi hai vectơ u ,

AB cùng phương ( u là VTCP của d), đường thẳng qua A và có VTCP u



Gọi Ad1 suy ra: A(t; 23t; 1+t)

Bd2 suy ra: B(1+2t/ ; 1+3t

/ ; 4 t

/ )

nên: AB = (2t/ t + 1; 3t

/ + 3t + 1; t

/ t + 3)

A, B u và AB cùng phương

1

3

2

133

3

12 ///

tttttt

1

825/

/

tt

tt

2

1/t

t

suy ra A(-1;1;0) .

Đường thẳng qua A và có VTCP u = (3; 2; 1) nên có phương trình :

tz

ty

tx

21

31

Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với 1 , cắt 2 trong đó

1 2,M

Phương pháp : Viết phương trình mp ( ) qua M và vuông góc với 1 , mp ( ) qua M chứa 2

Nếu ( ) / /( ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt ( ) thì xét ( ) ( ) .

d

B

d2

d1

A



Nếu cắt 2 thì là đường thẳng cần tìm.

Nếu 2/ / thì bài toán vô nghiệm.

VD: Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1; -3) cắt đường thẳng d1:

tz

ty

tx

4

21

3

)( Rt và

vuông góc với đường thẳng d2:

tz

ty

tx

5

3

41

)( Rt

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd1, khi đó H khi và chỉ khi u . AH = 0 ( u là VTCP

của d2); đường thẳng qua I và có VTCP AH


Đường thẳng d2 có VTCP u = (4; 1; 1).

Gọi Hd1 suy ra: H(3+t; 12t; 4+t) nên:

AH =(1+t; 22t; 7+t)

H u . AH = 0 4(1+t) + (22t) + (7+t) = 0 t = -3

Suy ra H(0; 5; 1)

Đường thẳng qua A và có VTCP AH =(2; 4; 4) = 2(1; 2; 2)

nên có phương trình :

tz

ty

tx

23

21

2

)( Rt

Dạng 11. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 2,

Phương pháp :

a. TH dặc biệt : 1 2

Viết phương trình mp ( ) chứa 1 và 2

Tìm 2 ( )M , H là hình chiếu vuông góc của M lên 1 MH là đường vuông góc chung của

1 , 2 .

b. Phương pháp 1 : Viết phương trình 1 , 2 dưới dạng tham số

Lấy 1 2,M N Tọa độ M, N theo t1, t2 MN theo t1, t2.

MN là đường vuông góc chung của 1 , 2 1 2 1 2, , .MN MN t t MN

c. Phương pháp 2 : Gọi 1 2,a a là VTCP của 1 , 2 Đường vuông góc chung có VTCP

1 2,a a a

. Viết phương trình mp ( ) chứa 1 và song song , mp ( ) chứa 2 và song song

( ) ( ) .

VD: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

d:

tz

ty

tx

2

35

)( Rt và d/ :

/

/

/

4

37

2

tz

ty

tx

)( / Rt

d2

d1

H

A



Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đường vuông góc chung của d và d/

khi và chỉ khi . 0

. 0

u AB

v AB

; đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB



Đường thẳng d/ có VTCP v = (1; 3; -1).

Gọi Ad suy ra: A(5+3t; 2+t; t)

Bd/ suy ra: B(2+t

/ ; 7+3t

/ ; 4 t

/ )

nên: AB =(t/ 3t7; 3t

/ t9; t

/ t + 4)

AB là đường vuông góc chung của d và d/

. 0

. 0

u AB

v AB

0)4()93(3)73(

0)4()93()73(3///

///

tttttt

tttttt

38511

26115/

/

tt

tt

3

1/t

t

suy ra: A(2; 1; 1); AB =(1; 1; 2)

Đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB =(1; 1; 2) nên có phương trình :

tz

ty

tx

21

1

2

)( Rt

Dạng 12. Các bài toán về khoảng cách

12.1 Tính khoảng cách : (dễ)

VD: Bài 6/ 90(sgk – ban cơ bản).

Tính khoảng cách từ đường thẳng

3 2

: 1 3

1 2

x t

y t

z t

và mặt phẳng : 2x2y + z + 3 = 0

Giải: Đường thẳng đi qua M(-3; -1; -1), có vectơ chỉ phương 2;3;2a và mp có

VTPT (2; 2;1)n .

Suy ra: . 0a n và M không nằm trên nên và song song.

Do đó: 2( 3) 2( 1) 1 3 2

, ,34 4 1

d d M P

12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước : (dễ)

VD1: Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 3. Lập phương trình mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với (P):

2x + 2y + z + 3 = 0 tại M(-3; 1; 1).

ĐS: 2 2 2 2 2 2: 1 3 2 9 : 5 1 9S x y z S x y z hoÆc

d '

d

A

B



VD2: Cho mặt cầu (S) bán kính R = 1. Lập phương trình mặt cầu biết tâm 1 2

( ) :3 1 1

x y zI

và tiếp xúc với ( ) : 2 2 2 0P x y z .

ĐS: 2 2 2

2 2 2 8 9 1: 2 3 1 1 : 1

5 5 5S x y z S x y z

hoÆc

12.3 Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất :

a. Dạng 1: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; ).A x y z B x y z Tìm ( ) : 0M P ax by cz d để (MA+MB)min.

Phương pháp : Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại

lượng : 1 1 1 2 2 2;A Bt ax by cz d t ax by cz d

* Nếu 0 ,A Bt t A B khác phía đối với (P). Gọi 0 ( ) ( )M AB P , khi đó

0 0 .MA MB AB M A M B

* Nếu 0 ,A Bt t A B cùng phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng với A qua (P). Gọi 0 1( ) ( )M A B P .

Khi đó, 1 1 0 1 0 .MA MB MA MB A B M A M B

VD: Trong không gian Oxyz cho M(1; 2; 3), và N(4; 4; 5). Tìm điểm I mp(Oxy) sao cho IM + IN

nhỏ nhất.

Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng. Nếu M, N

nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía

của mặt phẳng thì I là giao điểm của M 'N và mặt phẳng trong đó M

' là điểm đối xứng của M qua mặt

phẳng đó.


Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Trước hết ta xét xem M và N có ở một trong hai phía

với mp (Oxy) hay không? Dể thấy zM . zN = 3.5 = 15 > 0 M, N ở về một phía với mp (Oxy).

Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:

1

2

3

x

y

z t

Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy).

Ta có H d H(1; 2; 3 + t)

Vì H(Oxy) 3 + t = 0 t = 3

H(1; 2; 0)

Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).

H là trung điểm của MM' nên M'(1; 2; 3) và 'M N = (3; 2; 8)

Ta có IM + IN = IM' + IN M'N Min (IM + IN) = M'N I là giao điểm của M'N và mp(Oxy)

M'N qua M ' có VTCP 'M N = (3; 2; 8) nên có phương trình:

,

,

,

1 3

2 2

3 8

x t

y t

z t

Điểm I( 1 + 3t', 2 + 2t', 3 + 8t')d vì I(Oxy) 3 + 8t' = 0 t' =3

8

Vậy I17 11

; ;08 4

b. Dạng 2: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; ).A x y z B x y z Tìm ( ) : 0M P ax by cz d để MA MB max.

Phương pháp : Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại

lượng : 1 1 1 2 2 2;A Bt ax by cz d t ax by cz d

MN

M '

yxO

d

H I



* Nếu 0 ,A Bt t A B cùng phía đối với (P). Gọi 0 1( ) ( )M A B P . Khi đó

0 0MA MB AB M A M B

* Nếu 0 ,A Bt t A B khác phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng với A qua (P). Gọi 0 1( ) ( )M A B P .

Khi đó 1 1 0 1 0MA MB MA MB A B M A M B

c. Dạng 3: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; )A x y z B x y z . Tìm M cho trước sao cho (MA + MB) min.

Phương pháp : Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của các điểm A, B lên .

Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số 0

0

AAM Ak

M B BB

.

Ta chứng minh 0 0MA MB M A M B .

Chứng minh : Gọi 1 ( ) ( ),A P B sao cho A1 khác phía đối với B so với và thỏa mãn

1 011 0

1 0

, ,A A AA M AA A

A M BA A BB M B

thẳng hàng

1 1 0 1 0 0 0MA MB MA MB A B M A M B M A M B .

VD: Trong k/gian Oxyz cho: M(3; 1; 1), N( 4; 3; 4) và đường thẳng d có phương trình:

7

3 2

9

x t

y t

z t

.

Tìm điểm Id sao cho: IM + IN nhỏ nhất.

Nhận xét: Ta có MN d nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P) trong đó (P) là mặt

phẳng qua MN và vuông góc với d


Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1), vì MN .u =0 MN d

Mặt phẳng(P) qua MN và vuông góc với d có phương trình là: x 2y + z 2 = 0

Gọi H = d (P), Hd H(7 + t; 3 2t; 9 + t)

Vì H(P) nên: (7 + t) 2(3 2t) +(9 + t) 2 = 0

t = 4

3 H

17 17 23; ;

3 3 3

Với Id, ta có: IM + IN HM + HN

IM + IN nhỏ nhất IM + IN = HM + HN IH

Vậy: I 17 17 23

; ;3 3 3

Dạng 13. Các bài toán về góc (dễ)

BÀI TẬP MẪU

M

N

d

H

I

(P)



Công thức tính đạo hàm:

1 1 1 1 1 12

22 2 2 2 2 2/1 1 1

22 22 2 2 2 2 2

2a b a c b c

x xa b a c b ca x b x c

y ya x b x c a x b x c

ĐS: 1. a) ( 1;0;4)M ; b) ( 1;0;4)M ; c)2(1 2 7) 1 10 14 7

; ;33(1 7) 3(1 7)

M

; d)

12 5 38; ;

7 7 7M

2. ( ) :5 13 4 21 0P x y z ; 3. ( ) : 3 0Q x y z ; 4. 5 2 9 0x y z ;

5. 1 4 2 1 4 2

; 1 4 3 15 18 19

x y z x y z

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Xác định giao điểm của đường thẳng 2 0

:2 1 0

x y z

x y z

với mp ( ) : 2 1 0x y z .

ĐS: (6; 3; 1)M

2. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên ( ) : 3 5 0x y z .

ĐS: 12 23 30

; ;11 11 11

M

3. Xác định hình chiếu vuông góc của M(1; 1; 1) lên đường thẳng

1

2

3 3

x t

y t

z t

.

ĐS: 6 5 18

; ;11 11 11

M

4. Xác định điểm M’ đối xứng với M(13; 2; 3) qua mp ( ) : 3 5 0x y z . ĐS: (11;0;9)M

5. Xác định điểm đối xứng với M(0; 2; -1) qua đường thẳng

1

: 2

3 3

x t

y t

z t

. ĐS: M’(4; 4; 1)

6. Xác định hình chiếu của 5 4 2 5 0

:2 2 0

x y z

x z

lên mp ( ) : 2 1 0x y z .

ĐS: 2 4 8 1 0

:2 1 0

x y z

x y z



7. Viết phương trình đường thẳng qua M(1; 3; 0) và cắt cả 1 2

1 22 0

: ; : 32 5 0

4

x ty

y tx z

z t

ĐS: 2 3 11 0

:2 7 0

x y z

x y

8. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mp ( ) : 2 2 15 0x y z và điểm J(-1; -2; 1). Gọi I là

điểm đối xứng của J qua ( ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) theo một

đường tròn có chu vi là 8 . ĐS: 2 2 2( ) : ( 5) ( 4) ( 5) 25S x y z

9. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình

lần lượt là ( ) : 2 4 0P x y và ( ) : 2 6 0Q x y .

ĐS: 2 2 2

2 1 0( ) ( ) :

5

x yI S

x y z

10. Trong không gian cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm : A(0; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), D(0; 1;

0) và mặt cầu (S’ ) đi qua bốn điểm : 1 1 1

( ;0;0), (0; ; ), (1;1;0), (0;1;1)2 2 2

A B C D . Tìm phương

trình đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu đó.

ĐS: 2 2 2

9 9 4 0

( ) : 1 1 1 3( ) ( ) ( )

2 2 2 4

x y z

Cx y z



SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG

Trường THPT An Phú

Họ & tên :

Lớp :

¤n thi §¹i häc – Cao ®¼ng C©u 6

Oxy

Oxz

Oyz

O j

i

k

z

x

y

luyen thi oxyz hinh 12

Documents