lý thuyết xác suất và thống kê toán học tác giả: phan văn tân, 2009

8/12/2019 Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Tác giả: Phan Văn Tân, 2009

http://slidepdf.com/reader/full/ly-thuyet-xac-suat-va-thong-ke-toan-hoc-tac-gia-phan-van 1/371

10:04:5410:04:54

LÝ THUYLÝ THUYẾẾTTXXÁÁC SUC SUẤẤT VT VÀÀ THTHỐỐNG KNG K

TOTOÁÁN HN HỌỌCCPhan Văn TânPhan Văn Tân

BBộộmô Khmô Khíí tưtượ ợ ngng

ww



GIGIỚỚI THII THIỆỆUU•• ““Lý thuyLý thuyếết xt xáác suc suấất & tht & thốống kê tong kê toáán hn họọcc”” llàà mm

môn hmôn họọc bc bổổsung cho sinh viên csung cho sinh viên cáác ngc ngàành Khnh Khíí ThThủủy văn vy văn vàà HHảải dươ ng hi dươ ng họọc:c:oo Phươ ng phPhươ ng pháá p t p tíínhnhoo Cơ chCơ chấất lt lỏỏngngoo Lý thuyLý thuyếết xt xáác suc suấất & tht & thốống kê tong kê toáán hn họọcc

•• SSốố đơ n vđơ n vịị hhọọc tr c tr ìình: 3 (45 tinh: 3 (45 tiếết)t)•• TTàài lii liệệu tham khu tham khảảo:o:•• HHìình thnh thứức thi: Vc thi: Vấấn đn đáá p (Lý thuy p (Lý thuyếết + Bt + Bàài ti tậậ p) p)

ww



QUIƯ QUIƯ ỚỚCC

Tuyệt đối không skhông sửử

ddụụng đing điệện thon thoạại dii diđđộộng trong ging trong giờ ờ hhọọcc

ww



Chươ ngChươ ng 1.1. MỘT SỐKIẾ N THỨ C CƠ BẢ N VỀGTỔHỢP VÀ NHNTHỨ C N EWTON

• Trong thực tế thườ ng gặ p bài toán:Cho m ột t ậ p h ợ p hữ u h ạn, đ òi h ỏi ghép các phthành t ừ ng nhóm theo quy lu ật nào đ ó tu ỳ thunội dung c ủa bài toán, và tính s ố nhóm t ạo thà

• Giải tích tổhợ p là ngành toán học chuyên nghcác loại bài toán này

ww



Chươ ngChươ ng 1.1. MỘT SỐKIẾN THỨ C CƠ BẢN VỀGTỔHỢP VÀ NHNTHỨ C N EWTON

1.1 Chỉnh hợ p• Ví dụ: Cho ba chữsố2, 3, 5. Hỏi có thểtạo đư

nhiêu số có 2 ch ữ số khác nhau từ ba chữsố đã• Giải: Từcác số 2 3 5

oLấy 2 ghép vớ i 3 hoặc vớ i 5 tađượ c 23, 25;o Lấy 3 ghép vớ i 2 hoặc vớ i 5 tađượ c 32, 35;

o Lấy 5 ghép vớ i 2 hoặc vớ i 3 tađượ c 52, 53K ết quả ta thuđượ c 6 sốtất cả.

o Đểý r ằng mỗi sốtạo thành là một nhóm có thứtựg3 số đã cho.

o Mỗi nhóm như vậy đượ c gọi là một ch ỉ nh h ợ p ch ậ p phần t ử

ww




Định ngh ĩ a 1. Ta gọi chỉnh hợ p chậ p k từn phần(k < n) là một nhóm có thứtựgồm k phần tửklấy từn phân tử đã cho

• Như vậy từn phần tửta có thểtạo nênnhiều c

• N ếu dùng ngôn ngữtậ p hợ p thìchỉnh hợ p chậ p phần tửlà một tậ p conđượ c sắ p thứtựcủa tậ p phần tử đã cho

• Số lượ ng chỉnh hợ p chậ p k có thể đượ c tạo nên

đượ c ký hiệu làAnk

ww




Công thứ c tổng quát tính Ank

• Giảsửtậ p đã cho gồm n phần tử a 1 , a 2 ... a n.• Vớ i k=1: Mỗi phần tử đứng riêng có thểcoi là một chỉn

1• Như vậy: An

1 = n• Vớ i k=2: lấy mỗi chỉnh hợ p chậ p 1 (ngh ĩ a là mỗi phần

ghép vớ i một trongn − 1 phần tửcòn lại thì tạo đượ c nhợ p chậ p 2• Như vậy: An

2 = n(n-1)• Tươ ng tựta có:An

3 = n(n-1)(n-2)• Hay, tổng quát:An

k = n(n-1)(n-2)…(n-k+1)•

Cũng có thể thuđượ c công thức trên theo cách khác:o Ta cón cách chọn phần tử đứng đầu, k ết hợ p vớ i (n-1)cách cđứng thứhai, v.v., và k ết hợ p vớ i (n-k+1)cách chọn phần tử đ

o Vì vậy có tất cản(n 1) ... (n k + 1)chỉnh hợ p chậ p k của n

ww




Ví dụ1: TínhAA5533• Ta có: A5

3 = 5.4.(5−3+1) = 5.4.3 = 60Ví dụ2. Một lớ p phải học 10 môn, mỗi ngày học

Hỏi có bao nhiêu cách xế p thờ i khóa biểu tronngày

• Một cách xế p thờ i khoá biểu trong một ngày là2 môn trong 10 môn vớ i nhau

o 2 môn phải khác nhauo vớ i mỗi nhóm 2 môn thì thứtựsắ p xế p khác nhau

• Vì thếmỗi cách xế pứng vớ i một chỉnh hợ p ch10 phần tử• Vậy, có tất cảA10

2 = 10.(10-2+1) = 10.9 = 9

ww




•Ví dụ: Cho ba chữsố2, 3, 5. Hỏi có thểtạo đưnhiêu số có 2 ch ữ số từ ba chữsố đã cho

• Giải: Từcác số 2 3 5o Lấy 2 ghép lần lượ t vớ i 2,3,5 tađượ c 22, 23, 25;o Lấy 3 ghép lần lượ t vớ i 2,3,5 tađượ c 32, 33, 35;o Lấy 5 ghép lần lượ t vớ i 2,3,5 tađượ c 52, 53, 55o K ết quả ta thuđượ c 9 sốtất cả.o Đểý r ằng mỗi số đượ c tạo thành là một nhóm gồm

không nhất thiết khác nhau lấy từ3 số đã cho và mỗthểxuất hiện 2 lần

o Mỗi nhóm như vậy đượ c gọi là một ch ỉ nh h ợ p l ặ p c phần t ử • Sốchỉnh hợ p lặ p chậ p k từn phần tử đượ c ký

ww




Công thứ c tổng quát tính• Đểcó một chỉnh hợ p lặ p k ta có thể:

o Có n cách chọn phần tử đứngở vị trí thứnhấto Tươ ng tự, cón cách chọn phần tử đứngở vị trí thứ

phần tửcó thể đượ c chọn nhiều lần)o v.v…o Có n cách chọn phần tử đứngở vị trí thứk o Vậy:

k n A

~

k k n nnnn A == .....~

ww




• Ví dụ1: Để đăng ký sốmáy cho một loại máy ngườ i ta dùng 3 con sốtrong 9 con số: 1,2,3...thể đánh số đượ c bao nhiêu máy?

• Giải: Ở đây mỗi sốmáy của một máy là một chlặ p chậ p 3 từ9 phần tử đã cho. Vậy, số lượ ng mđánh số đượ c là 7299~ 33

9 == A

ww




• Ví dụ2. Đểtruyền tin bằng tín hiệu moóc-xơ ghiệu chấm (.) và vạch (−), ngườ i ta mã hoá mỗicủa bảng chữcái thành một nhóm có thứtựgồmquá 4 ký hiệu. Biết r ằng một ký hiệu có thểcólần trong nhóm có thứtựtạo thành. Hỏi có thể bao nhiêu chữcái ?

• Giải: Mỗi nhóm có thứtựgồm k ký hiệu (1≤ knên chính là một chỉnh hợ p lặ p chậ p k từ2 phầcho (hai phần tửnày là các ký hiệu chấm (.) và

Vì vậy sốchữa cái mãđượ c là: 18422222~~~~ 432142

32

22

12 +++=+++=+++ A A A A

ww




• Ví dụ3. Mỗi ký tựtrong bảng mã ASCII (AmeStandard Code for Information Interchangtạo thành bở i một dãy 8 bit. Bit là một đại lượ ntr ạng thái; trong hệ cơ sốnhị phân nó nhận mộtgiá tr ị (0, 1). Hỏi có bao nhiêu ký tựtrong bảngASCII?

• Giải: Trong hệ cơ sốnhị phân, sốthứ tựcủa cátrong bảng mã ASCIIđượ c xácđịnh bở i một dsố0-1.

Các số đó là 0000 0000, 0000 0001,…, 111111111111. Tức sốký tựtrong bảng mã ASCII2562~ 88

2 == A

ww




• Ví dụ4. Trong máy tính, sốnguyên có dấu là stạo bở i một dãy các bit (0-1), trongđó bitđầu tđịnh dấu (1- âm, 0- dươ ng), dãy các bit tiế p theđịnh giá tr ị của số. Hãy cho biết giá tr ị lớ n nhất(phạm vi biến thiên) của: 1) Sốnguyên 1 byteSốnguyên 2 byte (16 bit); 3) Sốnguyên 4 byt4) Sốnguyên 8 byte (64 bit).

• Giải: Vềnhà

ww




1.3 Hoán vịĐịnh ngh ĩ a: Hoán vị của n phần tửlà một nhómgồm đầy đủtất cảcác phần tử đã cho

• Các hoán vị của n phần tửchỉ khác nhau bở i th

xế p giữa các phần tử• Một hoán vị của n phần tửcũng chính là một c

chậ p n của n phân tử• Dođó sốhoán vị có thểtạo nên từn phần tửsẽ

Pn = Ann

= n(n-1)(n-2)…(n-n+1) = n(n-1)(nPn = n!

ww




• Ví dụ1. Một phòng thi có 30 chỗngồi. Hỏi cócáchđánh số báo danh cho 30 thí sinh?• Giải: Sốcáchđánh số báo danh bằng sốhoán v

vị trí. Vậy có tất cả30! cáchđánh.•

Ví dụ2: Phòng họ p có n chỗngồi đượ c bốtrí tchữ U hướ ng về bàn chủtọa. Trong số n ngườihai ngườ i quen nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắ ngồi để hai ngườ i đó ngồi cạnh nhau?

• Giải: Hai ngườ i quen nhau ngồi cạnh nhau có

xem như bị “ghépđôi” thành một ngườ i. Dođósắ p xế p sẽlà sốhoán vị của (n-1), tức bằng 2(n

ww




• Ví dụ3. Trong số n ngườ i đến dự“hội nghị bàhai ngườ i quen nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắ ngồi để hai ngườ i đó đượ c ngồi cạnh nhau?

• Giải: Vềnhà

ww




1.4 Tổhợ pĐịnh ngh ĩ a: Tổhợ p chậ p k từn phần tử(k ≤ n) l

nhóm không phân biệt thứtựgồm k phần tửkhtrích từn phần tử đã cho.

• C ũng có th ể hi ể u m ột t ổ hợ p ch ậ p k là t ậ p con phần t ử của t ậ p n ph ần t ử đ ã cho• Một tổhợ p cũng là một chỉnh hợ p, trongđó cá

hợ p chỉ khác nhau vềthứtựsắ p xế p thìđượ c ctổhợ p

• Sốtổhợ p chậ p k từn phần tử đượ c ký hiệu là

ww




Công thứ c tổng quát tính• Giảsửtừn phần tử đã cho ta tínhđượ c C nk tổh• Mỗi tổhợ p đó l à một tậ p con gồm k phần tửtrí

phần tử banđầu, nhưng không sắ p thựtự• Đối vớ i mỗi tổhợ p đó ta tiến hành hoán vị các

theo mọi cách sẽ đượ c tất cả k! chỉnh hợ p• Như vậy đối vớ i C nk tổhợ p sẽcó tất cả k!C nk ch

chậ p k , tức là:k!C nk = A nk

• Hay

k nC

!)1)...(2)(1(

! k k nnnn

k A

C k nk

n

+−−−==

ww




• Biến đổi lại ta có: !)...(2)(1(

! k k nnnn

k AC k nk

n+−−−==

)!(!1.2)...1)()(1)...(2)(1(

! k nk k nk nk nnnn

k A

C k nk

n =−

−−−+−−−==

• Ví dụ: Một giải bóngđá đượ c tổchức thành 5 bảng A,mỗi bảng có 6đội. Trong vòng loại, cácđội trong từngđấu theo thểthức “đấu vòng”. Hỏi có tất cả bao nhiêuvòng loại?

• Giải: Trong mỗi bảng, mỗi tr ận đấuứng vớ i một nhóm

phần tửtrong 6 phần tử(không biệt thứ tự). Vì vậy mỗsốtr ận đấu là

• Có tất cả15 x 5 = 75 tr ận đấu loại

1525.6

!4.2!4.5.6

)!26(!2!62

6 ===−

=C

ww




1.5 Nhị thứ c Newton

nnnn

k k nnn

bann

bnaaba +−−

++−

++=+ −−

!)1)...(1(...

2)1()( 221

Công thứ c tổ ng quát

Để ý: k nC

k k nnn =+−−

! )1)...(1(

kk nk n

nn

nn

nn

n baC baC baC aC ba ++++=+ −−− ...)( 222110Do đó:

Hay gọn hơn:

∑=

−

=+

n

k

k k nk

n

n

baC ba 0)(

ww




1.5 Nhị thứ c Newton∑

=

−=+n

k

k k nk n

n baC ba0

)(

……………

(x+a)14641

(x+a)1331

(x+a)121

(x+a)11

(x+a)1

4322344

40312213044

464)(14641)(

babbabaaba

babababababa

++++=+

++++=+

ww




Một sốbài tập:

ww



10:07:2910:07:29




ww



Chươ ngChươ ng 2.2. SỰ KIỆ N VÀ XÁC SUẤT

2.1 Phép thử , sự kiện và xác suất sự kiện• Ví dụ:o Khi gieo một đồng tiền tức là tađã tiến hành một p

• K ết quảnhận đượ c là hai k ết cục: Đồng tiền xuất hiệnxuất hiện mặt ngửa

• Nếu nhận đượ c mặt sấ p ta nói“sựkiện” đồng tiền xuất hxảy ra

o Gieo một con xúc xắc (tiến hành một phép thử)• Phép thửnày có 6 k ết cục đơ n: xuất hiện mặt 1 chấm, 2

4 chấm, 5 chấm, 6 chấm• Các k ết cục này cũng có thểcấu thành k ết cục phức hợ p

có sốchấm là chẵn, xuất hiện mặt có sốchấm bội 3 v.v...• Nếu một trong các k ết cục xuất hiện ta nói “sựkiện” (nào

ww




2.1 Phép thử , sự kiện và xác suất sự kiện• Ví dụ:o Mưa là một hiện tượ ng khí tượ ng. Việc quan tr ắc

này cũng là một phép thử.• Sốk ết cục của phép thửnày có thểlà

o2 k ết cục: “không mưa” hoặc “có mưa”o 3 k ết cục: “không mưa”, “mưa dạng lỏng” hoặc “mưa hỗr ắn)

• Nói chung cần phân biệt rõ ba khái niệm: ““k ết cục” và “sựkiện”

ww




2.1 Phép thử , sự kiện và xác suất sự kiện• Tuỳ theo tính chất xuất hiện của các sựkiện t

thửmà ta có thểchia chúng ra ba loại:o Sựkiện tất yếu (hay sựkiện chắc chắn) làsựkiện n

xảy rakhi phép thử đượ c thực hiệno Sựkiện bất khả(hay sựkiện không thểcó) làsựkiệkhông xảy rakhi thực hiện phép thửo Sựkiện ngẫu nhiênlà sựkiện có thểxảy ra nhưng c

không xảy rakhi thực hiện phép thử• Ký hiệu:

o U là sựkiện tất yếuo V là sựkiện bất khảo A là sựkiện ngẫu nhiên

ww




2.1 Phép thử , sự kiện và xác suất sự kiện• Ví dụ:

o Gieo một điểm ngẫu nhiên lên mặt phẳng, khiđó:• Điểm đó nằm trong mặt phẳng là sựkiện tất yếu• Điểm đó không nằm trong mặt phẳng là sựkiện bất khả• Điểm đó r ơ i vào một miền hình chữnhật cho tr ướ c trên mkiện ngẫu nhiên

o Tiến hànhđo nhiệt độ ở Hà Nội vào một ngày mùa• Nhiệt độ đo đượ c có giá tr ị >0oC là sựkiện tất yếu• Nhiệt độ đo đượ c có giá tr ị <0oC là sựkiện bất khả• Nhiệt độ đo đượ c nằm trong khoảng 25-30oC là sựkiện n

ww




2.1 Phép thử , sự kiện và xác suất sự kiện• Quan sát các sựkiện ngẫu nhiên ta thấy:o khả năng xuất hiện của chúng nói chung khôngđồno một sốsựkiện thườ ng hay xảy ra,o một sốkhác thườ ng ít xảy ra.

• Ví dụ, vềmùađôngở khu vực vùng núi phíađộthườ ng dướ i 15độ”, nhưng “r ất ít khixuất hmuối”

• nảy sinh vấn đề tìm cáchđo lườ ng “độ c

của một sựkiệno Tìm cách gán cho mỗi sựkiện một sốP(A) không o Sốnàyđượ c gọi là xác suất của sựkiện A.

ww




2.1 Phép thử , sự kiện và xác suất sự kiện• Để phù hợ p vớ i nội dung thướ c đo “độchắc ch

sựkiện, xác suất P(A) phải đượ c xây dựng saomãn cácđòi hỏi hợ p lý sau:

o Xác suất của sựkiện tất yếu U bằng 1: P(U) = 1 (vchắc chắn 100% xảy ra).

o Xác suất của sựkiện bất khảV bằng 0: P(V) = 0 (100% không xảy ra).

o Xác suất của sựkiện ngẫu nhiên A bị k ẹ p giữa 0 và0≤P(A)≤ 1

ww




2.2 Cách tính xác suất theo quan niệm đồng kh• Xét ví dụ:

o Trong một thùng kínđựng n quảcầu giống nhau vềchỉ khác nhau vềmàu sắc, trongđó cóm quảtr ắng đen. Thực hiện phép thử: rút hú hoạ1 quả. Hỏi xácđượ c quảtr ắng là bao nhiêu?

o Nhận thấy: Khi tiến hành rút hú họa một quả, mọi qk ỳ trong sốn quả đều có thể đượ c rút trúng, khônmàu sắc

o Nói cách khác: Do tínhđối xứng hoàn toàn của cácnên mỗi quả đều có cùng khả năng đượ c rút như nh

ww




2.2 Cách tính xác suất theo quan niệm đồng kho Nếu gọi A là sự kiện rút đượ c quảcó màu tr ắng t

k ết thúcđồng khả năng của phép thửcó m k ết cục tA

o Khiđó xác suất P(A) của sựkiện A sẽ đượ c tính bởi

• Định ngh ĩ a: Giảsửmột phép thử có tất cản k ết cnăng, trongđó có m két cục thuận lợ i cho sự kiện Asuất của A là tỷ sốgiữa sốk ết cục thuận lợ i choA trêcục đồng khả năng của phép thử

o Ngườ i ta gọi đây là định ngh ĩ a xác suất theo quakhả năng, hay “định ngh ĩ a cổ điển” của xác suất vìdụng trong thờ i k ỳ ra đờ i của lý thuyết xác suất

n

m

năă

nkhađ

ông cuckêt sôTông n

Acholoithuâncuckêt Sôm A P ==

)(

)()(

ww




2.2 Cách tính xác suất theo quan niệm đồng kho Nếu A là sựkiện chắc chắn U thì mọi k ết cục đồng

phép thử đều thích hợ p cho A nênm = n, dođóo Nếu A là sựkiện bất khảV thì không có k ết cục th

cho A nênm = 0, dođóo Nếu A là sựkiện bất k ỳ thì 0 m nnên

o Cách tính xác suất theo công thức cổ điển có ưu điểm là đơquan

o Tuy nhiên phạm vi áp dụng r ất hạn chếvì công thức này chỉ

loại phép thử gồm một sốhữ u hạn k ết cục và mọi k ết cục đxuất hiện.o Khi vận dụng đểtínhm và n, tr ừcác tr ườ ng hợ p giản đơ n, th

công cụgiải tích tổhợ p

)(U P

00)( ==n

V P

)(0 ≤ A P

ww




2.2 Cách tính xác suất theo quan niệm đồng khMột sốví dụ:• VD1: Gieo một con xúc xắc. Hỏi xác suất xuất hiện: a)

chấm; b). Mặt bội của 3o Giải: Gọi A là sựkiện xuất hiện mặt 6 chấm, B là sự

hiện mặt bội của 3,o Sốk ết cục khả năng n = 6,o sốk ết cục thuận lợ i cho A là m = 1, sốk ết cục thuận

m = 2 (mặt 3 và mặt 6).o Dođó

P(A) = 1/6;P(B) = 2/6 =1/3

ww




2.2 Cách tính xác suất theo quan niệm đồng kh•• VD 2:VD 2: Trong một thùng có 3 quảcầu tr ắng và 5 quảcầu

hệt nhau vềkính thướ c. Rút hú hoạ2 quảtừthùngđó. Txuất hiện: a) 2 quảtr ắng; b) 1 quảtr ắng và 1 quả đen

o Giải: Gọi A là sựkiện xuất hiện 2 quảtr ắng, B là sựkiện xuấttr ắng và một quả đen

o Tổng sốquảcầu trong thùng là: 3+5 = 8. Coi các quảcầu này đã cho.

o Mỗi cách rút 2 quảcầuứng vớ i việc chọn một tổhợ p chậ p 2 từVậy có tất cản = C8

2 k ết cục đồng khả năng.o Sốk ết cục thuận lợ i cho A là những cách chọn 2 trong số3 qu

mA

= C3

2. Từ đó P(A) = mA/n = C

3

2/C8

2 = 3/28o Sốcách chọn quảtr ắng là C3

1, sốcách chọn quả đen là C51. D

thuận lợ i cho B làmB = C31.C5

1. Vậy P(B) = mB/n = C31.C5

1/C8

ww




2.2 Cách tính xác suất theo quan niệm đồng kh•• VD 3: Trong sVD 3: Trong sốố N b N bàài thi ci thi cóó M bM bàài đi đạạt tt từừ điđiểểm khm kháá tr tr ở ở ll

ngngẫẫu nhiênu nhiênnn b bàài đi đểểnhnhậậ p đi p điểểm. Tm. Tíính xnh xáác suc suấất đt đểểtrongtrongnr r úút ct cóó mm (m<n) b(m<n) bàài đi đạạt tt từừ điđiểểm khm kháá tr tr ở ở lên.lên.o Giải: Gọi A là sựkiện trong sốn bàiđượ c rút cóm

điểm khá tr ở lên.o Sốk ết cục đồng khả năng chính là sốcách chọn n từo Sốk ết cục thuận lợ i cho A chính là tích của sốcách

đạt điểm khá tr ở lên) từM k ết hợ p vớ i sốcách chọnkhôngđạt điểm khá) từ N-M tức CM

m.C N-Mn-m

o Vậy P(A) = CMm.C N-Mn-m/ C Nn

ww




2.3Định ngh ĩ a xác suất theo tần suất• Định ngh ĩ a cổ điển của xác suất chỉ áp dụng

phép thửcó một sốhữu hạn k ết cục đồng khả n• Thực tế thườ ng gặ p những phép thửkhông có• Chẳng hạn phép thử bắn một phátđạn vào bia

cục trúng bia hay tr ượ t không thểcoi là đồngxuất hiện• Đểkhắc phục hạn chế đó của định ngh ĩ a cổ

tínhđượ c xác suất của sựkiện cho một phép thngườ i ta đưa vào định ngh ĩ a xác suất theo

thống kê• Khái niệm cơ bản đưa tớ i định ngh ĩ a này là khsuất

ww




2.3Định ngh ĩ a xác suất theo tần suất• Giảsử tiến hànhN phép thử cùng loại, trong mỗi phé

xuất hiện sựkiện A,• Gọi M là sốcác phép thửquan sát thấy A xuất hiện• Khi đó tỷ sốM/N đượ c gọi là tần suất xuất hiện sự k

loạt phép thử đã đượ c tiến hành

• Ví dụ: Để đánh giá chất lượ ng sản phNm của một ngườ i ta lấy hú họa từkho 100 sản phNm và tiến hành quảlà có 7 sản phNm khôngđạt tiêu chuNn chất lượ ng.xuất hiện phế phNm của phân xưở ng là p(A) = 7/100 =

N M

A P =)(

ww



Chươ ngChươ ng 2.2. SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT

2.3Định ngh ĩ a xác suất theo tần suất• Tính chất:

o Tr ị sốcủa tần suất nói chung phụ thuộc vào số lượ ng N phéhành.

o Khi N bé, tần suất thayđổi rõ r ệt nếu ta chuyển từ loạt N phéloạt N phép thửkhác.

o Tuy nhiên thực nghiệm chứng tỏ r ằng, tần suất có tínhổn địnsố phép thửN khá lớ n thì tr ị sốcủa tần suất biến thiên r ất ít xhằng sốxácđịnh nàođó

o Đối vớ i các phép thử thuộc mẫu “thùng kín”, hằng sốnày trùtính theo công thức cổ điển

• Định ngh ĩ a thống kê của xác suất: Xác suất của sựổn định của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn

ww




2.3Định ngh ĩ a xác suất theo tần suất• Tínhổn định của tần suất khi số phép thử đủ lớ n đư

bằng nhiều thí nghiệm công phu của các nhà nghiên cứuo Laplace (thếk ỷXVIII) theo dõi các bảng thống kêở toàn nư

thành phố London, Peterbur, Berlin,đã tìm thấy tần suất sin22/43≈0,542

o Đến thếk ỷXX, nhà toán học Thuỵ điển Crame cũng nhận thấgần vớ i tần suất sinh con trai năm 1935 tại Thuỵ điển• Ứ ng dụng:

o Xácđịnh kích cỡ quần áo may sẵn hoặc cácđồdùng giađìnho Xácđịnh qui luật hoạt động của tội phạm trongđiều tra hình so Chọn thờ i điểm phát sóng truyền tin qua các tầng điện lyo Nghiên cứu công hiệu của thuốc men chữa bệnho Trong Khí tượ ng Thủy văn ?

ww




2.3Định ngh ĩ a xác suất theo hình học• Định ngh ĩ a thống kê của xác suất đã khắc phục được

chếcủa định ngh ĩ a xác suất cổ điển:o Các k ết cục khôngđồng khả năng xuất hiệno Sốk ết cục quá lớ n

• Tuy vậy trong tr ườ ng hợ p sốk ết cục là vô hạn thì địncũng không phù hợ p

• Bở i vậy, ngườ i tađưa vàođịnh ngh ĩ a xác suất theo hìn

ww




2.3Định ngh ĩ a xác suất theo hình học• Xét phép thửcó vô hạn k ết cục đồng khả năng• Giảsửcó thể biểu thị tậ p hợ p k ết cục này bở i một miền

nàođó:o một đoạn thẳng một miền phẳng,o

một mảnh mặt cong hay một khối không gian v.v...;• Giảsửcó thể biểu thị những k ết cục thuận lợ i cho sựki

điểm thuộc miền g⊂ G• Khiđó, xác suất của sựkiện Ađượ c tính như sau:

P(A) = (Kích thướ c của miền g)/(Kích thướ c của m

ww




2.3Định ngh ĩ a xác suất theo hình học• Ví dụ(Bài toán gặ p gỡ ): Hai ngườ i hẹn gặ p nhau tại mộ

xácđịnh trong khoảng từ0 giờ đến 1 giờ và quiướ c vớngườ i đến tr ướ c chờ ngườ i kia quá 20 phút thì sẽ bỏ đi.suất đểhọgặ p nhau, biết r ằng mỗi ngườ i có thể đến chỗmột thờ i điểm bất k ỳ trong khoảng thờ i gian trên.

o Giải: Gọi A là sựkiện hai ngườ i gặ p nhauo Gọi x và y (phút) tươ ngứng là thờ i điểm đến điểm hẹn của ngngườ i thứhai

o Sốk ết cục đồng khả năng chính là mọi cặ p số(x,y) mà 0≤ x ≤o Tậ p hợ p nàyđượ c biểu diễn bở i một hình vuông có cạnh bằngo Các k ết cục thuận lợ i cho A là những cặ p (x,y) sao cho |x-y|≤2

o Tậ p hợ p nàyứng vớ i miền con của hình vuông gồm giữa cácđy = x + 20 và y = x - 20

⎩⎨⎧ −≥

+≤⇒≤−≤−20202020

x y x y y x

ww




2.3Định ngh ĩ a xác suấttheo hình học

O

R

H

K

20+= x y

20−= x y

2020 ≤−≤− y xOPQR

OHIQJK

S

S A P =)(

95

36002000

360016003600

606040406060)(

==−=

=×

×−×= A P

ww




2.3Định ngh ĩ a xác suất theo hình họcChú ý:• Vớ i định ngh ĩ a xác suất này, một sựkiện có xác suất bằ

thểxảy ra• Ví dụ: Trên mặt phẳng ngang vẽmột vòng tròn trongđó

một điểm M.Đứng từxa phóng lao vào miền vòng tròsuất đểlao phóng trúngđiểm M.

o Trong tr ườ ng hợ p này, diện tích của miền g bằng 0, dođó xácsẽ bằng 0.Nhưng trên thực tếvẫn có thể phóng trúngđiểm Mkiện vẫn có thểxảy ra.

ww




2.4 Quan hệgiữ a các sự kiện• Các sự kiện trong một phép thử thườ ng liên

quan vớ i nhau bở i các quan hệ sauđây:o Quan hệkéo theo: Sự kiện A xuất hiện nhất thiết sự

kiện B xuất hiện. Trong tr ườ ng hợ p này ta nói sựkiệnA kéo theo sựkiện B, hoặc A là tr ườ ng hợ p riêng củaB. Ký hiệu A⊂B, hay A là tậ p con của B

o Quan hệ tươ ng đươ ng: Đồng thờ i sựkiện A kéo theosựkiện B và B kéo theo A, tức A⊂B và B⊂A. Ta nóiA và B là các sựkiện tươ ng đươ ng. Ký hiệu A=B

o Tổng của hai sựkiện: Tổng của hai sựkiện A và B làmột sự kiện đượ c ký hiệu là A∪B (hay A + B), saocho (A+B) xảy ra khi và chỉ khi hoặc A xảy ra hoặc Bxảy ra (nói cách khác: khi và chỉ khi ít nhất một tronghai sựkiện A và B xảy ra)

o Tích của hai sựkiện: Tích của hai sự kiện A và B làmột sựkiện đượ c ký hiệu là A∩B (hay AB), sao chosựkiện tích AB xảy ra khi và chỉ khi cảA và B cùngxảy ra

A

ww




2.4 Quan hệgiữ a các sự kiệno Hai sựkiện xung khắc: A và Bđượ c gọi là xung khắc

nếu A xuất hiện thì B không xuất hiện và ngượ c lại,hay AB = V

o Hiệu của hai sự kiện: Hiệu của sự kiện A và sự kiệnB, ký hiệu là A\B, là sự kiện xảy ra khi A xảy ranhưng B không xảy ra

o Sự kiện đối lậ p: Trong tr ườ ng hợ p hiệu của hai sựkiện A và B, nếu A là sựkiện chắc chắn, A=U thì sựkiện A\B=U\Bđượ c gọi là sựkiện đối lậ p của sựkiệnB, ký hiệu là

• Nhận xét: Ta có thểmở r ộng các khái niệm trêncho tr ườ ng hợ p nhiều sự kiện, chẳng hạn tổngcủa nhiều sựkiện, tích của nhiều sựkiện,…

A

B BU B \=

ww




2.4 Quan hệgiữ a các sự kiệno Các sựkiện A1, A2, A3,....An đượ c gọi là hợ p thành nhómđầy

xung khắc từng đôi một và nhất thiết một trong chúng phải xảcủa chúng là sựkiện chắc chắn):

AiA j = V, ∀i ≠ jA1+A2+…+An = U

• Ví dụ:o Gọi Ei là sựkiện xuất hiện mặt i trong phép thửgieo một con 2, 3, 4, 5, 6). Khiđó các sựkiện Ei (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) hợ p th

đủcác sựkiệno Hai ngườ i cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi ngườ i bắn một phá

kiện ngườ i thứi bắn trúng mục tiêu, ta có:- Sựkiện chỉ ngườ i thứnhất bắn trúng:

- Sựkiện có một ngườ i bắn trúng:- Sựkiện có ít nhất một ngườ i bắn trúng:- Sựkiện cả hai ngườ i bắn trúng:- Sựkiện không có ai bắn trúng:

21 A A

2121 A A A A +21 A A +

21 A A

21 A A

ww




2.5 Xác suất của tổng các sự kiện (Côngthứ c cộng XS)

o Định lý: Xác suất của tổng hai sựkiện A và Bđượ c xácđịnh bở i: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

o Chứng minh: Sửdụng định ngh ĩ a xác suất cổ điển.

• Giảsửsốk ết cục đồng khả năng (số tr ườ ng hợ p cóthểcó của phép thử) là n.

• Sốk ết cục thuận lợ i cho A là nA• Sốk ết cục thuận lợ i cho B là nB• Sốk ết cục thuận lợ i cho AB là nAB• Sốk ết cục thuận lợ i cho A+B sẽlà nA+nB-nAB• Vậy

A

()()()( P B P A P n

nnn

nn

nnnn B A P AB B A AB B A −+=−+=−+=+

)()()()( AB P B P A P B A P −+=+

ww




2.5 Xác suất của tổng các sự kiện (Công thứ c cộo N ếu A và B xung khắc vớ i nhau: AB=V, dođó P(A

P(A+B) = P(A) + P(B)o Đối vớ i hai sựkiện đối lậ p:

oTrong tr ườ ng hợ p tổng của ba sựkiện:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC

o N ếu các sựkiện A, B, C xung khắc vớ i nhautừng đôi một:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

)(1)()()()(

A P A P

A P A P A A P

−=⇒

+=+

ww




2.6 Xác suất có điều kiện. Công thứ c nhân XS• Ví dụdẫn:

o Một bộvé sốgồm 5 vé, trongđó có 2 vé trúng thưởnngườ i mua lần lượ t rút mỗi ngườ i một vé. Xác suất tcủa mỗi ngườ i?

- Xác suất ngườ i thú nhất trúng thưở ng: P(A) = 2/5- Xác suất ngườ i thứhai: Phụthuộc vào k ết quảcủa n

nhất:- N ếu ngườ i thứnhất không trúng thưở ng: Xác suất = 2/4- N ếu ngườ i thứnhất trúng thưở ng: Xác suất = 1/4

• Định ngh ĩ a. Xác suất của sựkiện Ađượ c tính thiết sựkiện Bđã xảy rađượ c gọi là xác suất cócủa A vớ i điều kiện B, ký hiệu là P(A/B)

- Các xác suất P(A), P(B)đượ c gọi là xác suất không

ww




2.6 Xác suất có điều kiện. Công thứ c nhân XS• Định lý nhân xác suất: Xác suất của tích hai sựkiện bằ

suất của một trong chúng nhân vớ i xác suất cóđiều kiệnthiết sựkiện kiađã xảy ra

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

o Chứng minh: Gọi• Sốk ết cục đồng khả năng là n• Sốk ết cục thuận lợ i cho B là nB• Sốk ết cục thuận lợ i cho cảA và B (sựkiện AB) là nAB

• Vì Bđã xảy ra nên sốk ết cục đồng khả năng của sựkiện Ađó:

o

)( )(//)/( B P AB P

nnnn

nn B A P

B

AB

B

AB ===

)/()()( B A P B P AB P = )()( P A P AB P =

ww




2.6 Xác suất có điều kiện. Công thứ c nhân XS• Tính chất của xác suất có điều kiện

o 0 ≤ P(A/B)≤ 1o P(B/B) = 1o Nếu AC = V thì P(A+C/B) = P(A/B) + P(C/B)o

• Các sự kiện độc lập: Hai sựkiện A và Bđượ c gọi làđnhau nếu sựxuất hiện của sựkiện A khôngảnh hưở ng đxuất hiện của sựkiện B và ngượ c lại

P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B)• Hệquả: Xác suất của tích hai sựkiện độc lậ p bằng tích

chúng: P(AB) = P(A).P(B)

)/(1)/( B A P B A P −=

ww




2.6 Xác suất có điều kiện. Công thứ c nhân XS• Tổng quát:

o Định ngh ĩ a 1. Các sựkiện A1, A2,...An đượ c gọi làđộc lậ p từnP(Ai/A j) = P(Ai) (i, j = 1,2,3,...n; i≠ j), nói cách khác, nếu mỗi trong chúng làđộc lậ p

o Định ngh ĩ a 2. Các sựkiện A1,A2,....An đượ c gọi làđộc lậ p trê

lậ p tươ ng hỗ) nếu mỗi sựkiện trong chúngđộc lậ p vớ i tích củatrong các sựkiện còn lại, tức là:P(Ak /Ai1 Ai2,...Air ) = P(Ak )

trongđó Ai1,..., Air là r sựkiện khác Ak trong sốn sựkiện đã cho Xác suất của tích n sựkiện:

P(A1A

2...A

n) = P(A

1)P(A

2/A

1) P(A

3/A

1A

2)...P(A

n/A

1A

2..

o Khi các sựkiện Ai (i = 1,2, ...n)độc lậ p tươ ng hỗP(A1A2...An) = P(A1)P(A2)...P(An)

ww




2.6 Xác suất có điều kiện. Công thứ c nhân XS• Ví dụ 2. Hai ngườ i cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suấ

nhất bắn trúngđích là 0.7, ngườ i thứhai là 0.8. Tính xnhất có một ngườ i bắn trúngđích.

o Một cách giải khác: Sựkiện “ít nhất có một ngườ i bắn trúngđívớ i sựkiện “cả hai ngườ i đều bắn tr ượ t”. Ngh ĩ a là

o Mặt khác:

o Vậy P(A+B) = 1-0.06 = 0.94

)(1)(\

B A P B A P

hay B AU B A

−=+

=+

06.02.03.0)())(1))((1()()()(

=×=

−−==

B A P

B P A P B P A P B A P

ww




2.7 Công thứ c xác suất toàn phần và công thứ c• GiảsửA1, A2,...,An là một nhómđầy đủcác kiện kiện x

B là một sựkiện bất k ỳ nàođó xxảảy ra trên ny ra trên nềền cn cáác sc sựựkikiccáách khch kháác B xc B xảảy ra chy ra chỉỉ khi mkhi mộột trong ct trong cáác Ac Aii xxảảy ra.y ra.

• Cho biết các xác suất P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1,2...n). Kh

của sựkiện Bđượ c xácđịnh bở i:

o Ta gọi đây là công thức xác suất toàn phần hay công thức xác o Công thức xác suất toàn phần cho phép tính xác suất của B the

khôngđiều kiện P(Ai) và các xác suất cóđiều kiện P(B/Ai) (i =• Có thểchứng minh công thức này như sau

∑=

=n

iii A B P A P B P

1)/()()(

ww




2.7 Công thứ c xác suất toàn phần và công thứ c• A1, A2,...,An là nhómđầy đủcác kiện kiện xung khắc nê• B xxảảy ra chy ra chỉỉ khi mkhi mộột trong ct trong cáác Ac Aii xxảảy ra nên B=BU, hy ra nên B=BU, h

B = B(B = B(A1+A2+...+An) = BA1+BA2+…+BAn

• Vì các A1, A2,...,An xung khắc nên các BA1, BA2,…, Bnhómđầy đủcác sựkiện xung khắc

• Dođó:

• Mặt khác:

• Vậy

∑=

=n

ii BA P B P

1)()(

)/()()( iii A B P A P BA P =

∑∑==

==n

iii

n

ii A B P A P BA P B P

11)/()()()(

A1

A5

BA1

BA2

BA5

B

ww




2.7 Công thứ c xác suất toàn phần và công thứ c• Ví dụ: Sốliệu khí tượ ng của tr ạm Xđượ c đo đạc bở i ba qua

QTV1, QTV2 và QTV3. Do tính chất công việc, QTV1 chỉ đ20% khối lượ ng công việc, QTV2đảm nhận 30% khối lượ ng50% còn lại do QTV3đảm nhận. Xác suất xảy ra sai sốdo Qvà QTV3đo đạc tươ ngứng là 0.4%, 0.3% và 0.1%. Tính

sai sốchung của sốliệu cung cấ p bở i tr ạm X.• Giải:

o Gọi A1, A2, A3 tươ ngứng là các sựkiện sốliệu đượ c tiến hànhQTV1, QTV2, QTV3đo đạc.

o Gọi B là sựkiện sốliệu đượ c kiểm tracó chứa sai số

o Ta có: P(A1) = 0.2, P(A2) = 0.3, PA3) = 0.5,o P(B/A1) = 0.004, P(B/A2) = 0.003, P(B/A3) = 0.001,o Vậy P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) =0.2x0.004 + 0.3x0.003 + 0.5x0.001 = 0.0008+0.0009+0.00

ww




2.7 Công thứ c xác suất toàn phần và công thứ c• GiảsửA1, A2,...,An là một nhómđầy đủcác kiện kiện x

B là một sựkiện bất k ỳ nàođó xxảảy ra trên ny ra trên nềền cn cáác sc sựựkikiccáách khch kháác B xc B xảảy ra chy ra chỉỉ khi mkhi mộột trong ct trong cáác Ac Aii xxảảy ra.y ra.

• Cho biết các xác suất P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1,2...n). Kh

có điều kiện của sựkiện Ai vớ i điều kiện Bđượ c xácđị

o Đây đượ c gọi là công thức Bayes• Có thểchứng minh công thức này như sau:

∑=

= n

iii

iii

A B P A P

A B P A P B A P

1)/()(

)/()()/(

∑=

==⇒ n

i

iii

P B P

A B P A P B A P

1

)()/()()/()/()()/()( B A P B P A B P A P iii

=

ww




2.7 Công thứ c xác suất toàn phần và công thứ c• Công thức Bayesđượ cứng dụng r ất nhiều trong khí tượ• Có thể phát biểu dạng bài toán tổng quát như sau:• GiảsửA1, A2,...,An là một nhómđầy đủcác kiện kiện x

B là một sựkiện nàođó xxảảy ra trên ny ra trên nềền cn cáác sc sựựkikiệện An Aii. .

đã xđã xảảy ray ra.. Cho biết các xác suất P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1• Hãy xácđịnh: Trong sốcác sựkiện A1, A2,...,An, sựkiệ

khả năng xảy ra nhiều nhất.

o Giải bài toán nàyđồng ngh ĩ a vớ i việc tính các xác suất cóđiều

và tìm giá tr ị lớ n nhất của chúngo Lờ i giải cuối cùng sẽlà MAX {P(Ai/B), i=1,2,…, n}

ww




2.8 Dãy phép thử độc lập (Dãy phép thử Berno• Định ngh ĩ a: Tiến hành n phép thử độc lậ p. Dãy

nàyđượ c gọi là dãy phép thửBernoulli (hoặc lưBernoulli) nếu nó thỏa mãn cácđiều kiện:

o Mỗi phép thửchỉ có hai k ết cục là A và

o Xác suất xuất hiện Aở mỗi phép thử khôngđổi, bằnvà không phụthuộc vào chỉ số phép thử• Ví dụ:

o Gieođồng tiền 100 lần vớ i cách thức như nhau.Đó l phép thửBernoulli (n=100, A là sựkiện xuất hiện m

o Một ngườ i bắn lần lượ t 20 viênđạn vào một mục tiêkhNu súng (n=20, A là sựkiện bắn trúng mục tiêu)o Quan tr ắc hiện tượ ng mưa phùn từng ngày trong mộ

giêng (n=31, A là sựkiện mưa phùn xuất hiện trong

ww




2.8 Dãy phép thử độc lập (Dãy phép thử Berno• Bài toán: Tiến hành dãy n phép thửBernoulli. Tính x

trong n lần thử đó sựkiện A xuất hiện k lần.• Giải:

o N ếuở lần thửthứi nàođó A xuất hiện ta ghi chữA, còn A khta ghi chữ

o Như vậy, k ết quảcó thểcó của n lần thửlà một dãy gồm k chữchữ

o Do tínhđộc lậ p của các phép thử, nên vớ i 1 cách sắ p xế p cố địn(n-k) chữ ta có xác suất tươ ngứng là pk .(1-p)n-k

o Vì sốcách sắ p xế p k chữA trong n vị trí chính bằng tổhợ p chậxác suất cần tìm sẽlà:

43421

Alânk n Alânk

A A A A)(,

...−

k nk k nn p pC k P −−= )1()(

A

Người ta g ọi đây là công th ứ c Bernoulli

ww




2.8 Dãy phép thử độc lập (Dãy phép thử Berno• Sốlần xuất hiện chắc chắn nhất (sốcó khả năng nh

Ví dụdẫn: Ta xét ví dụsauo Gieo một đồng tiền 5 lần. Gọi A là sựkiện đồng tiền xuất hiện

P(A) = 0.5o Sốlần xuất hiện mặt sấ p trong 5 lần gieo có thểlà k=0,1,2,3,o Áp dụng công thứco ta đượ c

o Nhận xét: Trong các tr ườ ng hợ p trên, xác suất xuất hiện mặt s

lần là lớ n nhấto Các số đó đượ c gọi làsốlần xuất hiện chắc chắn nhất, haysố

nhất

k nk k nn p pC k P −−= )1()(

0.15630.31250.31250.15630.0313P 5(k)

43210k

ww




2.8 Dãy phép thử độc lập (Dãy phép thử Berno• Sốlần xuất hiện chắc chắn nhất (sốcó khả năng nhấ

o Trong dãy phép thửBernpulli, khi n cố định, tr ị sốcủa xác suấtchung phụthuộc vào k

o Trong tất cảcác tr ị sốcủa k có những giá tr ị k = k 0 mà ứng vớ iPn(k)đạt giá tr ị lớ n nhất

o Sốk 0 đó đượ c gọi là sốlần xuất hiện chắc chắn nhất (hay sốcónhất) của sựkiện A trong dãy n phép thử đã cho

o Đểxácđịnh giá tr ị k 0 ta xem Pn(k) như là hàm của đối sốtựnhdáng hiệu biến thiên của Pn(k) r ồi từ đó tìm ra k 0

o Lậ p tỷsố:

)(1((

)1(!)!(!

)!1()!1(!

)1(

)1(

)(

)1( 111

k n

p p

nk nk

k nk n

p pC

p pC

k P

k P k nk k

n

k nk k n

n

n

+−=

−−

−−+=

=−

−=+−

−−++

ww




2.8 Dãy phép thử độc lập (Dãy phép thử Berno• Sốlần xuất hiện chắc chắn nhất (sốcó khả năng nhấ

o Từ đó:o Pn(k + 1) > Pn(k) khi (n-k)p>(k+1)(p-1), tức là khik<np+p-1;o Pn(k + 1) = Pn(k) khik = np+p-1;o Pn(k + 1) < Pn(k) khik > np+p-1o Khi k tăng từ 0 đến n, hàm Pn(k) lúcđầu tăng theo k, sauđó đạ

giảm dầno N ếu np+p-1 làmột sốnguyênthì Pn(k)đạt hai cực đại k 0=np+po N ếu np-qkhông phải là sốnguyênthì Pn(k)đạt cực đại tại k 0 lànhất lớ n hơ n (np+p-1), ngh ĩ a là phần nguyên của sốnp+p = p(

)1)(1()(

)()1(

pk pk n

k P k P

n

n

−+−=+

ww




2.8 Dãy phép thử độc lập (Dãy phép thử Berno• Mở rộngứ ng dụng của công thứ c Bernoulli:

o Ứ ng dụng công thức Bernoulli trênđây ta tínhđượ c xác suất xtrong n lần thử, Pn(k)

o Trong nhiều tr ườ ng hợ p ngoài xác suất Pn(k) ta còn phải tính xtrong n phép thử độc lậ p, sựkiện A xuất hiện một số bất k ỳ gồm

(0 ≤ k 1 ≤ k ≤ k 2 ≤ n)o Ký hiệu xác suất này là Pn(k 1,k 2) ta sẽxácđịnh công thức tính o Gọi Bk là sựkiện trong n lần thửA xuất hiện k lầno Gọi H là sựkiện trong n lần thửA xuất hiện trong khoảng k 1 đo Ta có

o Vì các Bk là xung khắc nên:∑=

=2

1

k

k k k B H

∑∑==

===22

1

)()(),( 21

k

kk

k

k k k B P H P k k P

ww




2.8 Dãy phép thử độc lập (Dãy phép thử Berno• Mở rộngứ ng dụng của công thứ c Bernoulli:

o Ví dụ: Bắn 5 phát súng vào một mục tiêu, xác suất trúngđích c bằng 0,2.Để phá huỷmục tiêu phải cần từ3 phát tr ở lên trúngsuất đểmục tiêu bị phá hủy.

o Giải: Sựkiện A: bắn trúng mục tiêu, P(A)=p=0.2o Sựkiện H, mục tiêu bị phá hủy, chính là sựkiện có hoặc 3, hoặ

phát bắn trúng mục tiêu, tức là hoặc B3 hoặc B4 hoặc B5 xảy rao H = B3 + B4 + B5

o Dođó∑∑

=

−

=

−===5

35

5

3)1()()5,3()(

k

k nk k

k k p pC B P P H P

8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()( 555

1445

2335 ++= C C C H P

ww




2.9 Cácđịnh lý giớ i hạn• Định lý giớ i hạn địa phươ ng Moivres–Laplace• N ếu trong mỗi phép thửBernoulli sựkiện A xuất hiện v

p (0<p<1) thì khi n→∞ ta có

2

1)(

⎢

⎢

⎣

⎡

−−

∞→ nn

e

npq

k P

π

lim

Ngh ĩ a là khi n đủlớ n ta có )(1)( 0 xnpq

k P n ϕ ≈

Vớ i

221

21

)(

x

e x

−=

π ϕ npq

npk

x

−=

0

ww




2.9 Cácđịnh lý giớ i hạn• Định lý giớ i hạn địa phươ ng Moivres–Laplace• Ví dụ: Thực hiện 400 phép thửBernoulli. Xác suất xuất

kiện A trong mỗi phép thử p=0.2. Tính xác suất đểA xulần

• Giải: Nhận thấy r ằng nếu sửdụng công thức Bernoullithểtínhđượ c bằng phươ ng pháp thông thườ ng.Ở đây ndo đó ta áp dụng định lý Moivres–Lapcae

)(8.02.0400

1)80( 0400 x P ϕ ××

≈

3989.021

)0()( 0 ≈== π ϕ ϕ x

400480

0

−=

−=

npqnpk

x

83989.0

8.02.04003989.0)80(400 =

××≈ P

ww




2.9 Cácđịnh lý giớ i hạn• Định lý giớ i hạn trung tâm• N ếu trong mỗi phép thửBernoulli sựkiện A xuất hiện v

p (0<p<1) thì khi n→∞ ta có

21),(

2

1

21 ⎢

⎢

⎣

⎡− ∫∞→

x

xn

nk k P

π lim

Ngh ĩ a là khi n đủlớ n ta có (21),( 2

1

21

2

1

2

dt ek k P x

x

t

n φ π

=≈ ∫ −

Trongđó ∫ −

= x

t dt e x

0

21 2

21)(π

φ

Vớ inpq

npk x

npqnpk

x−

=−

= 22

11 ,

là hàm Laplace

ww




2.9 Cácđịnh lý giớ i hạn• Định lý giớ i hạn trung tâm• Ví dụ: Xác suất bắn trúngđích của một xạthủlà p=0.7

suất đểvớ i 100 phát có 81 phát tr ở lên trúngđích.

)()()100,81(81,100 12100 x x P k n φ φ −≈⇒==Giải:

.075.01007.0100100,38.125.075.0100

75.01008121

×××−=≈××

×−= x x

5.0)77.5(,4162.0)38.1( ≈≈ φ φ

.04162.05.0)38.1()77.5()100,81(100 =−=−≈⇒ φ φ P

ww




2.9 Cácđịnh lý giớ i hạn• Định lý Poisson• N ếu trong mỗi phép thửBernoulli sựkiện A xuất hiện v

p (0<p<1) thì khi n→∞ mà p→0 sao cho np=λ=const t

!)(

k

ek P

k

nn

λ λ −

∞→=lim

• Chứng minh: Từcông thức Bernoulli knn C k P =)(

n pnp

λ λ =⇒=

k

k

k

n

nk

nnk

nk n

nn

nn

nn

k

nk k nnn

k P

⎢⎣

⎡

⎜⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

⎜⎝ ⎛ −−−−

=

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−−=⇒

λ

λ

λ

11...21111!

1)1(

...21

!

1!

)1)...(1()(

ww




2.9 Cácđịnh lý giớ i hạn• Định lý Poisson

• Lấy giớ i hạn khi n→∞

k

n nk

nnk k P

⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −= λ 11...21111

!)(

!!1

111...21111!

)(

! k e

ek n

k

nnk

nnk k P

k k k n

n

n

k

nn

k

λ λ λ λ λ

λ λ

λ −−

−

∞→

∞→∞→

==⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

⎜⎝ ⎛ −⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

= lim

limlim

)(!

)( k P k e

k P k

n ≡≈

−λ λ Tham số đượ c gtrung bình sốlần xu

ww




2.9 Cácđịnh lý giớ i hạn• Định lý Poisson• Ví dụ: Sau khi kiểm tra cuốn sách 1000 trang ngườ i ta p

đượ c 20 lỗi chính tả. Tính xác suất sao cho khi giở một sẽ phát hiện đượ c

o Cóđúng 2 lỗi chính tảo Có không ít hơ n hai lỗi chính tả

000.02

0004.09802.0!2

02.0)()2(202.0

=×====−e

k P k P

• Giải: Sốlỗi trung bình trên một trang sách là:100020 ==λ

000197.002.09802.09802.01

02.01!1

02.0!0

02.01)1()0(1))1()0((1)2(

02.002.0102.0002.0

≈×−−=

=−−=−−==−−==+=−=≥

−−−−

eeee

P P k P k P k P

ww




HẾT CHƯƠNG 2

Which onewould you like?

ww



10:10:1410:10:14




ww



Chươ ngChươ ng 3.3. ĐẠI LƯỢ NG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM

3.1 Khái niệm về đại lượ ng ngẫu nhiên• K ết quảngẫu nhiên của phép thử có thể đặc tính bở i sựkiện ngẫu nhiên

o Mô tả bằng lờ i: A={Đồng tiền nhận mặt sấ p }• Để đặc tr ưng định lượ ng cho k ết quả ngẫu

phép thử ngườ i ta dùng khái niệm đại lượ ng ng• Cácđịnh ngh ĩ a:

o Một đại lượ ng nhận các giá tr ị của nó vớ i xác suấnàođó gọi làđại lượ ng ngẫu nhiên

o Đại lượ ng ngẫu nhiên làđại lượ ng mà khi tiến hà phép thử trong cùng một điều kiện như nhau cónhận đượ c giá tr ị này hoặc giá tr ị khác hoàn toàtr ướ c đượ c

ww




3.1 Khái niệm về đại lượ ng ngẫu nhiên• Phân loại:Căn cứvào tậ p giá tr ị có thểcủa đại lượ ng ngẫu nh

phân biệt hai loại đại lượ ng ngẫu nhiêno Đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc: Tậ p hợ p các giá tr ị c

nólàhữu hạn hoặc vô hạn đếm đượ c• Ví dụ: Gọi X làđại lượ ng ngẫu nhiên chỉ số điểm nhận

một con xúc xắc. Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2,…o Đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục: Tậ p hợ p các giá t

nó lấ p đầy một khoảng nàođấy của tr ục sốhoặc cảnólà tậ p hợ p vô hạn và khôngđếm đượ c

• Ví dụ: Gọi Y là đại lượ ng ngẫu nhiên chỉ nhiệt độkhôđượ c ở Hà Nội. Vậy Y={y, y∈[-10; 50]}

ww




3.2Đại lượ ng ngẫu nhiên rờ i rạc• Xét đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc X mà các giá tr ị có

tậ p {x1, x2,…, xn,…} vớ i P(X=xi) = pi, i=1,2,…o Đểmô tả biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc X ta sửdụng bảng phân bốx

o Trongđó Σ pi = 1, pi ≥0∀i=1,2,…• Ví dụ 1: Gieođồng thờ i hai đồng tiền giống hệt nhau.

ngẫu nhiên chỉ sốlần xuất hiện mặt sấ p. Hãy lậ p bảng pho Giải: Sốlần xuất hiện mặt sấ p chỉ có thểlà 0, 1 hoặc 2, dođó Xo Gọi Ai là đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấ p (i=1,2), P(Ai)=0.5o Sựkiện X=0: X=1: hoặc Sựkiện X=2:o Vì các Ai độc lậ p nhau: P(X=0)=0.5x0.5, P(X=1)=2x(0.5x

……

pn

xn

... pi... p2 p1P

...xi...x2x1X

21 A A 21 A A 21 A A

0.250.50.25P210X

ww




3.2Đại lượ ng ngẫu nhiên rờ i rạc• Ví dụ3: Tiến hành n phép thử độc lậ p, xác suất xuất hiở mỗi phép thử khôngđổi bằng p. Gọi X là biến ngẫulần xuất hiện sựkiện A trong n phép thử. Hãy lậ p bảngsuất của X.

o Giải: Ta có X={ 0, 1, 2, 3,…, n }o

Xác suấ

t củ

a sự

kiệ

n X=k (0≤ k ≤ n)đượ

c tính theo công thứ

co Từ đó

…… k

……

P10X

nk p pC k Pk X P p k nk k nnk ,...,1,0,)1()()( =−==== −

000 −nn q pC 111 −n

n q pC nn pC

(q = 1-p)

Để ý đến hệthứcnhị thức Newton

k nk k n q pC −

∑=

−=+n

k

k nk k n

n baC ba0

)(ta cóđẳng thức

(00

==∑∑=

−

=

n

k

k nk k n

n

k k pq pC p

ww




3.3Đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục• Xétđại lượ ng ngẫu nhiên X mà các giá tr ị có thểcủa nó

khoảng hoặc cảtr ục số. Khiđó X làđại lượ ng ngẫu nhio Đểmô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta sửdụng khái niệm h

hàm mật độxác suất)o Hàm f(x)đượ c gọi là hàm mật độxác suất của biến ngẫu nhiê

nó thỏa mãn haiđiều kiện sau:

o Khiđó, xác suất đểX nhận giá tr ị trong khoảng (a,b)đượ c xác

∫∞+

∞−

=

∞+−∞∈∀≥

1)()2

),(,0)()1

dx x f

x x f

∫=<<

b

adx x f b X aP )()(

ww




3.3Đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục• Ví dụ: Hàm mật độxác suất của biến ngẫu nhiên X có

Hãy xácđịnh giá tr ị của c.

o Giải: Theođịnh ngh ĩ a,

o Ta có:

o Vậy,

⎩⎨⎧

><≤≤=

ba, x khi x

b xakhic x f

0)(

1)( =∫+∞

∞−dx x f

∫ ∫ ∫+∞

∞−

=−===b

a

b

a

abccdxdx x f dx x f 1)()()(

abc

−= 1

ww




3.4 Hàm phân bố• Định ngh ĩ a: Hàm phân bốcủa biến ngẫu nhiên X là h

đượ c xácđịnh bở i F(x) = P(X < x)o Nếu X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc, hàm phân bốF(x) có dạng

o Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) có thể đượ c xem như gieo một điểm ngẫu nhiên thìđiểm này r ơ i vào nửa bên trái t(hình vẽ)

∑ ∑< <

=== x x x x

ii

i i

p x X P xF )()(

x

ww




3.4 Hàm phân bố• Các tính chất của hàm phân bố

1) Hàm phân bốxácđịnh vớ i∀x∈(-∞, +∞)2) 0≤ F(x)≤ 1; F(-∞) = 0; F(+∞) = 13) Hàm phân bốlà một hàm không giảm: Nếu x1<x2 thì F(x1) ≤ F4) P(a≤ X < b) = F(b) – F(a)

• Chứng minh:o Các tính chất 1) và 2) suy ra từ định ngh ĩ a: F(x)=P(X<x)

F(-∞) = P(X< -∞)∼P(V)=0; F(+∞) = P(X< +∞)∼P(U)=1o Tính chất 3): Nếu x1<x2 {X<x2}={X<x1}+{x1≤X<x2}: T

xung khắcP(X<x2)=P(X<x1)+P(x1≤X<x2) (*)

Hay F(x2) = F(x1) + P(x1≤X<x2) F(x1) ≤ F(x2)o Tính chất 4): Thay vai trò của x1 và x2 trong (*) bở i a và b tađ

P(a≤ X < b) = F(b) – F(a)

ww




3.4 Hàm phân bố• Ví dụ1. Tiến hành bắn 3 phát súngđộc lậ p vào bia; x

đích của mỗi phát bằng 0.4. Lậ p hàm phân bốcủa số l bia.o Giải: Gọi X làđại lượ ng ngẫu nhiên chỉ số lần bắn trúng b

các giá tr ị: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3. Khiđó:o p1 = P(X=x1)=P(X=0) = C30(0.4)0(1-0.4)3= 0.216o p2 = P(X=x2)=P(X=1) = C31(0.4)1(1-0.4)2= 0.432o p3 = P(X=x3)=P(X=2) = C32(0.4)2(1-0.4)1= 0.288o p4 = P(X=x4)=P(X=3) = C33(0.4)3(1-0.4)0= 0.064

0.2160

0PX

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=+++++

+=

1064.0288.0432.0216.0288.0432.0216.0

432.0216.0216.0

0

)( xF ∑<=

x x ii

p xF )(

ww




3.4 Hàm phân bố• Đồthị hàm phân bố

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++++

+=

1064.0288.0432.0216.0288.0432.0216.0

432.0216.0216.0

0

)( xF

ww




3.4 Hàm phân bố• Ví dụ2. Hàm phân bốcủa biến ngẫu nhiên Xđượ c ch

a) Giảthiết F(x) liên tục, tìm hệsốa và vẽ đồthị của F

b) Tính xác suất P(1<X<2)o Giải: a) Theo giảthiết F(x) liên tục, nên khi x = 3 ta có a

a=1/4.Đồthì của F(x) làđườ ng parabol F(x)=0,25(x-1)2 trên o b) Theo giảthiết P(X=1)=0 nên P(1<X< 2) = P(1≤X<2) = F(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<−

≤=

3131)1(

10)( 2

xkhi

xkhi xa

xkhi

xF

⎪⎩

⎪⎨⎧

>≤<− ≤=

3131)1(25.0

10)( 2

xkhi

xkhi x xkhi

xF

ww




3.4 Liên hệgiữ a hàm phân bốvà mật độxác suất• Đối vớ i biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc

o Các pi lậ p thành bảng phân bốxác suất• Đối vớ i biến ngẫu nhiên liên tục

o P(x≤X<x+Δx) = F(x+Δx)-F(x)o Lậ p tỷsố

o Nếu hàm F(x) khảvi, lấy giớ i hạn đẳng thức trên khiΔx→0

o Giớ i hạn này, nếu tồn tại, đượ c gọi là hàm mật độxác suất

∑=i

i p xF )(

)()( x X P xF <=

x xF x xF

x x x X xP

Δ−Δ+=

ΔΔ+<< )()()( Đượ c gọi là xác

bình đểX nhậnđơ n vị độdài củ

)()()(lim)(lim00

xF x

xF x xF x

x x X xP x x

′=Δ

−Δ+=Δ

Δ+<<→Δ→Δ

dx xdF

x f )()( = ∫

∞−=

x

dx x f xF )()( f

ww




3.4 Liên hệgiữ a hàm phân bốvà mật độxác suất• Tính chất:

1) f(x)≥ 0 (theođịnh ngh ĩ a)

2) (theođịnh ngh ĩ a)

3)

Chứng minh:

1)( =∫+∞

∞−dx x f

∫=<≤b

a

dx x f b X aP )()(

∫ ∫∞−∞−

−=−=<≤a b

x f dx x f aF bF b X aP ()()()()(

ww




3.4 Liên hệgiữ a hàm phân bốvà mật độxác suất• Ví dụ: Hàm mật độxác suất của biến ngẫu nhiên X có

Hãy xácđịnh f(x), F(x) và vẽ đồthị của f(x), F(x)

o Giải: Từví dụmục tr ướ c

o Dođó:

⎩⎨⎧

><≤≤=

ba, x khi x

b xakhic x f

0)(

∫ ∫ ∫+∞

∞− =−===

b

a

b

aabccdxdx x f dx x f )()()(

∫∞−

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤−−

<==

x

b xkhi

b xakhiaba x

a xkhi

dx x f xF

1

0)()(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

><

≤≤−=

ba, x khi x

b xakhiab x f

0

1)(

ww




3.4 Liên hệgiữ a hàm phân bốvà mật độxác suất• Đồthị hàm mật độvà hàm phân bố

∫∞−

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−==

x

k

kaba x

k

dx x f xF

1

0

)()(⎪⎩

⎪⎨

⎧

><

≤≤−=

ba, x khi x

b xakhiab x f

0

1)(

Biế n ngẫu nhiên X trên được gọi là có phân b ố

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Phân bốnhị thức:

o Tiến hành n phép thửBernoulli, xác suất xuất hiện sựkiện A thử khôngđổi bằng P(A)=p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ sốtrong n phép thử. Phân bốcủa Xđượ c gọi là phân bốnhị thức

• Phân bốPoissono Trong phân bốnhị thức, nếu giảthiết r ằng, xác suất xuất hiện

thuộc vào số lần thử n sao cho khin→∞mà P(A)= p→0 và n phân bốnhị thức sẽtiệm cận đến phân bốPoisson:

nk p pC k X Pk P k nk k nn ,...,1,0,)1()()( =−=== −

...2,1,0,!

)()( ====−

k k

ek X Pk P

k λ λ

Nhận thấ y: λ>0

Tham số λ được gọi là trung bình s ố l ầ n xu ấ t hi ệ n

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Đồthị của hân bốnhị thức và phân bốPoisson:

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Phân bốchuNn:

o Biến ngẫu nhiên Xđượ c gọi là có phân bố chuNn nếu hàm của nó có dạng

o Trongđó (-∞<x<+∞), μ và σ là các tham sốcủa phân bốo Ký hiệu X∈N(μ ,σ )o Đồthị hàm mật độlà một đườ ng congđối xứng qua tr ục x=μ

bằng

o Tr ườ ng hợ p riêng, X∈N(0,1), khiđó hàm mật có dạng

o và biến Xđượ c gọi là cóphân bốchuẩn chuẩn hóa

2

21

21)(

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

= σ μ

π σ

x

e x f

π σ 21

max = f

)( x =ϕ

ww



Chươ ngChươ ng 3.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM

3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tếo Đồthị

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Phân bốchuNn:

o Hàm phân bốcủa biến ngẫu nhiên X có phân bốchuNn đượ c x

o Vớ i phân bốchuNn chu

Nn hóa ta có:

∫∞−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

= x x

dxe xF

2

21

21)( σ

μ

π σ

∫∞−

= x

e x21)(π

φ

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Phân bốmũ:

o Biến ngẫu nhiên Xđượ c gọi là có phân bốmũ nếu hàm mậtnócódạng

o Và hàm phân bốcó dạng

)0(000

)( >⎩⎨⎧

>≤

= − λ λ λ xkhie

xkhi x f

x

⎩⎨⎧

>−≤

= − 0100

)( xkhie

xkhi xF

xλ λ

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Phân bố χ2 (Khi bình phươ ng)

o N ếu Xi∈N(0,1), i=1..n, khiđó biến ngẫu nhiênđượ c gọi là có phân bố χ2

o Hàm mật độvà hàm phân bốxác suất của phân bố χ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Γ

≤= −

−

0

22

00)( 2

2

12

xkhien

x

xkhi

x f x

n

n

Tham sốn đượ c gọi làsố bậc tựdo

n2( χ

∫ −−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Γ

= x t n

n dt et n

xF 0

212

2

22

1)(

∫+

=Γ0

)( x

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Γ

=Γ+Γ

21

1)1()1( x

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Đồthị hàm mật độcủa phân bố χ2

Phụ thuộc vào sốbậc tự do n

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Phân bốStudent (phân bốt):

o N ếu

o thì biến ngẫu nhiên

đượ c gọi là có phân bốStudent hay phân bốt o Hàm mật độcủa phân bốt có dạng

21

2

1

2

21

)(+−

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ +⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Γ

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +Γ

=n

n

x

nn

n

x f π

Hàm mật độlà một hàm chẵn

Tham sốn đlà số bậc tự

n

n X N X

)(),1,0( 21 χ ∈∈

2

1

X X

X =

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tếo Đồthị hàm mật độcủa phân bốt

- Đối xứng qua tr ục tung

- Phụthuộc vào tham sốn

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Phân bốF (Fisher)

o N ếu

o thì biến ngẫu nhiên

o đượ c gọi là có phân bốF (hay phân bốFisher)o Hàm mật độxác suất của nó có dạng

Các thamn 1 , n 2 đưlà các bậc

),,()(

)()2()2(

)2

()(

21,

221

12

21

212221

21

21

121

nn x f x f

n xn

x

nn

nnnn

x f

nn

nn

nnn

≡≡+

+=

+

−

Γ Γ

Γ

2

22

21

12

1)(,)(

nn

X n

n X

χ χ ∈∈

222

112

2

1

/)(

/)(

nn

nn

X

X X

χ

χ ==

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế• Đồthị hàm mật độcủa phân bốF (Fisher)

Phụthuộc vào hai tham sốn 1 , n 2

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế M ột số khả n ăng ứ ng d ụng các phân b ố lý thuy ế t • Đã xét các phân bố:

o Phân bốnhị thứco Phân bốPoisson

o Phân bốchuNno Phân bốchuNn chuNn hóao Phân bốmũo Phân bố χ2 (Khi bình phươ ng)o Phân bốStudent (t )o Phân bốF (Fisher)

Dùng để xấ p xphân b ố thự c n

Dùng làm phâmẫu trong cáckiể m nghiệm thố ng kê

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tế S ử d ụng EXCEL để xác đị nh các phân b ố

o Phân bốnhị thức: BINOMDIST(k, n, p, Cumulao Phân bốPoisson:POISSON(k, Lamda, Cumulato Phân bốchuNn: NORMDIST(x,μ , σ , Cumulativeo Phân bốchuNn chuNn hóa:NORMDIST(x, 0, 1, Co Phân bốmũ: EXPONDIST(x, Lamda, Cumulatio Phân bố χ2 (Khi bình phươ ng):CHIDIST(x, n)o Phân bốStudent (t ): TDIST(x, n, Tails) (Tails=1 o Phân bốF (Fisher):FDIST(x, n1, n2)

Đối vớ i các phân bố χ 2, t và F, đểnhận đượ c đồthị pcần xử lý thêm

ww




3.5 Một sốphân bố thườ ng dùng trong thự c tếGhi chú :o Đối vớ i các hàm trênđây, tham số Cumulative

TRUEhoặc FALSE• Khi Cumulative=TRUE, k ết quảtr ảvềlà hàm phân bố• Khi Cumulative=FALSE, k ết quảtr ảvềlà hàm mật độ

o Các hàmCHIDIST(x, n)và FDIST(x, n1, n2) đềquảlà xác suất P(X≥x) = 1–F(x)

o HàmTDIST(x, n, Tails)có tham sốTails=1 hoặc

• N ếu Tails=2, k ết quảtr ảvềlà xác suất P(|X|>x)• N ếu Tails=1, k ết quảtr ảvềlà xác suất P(X>x),• Vì hàm mật độ đối xứng qua tr ục tung suy ra

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên• Tại sao lại phải xét cácđặc trư ng số?• Mô tả biến ngẫu nhiênđầy đủnhất là các hàm phân

mật độo Biểu thị đượ c dángđiệuo Mức độtậ p trung, mức độ phân tán,…o Tính xác suất các sựkiệno …

• Nhiều tr ườ ng hợ p trong thực tếviệc xácđịnh các hàmvà hầu như không thể

• Thay cho các hàm này ta sẽxét một số đặc điểm quan

thông qua những đặc tr ưng số• Các đặc trư ng sốcó thể đượ c sử dụng đểmô tảnhữquát nhất của biến ngẫu nhiên

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên1. K ỳ vọng toán học• Định ngh ĩ a: K ỳ vọng toán học của đại lượ ng ngẫu nh

số có cùng thứnguyên vớ i X, đượ c ký hiệu bở i mx vđịnh bở i mx = M[X], trongđó M là ký hiệu toán tử lấy

• N ếu X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc

vớ i pi = P(X=xi)• N ếu X là biến ngẫu nhiên liên tục

vớ i f(x) là hàm mật độxác suất của X

∑==i

ii x p x X M m ][

∫+∞

∞−== dx x xf X M m x )(][

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên1. K ỳ vọng toán học• Ví dụ: Đại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc X có phân bốxá

cho như trong bảng dướ i đây. Hãy xácđịnh k ỳ vọng c

12.0

22.01

][3

+=⇒

×+×=

== ∑=

x

i x

m

X M m

0.30.50.2p

521X

Giải:

0 1 2 3 4 5

K ỳ vọng nh ư là Tr ọng tâm c ủa h ệww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên1. K ỳ vọng toán học• Ví dụ: Cho X làđại lượ ng có phân bố đều trênđoạn

xácđịnh k ỳ vọng của X

b

a

b

a x

b xdx

abdx

ab xdx x xf X M m

11)(][ =−

=−

=== ∫∫∫+∞

∞−

Giải:ab

x f −

= 1)(

2)(211 2 ba

ababm x

+=−−=

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên1. K ỳ vọng toán học• Các tính chất của k ỳ vọng

1) N ếu X=C là một hằng sốthì M[X]=M[C] = C2) N ếu C=Const thì M[CX] = CM[X]3) M[X ±Y] = M[X]± M[Y]4) N ếu X và Yđộc lậ p vớ i nhau thì M[XY] = M[X]5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)], trongđó

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

∫

∑∞+

∞− linnhiªngÉubiÕnlµXNÕu

rênnhiªngÉubiÕnlµXNÕu

dx x f xg

p xg

Y M i

ii

)()(

)(

][

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên1. K ỳ vọng toán học• Chứng minh:

1) N ếu X=C là một hằng sốthì M[X]=M[C] = CVì C=Const nên P(X=C)=1 M[X]=1.C=C

2) N ếu C=Const thì M[CX] = CM[X]

)()(][ dx x xf C dx xCxf CX M === ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

][][ X CM p xC pCxCX M i

iii

ii === ∑∑X – rời rạc

X – liên tục

ww





3) M[X ±Y] = M[X]± M[Y] M[X + Y] = M[X] Để đơ n giản, ta xét X, Y là r ờ i r ạc có phân bố tươ ngứ

pi = P(X=xi), q j = P(Y=y j)Đặt Z=X+Y zij = xi+y jPhân bốcủa Z: r ij = P(Z=zij) = P(X=xi, Y=y j)

∑ ∑∑∑∑∑ +=+==i i j

ijiiji j

ji j

ijij r xr y xr z Z M )(][

][ M q y p xr yr x Z M i j j

j ji

iii

ij j j

iji =+=+=∑ ∑ ∑∑∑∑

ww





5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)]o N ếu X là r ờ i r ạc: pi = P(X=xi) P(Y=yi)=P(Y=g

o N ếu X là liên tục có mật độf(x):F(y)=P(Y<y)=P(g(X)<g(x))=P(X<x)=F(x)f(y)

∫+∞

∞−= dx x f xgY M )()(][

∑= iii p xgY M )(][

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên1. K ỳ vọng toán học• Các tính chất của k ỳ vọng:Phát biểu tóm tắt

1) N ếu X=C là một hằng sốthì M[X]=M[C] = CK ỳ vọng của một hằng sốbằng chính hằng số đó

2) N ếu C=Const thì M[CX] = CM[X]K ỳ vọng của tích hằng sốvớ i ĐL ngẫu nhiên bằhằng số đó v à k ỳ vọng của ĐL ngẫu nhiên

3) M[X ±Y] = M[X]± M[Y]K ỳ vọng của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các k ỳ

4) N ếu X và Yđộc lậ p vớ i nhau thì M[XY] = M[X]

K ỳ vọng của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằk ỳ vọng của chúng5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)]

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên2. Trung vị (Median)• Định ngh ĩ a: Trung vị của đại lượ ng ngẫu nhiên X

cùng thứnguyên vớ i X, ký hiệu là Mex và đượ c xácđ

• Nhận thấy

• Dođó• Nói cách khác: Trung vị của đại lượ ng ngẫu nhiên

nghiệm của phươ ng trình

)()( x x Me X P Me X P ≥=<

)()()( ∞=≥+< F Me X P Me X P x x

5.0)( = x MeF

5.0)( = xF Như vậy, Trung v ị là điểm phân đôi kh ối lư

xác su ất c ủa X thành hai ph ần b ằng nhau

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên3. Mốt (Mode)

Phân bốkhông có mode Phân bốcó một mode

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên4. Phươ ng sai• Định ngh ĩ a: Phươ ng sai của đại lượ ng ngẫu nhiên

không âmđượ c ký hiệu bở i Dx và đượ c xácđịnh bở iDx= M[(X-mx)2], trongđó M là ký hiệu toán tửlấy k ỳ

• N ếu X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc

vớ i pi = P(X=xi)• N ếu X là biến ngẫu nhiên liên tục

vớ i f(x) là hàm mật độxác suất của X

∑ −=−=i

i xi x x pm xm X M D 22 )(])[(

∫+∞

∞− −=−= d x f m xm X M D x x x )()(])[(22

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên4. Phươ ng sai• Từ biểu thức định ngh ĩ a: Dx= M[(X-mx)2]

mx là tâm phân bố(tr ọng tâm)(X-mx) là độlệch của các giá tr ị của X khỏi tâm ph

thểâm, có thể dươ ng(X-mx)2 là bình phươ ng cácđộlệch nàyDx=M[(X-mx)2] là trung bình các bình phươ ng độlệchtâm phân bố

• Từ đó suy ra ý ngh ĩ a của phươ ng sai:

• Phươ ng sai của đại lươ ng ngẫu nhiên là một số khtr ưng cho mức độ phân tán của các giá tr ị của đại nhiên xung quanh k ỳ vọng của nó (thướ c đo độ phân

• Dx càng lớ n sự phân tán càng lớ n, và ngượ c lạiww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên4. Phươ ng sai• Các tính chất

1) N ếu X=C=Const thì D[X]=D[C]=02) N ếu C=Const thì D[CX] = C2.D[X]

3)N ếu X và Yđộc lậ p vớ i nhau thì D[X±Y]=D[X]+D• Phát biểu

1) Phươ ng sai của hằng số bằng 02) Phươ ng sai của tích một hằng sốvớ i một đại lượ ng

bằng phươ ng sai của đại lượ ng ngẫu nhiên và bìn

hằng số3) Phươ ng sai của tổng (hiệu) haiđại lượ ng ngẫu n bằng tổng các phươ ng sai của chúng

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên4. Phươ ng sai• Chứng minh:

1) N ếu X=C=Const thì D[X]=D[C]=M[(C-M[C])2]=M2) N ếu C=Const thì

D[CX] = M[(CX-M[CX])2

] =M[(CX-CM[X])2

]==M[C2(X-M[X])2]=C2M[(X-M[X])2]= C2D[X]3) N ếu X và Yđộc lậ p vớ i nhau thì

D[X±Y]=M[(X±Y-M[X±Y])2 = M[{(X-M[X]±(Y=M[(X-M[X])2 + (Y-M[Y])2 ± 2(X-M[X])(Y-M[Y= M[(X-M[X])2] + M[(Y-M[Y])2] ±2M[(X-M[X

D[X±Y] = D[X] + D[Y]

=0 do X và Y=D[X] =D[Y]

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên4. Phươ ng sai• Từ định ngh ĩ a: Dx= D[X] = M[(X-mx)2]• Nhận thấy:

o mx = M[X] có thứnguyên cùng thứnguyên vớ i X

o Dx = D[X] có thứnguyên bằng bình phươ ng thứngo Đểcó thểso sánh giữa tậ p các giá tr ị của X, mx phân tán của X, thay cho Dx ngườ i ta dùng căn bậgọi làđộlệch chuNn và ký hiệu bằng σx

][ X D D x x ==σ

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên4. Phươ ng sai• Ví dụ1

o Biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc X có phân bố đượ c chosau. Hãy tính k ỳ vọng, phươ ng sai vàđộlệch chuN

o Giải:o mx = 1x0.3 + 2x0.5 + 3x0.2 = 2.3

( )

42.101.201.2

5.0)3.22(3.0)3.21( 223

1

2

≈===

+×−+×−=−=∑=

x x

x

i

i

xi x

D

D

pm x D

σ

0.20.50.3p321X

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên4. Phươ ng sai• Ví dụ2

o Cho biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc X tuân theo luật phân

vớ i X = {0, 1, 2, ..., k, ...,n}, q=1− p. Hãy tính k ỳ v phươ ng sai vàđộlệch chuNn của Xo Giải: Ta có

k nk k nn q pC k p −=)(

∑∑=

−

====

n

k

k nk k n

n

k n x q pkC k kp X M m

00)(][

( ) 2222 ][][][ x x m X M X M X M D −=−=

∑∑=

−

===

n

k

k nk k n

n

k n q pC k k pk X M

0

2

0

22 )(][

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên

???0

==∑=

−n

k

k nk k n x q pkC m

∑=

−=+n

k

k nk k n

n q pC q p0

)( Đạo hàmtheo p ∑

=

− =+n

k n

n kC q pn0

1)(

Nhân hai vếvớ i p (chú ý p+q=1)n

k

nk k n

n q pkC q p pn =+ ∑=

−

0

1)(

Đạo hàmtheo p ∑

=

−−− −=+−n

k

k nk k n

n q pC k k q pnn0

22 )1())(1(

Nhân hai vếvớ i p2 ∑=

−− −=+−n

k

nk k n

n q pC k k q pnn p0

22 )1())(1(

ww





???0

==∑=

−n

k

k nk k n x q pkC m npm x =

00

222 ))(1( q pkC q pC k q pnn pn

k

k nk k n

n

k

k nk k n

n −=+− ∑∑=

−

=

−−

∑=

−=n

k

k nk k n q pC k X M

0

22][ nn X M −=⇒2 )1(][

222 )1(][ nnp pnnm X M D x x −+−=−=⇒

pnp pnnpnp pn D x =−=−+−= )1(22222

npqnpq D x x == σ

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên5. Phân vị• Định ngh ĩ a: Phân vị cấ p p của đại lượ ng ngẫu nhiên X

có cùng thứnguyên vớ i X, ký hiệu là x p, vàđượ c xácF(x p) = p, trongđó F(x) là hàm phân bốcủa X

• N ếu p=0.5: F(x0.5

) = 0.5 x0.5

= Mex

= Trung vị

x0.25x0.5x0.75

Khi p=0.25: x 0.25

Khi p=0.5: x 0.5

Khi p=0.75: x 0.75

Các phân v ị này chiagiá tr ị của X thành 4có cùng xác su ấ t 0.2

Chúng được gọi là t

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên5. Phân vị• Ví dụ: Biến ngẫu nhiên X phân bố đều có hàm mật

phân bố đượ c cho bở i:

Hãy xácđịnh các tứvị của X.• Giải: Ta có• x0.25: F(x0.25)=(x0.25-a)/(b-a)=0.25 x0.25=a+(b-a)/4

• x0.5: F(x0.5)=(x0.5-a)/(b-a)=0.5 x0.5=a+(b-a)/2• x0.75: F(x0.75)=(x0.75-a)/(b-a)=0.75 x0.75=a+3(b-a)/4

∫∞−⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−== x

k

kab

a x

k

dx x f xF

1

0

)()(⎪⎩

⎪

⎨

⎧

><

≤≤−=

ba, x khi x

b xakhiab x f

0

1)(

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên5. Phân vị

• Vớ i a=1, b=5:• x0.25=1+(5-1)/4=2

• x0.5=1+2(5-1)/4=3• x0.75=1+3(5-1)/4=4

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên6. Mômen• Định ngh ĩ a 1:Mômen gốc bậc k của đại lượ ng ngẫu n

một sốký hiệu là mk , vàđượ c xácđịnh bở i mk =M[Xk ]• Từ đó

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==∫∑

∞+

∞−liªlµ X nÕu

rêlµ X nÕu

dx x f x

p x

X M mk

iik i

k k

)(][

N ếu k=1: m1 = M[X] = mx K ỳ vọng là mômen gốc bN ếu k=2: m2 = M[X2] Thườ ng dùng trong tính toáVí dụ: Dx = D[X] = M[X2] – (M[X])2 = m2 – m1

2 = m2 –

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên6. Mômen• Định ngh ĩ a 2:Mômen trung tâm bậc k của đại lượ ng

X là một sốký hiệu μk , vàđượ c xácđịnh bở i μk =M[(Từ đó

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

=−=∫

∑∞+

∞−nÕ

nÕ

dx x f m x

pm x

X M X M k

x

i

ik

xi

k k

)()(

)(

]])[[(μ

])[(:4])[(:3])[(:2

0)][(:1

44

33

222

1

x

x

x x x

x x x

m X M k

m X M k Dm X M k

mmm X M k

−==−== ==−==

=−=−==

μ

μ σ μ

μ

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên6. Mômen• Liên hệgiữa mômen gốc và mômen trung tâm• Sửdụng nhị thức Newton

⎢⎣

⎡ −=−= ∑=

−k

i

i

x

ik i

k

ik

xk m X C M m X M

0)1(])[(μ

[ ]∑=

−−=k

i

ik iik

i X M mC 0

1)1( ∑=

−=k

i

iik

i mmC 0

1)1(

∑= −−=k

iik

iik

ik mmC

01)1(μ

Ví dụ: Với k=2 ta có μ2 = m2 - 2(m1)2 + (m1)2 = m2 -ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên6. Mômen• Nhận thấy: Khi r=2k-1, k=1,2,…

• N ếu X có phân bố đối xứ ng đối vớ i k ỳ vọng thì mtrung tâm bậc lẻ đều bằng không (vì tích phân của hàmkhoảng đối xứng).

• Dođó ngườ i ta sửdụng mômen trung tâm bậc ba để

cho mức độ bất đối xứng của phân bố

⎩⎨⎧

≠=−= ∫

+∞

∞− l¹ing − îcnÕu0lµm- f(x nÕu x )0

)()( dx x f m x r xr μ

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên6. Mômen

• Thứnguyên của μ3 bằng thứnguyên của X3 Kh

đượ c giữa các phân bốvớ i nhau• Thay choμ3 ngườ i ta dùngđại lượ ng vô thứnguyê

])[( 33 xm X M −=μ

( ) ( )32

3

33

33

)[(

])[(

x

x

x x m X M

m X M

D A

−−=== μ

σ μ Gọi là đ

xứ ng hbất độx

44

x

E σ μ =• Đại lượ ng gọi làđộnhọn, đặc tr ưng cho

“nhọn” hơ n hay “tù” hơ n phân

ww



Ý nghÝ ngh ĩ ĩ a ca củủa đa độộ bbấất đt đốối xi xứứngng

33 x

A σ μ =

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 2 4 6 8

A=0

A>0 A<0

ww



Ý nghÝ ngh ĩ ĩ a ca củủa đa độộ nhnhọọnn

344 −=

x

E σ μ

Nhọn h ơn “chu ẩn” hay tù h ơn “chu ẩn” !

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên• Ví dụ: Cho X∈N(μ,σ). Hãy xácđịnh k ỳ vọng, phươ n

Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|Giải:

∫∫∞+

∞−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−∞+

∞−

== dx xedx x xf m x

x

2

21

2

1)( σ μ

π σ

Đặ

dt dxt x σ σ μ =+=⇒ ,

∫+∞

∞−

−+= dt et m

t

x σ σ μ π σ

2

2

)(2

1∫+∞

∞−

−+= dt em

t

x2

2

21

21

μ π

=0 dμ π

π μ

π μ === ∫

+∞

∞−

−2

222

2

dt emt

x μ = xm

ww





221

222

2

21][ x

x

x x mdxe xm X M D −=−= ∫∞+

∞−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

σ μ

π σ =t Đặt

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

−++=+= t dt et X M

t

μσ μ π σ

σ σ μ π σ

22222

2(2

1)(2

1][

∫∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

−++= dt et dt tedt e

t t t 22

222

2 222

222

2 π σ

π μσ

π μ

=0 do t/p hàm lẻ

μ = xm

+= 2 σμ

)(22222222222

=+−=−=

+∞

∞−

−∞+

∞−

−∞+

∞−

−∞+

∞−

−∞+

∞−

−

∫∫∫∫t t t t t

tedt eted tdedt et

2222 σ μ σ μ =−+= x D=0

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên• Ý ngh ĩ a của hai tham số μ và σ của phân bốchuNn:• μ là k ỳ vọng của X,σ là độlệch chuNn của X

μ=1, σ =2

μ=2, σ =2

μ=1

μ=1

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên• Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|

∫∫ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

==<≤b

a

xb

a

dxedx x f b X aP

2

21

21)()( σ

μ

π σ σ μ −= x

t Đặt

σ μ

=−

=⇒=

b xa

t a x ,

⎜⎝ ⎛ −Φ===<≤ ∫∫

−

−

−

−

−

−

σ μ

π σ

π σ

σ μ

σ μ

σ μ

σ μ

bdt edt eb X aP

b

a

t

b

a

t 2221

21

21

21)(

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −Φ−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Φ=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−Φ−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+Φ=

=+<<−=<−

σ α

σ α

σ μ α μ

σ μ α μ

α μ α μ α μ )()( X P X P

ww




3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên• Tính các xác suất P(|X-μ|<σ), P(|X-μ|<2σ) và P(|X-μ|

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Φ=<−⇒

σ α

α μ 2)( X P

( ) 68.0122)( ≈Φ=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

Φ=<−⇒ σ

σ

σ μ X P

( ) 95.02222)2( ≈Φ=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Φ=<−⇒

σ σ

σ μ X P

( )9973.03232)3( ≈Φ=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Φ=<−⇒

σ

σ σ μ X P Qui

xicm

Nế u X có phân b ố chu ẩ n thì h ầu nh ư ch ắc ch ắn sẽ nh ận tr ị số trong kho ảng ( μ 3 σ ; μ+3 σ )

ww



• 3.6 Cácđặc trư ng sốcủa đại lượ ng ngẫu nhi


Nế u X có phân b ố chu ẩ n thì h ầu nh ư ch ắc ch ắn sẽ nh ận tr ị số trong kho ảng ( μ 3 σ ; μ+3 σ )

ww




3.7 Hàmđặc trư ng• Định ngh ĩ a: Hàm đặc tr ưng của biến ngẫu nhiên X

của biến ngẫu nhiên trongđó λ là một biến

• N ếu X là r ờ i r ạc:

X ieY λ =][][)( X ie M Y M g λ λ ==

∑=k

k xi peg k λ λ )( 2,1),( === k x X P p k k

• N ếu X là liên tụccó mật độf(x) ∫

+∞

∞−= dx x f eg xi )()( λ λ

Công thức nàyđượ c gọi là phép biến đổi Fourier hàm

ww




3.7 Hàmđặc trư ng• Các tính chất:1. N ếu g x(λ ) là hàmđặc tr ưng của đại lượ ng ngẫu nhiê

đặc tr ưng của đại lượ ng ngẫu nhiên Y=aX+b bằng)()( λ λ λ ageg x

ib y =

)(][][][][)(

)(

)(

λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

agee M e

ee M e M e M g

xbi X aibi

aX ibibaX iY i y

====== +

• Chứng minh: Ta có

ww




3.7 Hàmđặc trư ng• Các tính chất:2. Hàmđặc tr ưng của tổng cácđại lượ ng ngẫu nhiênđ

tích các hàmđặc tr ưng của từng hạng tử

• N ếu X 1 , X 2 , ..., X n là cácđại lượ ng ngẫu nhiênđộc lậ p cđặc tr ưng )(),...,(),(

21λ λ λ

n x x x ggg ∑=

=n

k

X 1

GiảsửKhiđó:

[ ] ∏∏∏===

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ∑= =n

k

n

k

X in

k

X i X i

xk k

n

k k

e M e M e M g11

)( 1λ λ λ λ

• Chứng minh:

ww




3.7 Hàmđặc trư ng• Các tính chất:3. Giá tr ị của hàmđặc tr ưng bằng đơ n vị khiλ =0

4. Hàmđặc tr ưng xácđịnh duy nhất hàm mật độ

∫+∞

∞−−= π

λ ge x f xi21)(

( ) 1)(0 == ∫+∞

∞−dx x f g

• Chứng minh: Ta có

• Ta có∫+∞

∞−= dx x f eg xi )()( λ λ

ww




3.7 Hàmđặc trư ng• Các ví dụ1) Tìm hàmđặc tr ưng của biến ngẫu nhiên X có phân

bở i

• Giải: Ta có

11

)1(][)( 10

+−=+−=

=+−=== ××∑ p pe pe p

pe pe pee M g

ii

ii

k k

xi X i k

λ λ

λ λ λ λ λ

p p11 – – p p p p1100XX

ww




3.7 Hàmđặc trư ng• Các ví dụ2) Cho các biến ngẫu nhiên Xk độc lậ p có phân bố:

Tìm hàmđặc tr ưng của biến ngẫu nhiên

,...2,1,1][)( =+−== k p pee M g i X ik

k λ λ λ

p p11 – – p p p p1100XXk k

∑==

n

k k X X

1

• Giải: Theo tính chất 2, hàmđặc tr ưng của tổng các biếnnhiênđộc lậ p bằng tích các hàmđặc tr ưng thành phần,

nik

k

p pegg )1()( +−==⇒ Π λ λ

ww




3.7 Hàmđặc trư ng• Các ví dụ3) Cho X là biến ngẫu nhiên có phân bốchuNn chuNn h

đặc tr ưng của X• Giải: Vì X∈N(0,1) nên

221

21)( x

e x f −

=π

[ ] ∫∫∫

∫∫∫∞+

∞−

−−∞+

∞−

−−−∞+

∞−

+−−

+∞

∞−

+∞

∞−

−−+∞

∞−

−

===

====⇒

dueedxeedxe

dxedxeee M g

ui xi x

xi x x xi X i

22

22

22

22

21

2)(

21

2)(

21

)(21

21

21

21

21

21

21

21][)(

λ λ

λ λ λ

λ λ λ

π π π

π π π λ

Trongđó: u=x–i λ , dx=du

π 22

21

=∫+∞

∞−

−due

uVì nên 2

2

221)(

λ

π π

λ −

= eg

ww




3.8 Liên hệgiữ a hàm đặc trư ng và các mômen• Từhệthức định ngh ĩ a hàmđặc tr ưng,

Lần lượ t lấy đạo hàm hai vếmột cách hình thức theoλ ][)( X ie M g λ λ =

Choλ=0 tađượ c])[()(

...])[()(

][)(

)(

2

X ik k

X i

X i

eiX M g

eiX M g

iXe M g

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

=′′=′

k iX M g

iX M g

iX M g

=

=′′==′

[()0(...

)[()0(][)0(

)(,...2,1,)0()(

== k i

gm k

k

k

Nhân hai vếcủa biểu thức g(λ ) vớ i r ồi lấy đạo hà

theoλ, sauđó đặt λ=0, tađượ c

xmie λ −

[ ] ,)(0

)( ==− ige k

k k mi x μ λ λ

λ

[ ] ,...2,1,)(10

)( ==⇒=

− k gei

k mik k

x

λ

λ λ μ

ww




3.8 Liên hệgiữ a hàm đặc trư ng và các mômen• Ví dụ: Giảsử đại lượ ng ngẫu nhiên X có phân bốchuNn

Ký hiệu

( )( )

∫∫∞+

∞−

−∞+

∞−

−−== edxeeg x

x x

x

m x

xi

x

2

2

22

21

21 σσ λ

σ π σ π λ

( )2

2

2

21)( x

xm x

x

e x f σ

σ π

−−=

2

2

2

2

2 2,

2,

21

x

x

x

x x

x

mC

mi B A

σ σ λσ

σ =+==

( ) A B AC

x

C Bx Ax

x

e A

dxeg2

2

22

211

21 −−+∞

∞−

−+− ===⇒ ∫ π σ π σ π

λ

22

2)(

2 2

422

2

22

2

222

x

x x x

x

x x

x

x imimim A

BC A

B AC λσ

σ λ λσ σ

λσ σ

=−=++−=+−=−−

( ) 2

22 x

xmieg

σ λ λ

λ −

=⇒

ww




3.8 Liên hệgiữ a hàm đặc trư ng và các mômen• Ví dụ:

Mômen gốc bậc 1:( )g λ =

x x me

iim

gi

m ==′= =0

01 )(1λ

λ

( ) 22

2222 x x

x x x eeege

mimimiσ λ σ λ

λ λ λ λ −−−− ==

Mômen trung tâm: [ ] ,...2,1,)(1

0

)(

== =

−k gei

k mik k

x

λ

λ

λ μ

Khai triển thành chuỗ

( ) ( ) ∑ ∞

=

− −=0

22

!21

k k

k xk mi

k ge x λ

σ λ λ

012 =⇒ −k μ

!2)!2(

22

2

2

k i

k i

k

k x

k

k

k

σ μ = ,!2)!2( 2

2 =⇒ k

k k xk k σ μ

42

2 3, x σμ σ μ ==ww




3.9 Cácđịnh luật sốlớ n1. Bất đẳng thứ c Tchebychev: N ếu đại lượ ng ngẫu nh

vọng và phươ ng sai hữu hạn thì vớ i mọi số ε>0 bất kta có trongđó mx=M[X( ) 2

][1ε

ε X D

m X P x −≥<−

• Chứng minh: GiảsửX liên tục có f(x) ( ≥−⇒ ε xm X P

1)()( 2

222 ≥−⇒≥−⇒≥−ε

ε ε x x x

m xm xm x

( )

22

||

)(1

(

ε

ε ε

f m x

xm X P

x

m x

x

x

−≤

≤≥−⇒

∫

∫∞+

∞−

≥−

( ) ( ) 2][11

ε ε ε

X Dm X Pm X P x x −≥≥−−≤<−⇒

ww




3.9 Cácđịnh luật sốlớ n2. Định lý Tchebychev: N ếu X1, X2,…, Xn là các biến

độc lậ p có phươ ng sai bị chặn bở i một hằng sốC nàmọi số ε>0 bất k ỳ cho tr ướ c ta có

1][1111

=⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ <− ∑∑

==∞→ε

n

ii

n

ii X M

n X

nP

nlim

• Chứng minh:Đặt ∑=

=n

ii X

n X

1

1 ∑=

=⇒n

ii X M

n X M

1][1][ X D[

nC

nC n

X DiC X D i =≤⇒∀≤ 21][,][Vì Áp dụng bất đẳng thức

1)|][(| ε

D

X M X P −≥<−1)|][(| ≥<−⇒∞→

ε X M X Pnlim

][1111

=⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ <− ∑∑

==∞→ε

n

ii

n

ii X M

n X

nP

nlimHay

ww




3.9 Cácđịnh luật sốlớ n3. Định lý Bernoulli: N ếu mỗi phép thử trongn phép th

sựkiện A xuất hiện vớ i xác suất p khôngđổi thì xác tuyệt đối của độ lệch giữa tần suất và xác suất củahiện A trongn phép thử bé hơ n một số dươ ng tùy ýsẽdần tớ i 1 khin→∞ , tức

1=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ <−∞→

ε pnmP

nlim

• Chứng minh: Gọi Xi là biến ngẫu nhiên chỉ sốlần xuất A trong lần thửthứi (Xi={0,1}). Khiđó Xi có phân bố

p p11 – – p p p p1100XXii

N ếu trongn phép thửA xuất hiện m lần thì m X n

ii =∑

=1

ww




HẾT CHƯƠNG 3

ww



LÝ THUYẾTXÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Phan Văn TânBộmô Khí tượ ng

ww



CHƯƠ NG 4. HỆCÁCĐẠI LƯỢ NG NGẪU

4.1 Khái niệm• Khi giải quyết nhiều bài toán ngườ i ta thườ ng ghuống là k ết quảthí nghiệm đượ c mô tả bở i mộđại lượ ng ngẫu nhiên

• Khiđó ta nói có một “hệcácđại lượ ng ngẫu nh• Các tính chất của hệ đại lượ ng ngẫu nhiên khô

mô tảhết bở i những tính chất của cácđại lượ ngnhiên riêng r ẽ, chúng còn bao hàm cảnhững mhệ tươ ng hỗgiữa cácđại lượ ng ngẫu nhiên của

• Giảsửxétđồng thờ i haiđại lượ ng ngẫu nhiên khiđó mỗi cặ p giá tr ị có thểcủa X và Yđượ c xcác tọa độcủa một điểm ngẫu nhiên trong mặt

ww




4.1 Khái niệm• Tươ ng tự, nếu có bađại lượ ng ngẫu nhiên X, Ymỗi bộ ba giá tr ị có thểcủa X, Y, Z sẽlà các tọmột điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chều

• Nếu cóđồng thờ i n đại lượ ng ngẫu nhiên X1, Xthì bộn giá tr ị có thể(x1, x2,…, xn) của X1, X2,tọa độcủa điểm ngẫu nhiên trong không giann

• Vì vậy, có thểxem hệcácđại lượ ng ngẫu nhiê biến ngẫu nhiên nhiều chiều hoặc vectơ ngẫu n

• Nếu cácđại lượ ng ngẫu nhiên thành phần là r ờihệcácđại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc, ngượ c lại tcácđại lượ ng ngẫu nhiên liên tục

ww




4.2 Hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên rờ i rạc. Bảng phân bố• Nhận thấy: Các sựkiện (X=xi) xung khắc, (Y=y j) xung• Các sựkiện (X=xi)(Y=y j) là nhómđầy đủcác sựkiệ

khắc nênΣ pij = 1• (X=xi)=Σ j (X=xi)(Y=y j) P(X=xi)=P(Σ j (X=xi)(Y=y j)• (Y=y

j)=Σ

i(X=x

i)(Y=y

j) P(Y=y

j)=P(Σ

i(X=x

i)(Y=y

j)

p•m…p•2p•1∑…………pnm…pn2pn1

…………

p2m…p22p21

p1m…p12p11

…xn

…

x2

x1

ym…y2y1YX1=∑∑

i jij p

•≡=∑ ii j

ij p p p

j ji

ij pq p •≡=∑

ww




4.2 Hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên rờ i rạc. Bảng phân bố• Ví dụ 1: Gieođồng thờ i một đồng tiền và một con xúcvà Y lần lượ t là k ết quảnhận đượ c của việc gieođó; XY={1,2,3,4,5,6}. Hãy lậ p bảng phân bốxác suất của hệ

• Giải: Ta có: P(X=S)=P(X=N)=1/2; P(Y=1)=…=P(• P(X=x

i, Y=y

j)=(1/2)*(1/6)=1/12

1/61/121/12

5

1/61/121/12

6

1/61/61/61/6∑1/121/121/121/12 N1/121/121/121/12S

4321YX

ww




4.2 Hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên rờ i rạc. Bảng phân bố• Ví dụ2: Tìm luật phân bốcủa cácđại lượ ng ngẫu nhiê

biết phân bố đồng thờ i của chúngđượ c cho bở i• Giải:• q1=P(Y=y1)=0.10+0.06=0.16• q

2=P(Y=y

2)=0.30+0.18=0.48

• q3=P(Y=y3)=0.20+0.16=0.36

• p1=P(X=x1)=0.10+0.30+0.20=0.60• p2=P(X=x2)=0.06+0.18+0.16=0.40

0.06x2

0.10x1

y1YX

0.16qy1Y

0.400.60 px2x1X pi=pi •

q j=p• j

ww




4.2 Hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bố• Xét hệ haiđại lượ ng ngẫu nhiên (X, Y), trongđó cảX những đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục.

• Đị nh nghĩ a: Hàm phân bốcủa hệ haiđại lượ ng ngẫu nlà hàm của haiđối số (x,y)đượ c xácđịnh bở i F(x,y)=P

• Ý nghĩ a hình học của hàm phân bố :

x

y

M(X,Y)

YF(x,y) là xác suất để điểm ngẫu nhiênM(X,Y) rơ i và hìnhchữ nhật vô hạn cóđỉnh trên bên phảitại điểm có tọa độ(x,y)

(x

ww




4.2 Hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bốChứ ng minh: )(),(),(lim 1 x F x F y x F y

=+∞=+∞→

)(),(),(lim 2 y F y F y x F x

=+∞=+∞→

1)

• S ự kiện (X<x, Y<+ ∞ ) = (X<x)(Y<+ ∞ ) = (X<x)• F(x,+ ∞ ) = P(X<x,Y<+ ∞ ) = P(X<x) = F 1(x• T ươ ng t ự :• S ự kiện (X<+ ∞ , Y<y) = (X<+ ∞ )(Y<y) = (Y<y)

• F(+ ∞ ,y) = P(X<+ ∞ ,Y<y) = P(Y<y) = F 2(y

ww




4.2 Hệ hai đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân bốChứ ng minh:

• S ự kiện (X<+ ∞ , Y<+ ∞ ) = U

•

F(+ ∞ ,+ ∞ ) = P(U) = 1• S ự kiện (X<- ∞ , Y<y)=(X<x, Y<- ∞ )=(X<- ∞ , Y• F(- ∞ ,y) = F(x, - ∞ ) = F(- ∞ , -∞ ) =P(V) = 0

1),(),(lim =+∞+∞=+∞→+∞→

F y x F y x2)

0),(lim

0),(),(lim

0),(),(lim

=−∞−∞

=−∞=

=−∞=

−∞→−∞→

−∞→

−∞→

F

x F y x F

y F y x F

y x

y

x

3)

ww





• Vì (x1<x2) nên (X<x2)=(X<x1)+(x1≤ X<x2) (tổng hai skhắc)• (X<x2, Y<y)=(X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y)• F(x2,y)=P(X<x2,Y<y)=P((X<x1,Y<y)+(x1≤ X<x2,Y<y

P(X<x1,Y<y) + P(x1≤ X<x2,Y<y)

= F(x1,y)+ P(x1≤ X<x2,Y<y)≥ F(x1,y)• Tươ ng tự đối vớ i tr ườ ng hợ p 2

),(),(),(),(

212

212

y x F y x F i y

y x F y x F i x

≤<≤<

th y NÕu th x NÕu

1

14)

ww





• (X<β)=(X<α )+(α≤ X<β), (Y<γ)=(Y<δ)+(δ≤Y<δ),• (X<β ,Y<γ)=(X<β)(Y<γ)=

=[(X<α )+(α≤ X<β)][(Y<δ)+(δ≤Y<γ)]==(X<α , Y<δ)+(X<α , δ≤Y<γ)++(α≤ X<β , Y<δ)+(α≤ X<β , δ≤Y<γ)

• (X<α , δ≤Y<γ)=(X<α ,Y<γ)–(X<α ,Y<δ)• (α≤ X<β , Y<δ)=(X<β , Y<δ)–(X<α , Y<δ• (X<β ,Y<γ)=(X<α , Y<δ)+(X<α ,Y<γ)–

–(X<α ,Y<δ)+(X<β , Y<δ)–(X<α , Y<δ)++(α≤ X<β , δ≤Y<γ)• F(β ,γ)=F(α ,δ)+F(α ,γ)+F(β ,δ) –F(α ,δ) –F(α ,δ)+P(α≤ X<β , δ≤Y<• P(α≤ X<β , δ≤Y< γ)=F(β ,γ)–F(α ,γ)–F(β ,δ)+F(α ,δ)

),(),(),(),( δ β γ α γ β γ δ β α F F F Y X P −−=<≤<≤5)

α

δ

γ

ww



y

y+Δy


4.3 Mật độxác suấtÝ nghĩ a: Từhệthức P(α≤ X<β , δ≤Y<γ)=F(β ,γ)–F(α ,γ)–F(β ,δ)+F(• Thayα , β , δ, γ lần lượ t bở i x, x+Δx, y, y+Δy tađượ c:• P(x≤X<x+Δx, y≤Y<y+Δy)=F(x+Δx,y+Δy)–F(x+Δx,y)–F(x,y+Δy)• Chia hai vếcho diện tích miền chữnhật và lấy giớ i hạn khiΔx→0

=ΔΔ Δ+<<Δ+<<→Δ→Δ y x

y yY y x x X x P y x ),(lim

00

),(),(

),(),(),(),(lim

2

00

y x f y x

y x F

y x y x F y x x F y y x F y y x x F

y x

=∂∂

∂=

=ΔΔ

+Δ+−Δ+−Δ+Δ+=→Δ→Δ

Từ đó ta có công thứ c gần đúng đểtính xác

P(x<X<x+ x, y<Y<y+ y) ≈ f(x,y). x. yMột cách tổng quát, xác suất của điểmngẫu nhiên (X,Y) rơ i vào một miền D nàođó sẽ đượ c xácđịnh bở i

∫∫=∈

D

DY X P )),((

ww




4.3 Mật độxác suất• Tính chấ t :0),( ≥ y x f 1) Tính chất này suy ra từý ngh ĩ a của hàm mật

1),( =∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−dxdy y x f 2) Ta có ∫∫=∈

D

dx y x f DY X P ),()),((

∫ ∫∞− ∞−=⇒

x y

dxdy y x f y x F ),(),( Lấy giớ i hạn khi x→+∞, yđến tính chất 2) của hàm phâ

(),( =+∞+∞ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞− x f F

∫ ∫

∫ ∫∞+

∞− ∞−

∞−

+∞

∞−

=+∞=

=+∞=

y

x

dxdy y x f y F y F

dxdy y x f x F x F

),(),()(

),(),()(

2

1

3)

=′

==′

y f y F

x f x F

)()(

)()(

22

11

Đạo hàm hai vế ta đượ c:

ww




4.3 Mật độxác suất• Các ví d ụ:• Ví dụ1: Hệ đại lượ ng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ phâ

suất

Hãy tính xác suất để điểm ngẫu nhiên r ơ i vào miền chữABCD, vớ i tọa độcủa cácđỉnh

• Giải:,3(),0,3(),0,1( C B A

)1)(1(1),( 222 y x

y x f ++

=π

++=∈ ∫∫

ABCD

dxdy y x

ABCDY X P )1)(1(

1))(),(( 222π

∫∫ ++=

3

12

1

022 11

1 x

dx y

dyπ dy y

dy

)43(11 1

022

π π π −+= ∫

481

412.1

2 == π π π

)(43(1

2 arc−= π π

π

ww




4.3 Mật độxác suất• Các ví d ụ:• Ví dụ2: Hệ(X,Y) có mật độ phân bốxác suất đượ c ch

• Tính các mật độ phân bốriêng f 1(x) và f 2(y)⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>+

≤+

= 149

0

1496

1

),( 22

22

y xkhi

y xkhi

y x f π

ww




4.3 Mật độxác suất• Các ví d ụ:• Giải:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

+=

90

961

),(2

2

xkhi

xkhi

y x f π

∫+∞

∞−= dy y x f x f ),()(1 1

49

22≤+ y x )

91(4

22 x

y −≤⇒ y⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

≤−== ∫

−+

−−

30

3992

61

)(2

912

912

1

2

2

xkhi

xkhi xdy x f

x

xπ π

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −=

0

992

)(1 x

x f π

⎪⎩

⎪⎨⎧ −=0

421)(2 y y f π Tươ ng tự

ww




4.4 Hệ n đại lượ ng ngẫu nhiên• Trong thực tếcó thểxét đồng thờ i nhiều hơ n haiđại lưnhiên, chẳng hạn 3, 4,…đại lượ ng ngẫu nhiên

• Đểtiện trình bày ta gọi đó l à hện đại lượ ng ngẫu nhiê• Xét hện đại lượ ng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn)

• Hệnày có thể đượ c xem như một vector ngẫu nhiênn• Đị nh nghĩ a: Hàm phân bốcủa hện đại lượ ng ngẫu nh

(X1, X2, …, Xn) là hàm của n đối số(x1, x2,..., xn) được bở i F(x1, x2,..., xn)=P(X1<x1, X2<x2,..., Xn<xn)

• Đị nh nghĩ a: Nếu hàm F(x1, x2,..., xn) tồn tại đạo hàm b(X1, X2, …, Xn) có hàm mật độxác suất đượ c xácđịnh

n

nn

n x x x x x x F

x x x f ∂∂∂

∂=...

),...,,(),...,,(21

2121

ww




4.4 Hệ n đại lượ ng ngẫu nhiên• Mỗi bộgồm m (m<n) đại lượ ng ngẫu nhiên lấy từhệnngẫu nhiên banđầu đượ c gọi là một hệcon của hệ ban

• Hàm phân bốvà hàm mật độxác suất của hệcon này đượ c từ phân bốvà mật độ đồng thờ i của hệ banđầu

• Ví dụ: Phân bốcủa hệcon (X1, X2,…,Xm):• F1,2,...,m(x1,..., xm)=F(x1,..., xm,+∞,...,+∞)=

= P(X1<x1,..., Xm<xm, Xm+1<+∞, ..., Xn<+∞)

m

mmm

mm

x x

x x x F x x f

∂∂

∂=...

),...,,(),...,(1

21,...,2,11,...,2,1

mnmm dxdx x x x f x x f ...),...,,(...),...,( 1211,...,2,1 +

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−∫ ∫ ∫=

ww




4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• Xét hện đại lượ ng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn)• Ký hiệu hệnày như một vector ngẫu nhiênn chiều

X=(X1, X2,…, Xn)Khiđó:

• mx=M[X]=(M[X1], M[X2], ..., M[Xn])=(mx1, mx2,..., mxlà vector k ỳ vọng của X, trongđó các thành phần của vtươ ngứng là k ỳ vọng của cácđại lượ ng ngẫu nhiên thcủa vector ngẫu nhiên X

• Dx=D[X]=(D[X1], D[X2], ..., D[Xn])=(Dx1, Dx2,..., Dxn)vector phươ ng sai của X, trongđó các thành phần của vtươ ngứng là phươ ng sai của cácđại lượ ng ngẫu nhiêncủa vector ngẫu nhiên X

ww




4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• Đị nh nghĩ a: Mômen tươ ng quan giữa haiđại lượ ng ngY làđại lượ ng đượ c ký hiệu bở i μxy và đượ c xácđịnh b

])[])([[( Y M Y X M X M xy −−=μ

)),(())((

jiij

i jij y j xi xy

yY x X P p

pm ym x

===−−=∑∑μ

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−= dxdy y x f m ym x y x xy ),())((μ

Hệr ờ i r ạc

Hệliên tục

Ta có

yx

xy

X M X Y M Y M

Y M Y X M X M

μ

μ

=−−==−−=

]))[]([[(])[])([[(

ww




4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• Đối vớ i mỗi cặ p haiđại lượ ng (X j, Xk ) của hệ(X1, X2,…có

k j X M X X M X M k k j j x x jk k j,])],[])([[( =−−=≡ μ μ

k jdxdx x x f m xm x k jk j jk xk x j jk k j,,),())(( =−−= ∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−μ

Hay

Tập hợ p các mômen tươ ng quan μ jk

lập thmột ma trận gọi là ma trận tươ ng quan

ww




4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• Ma tr ận tươ ng quan

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==∑

nnnn

n

n

jk

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

μ

...............

...

...

21

22221

11211

kj j jk k

k k j j jk

X M X X M X M

X M X X M X M

μ

μ

=−−==−−=

])][])([[(])][])([[(

22 ][]])[[(

])][])([[(

j j x x j j j

j j j j jj

D X D X M X M

X M X X M X M

σ

μ

===−=

=−−=

Nhận thấy

Ma trận tươ ng quan là ma trận thự c, đối xứ ng

Khi j≡k:

Các phần tử trên đườ ng chéo chính của ma trận lphươ ng sai của các đại lượ ng ngẫu nhiên thành phần

ww




4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• Hệsố tươ ng quan: Từ định ngh ĩ a mômen tươ ng quanlượ ng ngẫu nhiên (X,Y) ta thấy:

• Thứnguyên của μxy bằng tích thứnguyên của X và thứcủa Y. Dođó không thểso sánh mối quan hệgiữa các

lượ ng ngẫu nhiên khác nhau Vô thứnguyên hóa ??• Đị nh nghĩ a: Hệsố tươ ng quan giữa haiđại lượ ng ngẫu(X,Y) là sốvô thứnguyênρxy đượ c xácđịnh bở i

x y x

xy

y x xy

D D D DY M Y X M X M

σ

μμ ρ ==−−= ])][])([[(

Khi X≡Y: ])][])([[( =⇒=−−= xy x xx D X M X X M X M ρ μ

yx xy yx xy ρ ρ μ μ == nnª Do

ww




4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• Vớ i hện đại lượ ng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn), hệsố tưgiữa haiđại lượ ng ngẫu nhiên bất k ỳ (X j,Xk ) đượ c xác

( )⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ==

n

jk P

ρ

ρ ρ

ρ ...

1

21

11Tậ p hợ p các hệsố tươ ng quan này lậ pthành ma tr ận tươ ng quan chuNn hóa

k j X D X D

X M X X M X M

k j

jk

k j

k k j j jk ,,

][][])][])([[( ==−−=

σ σ

μ ρ

Ta có:

n j D

D

nk j

j

j

j j

jj jj

jk jk

kj

k j

jk jk

,...,2,1,1

,...,2,1,,

====

====

σ σ

μ ρ

ρ σ σ

μ

σ σ

μ ρ

Ma tr ận tươ ng quanlà ma tr ận đối xứng tử trênđườ ng chéo

ww



CHƯƠNG 4. HỆCÁCĐẠI LƯỢNG NGẪU N

4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• Vớ i hệ haiđại lượ ng ngẫu nhiên: X1≡X, X2≡Y

Ta có:

])][])([[( 221112 X M X X M X M −−=μ

Ma trận tươ ng quan ( ) ⎜⎜

⎝

⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ ==∑ 2

221

121

2221

1211

σ μ

μ σ μ μ

μ μ μ jk

Ma trận tươ ng quanchuẩn hóa ( ) ⎜⎜

⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ ==

1121

1

2221

1211

ρ

ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ jk P

(

( ) 01

11

1det

222

21

211222

21

21

21

21

1222

21

22

212112

22

212

221

1221

≥−=

−=⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −=

⎜⎜

⎝ ⎛ −=−==∑

ρ σ σ

ρ ρ σ σ σ σ

μ σ σ

μ σ σ

σμ

σ σ μ μ σ σ σ μ

μ σ

1 ≤−⇒ ρww




4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiênÝ ngh ĩ a của hệsố tươ ng quan:

• Hệsố tươ ng quan làđại lượ ng đặc tr ưng cho mối quanquan tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên

• Tr ị tuyệt đối của hệsố tươ ng quan càng lớ n thì mối qucàng chặt chẽ

• Hệsố tươ ng quan bằng 0 khi hai biến không tươ ng qua• Hệsố tươ ng quan dươ ng khi hai biến có quan hệ đồng • Hệsố tươ ng quan âm khi hai biến có quan hệnghịch b

11 ≤≤− xy ρ

ww




4.5 Cácđặc trư ng sốcủa hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• Tóm tắt: Vớ i hện đại lượ ng ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn

k j X M X X M X M kjk k j j jk ,2,1,,])][])([[( ==−−= μ μ Ma trận tươ ng quan

( )⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

==∑21

2221

1221

21

22221

11211

.........

..................

nnnnnn

n

n

jk

μ μ

σ μ

μ σ

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

μ

Ma trận tươ ng quanchuẩn hóa

nk jkj

k j

jk jk ,...,2,1,, === ρ

σ σ

μ ρ

n j jj ,...,2,1,1 == ρ ( )⎜⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

==

..

........ ..1

..1

21

21

12

nn

jk P

ρ ρ

ρ

ρ

ρ

ww




4.6 Phân bốcó điều kiện• Xét hệ haiđại lượ ng ngẫu nhiên (X,Y). GiảsửX và Yđại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc (X,Y) là hệcácđại lượnhiên r ờ i r ạc

• X = {x1, x2, …, xn,… }, Y = {y1, y2, …, ym,… }

• Đị nh nghĩ a: Xác suất của sựkiện X=x j khi cho tr ướ c ( biết tr ướ c) sựkiện Y=yk đã xảy rađượ c gọi là xác suấtkiện, và ký hiệu là p(x j/yk )=P(X=x j/Y=yk )

• Tươ ng tự, xác suất của sựkiện Y=yk khi cho tr ướ c (hotr ướ c) sựkiện X=x j đã xảy rađượ c gọi là xác suất cóđ

ký hiệu là p(yk /x j)=P(Y=yk /X=x j)

ww




4.6 Phân bốcó điều kiện• Từcông thức nhân xác suất

• Ta có p jk =P(X=x j,Y=yk )≡ p(x j,yk ) là xác suất đồng thờ i kiện X=x j và Y=yk , tức (X=x j,Y=yk ) = (X=x j)(Y=yk )

• p j=P(X=x j)≡ p(x j), pk =P(Y=yk )≡ p(yk )• P((X=x j)(Y=yk ))=P(X=x j)P(Y=yk /X=x j)=P(Y=yk )P(X=• Hay p(x j,yk )= p(x j)p(yk /x j)=p(yk )p(x j/yk )• Vì p(x j)=Σk p(x j,yk )≡ p j•, p(yk )=Σ j p(x j,yk )≡ p•k nên

)/()()/()()( B A P B P A B P A P AB P ==

∑∑

∑∑≡==

≡==

k jk

jk

k k j

k j

j

k j j j

j jk

jk

j k j

k j

k

k j

k j

p

p

y x p

y x p

x p

y x p x y p

p

p

y x p

y x p

y p

y x p

y x p

),(),(

)(),(

)/(

),(),(

)(),(

)/(

ww




4.6 Phân bốcó điều kiện• Từhệthức

∑∑

∑∑≡=

≡=

k jk

jk

k k j

k j j j

j jk

jk

j k j

k jk j

p

p

y x p

y x p x y p

p

p

y x p

y x p y x p

),(),(

)/(

),(),(

)/(

1),(),(

)/(

1),(),(

)/(

=≡=

=≡=

∑∑

∑∑∑

∑∑

∑∑∑

k jk

k jk

k k j

k k j

k j j

j jk

j jk

j k j

j k j

j k j

p

p

y x p

y x p x y p

p

p

y x p

y x p y x p

• Các sự kiện (X=x j/Y=yk ) lập thành nhóm đầy đủcác sự kiện xu

• Các sự kiện (Y=y j/X=x j) lập thành nhóm đầy đủcác sự kiện xu

• Ta có

ww




4.6 Phân bốcó điều kiện• Ví dụ: Hệ haiđại lượ ng ngẫu nhiên (X,Y) có phân bốxđượ c cho trong bảng sau. Hãy xácđịnh phân bốcó điềuX khi Y=y1

0.160.180.06y2

0.20.30.1y1

x3x2x1Y \ X

Giải: Ta có• p(x1/y1)=p(x1,y1)/p(y1)=0.1/(0.1+0.3+0.2)=0.1/0.6=• p(x2/y1)=p(x2,y1)/p(y1)=0.3/(0.1+0.3+0.2)=0.3/0.6=• p(x3/y1)=p(x3,y1)/p(y1)=0.2/(0.1+0.3+0.2)=0.2/0.6=• p(x1/y1)+ p(x2/y1)+ p(x3/y1)=1/6+3/6+2/6=1

ww




4.6 Phân bốcó điều kiện• N ếu hệ(X,Y) là hệ đại lượ ng ngẫu nhiên liên tục có m

suất đồng thờ i f(x,y)• Đị nh nghĩ a: Mật độ phân bốcó điều kiện của X vớ i đi

Y=y là hàm ký hiệu bở i f(x/y) vàđượ c xácđịnh bở i

)(),()/(

2 y f

y x f y x f =

• Tươ ng tự, mật độ phân bốcó điều kiện của Y vớ i điều hàm ký hiệu bở i f(y/x) vàđượ c xácđịnh bở i

)(),()/(

1 x f y x f

x y f =

Trongđó ∫+∞

∞−=∂∂= dy y x f

x x F x f ),()()( 1

1 =∂∂= y

y F y f )()( 22

tươ ngứng là các mật độriêng của X và Y

ww




4.6 Phân bốcó điều kiện• Ta có

),(

)(

1

)(

),()/(22

∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

== dx y x f

y f

dx

y f

y x f dx y x f

)()/()()/(),( 21 y f y x f x f x y f y x f ==

),()(

1)(),()/(

11∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

== dy y x f x f

dx x f y x f

dy x y f

0)/(0)/(

≥≥

x y f

y x f

∫∞+

∞−

=dx y x f

y x f y x f ),(),()/(

∫∞+

∞−

= x f

x f x y f ,(

()/(

ww




4.6 Phân bốcó điều kiện• Ví dụ: Tìm phân bốcó điều kiện của X và Y của hệ(X

độ đồng thờ i cho bở i

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤+=

222

2222

0

1),(

r y xkhi

r y xkhir y x f π

• Giải:22 yr x Khi −≤ 22

1),()(22

22

dxr

dx y x f y f ta yr

yr π

=== ∫∫ −+

−−

∞+

∞− cã

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=⇒22222

2

0

21

/2/1

)/(

xkhi

xkhi yr r yr

r

y x f π

π

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>

−≤−=

22

2222

02

1)/(

xr ykhi

xr ykhi xr x y f Tươ ng tự

ww




4.6 Phân bốcó điều kiện• Tổng quát, hện đại lượ ng ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn) c

xác suất đồng thờ i f(x1, x2,…, xn)• Đị nh nghĩ a: Luật phân bốcó điều kiện của hệcon (X1

là luật phân bố đượ c tính vớ i điều kiện cácđại lượ ng c(Xm+1,..., Xn) đã nhận các giá tr ị xácđịnh xm+1 , ..., x n:

,...,(),...,,(),...,/,...,,(

1,....,1

21121

nmnm

nnmm x x f

x x x f x x x x x f

+++ =

∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

++ = nnmnm ddx x x x f x x f ),...,,(...),...,( 1211,....,1Vì

∫ ∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

+ =⇒

n

nnmm

dx x x x f

x x x f x x x x f

),...,,(...

),...,,(),...,/,...,(21

2111

ww




4.7 K ỳ vọng cóđiều kiện• Ví dụ1: Cho hai hệ haiđại lượ ng ngẫu nhiên r ờ i r ạc (X phân bốxác suất đượ c cho dướ i đây. Hãy tính my(x1)=

0.070.030.100.306

0.010.250.060.1538431Y \ X

/()/(]/[)( 12211111 x y p y x y p y x X Y M xm y +===Giải:

31

30.015.015.0

)(),()/(

1

1111 =

+==

x p y x p

x y p

3230.015.0 30.0)( ),()/(1

2112 =+== x p y x p x y p

541326

313)( 1 =+=×+×=⇒ xm y

ww




4.7 K ỳ vọng cóđiều kiện• Ví dụ2: Cho hai hệ haiđại lượ ng ngẫu nhiên liên tục ( phân bốxác suất đượ c cho dướ i đây. Hãy tính my(x)=M

∫+∞

∞−

=== dy x y yf x X Y M xm y )/(]/[)(Giải:⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤+=

222

2222

0

1),(

r y xkhi

r y xkhir y x f π

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>

−≤−=

22

2222

0

21

)/(

xr ykhi

xr ykhi xr x y f

Từk ết quả ở ví dụmục tr ướ c

221

21)(

2

2

22

22

2

2222

−=

−=⇒

−+

−−

−+

−−∫

r

r

xr

xr

y y

xr ydy

xr xm

ww




4.8 Cácđại lượ ng ngẫu nhiên độc lập• Đị nh nghĩ a: Haiđại lượ ng ngẫu nhiên X, Yđượ c gọi lvớ i nhau nếu phân bốcó điều kiện của chúng bằng phâđiều kiện:

)/();()/( jk jk j x y p x p y x p =

)/();()/( 21 f x y f x f y x f ==

• N ếu X và Y là r ờ i r ạc:

• N ếu X và Y là liên tục:• Đị nh lý : Điều kiện cần vàđủ đểcácđại lượ ng ngẫu nh

độc lậ p vớ i nhau là phân bố đồng thờ i của chúng bằng phân bốriêng: )().(),( 21 y F x F y x F =

Chứ ng minh:• Điều kiện cần: X, Yđộc lậ p • Điều kiện đủ:

)().(),( 21 y F x F y x F =)().(),( 21 y F x F y x F = X, Yđộc lậ p

ww




4.8 Cácđại lượ ng ngẫu nhiên độc lậpChứ ng minh:• Điều kiện cần: Giảsử X, Yđộc lậ p

• Điều kiện đủ: Giảsửcó )().(),( 21 y F x F y x F =)()(),(

()())).(((),()).((),(

21 y F x F y x F

P x X P yY x X P yY x X P

yY x X yY x X

=⇒

<=<<=<<⇒

<<=<<

• Lấy đạo hàm hai vếlần lượ t theo x và y:

)()(),()()(),(21

212

y f x f y x f y

y F

x

x F

y x

y x F =⇒

∂

∂

∂

∂=∂∂

∂

)/()(),()();/(

)(),()(

12

21 x y f

x f y x f

y f y x f y f y x f

x f ====⇒

Phân bốcó điều kiện bằng phân bố khôngđiều kiện ww




4.8 Cácđại lượ ng ngẫu nhiên độc lập• H ệquả: Điều kiện cần vàđủ đểhaiđại lượ ng ngẫu nhđộc lậ p vớ i nhau là phân bố đồng thờ i bằng tích các p

• Đị nh lý : Mômen tươ ng quan của haiđại lượ ng ngẫu nhlậ p thì bằng 0

• Chứ ng minh: Vì X và Yđộc lậ p nên X−mx

và Y−my

c[()][()])([( −−=−−=⇒ x y x xy mY M m X M mY m X M μ

• H ệquả: N ếu μxy ≠0 thì X và Y phụthuộc lẫn nhau• Đị nh nghĩ a: Haiđại lượ ng ngẫu nhiên X, Yđượ c gọi l

quan vớ i nhau nếu μxy ≠0. Ngượ c lại, nếu μxy = 0 ta nó

không tươ ng quanX và Y tươ ng quan thì X, Y phụ thuộc lẫn nhau; X và Y không tưchư a chắc X, Yđộc lập vớ i nhau. Nói cách khác, nếu X và Yđộc lnhư ng μxy=0 chư a chắc X và Yđộc lập vớ i nhau.

ww




4.9 Phân bốchuẩn hai chiều• Đị nh nghĩ a: Hệhaiđại lượ ng ngẫu nhiên (X,Y)đượ c theo luật phân bốchuNn nếu hàm mật độxác suất có dạ

Trongđó:• μx và μy tươ ngứng là k ỳ vọng của X và Y

• σx và σy tươ ngứng làđộlệch chuNn của X và Y• ρ là hệsố tươ ng quan giữa X và Y

⎜⎜⎜

⎝ ⎛

⎜⎜

⎝ ⎛ −−−

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

−−×

×−

=

y x

x

y

y

x

x

y x

y x y x

y x f

σ σ μ ρ

σ μ

σ μ

ρ

ρ σ πσ

)((2)1(2

1exp

121),(

22

2

2

ww




4.9 Phân bốchuẩn hai chiều• N ếu hệ(X,Y) có phân bốchuNn thì khi X và Y khôngvớ i nhau suy ra X và Yđộc lậ p

• Ta có:Khi X và Y không tươ ng quan:ρ=0

)()(

21exp

21

21exp

21

21exp

21),(

21

2

22

y f x f

y x

y x y x f

y x

x

x

y

y

x

x

y x

=

⎜⎜

⎝

⎛ ⎜⎜

⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −−=⇒

σ π σ μ

σ π

σ

μ

σ μ

σ πσ

X và Yđộc lậ p

ww




4.10 Phân bốchuẩn n chiều• Đị nh nghĩ a: Hện đại lượ ng ngẫu nhiên (X1, X2,..., Xn)là tuân theo luật phân bốchuNn nếu hàm mật độxác su

Trongđó:

( ) ( ⎜⎝ ⎛ Σ−−

Σ= −μ

π x x x x f T

nn1

2/12/21 21exp

)2(1),...,,(

),...,,( 21 n x x x x = ),...,,( 21 nμ μ μ μ =

⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=∑

nnnn

n

n

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

...............

...

...

21

22221

11211 j X M j j ,2,1],[ ==μ

),...,2,1,(

)([(

nk j

X X M j j jk

=

−= μ μ

ww




4.10 Phân bốchuẩn n chiều• N ếu cácđại lượ ng ngẫu nhiên (X1, X2,..., Xn) đôi một kquan vớ i nhau thì chúngđộc lậ p vớ i nhau

Ta có: ( ) ( ( ⎜⎝ ⎛ −Σ−−

Σ= − μμ

π x x x x x f T

nn1

2/12/21 21exp

)2(1),...,,(

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑⇒

2

22

21

...00............0...00...0

nσ

σ

σ ),...,2,1,( ;0))([(nk j

k jkhi X X M k k j j jk

= ≠=−−= μ μ μ

=∑⇒

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑⇒ −

2

22

21

1

1...00............

0...10

0...01

nσ

σ

σ

n π σ π π 21

21

)2(1

12/12/

=Σ

⇒

ww




4.10 Phân bốchuẩn n chiều ( )( ⎜⎝ ⎛ −−

Σ= μ

π x x x x f T

nn 2/12/21 21exp

)2(1),...,,(

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=−∑− −

n

nnT

x x x x

σ

σ

σ

μ μ μ μ

1...00............

0...10

0...01

))(...)(()()(

2

22

21

111

)()...()(

(...

)(21

exp21

...21

),...,,(2211

21

211

121

nn

nn

x f x f x f

x

x x x f

=⎜

⎜

⎝

⎛

⎜⎜⎝ ⎛

++−

−= σ

μ

σ π σ π

nn σ π σ π σ π π 2

1...21

21

)2(1

212/12/

=Σ

2

2

22

222

21

211 )(...)()(

n

nn x x xσ

μ σ

μ σ

μ −++−+−=

ww




4.10 Phân bốcủa tổng hai đại lượ ng ngẫu nhiên• Cho hệhaiđại lượ ng ngẫu nhiên (X,Y) có mật độxác thờ i f(x,y). Xétđại lượ ng ngẫu nhiên Z=X+Y

• Gọi G(z) là hàm phân bốcủa đại lượ ng ngẫu nhiên Z, )()()( z Y X P z Z P z G <+=<=

D

y

z = x

0

• Xem (X,Y) như một điểm ngẫu nhiêntrên mặt phẳng thì P(X + Y < z) là xácsuất để điểm ngẫu nhiên r ơ i vào nửa mặt phẳng nằm phía dướ i đườ ng thẳngz=x+y

• Ký hiệu miền nửa mặt phẳng này là D

∫∫=∈= D

dxdy y x f DY X P z G ),()),(()(

ww




4.10 Phân bốcủa tổng hai đại lượ ng ngẫu nhiên

D

y

z =

0

• Nhận thấy: khi x biến thiên từ – ∞ đến +∞thì y biến thiên từ – ∞ đến z–x. Dođó:

∫ ∫∫∫+∞

∞−

−

∞− ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

== dxdy y x f dxdy y x f z G x z

D

),(),()(

• Đạo hàm hai vế theo z tađượ c:∫+∞

∞−

−=′= dx x z x f z G z g ),()()(

• Hàm g(z)đượ c gọi là hàm mật độxác suất của tổng X+• Tươ ng tự, khi cho y biến thiên từ – ∞ đến +∞ thì x biến

đến z–y. Khiđó tađượ c dạng khác của hàm mật độg(z

∫+∞

∞−

−= dy y y z f z g ),()(

ww




4.10 Phân bốcủa tổng hai đại lượ ng ngẫu nhiên• N ếu X và Y là cácđại lượ ng ngẫu nhiênđộc lậ p thì

∫+∞

∞−

−= dx x z f x f z g )()()( 21

)()(),( 21 y f x f y x f =Dođó:

∫+∞

∞−

−= dy y f y z f z g )()()( 21

ww




4.11 Hàmđặc trư ng của hệcác đại lượ ng ngẫu nhiên• N ếu hệ (X 1 , X 2 ... X n ) có phân bốchuNn:

• N

ếu hệ (X 1 , X 2 ... X n ) là độc lậ p:

HẾT CHƯƠ NG 4

∑∑= ==

+−n

j j j

n

k jk j jk mi

n e g 11,21

21 ),...,,(λ λ λ μ

λ λ λ

∏=

=n

k k xn k

g g 1

21 )(),...,,( λ λ λ λ

ww





ww



CHƯƠNG 5. KHÔNG GIAN MẪU VÀ THỐTRÊN KHÔNG GIAN MẪU

5.1 Không gian mẫu• Tậ p tổng thể: Tậ p hợ p tất cảcác thành phần có thểcó – Tậ p toàn bộ, tậ p chính qui

• Tậ p mẫu: Tậ p hợ p các thành phần đượ c lấy rađểthí ngtra

– Sốthành phần đượ c chọn: Dung lượ ng mẫu – Tậ p hợ p tất cảcác mẫu có thểlấy đượ c gọi là khôn – Mỗi mẫu lấy ra là một điểm trong không gian mẫu

• Không gian mẫuứng vớ i không gian các sựkiện sơ cấ p• Mỗi mẫuứng vớ i một sựkiện sơ cấ p trong lý thuyết xá

• Có hai loại mẫu: – Mẫu có lặ p – Mẫu không lặ p

ww




5.1 Không gian mẫu• Giảsửtậ p tổng thểgồm N phần tử, tậ p mẫu gồm n phầ – Mẫu đượ c lấy bằng cách rút ngẫu nhiênn lần, mỗi l

phần tử từtậ p tổng thểr ồi tr ảlại tậ p tổng thể sau khnhận k ết quả

Đó là cách lấy mẫu có lặ p: Một phần tửcó thể đượclần – Mẫu đượ c lấy bằng cách rút ngẫu nhiênn phần tử t

thể, sau mỗi lần lấy ghi nhận k ết quảnhưng khôngtổng thể

Đó là cách lấy mẫu không lặ p: Mỗi phần tửchỉ có tchọn một lần duy nhất

ww




5.1 Không gian mẫu• Đối vớ i cách lấy mẫu lặ p: – Mỗi phần tửtrong sốn phần tửcủa mẫu có N cách

mỗi phần tửsau khi chọn đượ c tr ảlại tậ p banđầu – Có tất cả Nn cách lấy mẫu khác nhau

• Đối vớ i các lấy mẫu không lặ p: – Có N cách chọn phần tửthứnhất của tậ p mẫu – Có (N –1) cách chọn phần tửthứhai, vì phần tửthứ

đượ c tr ảlại tậ p banđầu – … – Có (N –n+1) cách chọn phần tửthứn của tậ p mẫu – Có tất cả N(N –1)…(N –n+1)=AN

n cách lấy mẫu

ww




5.1 Không gian mẫu• Nhận thấy: Khin << N thì hai cách lấy mẫđươ ng nhau

• Đểcó k ết luận tươ ng đối chính xác vềtậ p tổng thểthì t phải tiêu biểu

• Mẫu đượ c coi là tiêu biểu nếu nóđượ c lấy một cách ntức mọi phần tửcủa tậ p tổng thể phải có xác suất đượ cnhau

• N ếu mẫu đượ c lấy đểnghiên cứu đại lượ ng ngẫu nhiênmẫu (X1, X2,…, Xn) đượ c coi là mẫu của X

• Mỗi Xi, i=1,2,..,n,đều đượ c chọn từtậ p giá tr ị của X nnhững đại lượ ng ngẫu nhiên có cùng phân bốvớ i X

1~n

n N

N A

ww




5.1 Không gian mẫu• Ví dụ: GiảsửX={1,2,3,4,5,6,7,8,9} N=9• N ếu n=3, vớ i cách lấy mẫu có lặ p ta có thểcó các mẫu

– (X1, X2, X3) = (1,4,6) – (X1, X2, X3) = (2,3,8) – (X1, X2, X3) = (9,1,7) – (X1, X2, X3) = (4,2,1) – …

• Xi={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

X1

X3

ww




5.2 Phân bốmẫu và phân bốchính xác• Giảsửcó mẫu (X1, X2,…, Xn) của đại lượ ng ngẫu nhiê bố F(x) (F(x)đượ c gọi là phân bốchính xác của X)

• Vì F(x) chưa biết nên cần tìm F(x) trên cơ sở tậ p mẫu l• Từtậ p mẫu (X1, X2,…, Xn) ta lậ p hàmF n(x):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

nnn xF

x

xn

n 21 m·ntháa X X (X cñatö phÇn Sè ),...,,

)(

• F n(x) đượ c gọi là phân bốmẫu của X

• Ứ ng vớ i mỗi đối số x giá tr ị hàmF n(x) là tần suất của s• Nói cách khác,F n(x) làướ c lượ ng của xác suất P(X<x• Từluật sốlớ n, vớ i∀ε>0 ta có |)()((| <−

∞→ xF xF P nn

lim

ww




5.2 Phân bốmẫu và phân bốchính xác• Từhệthứcnn

xF xn =)(

• Như vậy, có thểxem mẫu (X1, X2,…, Xn) như là tậ p cáthểcủa biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc X’, trongđó xác suất đểcác giá tr ị có thểcủa nó là như nhau và bằng 1/n

• Đểnghiên cứu X ta dựa vào tậ p mẫu (X1, X2,…, Xn), đtươ ng đươ ng vớ i việc nghiên cứu biến ngẫu nhiên r ờ i r

• Sựkhác biệt cơ bản là: – Phân bốcủa X là phân bốchính xác, cácđặc tr ưng

đặc tr ưng chính xác – Phân bốcủa X’ là phân bốmẫu, cácđặc tr ưng của Xđặc tr ưng mẫu

suy ra in

X X P i 1,1)( ===

ww




5.3 Cácđặc trư ng mẫu của đại lượ ng ngẫu nhi• Xét biến ngẫu nhiên X vớ i mẫu lấy đượ c X’={X1, X2,…• Ký hiệu cácđặc tr ưng chính xác của X là:

– Hàm phân bốF(x)=P(X<x) – K ỳ vọng:μ=M[X], phươ ng sai:σ2=D[X]=M[(X– μ) – Mômen gốc bậc k: mk =M[Xk ] – Mômen trung tâm bậc k:μk =M[(X– μ)k ]

• Cần xácđịnh cácđặc tr ưng mẫu của X• Từmục tr ướ c:

n

n xF x

n =)(

nin

X X P i ,...,2,1,1)( ===

ww




5.3 Cácđặc trư ng mẫu của đại lượ ng ngẫu nhi• K ỳ vọng mẫu: ∑∑==

==′=′=n

i

n

iii

n X X P X X M X

11

1)(][

• Phươ ng sai mẫu:2

1

2

1

22 1)(1][~ X X X

n X X

n X Ds D

n

i

i

n

i

i x x ≡−=−=′== ∑∑==• Mômen gốc mẫu bậc k:∑

==′=

n

i

k i

k k X

n X M m

1

1][~

• Mômen trung tâm mẫu bậc k:

∑=−=−′=

n

i

k

i

k

k X X

n X X M

1)(1])[(~

μ

ww




5.4 Phân bốcủa các đặc trư ng thống kê• Xét biến ngẫu nhiên X có mật độxác suất f(x) và mẫu

Xn) là mẫu có lặ p của X• Vì các Xi là độc lậ p và có cùng phân bốvớ i X nên f(xi)• Có thểxét (X1, X2,…, Xn) như là

hện đại lượ ng ngẫu nhiên hayvector ngẫu nhiênn chiều nhậncác giá tr ị có thể(x1, x2,…, xn)

• Các (x1, x2,…, xn) là các hằng sốứng vớ i một mẫu đã đượ c chọn

• (X1, X2,…, Xn) có mật độf(x1)×f(x2)×…×f(xn)

X1

X3

ww




5.4 Phân bốcủa các đặc trư ng thống kê• Đị nh ngh ĩ a : Một hàm sốg(X1, X2,…, Xn) bất k ỳ vớ i c(X1, X2,…, Xn) đượ c gọi là một đại lượ ng thống kê hatr ưng thống kê trên không gian mẫu

• Vì (X1, X2,…, Xn) là một hệcácđại lượ ng ngẫu nhiênX2,…, Xn) cũng là một đại lượ ng ngẫu nhiên

∑=

=n

ii X

n X

1

1• Ví dụ: K ỳ vọng mẫu:

∑=

−==n

ii x x X X

ns D

1

22 )(1~• Phươ ng sai mẫu:

• Các mômen gốc, mômen trung tâm mẫu đều là nhữ nglượ ng thống kê trên không gian mẫu

ww




5.4 Phân bốcủa các đặc trư ng thống kê• Cho Y=g(X1, X2,…, Xn) là một đại lượ ng thống kê vàf(x1)×f(x2)×…×f(xn) là mật độxác suất của (X1, X2,…,

• Cần xác định phân bốFy(y) của Y

• Vềnguyên tắc ta có:

}),...,(:),...,{(

,...)()...()(

11

11

y x xg x xG

dxdx x f x f yF

nn

G

nn y

<=

= ∫

• Sauđây sẽxét phân bốcủa một số đặc tr ưng thống kê

ww




5.4 Phân bốcủa các đặc trư ng thống kê• Phân bốcủa một số đại lượ ng thống kê thườ ng gặp• Đị nh lý 1 : N ếu mẫu (X1, X2,…, Xn) đượ c lấy từ đại lư

nhiên X có phân bốchuNn N(μ,σ) thì ∑=

=n

ii X

n X

1

1

có phân bốchuNn ),(

2

n N σ

μ

• Đị nh ngh ĩ a : N ếu (X1, X2,…, Xn) là cácđại lượ ng ngẫulậ p có cùng phân bốchuNn N(0,1) thìđại lượ ng ngẫu n

∑=

=n

ii X U

1

2

có phân bố χ2 (khi bình phươ ng) vớ i n bậc tựdo, ký h

ww




5.4 Phân bốcủa các đặc trư ng thống kê• Phân bốcủa một số đại lượ ng thống kê thườ ng gặp• Đị nh lý 2 : N ếu X có phân bốchuNn N(μ,σ) và (X1, X2,

mẫu của X thì 2*21

xsn

U σ

−=

có phân bố χ2 vớ i (n–1 ) bậc tựdo, U∈χ2(n–1), vớ i∑∑

===−

−=

n

ii

n

ii x X

n X X X

ns

11

22* 1,)(1

1

• Đị nh ngh ĩ a : N ếu Z có phân bốchuNn N(0,1), U có phn bậc tựdo,χ2(n), thì

nU

Z

nU

Z t == /

có phân bốStudent vớ i n bậc tựdo, ký hiệu t∈St(n)

ww




5.4 Phân bốcủa các đặc trư ng thống kê• Phân bốcủa một số đại lượ ng thống kê thườ ng gặp• Đị nh lý 3 : N ếu X có phân bốchuNn N(μ,σ) và (X1, X2,

mẫu của X thìns

X t

x /*μ −=

có phân bốStudent vớ i (n–1 ) bậc tựdo, t∈St(n–1), vớ i∑∑

===−

−=

n

ii

n

ii x X

n X X X

ns

11

22* 1,)(1

1

• Đị nh ngh ĩ a : N ếu U1 và U2 độc lậ p có phân bố χ2 vớ i ntựdo, U1∈χ2(n1), U2∈χ2(n2)thì

22

11

//nU nU

F =có phân bốFisher (phân bốF) vớ i n 1 và n 2 bậc tựdo, k

F∈F(n1,n2) hoặc F∈Fn1,n2

ww




5.4 Phân bốcủa các đặc trư ng thống kê• Phân bốcủa một số đại lượ ng thống kê thườ ng gặp• Đị nh lý 4 : N ếu X và Yđều có phân bốchuNn và có cù

sai, D[X]=D[Y]=σ2, (X1, X2,…, Xn1) l à mẫu của X, (YYn2) là mẫu của Y, thì

2*

2*

y

x

s

s f =

có phân bốF vớ i (n 1 –1 ) và (n 2 –1 ) bậc tựdo, f ∈F(n1 –1

∑∑==

=−−

=11

111

2

1

2* 1,)(1

1 n

ii

n

ii x X

n X X X

ns

∑∑==

=−−

=22

121

2

2

2* 1,)(1

1 n

ii

n

ii y Y

nY Y Y

ns

ww




Nhữ ng điều cần chú ý• Khi xétđại lượ ng ngẫu nhiên X vớ i mẫu (X1, X2,…, X – Các Xi nhận các giá tr ị trong tậ p các giá tr ị có thểc

các Xi có cùng phân bốvớ i X, f(xi)=f(x) – Các Xi là độc lậ p vớ i nhau – Có thểxét (X1, X2,…, Xn) như là một hện đại lượ n

nhiên, phân bốcủa hệ: f(x1,…,xn)=f(x1)×…×f(xn) – Bộgiá tr ị (x1,…,xn) là những hằng sốcụthể, và là k

một lần chọn nàođó Khái niệm mẫu (X1, X2,…,khái niệm tr ừu tượ ng

∑∑==

=≠=≠ n

ii

n

ii x

n x X

n X X M

11

11][• Phân biệt:

• Tươ ng tự, vớ i cácđặc tr ưng khác: Phươ ng sai, mômen

ww




5.5 Cácđặc trư ng mẫu của hệcác đại lượ ng ng• Xét hệ haiđại lượ ng ngẫu nhiên (X,Y) vớ i mẫu lấy đư(X2,Y2),…, (Xn,Yn)

• Khiđó, ngoài cácđặc tr ưng riêng như k ỳ vọng, phươ ngmômen gốc, mômen trung tâm của từng đại lượ ng ngẫu

đặc tr ưng quan tr ọng cần đượ c xem xét là mômen tươ nhệsố tươ ng quan

∑=

−−=n

iii xy Y Y X X

n 1))((1~

μ

• Mômen tươ ng quan mẫu giữa haiđại lượ ng ngẫu nhiênđịnh bở i

• Trongđó ∑∑ == ==n

ii

n

ii Y nY X n X

11

1,

1 tươ ngứng làmẫu của X và

Do tínhứng dụng phổ biến của mômen tươ ng quan mẫuthuận tiện ta sẽsửdụng ký hiệu R xy thay cho xyμ

~

ww




5.5 Cácđặc trư ng mẫu của hệcác đại lượ ng ng

∑∑

∑

==

=

−−

−−===

n

ii

n

ii

n

iii

y x

xy

y x

xy xy

YY n X X n

Y Y X X n

ss D Dr

11

2

1

(1

)(1

))((1~

~~~

μ μ

• Hệsố tươ ng quan mẫu giữa X và Yđượ c xácđịnh bở i

• Trongđó ∑∑==

==−==n

i y y

n

ii x x

ns D X X

ns D

1

2

1

22 (1~,)(1~

tươ ngứng là phươ ng sai mẫu của X và Y

ww




5.5 Cácđặc trư ng mẫu của hệcác đại lượ ng ng• Đối vớ i hệm đại lượ ng ngẫu nhiên (X1,X2,…,Xm) vớ i đượ c (X11,X21,…,Xn1),…, (X1m,X22,…,Xnm)

• Có thểsắ p xế p mẫu thành ma tr ận n hàng (dung lượ ngcột (tươ ngứng vớ i m đại lượ ng ngẫu nhiên)

• Cácđặc tr ưng mẫu đượ c xácđịnh như saum j X

n X

n

iij j ,...,2,1,1

1== ∑

=

• Các k ỳ vọng mẫu:

• Các phươ ng sai mẫu:

• Trong nhiều tr ườ ng hợ p để đơ n giản ta sửdụng ký hiệuthay cho ký hiệu

j X X n

s Dn

i jij x x j j

,)(1~1

22 =−== ∑=

2,~ j j x x s D

ww





mk j X X X X n

n

ik ik jij x x k j

,...,2,1,,))((1~1

=−−= ∑=

μ

• Các mômen tươ ng quan mẫu:

• Tậ p hợ p các mômen tươ ng quan mẫu lậ p thành ma tr ận

quan mẫu: • Sửdụng ký hiệthay cho ký hiệ

⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmmm

m

m

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

xx R

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

~...~~

............

~...~~~...~~

21

22212

12111

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=mm

xx

R R

R R

R R

R

...

.........

...

...

21

2221

1211

ww





),...,2,1,(

)((1))((1~11

mk j

X X X X n

X X X X n k j

n

iijk ik

n

ik ik jij x x

=

−−=−−= ∑∑==

μ

• Nhận thấy:

• Ma tr ận tươ ng quan mẫu là ma tr ận đối xứng• Khi j≡k :

),...,2,1(

(1))((1~11

m j

X n

X X X X n j j

n

iij

n

i jij jij x x

=

−=−−= ∑∑==

μ

• Các phần tử trênđườ ng chéo chính là phươ ng sai của clượ ng ngẫu nhiên thành phần

ww





mk jss

R

ss D Dr

k j

jk

x x

x x

x x

x x x x

k j

k j

k j

k j

k j,...,2,1,,

~~~

~=≡==

μ μ

• Các hệsố tươ ng quan mẫu:

• Tậ p hợ p các hệsố tươ ng quan mẫu lậ p thành ma tr ận tưmẫu chuNn hóa: • Sửdụng ký hiệ

thay cho ký hiệ

⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmmm

m

m

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

xx

r r r

r r r

r r r

P

...............

...

...

21

22212

12111

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=mm

xx

r r

r r

r r

P

...

.........

...

...

21

2221

1211

ww




5.5 Cácđặc trư ng mẫu của hệcác đại lượ ng ng• Nhận thấy:

• Ma tr ận tươ ng quan mẫu chuNn hóa cũng là ma tr ận đối• Khi j≡k :

• Các phần tử trênđườ ng chéo chính bằng 1

k jr D D D D

r jk

jk

jk

k j

k j

k j x x

x x

x x

x x

x x

x x ,,~~~

~~~

==== μ μ

m j D

D

D Dr

j

j

j j

j j

j j

x

x

x x

x x x x ,...,2,1,1~

~

~~~

==== μ

ww




5.5 Cácđặc trư ng mẫu của hệcác đại lượ ng ng• Có thểviết lại:

⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

mmm

m

m

xx

D R R

R D R

R R D

R

...............

...

...

21

2221

1121

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

...

.........

...1

...1

21

21

12

mm

xx

r r

r

r

P

ww





22

1

2

11

2

1

2

1

2

121

2(1)(1~

X X

X X n

X X n

X n

X X X n

X X n

D

n

i

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii x

−=

=+−=

−=−=

∑∑∑

∑∑

===

==

• Chú ý: Sửdụng một số phép biến đổi đơ n giản ta có thểđượ c các hệthức tươ ng đươ ng sau

• Phươ ng sai mẫu:

XY Y X Y X n

Y Y X X n

n

iii

n

iii xy −=−=−−=

∑∑ == 11

1))((1~μ

• Tươ ng tự cho mômen tươ ng quan:

• Tổng quát hơ n:

k j

n

ik ik jij jk x x X X X X X X

n R

k j−=−−=≡ ∑

=1))((1~

μ

ww




HẾT CHƯƠNG 5

ww



CHƯƠ NG 6. LÝ THUYẾTƯỚC LƯ

6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết• Bài toán : Cho X làđại lượ ng ngẫu nhiên có phân bốFf(x,θ)), dạng của F(x,θ) đã biết nhưng chưa biết θ. Hãy

• Thực tế, r ất khó hoặc không thểxácđịnh chính xác gingườ i ta chỉ ướ c lượ ng nó thông qua tậ p mẫu của X

• Giảsửcó mẫu (X1, X2,…, Xn) của X,đểthay thếchoθlượ ng thống kê ),...,,(ˆ 21 n X X X θ

• Đị nh ngh ĩ a : Đại lượ ng thống kêđượ c chọn dùngđểthay thếcho tham số θ đượ c gọi làlượ ng của (hay ngắn gọn hơ n là ướ c lượ ng của )

),...,,(ˆ 21 n X X X θ

• Chú ý: ),...,,(ˆ 21 n X X X θ là hàm của (X1,..,Xn) biến n• Vớ i mỗi (x1,…,xn) thì ),...,,(ˆ 21 n X X X θ là một điểm tr

),...,,(ˆ 21 n X X X θ ⇒ còn gọi làướ c lượ ng điểm của θww




6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết• Ví d ụ: Xétđại lượ ng ngẫu nhiên X vớ i mẫu (X1, X2,…• Khiđó: )[(][],[ 22

x x x x m X M X D D X M m −==≡= σ

∑==

n

ii X n X 1

1

• Nói chung,ứ ng vớ i một tham số có thểcó nhiều cá

lượ ng khác nhau Cần chọn ướ c lượ ng nào tốt nh

là một ướ c lượ ng m x

là cácđặc tr ưng chính xác (các tham sốchính xác) của

∑=

−=≡n

ii x x X X

n s D

1

22 )(1~ là một ướ c lượ ng của D x

ww




6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết• Đị nh ngh ĩ a : Hàmướ c lượ nggọi làướ c lượ ng không chệch nếu:

),...,(ˆ 1 n X X θ

n

ii

n

ii

n

ii M X M

n X M

n X

n M X M ==== ∑∑∑

===[][1][1]1[][

111

của tham số

• Ví d ụ: K ỳ vọng mẫu làướ c lượ ng không chệch của k ỳ vọn

([1])(1[][]~[11

22

∑∑ ==−=−=≡

n

ii

n

ii x x X X M

n X X

n M s M D M

• Phươ ng sai mẫu làướ c lượ ng chệch của phươ ng sai D x

θ θ =)],...,(ˆ[ 1 n X X M

Vì Xi nhận các giá tr ị của X và có cùng phân bốvớ i X n][][ M X M X M i ==

ww




6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−=⇒ ∑=

n

iii x X M X X M X M

n D M

1

2])[(])[(1]~[

( ⎢⎣

⎡ −−−+−= ∑=

n

iii X X M X X M X X M X M

n 1

22 ])([(2])[(])[(1

[ ]

]])[])([([2

]])[([1])[(

1

1

1

2

1

2

∑

∑∑

=

=

=

−−−

−+−=

n

ii

n

i

n

ii

X M X X M X M n

X M X M n

X M X M n x

n

i x

n

i x D D

n D

n i===

∑∑ == 11

11

[(]])[([1 2 M X M X M X n M n

−=−=

]])[[(2

(])[[(2

(])[[(2

2

1

X M X M

X n X M X M n

X X M X M n

n

i

−=−−=

−−=

−−= ∑=

][]~[ X D D D M x x −=⇒

ww




6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−=⇒ ∑=

n

iii x X M X X M X M

n D M

1

2])[(])[(1]~[

]~[ D M x =

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢

⎣

⎡= ∑∑==

n

ii

n

ii X D

n X

n D X D

12

1

11][

Vì các Xi là độc lậ p, có cùng phân bốvớ i X nên

x

n

i

n

ii

n

ii nD X nD X D X D X D ====⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∑∑∑===

][][][111

D⇒

211]~[ σ ≡≠−=−= x x x x x D Dn

n D

n D D M

ww




6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết• Độ chính xác c ủa ướ c l ượ ng không ch ệch

222

2

1111)|),...,(ˆ(|

ε σ ε σ

εσ θ θ θ

θ θ −=−≥<−n X X P

• Giảsử

• Nếu chọn ε=3 ta có:

),...,(ˆ 1 n X X θ

Vớ i xác suất khá lớ n, chênh lệch giữa θ vàướ c lượ nnó không vượ t quá 3 lần độlệch chuNn

làướ c lượ ng không chệch của θ, và2

1 )],...,(ˆ[ θ σ θ =n X X D

Từ bất đẳng thức Tchebychev ta có:

911)3|),...,(ˆ(| 1 ≈−≥<− θ σ θ θ n X X P

ww



CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾTƯỚC LƯ

6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết• Đị nh ngh ĩ a : Hàmướ c lượ nggọi làướ c lượ ng vững nếu vớ i∀ε>0 bất k ỳ cho tr ướ c ta

),...,(ˆ 1 n X X θ của tham số

• Đị nh lý : N ếu

1)|),...,(ˆ(| 1 =<−+∞→

ε θ θ n X X P nlim

thì

),...,(ˆ 1 n X X θ là hàmướ c lượ ng của θ sao ca) ),...,(ˆ 1 n X X θ làướ c lượ ng không chệch của θ hoặc

0})],...,(ˆ[{ 1 =−+∞→

θ θ n X X M nlim (độchệch tiến tớ i 0–k

b) 0)],...,(ˆ[ 1 =+∞→ n X X D θ

nlim

),...,(ˆ

1 n X X θ làướ c lượ ng vững của θ

ww




6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết• Chứ ng minh:• Áp dụng bất đẳng thức Tchebychev:

11(ˆ[1)|)],...,(ˆ[),...,(ˆ(| θ

ε θ θ nn

X D X X M X X P −≥<−

+∞→nlim

0})],...,(ˆ[{ 1 =−+∞→

θ θ n X X M nlim

(ˆ[+∞→ X D θ

nlim

Viết lại:11 1)|))],...,(ˆ[(),...,(ˆ(| ε θ θ θ θ

nn D

X X M X X P −≥<−−−+∞→n

lim

1)|),...,(ˆ(| 1 ≥<−⇒+∞→

ε θ θ n X X P n

lim

• Ví d ụ: K ỳ vọng mẫu làướ c lượ ng vững, vì M X M =][∞→→== nkhi

n D

X Dn

X D x 0][1][

ww




6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết• Đị nh ngh ĩ a : N ếu ),...,(ˆ 1 n X X θ làướ c lượ ng không chệ)],...,(ˆ[ 1 n X X D θ

thì

• Đị nh lý : Cho mẫu (X1,…,X

n) của X có phân bố f(x,θ ) th

một số điều kiện nhất định và

không lớ n hơ n mọi hàmướ c lượ ng khôn),...,(ˆ 1 n X X θ đượ c gọi làướ c lượ ng hiệu quảcủa θ

),...,(ˆ 1 n X X θ làướ c lượ ng không chệch bất k ỳ của θ thì:

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

∂

∂×≥ 21

),(ln1)],...,(ˆ[

θ

θ θ

x f M n

X X D n

Ngườ i ta gọi đây là bất đẳng thứ c thông tin hay bấtthứ c Crame–Rao

ww




6.1 Hàmướ c lượ ng của một tham số chư a biết• Ví d ụ: Cho X có phân bốchuNn N(μ,σ). Chứng minh r ằmẫu làướ c lượ ng hiệu quảcủa μ=M[X]

• Giải: Ta có:2)(

21

21),( σ

μ

σ π μ

−−=

x

e x f

X

2)(212ln),(ln σ μ σ π μ −−−=⇒ x x f ),(ln μ μ =∂∂⇒ x f

24

2

2

2

)[(1),(lnμ

σ σ μ

μ μ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂∂

⇒ X M X

M x f

M

][/1

),(ln1 2

22 X Dnn x f M n

===

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

∂∂×

σ σ

θ θ

X ⇒ làướ c lượ ng hiệu quả

ww




6.2Ướ c lượ ng tham số theo phươ ng pháp hợ p • Xétđại lượ ng ngẫu nhiên X có mật độ phân bốf(x,θ) vớf(x,θ) đã biết, cònθ chưa biết và cần phải ướ c lượ ng. G(X1,…,Xn) là một mẫu của X. Khiđó, hàm

),...,(ˆ 1 n X X θ đượ c gọi là hàm hợ p lý của mẫu.

),(...),(),()( 21 θ θ θ θ n X f X f X f L ×××=

• Vì hàm logarit là hàmđơ n điệu nên thay cho L(θ) ngườihàm H(θ)=lnL(θ), và

Gọi làướ c lượ ng của θ. Cần xácđịnh (ˆ Xθ sao cho: Θ∈∀≥ θ θ θ víi)()),...,(ˆ( 1 L X X L n

Trongđó Θ là miền giá tr ị của θ

),...,(ˆ 1 n X X θ đượ c xácđịnh từΘ∈∀≥ θ θ θ víi)()),...,(ˆ( 1 H X X H n

ww




6.2Ướ c lượ ng tham số theo phươ ng pháp hợ p • Khiđó, nếu tồn tại đạo hàm thìlà nghiệm của phươ ng trình 0)( =

θ θ

d dH

),...,(ˆ 1 n X X θ Nghiệm

),...,(ˆ 1 n X X θ

Phươ ng trình này đượ c gọi là phươ ng trình hợ p lý c

ướ c lượ ng hợ p lý cự c đại củacủa phươ ng trình nàyđượ c gọi là

• Như vậy, các bướ c đểtìmướ c lượ ng hợ p lý cực đại của

– Lậ p hàm h ợ p lý L( θ ) của mẫ u – Tìm hàm H( θ )=ln L( θ ) – Tìm nghi ệm phươ ng trình 0)( =

θ θ

d dH

ww




6.2Ướ c lượ ng tham số theo phươ ng pháp hợ p • Ví d ụ 1: GiảsửX∈N(μ,σ) vớ i σ đã biết. Xácđịnhướ c llý cực đại của μ, biết (X1,…,Xn) là một mẫu của X

( ) ⎢⎣

⎡ −−==

∑∏ ==

n

iin

n

ii X X f L

12

1

(2

1exp2

1),()( μσ σ π

μ μ

• Giải: Lậ p hàm hợ p lý

( σ π μ σ

μ μ 2ln)(21)(ln)(

1

22 n X L H

n

ii −−−==⇒ ∑

=

0)(1)(1

2 =−=⇒ ∑=

n

ii X

d dH

μ σ μ

μ 0)(

1=−⇒∑

=

n

ii X μ

∑∑∑ ====⇒=−⇒

n

ii

n

i

n

ii X n X

1110 μ μ

n X X n =⇒ 1 1),...,(μ̂

μ σ μ

μ ˆ0)(22

2

⇒<−= nd H d là hàm hợ p lýđạt giá t

ww




6.2Ướ c lượ ng tham số theo phươ ng pháp hợ p • Nhận xét: – Hàm hợ p lýđượ c lậ p trên cơ sở tậ p mẫu (X1,…,Xn)

các Xi là độc lậ p có cùng phân bốvớ i X – Mỗi nghiệm của phươ ng trình hợ p lý cực đại là một

thểtínhđượ c từtậ p mẫu nênướ c lượ ng của tham sốướ c lượ ng điểm (xácđịnh một điểm trên tr ục số)

– N ếu có nhiều tham sốcần đượ cướ c lượ ng (như ví dkhi lậ p hàm hợ p lý cực đại, lấy đạo hàm bậc nhất ứntham sốvà cho bằng 0đểnhận đượ c một hệ phươ ng

– Giải hệnày tađượ c cácướ c lượ ng tươ ngứng

ww




6.3Ướ c lượ ng tham sốbằng khoảng tin cậy• Đị nh ngh ĩ a : Khoảng tin cậy )ˆ,ˆ( 21 θ θ của tham số θ vớ i đ

và

• Bài toán : Cho biến ngẫu nhiên X và mẫu (X1,…,X

n) củ

xácđịnh

là một khoảng vớ i haiđầu mút ˆˆ),,...,(ˆˆ2111 n X X θ θ θ θ ==

sao cho:

γ θ θ θ =≤≤ )),...,(ˆ),...,(ˆ( 1211 nn X X X X P

),...,(ˆˆ),,...,(ˆˆ 122111 nn X X X X θ θ θ θ ==γ θ θ θ =≤≤ )),...,(ˆ),...,(ˆ( 1211 nn X X X X P vớ i γ là một hằng

• Nhận xét: Từ định ngh ĩ a ta thấy, nếu γ càng lớ n và khocàng nhỏthìướ c lượ ng của θ càng chính xác

• Giải: Xét một sốví dụ

ww




6.3Ướ c lượ ng tham sốbằng khoảng tin cậy• Ví d ụ 1: Cho X∈N(μ,σ) vớ i đã biết và (X1,…,Xn) làcủa X. Hãy xácđịnhướ c lượ ng khoảng của μ vớ i độtin

• Giải: Xét biến ngẫu nhiên Khiđó U∈N(0n

X U

/σ μ −=

γ π

γ

γ

γ γ γ ==≤≤−=≤⇒ ∫−

−u

u

x dxeuU u P uU P 2

21

21)()|(|

σ μ

σ σ

μ γ γ γ γ ⎜

⎝ ⎛ +≤≤−=≤−≤−⇒

nu X

nu X P u

n X

u P )/

(

⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +−∈⇒ nu X nu X σ σ

μ γ γ , vớ i độtin cậy γ

Vtt

γ=0.95 => uγ=1.96;γ=0.99 => uγ=2.58;…

ww




6.3Ướ c lượ ng tham sốbằng khoảng tin cậy• Ví d ụ 2: Cho X∈N(μ,σ) vớ i chư a biết và (X1,…,Xn) của X. Hãy xácđịnhướ c lượ ng khoảng của μ vớ i độtin

• Giải:Ở đây ta xét biến ngẫu nhiên

Khiđó t∈St(n–1)

n s X

t x /*

μ −=

γ γ

γ

γ γ γ =−=≤≤−=≤⇒ ∫−

t

t

dxn x f t t t P t t P )1,()()|(|

μ μ

γ γ γ γ =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +≤≤−=≤−≤−⇒

n

st X

n

st X P t

n s

X t P x x

x

**

* )/

(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−∈⇒n

st X

n s

t X x x**

, γ γ μ vớ i độtin cậy γ

Vớ i γtr ướ ctìmđ

∑= −−=n

ii x X X n s

1

22*

)(11

vớ i

ww




6.4Ướ c lượ ng theo phươ ng pháp bình phươ ng• Bài toán : Cho mẫu (Y1,…,Yn) của biến ngẫu nhiên Y. biết:

Trongđó: xij (i=1..n, j=1..m) là các hằng số đã biết còn và σ là các tham số chưa biết; X=X(n,m),β=β(m), Y=Ycầu xácđịnh cácướ c lượ ng

),...,2,1(,][...][

22211

niY D

x x xY M

i

mimiii

==+++=

σ

β β β

m β β β ˆ,...,ˆ,ˆ21 (là các hàm của (Y1,…,Yn)) sa

∑=

+++−=n

imimiii x x xY R

1

22211

2 ))...(( β β β đạt giá tr ị nh

Tức cần tìm m β β β ˆ

,...,ˆ

,ˆ

21 thỏa mãn∑ ∑∑ ∑

= == =

⎜⎜

⎝ ⎛ −=

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −

n

i

m

j jiji

n

i

m

j jiji xY xY

1 1,..,1

2

1

ˆ β β β β m1

min

• Giải:

][[Y D

Y M Hay

ww




6.4Ướ c lượ ng theo phươ ng pháp bình phươ ng

là đạo hàm R 2 theo cácβk phải bằng 0:

mk x xY R

ik

n

i

m

j jiji

k

,...,2,1,021 1

2

==⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −−=∂

∂

∑ ∑= = β

β

Điều kiện cần đểthỏa mãn ∑ ∑ ∑= = =

⎜⎜

⎝ ⎛ =

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −

n

i

n

i

m

j jiji Y xY

1,..,1

2

1

ˆ β β β m1

min

Dướ i dạng ma tr ận:

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

nmn

m

n x x

x x

X

Y

Y

Y β ,...

............

,...1

1111

)()(2

β β X Y X Y R T

−−=⇒ 0)(2

2

=−−=∂∂

⇒ β β X Y X R T

Y X X X T T =⇒ β ()(ˆ 1 Y X X X T T −=⇒ β Phươ ng trình chính tắc

ww





ww



CHƯƠ NG 7. KIỂM NGHIỆM GIẢ THIẾT TH

7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống • Khi nghiên cứu một hiện tượ ng nàođó thườ ng nảy sinh vấhoặc: – giữa cái"thật" và cái"giả", – giữa "đúng"và "sai", – giữa cái"bản chất“ và "ngẫu nhiên"

• Chẳng hạn, sau khi xem xét chuỗi sốliệu lượ ng mưa ta phr ằng "hình như k ểtừ khi thayđổi vị trí tr ạm, lượ ng mưa ctăng lên so vớ i tr ướ c?" – Điều nghi ngờ đó cóđúng hay không? – Dấu hiệu lượ ng mưa tăng lên sau khi thayđổi vị trí tr ạ

chất hay chỉ là ngẫu nhiên?• Đểgiải quyết mối nghi ngờ đó ta nêu ra giảthiết "lượ ng mk ểtừ khi thayđổi vị trí tr ạm"và tiến hànhkiểm nghiệm n

• Ngượ c lại vớ i giảthiết này làđối thiết "lượ ng mưa không

ww




7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống • Bài toán tổng quát của kiểm nghiệm giảthiết thống“Chođại lượ ng ngẫu nhiên X và một giảthiết Ho về phsuất của X. Một mệnh đềkhác vớ i Ho đượ c gọi làđối Cần kiểm nghiệm xem Ho đúng hay H1 đúng trên cơ sở

(X1, X2,..., Xn)”• Thông thườ ng đối thiết H1 là phủ định của giảthiết Ho

• Giảthiết Ho có thểlà giảthiết đơ n giản hoặc giảthiết p• Giảthiết đơ n giản là giảthiết chỉ chứa một giả định. V

a1=a2

• Giảthiết phức tạ p là giảthiết chứa nhiều giả định. Vía1<a<a2

ww




7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống • Nguyên tắc giải:• Vềnguyên tắc, đểgiải bài toán kiểm nghiệm giảthiết

cần phải: – Lậ p không gian mẫu (X1,…,Xn) – Trên không gian mẫu này xácđịnh một miền D0 là

nhận H0 và phần bù của D0 là D1 – miền bác bỏgiảtức chấ p nhận đối thiết H1

– Mẫu đã lấy đượ c là một điểm xácđịnh trong khôn – Nếu điểm này thuộc miền D0 ta coi giảthiết H0 là đ

chấ p nhận H0

– Ngượ c lại thì bác bỏH0, tức chấ p nhận H1

ww




7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống Các loại sai lầm:• Khi kiểm nghiệm giảthiết thống kê, chỉ dựa vào một lần th

là tậ p mẫu (X1, X2,..., Xn), dođó những k ết luận đưa ra có phải sai lầm

• Có hai loại sai lầm: – Sai lầm loại I: Là sai lầm bác bỏgiảthiết Ho khi giảthiế – Sai lầm loại II: Là sai lầm chấ p nhận giảthiết Ho khi gi

sai• α = P( /Ho) (Bác bỏHo khi Ho đúng)• β = P(Ho/ ) (Chấ p nhận Ho khi Ho sai)• Quan hệgiữa α và β là ngượ c nhau:α giảm thìβ tăng và n• Dung lượ ng mẫu n càng lớ n, giá tr ị của α và β càng nhỏ

oH

oH

ww




7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống Các loại sai lầm:• Vớ i dung lượ ng mẫu n cố định, ta cốgắng lựa chọn một ch

hợ p sao cho có thểloại tr ừ đượ c cảhai loại sai lầm càng n• Tuy nhiên ta không thểcực tiểu hoáđồng thờ i cảα và β, v

hệvớ i nhau bở i các hệthức1)/()/( 0 =+ ooo H H P H H P /()/( 00 + H H P H H P o

ww




7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống Nguyên lý xác suất nhỏ:• Sựkiện hiếm thì không xuất hiện trong một lần• Sựkiện đã xuất hiên trong một lần quan sát th

là sựkiện tất yếu

ww




7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống Miền thừ a nhận và miền loại bỏ:• Trong kiểm nghiệm giảthiết, khi có tậ p mẫu (X1, X2,…, Xn)

xácđịnh đượ c một điểm trong không gian mẫu, ký hiệu làX• Điểm này sẽthuộc miền Do (miền chấ p nhận Ho) hayD1 (m

Ho, tức chấ p nhận H

1) tùy thuộc vào ranh giớ i d phân chia k

mẫu D thành hai miền Do, D1

D o

D 1

X *

d

D

ww




7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống Miền thừ a nhận và miền loại bỏ:• Trong thực tế, từtậ p mẫu (X1, X2,…, Xn), ta nhận đượ c một t

đó l à một giá tr ị cụthểx*• Giá tr ị này là một điểm trên tr ục số• Không gian mẫu D bây giờ là toàn bộhoặc một phần của tr ục

xácđịnh hai miền Do và D1 bở i giá tr ị giớ i hạn d • x* thuộc Do hay D1 là tùy thuộc vào giá tr ị của d

x *

d d

D o

D 1

D o

d

D1 = {- ; -d} ww




7.1 Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống Miền thừ a nhận và miền loại bỏ:• Vớ i xác suất phạm sai lầm

loại 1 bằng α ta có:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-6 -4 -2 0 2 4 6

αD1 = {- ; -d}

d –d

• Trong tr ườ ng hợ p một chiều, nếu f(x/Ho) là mật độxác suất cóđiều

−=∈=

=∈=

∫∫1)/()/(

()/()/(1

0000

0101

D

D

H D X P H D P

s f H D X P H D P

−==∈

+=∈

∫

∫∫+

−

+∞−

∞−

1)/()/(

)/()/(

000

001

d

d

d

d

dx H x f H D X P

fdx H x f H D X P

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết1. Qui tắc phân bốchuẩn:• Bài toán 1: Cho biến ngẫu nhiên có phân bốchuNn N

đã biết, và (X1,…,Xn) là một mẫu của X. Hãy kiểm n bằng nhau của μ vớ i sốμ0 cho tr ướ c.

• Giải:Đặt giảthiết kiểm nghiệm H0: μ=μ0

Vì μ chưa biết nên thayμ bằngướ c lượ ngVà đưa giảthiết H0 vềdạng tươ ng đươ ng:

∑=≈in

X 1

μ

00 : μ = X H Khiđó, nếu H0 đúng ta có xác suất phạm sai lầm loại

α μ =≥− )|(| 0 d X P Ý nghĩ a: 00 μ μ μ ≠≠ hay X

ww



CHƯƠNG 7. KIỂM NGHIỆM GIẢ THIẾT TH

7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết1. Qui tắc phân bốchuẩn:• Lậ p biến mớ i:

Như đã biết, vì

n X

u/

0

σ μ −=

α μ α =≥=≥−⇒ )|(|)|(| 0 uu P d X P

nd

u/σ

α =

nên khi H0 đúng biến u có phân bốchuNn chuNn hóa,u

),(n

N X σ μ ∈

Dođó, nếu biết tr ướ c α ta có thểtínhđượ c uα từ phươ ng

α π

α

α

α −==< ∫−−

121

)|(|

221u

u

x

dxeuu P Vàđưa ra k ết luận: |u| ≥uα : Bác bỏH0, tức μ ≠ μ0

|u| < uα : Chấ p nhận H0, tức μ = μ0

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết1. Qui tắc phân bốchuẩn:• Nhận xét:• Từtậ p mẫu (X1,…,Xn), đại lượ ng thống kêx* nhận đư

chính làướ c lượ ng của μ, tức

• Sauđó, thay cho X

• Miền thừa nhận giảthiết H0 (miền D0) chính là (– uα , uα

đó miền loại bỏH0 (miền D1) là ( – , – uα) ∪ (+uα ,+ )

X là biến thống kê mớ i u

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết1. Qui tắc phân bốchuẩn:• Bài toán 2: Cho hai biến ngẫu nhiên có phân bốchuNn

X∈N(μx,σx) và Y∈N(μy,σy) vớ i σx và σy đã biết, (X1,…(Y1,…,Yn2) là các mẫu tươ ngứng của X và Y. Hãy kiể

sự bằng nhau của μx và μy.• Giải: Đặt giảthiết kiểm nghiệm H0: μx=μy

Vì μx và μy chưa biết nên thay chúng bằng cácướ c lư

Và đưa giảthiết H0 vềdạng tươ ng đươ ng:∑

==≈

1

11,1

y

n

ii x X

n X μ μ

Y X H =:0

Khiđó, nếu H0 đúng ta có xác suất phạm sai lầm loại

α =≥− )|(| d Y X P

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết2. Qui tắc Student:• Bài toán 1: Cho biến ngẫu nhiên có phân bốchuNn N

chưa biết, và (X1,…,Xn) là một mẫu của X. Hãy kiểm bằng nhau của μ vớ i sốμ0 cho tr ướ c.

• Giải:Đặt giảthiết kiểm nghiệm H0: μ=μ0

Vì μ chưa biết nên thayμ bằngướ c lượ ngVà đưa giảthiết H0 vềdạng tươ ng đươ ng:

∑=≈in

X 1

μ

00 : μ = X H Khiđó, nếu H0 đúng ta có xác suất phạm sai lầm loại

α μ =≥− )|(| 0 d X P

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết2. Qui tắc Student:• Vì chưa biết σ nên lậ p biến mớ i:

Ở đây:n s

X t

x /*0μ −=

α μ α =≥=≥−⇒ )|(|)|(| 0 t t P d X P

t

)1( −∈ nSt t

Dođó, nếu biết tr ướ c α ta có thểtínhđượ c t α từ phươ ng

α α

α

α −=−=< ∫−

1)1,()|(|t

t

dxn x f t t P

Vàđưa ra k ết luận: |t | ≥ t α : Bác bỏH0, tức μ ≠ μ0|t | < t α : Chấ p nhận H0, tức μ = μ0

∑=−=

n

i x

n s

1

* (1

1

f(x,n–1) là hàm mậtStudent vớ i n–1 bậc

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết2. Qui tắc Student:• Bài toán 2: Cho hai biến ngẫu nhiên có phân bốchuNn

X∈N(μx,σx) và Y∈N(μy,σy) vớ i σx và σy chưa biết, (Xvà (Y1,…,Yn2) là các mẫu tươ ngứng của X và Y. Hãy

nghiệm sự bằng nhau của μx và μy.• Giải: Đặt giảthiết kiểm nghiệm H0: μx=μy

Vì μx và μy chưa biết nên thay chúng bằng cácướ c lư

Và đưa giảthiết H0 vềdạng tươ ng đươ ng:∑

==≈

1

11,1

y

n

ii x X

n X μ μ

Y X H =:0

Khiđó, nếu H0 đúng ta có xác suất phạm sai lầm loại

α =≥− )|(| d Y X P

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết2.Qui tắc Student:• Vì chưa biết σx, σy nên lậ p biến mớ i:

Khiđó:

t A

Y X t

−= α ,

α α =≥=≥−⇒ )|(|)|(| t t P d Y X P

)2( 21 −+∈ nnSt t

Dođó, nếu biết tr ướ c α ta có thểtínhđượ c t α từ phươ ng

α α

α

α −=−+=< ∫− 1)2,()|(| 21

t

t

dxnn x f t t P

Vàđưa ra k ết luận: |t | ≥ t α : Bác bỏH0, tức μx ≠ μy|t | < t α : Chấ p nhận H0, tức μx = μy

∑=−

=1

11

2*

11 n

i x

n s

f(x,n1+n2 –2) là hàmbốStudent vớ i n1+n

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +−+

−+−=2121

2*2

2*1 11

2)1()1(

nnnn

sn sn A y x

∑=−

=2

2*

11 n

i y

n s

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết3. Qui tắc F:• Bài toán: Cho hai biến ngẫu nhiên có phân bốchuNn

X∈N(μx,σx) và Y∈N(μy,σy) vớ i σx và σy, (X1,…,Xn1(Y1,…,Yn2) là các mẫu tươ ngứng của X và Y. Hãy k

nghiệm sự bằng nhau của σx và σy.• Giải: Đặt giảthiết kiểm nghiệmVì σx và σy chưa biết nên thay chúng bằng cácướ c lư

∑∑== −

=≈−−

=≈21

12

2*2

1

2

1

2*2 (1

1,)(1

1 n

i y y

n

ii x x Y

n s X X

n s σ σ

2*0 : x s H =

220 : y x H σ σ =

Và đưa giảthiết H0 vềdạng tươ ng đươ ng:

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết4.Qui tắc χ 2:• Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X và mẫu (X1,…,Xn). T

ta xây dựng đượ c hàm phân bốthực nghiệm F n(x). Giả phân bốcủa X chính xác là hàm F(x, θ ) vớ i θ=(θ1,…,θr )

tham số. Hỏi r ằng phân bốthực nghiệm F n(x) có phù hợ bốlý thuyết F(x, θ ) không?

• Các bướ c giải bài toán như sau:

• Giải: Thực chất của bài toán là kiểm nghiệm giảthiết vềhợ p giữa phân bốthực nghiệm nhận đượ c từtậ p mẫu vàlý thuyết mà ta giảthiết là X tuân theo: H0: F n(x)=F(x)

• B1. Căn cứvào tậ p mẫu (X1,…,Xn) chia không gian gthànhk khoảng r ờ i nhau; ký hiệu các khoảng đó l à S1,…

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết4.Qui tắc χ 2:• B2. Xácđịnh sốthành phần của mẫu (X1,…,Xn) r ơ i vào

khoảng:m j = Sốthành phần mà Xi∈S j, (i=1,…,n; j=1,

Hiển nhiên ta có: nmk

j j =∑=1

• B3. Từ phân bốlý thuyết F(x, θ ) đã biết, tính xác suất r ơkhoảng: k jS X P p j j ,...,1),( =∈=

Cácm j đượ c gọi là tần sốthực nghiệmứng vớ i các khoả

Khiđó cácnp j (j=1,…,k)đượ c gọi là tần sốlý thuyết r ơ

Hiệu (m j – np j ) phản ánh sự sai lệch giữ a thự c nghiệm v• B4. Lậ p biến mớ i: ∑

=

−=k

j j

j j

np

npm

1

2)(η

ww




7.2 Một sốqui tắc kiểm nghiệm giảthiết4.Qui tắc χ 2:

)1(2 −−∈ r k χ η

Khi H0 đúng, ta có xác suất phạm sai lầm loại 1 là:

Ngườ i tađã chứng minhđượ c biến η có phân bố χ 2 vớ i bậc tựdo ( p là sốtham sốcủa phân bố):

• B5. Chọn giá tr ị α và tínhη αtừhệthức:

η( P

α η η α η

α −=−−=< ∫ 1)1,()(0

dxr k x f P f(x,k–r–1)là hàmbố χ 2 vớ i k–r–1b

Vàđưa ra k ết luận: η ≥ ηα : Bác bỏH0, tức F n(x) ≠ F(x)

η < ηα : Chấ p nhận H0, tức F n(x)=F(

ww




Tóm tắt• Khái niệm vềkiểm nghiệm giảthiết thống kê: – Nêu giảthiết: Đưa ra một mệnh đềmà cần phải xác

nó “đúng” hay “sai”.Đó thườ ng là giảthiết H0

– Giảthiết H0 thông thườ ng là một mệnh đềmà ta m

• Đểkiểm nghiệm, cần có tậ p mẫu (X1,…,Xn) – Trên thực tế, đó l à một dãy sốliệu quan tr ắc của X, – Từ tậ p mẫu này ta xácđịnh đượ c một đại lượ ng thố

đó, ví dụu, t , f , η ,…Đó l à một hằng sốcụthể, ký h• Giảthiết H

0 đúng hay khôngđúng (sai) tùy thuộc vàox

miền D0 (miền thừa nhận H0) hay D1 (miền bác bỏH0)và D1 là hai miền không giao nhau, chúng hợ p thành kmẫu. Nói cách khác D1 là phần bù của D0.

ww




Tóm tắt• “Ranh giớ i” phânđịnh D0 và D1 liên quanđến xác suấtlầm loại 1 và loại 2; nóđượ c xácđịnh bở i giá tr ị giớ i hđó, ví dụuα, t α, f α, ηα,…

• Thông thườ ng đểxácđịnh ranh giớ i này ta chọn một g

suất phạm sai lầm loại 1 bằng α nàođó.• Từgiá tr ị α, căn cứvào luật phân bốcủa đại lượ ng thốnη ,…), giải phươ ng trình P(x*∈D1)=α hoặc P(x*∈D0)=1uα, t α, f α, ηα,…

• K ết luận thống kêđượ c rút ra từviệc so sánhu, t , f , η ,…

ứng vớ i uα, t α, f α, ηα,…

ww



α /2


Tóm tắt• Cách xácđịnh uα, t α, f α, ηα,…

25.0

2

10

21 2 α

π

α

−=∫

−u x

dxe

Qui tắc phân bốchuNn:

)1,(0

α

−∫

t

dxn x f

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-6 -4 -2 0 2

t α

Qui tắc Stude

ww




Tóm tắt• Cách xácđịnh uα, t α, f α, ηα,…

α α

−=−−∫ 1)1,1,(0

21

f

dxnn x f

Qui tắc F:α η

−−

∫)1,(

0

dr k x f

Qui tắc χ 2:

f α α η α

ww




Tóm tắtCó 4 qui tắc kiểm nghiệm đã đượ c xét:• Qui tắc phân bốchuNn:

– 2 bài toán (So sánh k ỳ vọng vớ i mộtsố cho tr ướ c và so sánh hai k ỳ vọng)

– Đã cho biết phươ ng sai• Qui tắc Student:

– 2 bài toán (So sánh k ỳ vọng vớ i mộtsố cho tr ướ c và so sánh hai k ỳ vọng)

– Chưa cho biết phươ ng sai• Qui tắc F: 1 bài toán (So sánh hai

phươ ng sai)• Qui tắc χ 2: 1 bài toán (So sánh phân bốthực nghiệm vớ i phân bốlý thuyết

• Các biếgiảthiếphân b

• Nếu n đ(n>30)không dụng gnày

HẾT CHƯ

ww





ww



CHƯƠ NG 8. LÝ THUYẾT TƯƠ NG QUAN V

8.1 Tínhđộc lập và quan hệphụ thuộc ngẫu nh• Xét haiđại lượ ng ngẫu nhiên X, Y• Giảsửf(x,y) là phân bố đồng thờ i của hệ (X,Y)• Khiđócóthể biểu diễn: f(x,y)=f(y/x).f 1(x)=f(x/y).f 2(y

• Trongđó f(y/x), f(x/y) là các phân bốcó điều kiện cònlà các phân bốriêng

),(),(,),(),(2

yY x X P y x F y x

y x F y x f <<=

∂∂∂=

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== dx y x f y f dy y x f x f ),()(,),()( 21

∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

==dx y x f

y x f y x f

dy y x f

y x f x y f

),(

),()/(,),(

),()/(

ww




8.1 Tínhđộc lập và quan hệphụ thuộc ngẫu nh• Nếu X và Yđộc lậ p vớ i nhau:• f(y/x)=f 2(y), f(x/y)=f 1(x) f(x,y)=f 1(x).f 2(y)• Tức là sự biến thiên của đại lượ ng này khôngảnh hưởn

biến thiên của đại lượ ng kia và ngượ c lại• Nói chính xác hơ n, xác suất đểY nhận giá tr ị nàođó k

hưở ng bở i việc cho tr ướ c giá tr ị x của X, và ngượ c lại• Nếu X và Y khôngđộc lập vớ i nhau, khi đó ta nói X

thuộc lẫn nhau

• Có hai khái niệm phụ thuộc giữ a X và Y: – Phụ thuộc hàm – Phụ thuộc tươ ng quan

ww




8.1 Tínhđộc lập và quan hệphụ thuộc ngẫu nh• Nếu X và Y phụthuộc hàm vớ i nhau, khiđócóthể biểY = f (X)hoặc X = g (Y)

• Điều đó có ngh ĩ a là nếu X nhận giá tr ị x nàođó thì tươnhận giá tr ị y=f(x), hoặc khi Y nhận giá tr ị y nàođó th

tr ị tươ ngứng x=g(y)• Tuy nhiên, trong thực tếcácđại lượ ng ngẫu nhiên thưthuộc lẫn nhau phức tạ p hơ n nhiều

• Ví dụ: – Quan hệgiữa nhiệt độvà độ Nm tươ ng đối không k

ngày: Qui luật chung là nhiệt độ tăng thìđộ Nm giảmlà mối quan hệ khôngđơ n tr ị và không phải là quan

– Quan hệgiữa chiều cao và cân nặng của cơ thể ngư – …

ww



CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ

8.1 Tínhđộc lập và quan hệphụ thuộc ngẫu nhMinh họa sự phụthuộcgiữa Y và X:Ứ ng vớ imột giá tr ị x∈X có thểcónhiều giá tr ị của Y, và

ngượ c lại – Không phải làquan hệhàm

Y

Tậ p giá tr ịY/X=x (hoặcX/Y=y) sẽtuân theo luật phân bốnàođó mà ta gọilà phân bốcó điều kiện:f(y/x) (hoặc f(x/y)Sự phụ thuộc giữ a Y và X trong trườ ng hợ p này đượ c gọi làngẫu nhiên. Quan hệgiữ a Y và Xđượ c gọi là quan hệ tươ ng

ww




8.2 Hệsố tươ ng quan• Một trong những đặc tr ưng quan tr ọng đểnghiên cứu mtươ ng quan giữa hai biến ngẫu nhiên là hệsố tươ ng qu

• Theođịnh ngh ĩ a, hệsố tươ ng quan giữa haiđại lượ ng X, Y là sốvô thứ nguyênđượ c xácđịnh bở i:

y x

xy

y x

y x

xy

D DmY M m X M

mY m X M

Y M Y M X M X M Y M Y X M X M

co])[(].)[(

)])([(]])[[(].])[[(

])][])([[(

22

22

≡=−−

−−=

=−−

−−=≡

μ

ρ ρ

• Một sốký hiệu thườ ng gặ p ,(),( Y Y X xy ρ ρ ρ ρ =≡≡),cov(),cov( X Y Y X xy =≡μ var22 D x x ≡≡≡ σ σ

ww




8.2 Hệsố tươ ng quanMột sốtính chất của hệsố tươ ng quan

1) N ếu Z1=aX+b, Z2=cX+d (a,b,c,d là các hằng số, a>0, ρ(Z1,Z2) =ρ(X,Y)

2) Tr ị sốcủa hệsố tươ ng quan nằm trong khoảng [–1,1]

3) Điều kiện cần vàđủ để|ρxy| = 1 là Y và X thực sựcó qhàm tuyến tính, tức Y=aX+b, hoặc X=cY+d.ρxy = 1 khi và chỉ khi a>0, hoặc c>0,ρxy=–1 khi a<0

4) N ếu X và Yđộc lậ p vớ i nhau thì ρxy=0.Điều ngượ c lại

ww




8.2 Hệsố tươ ng quanÝ ngh ĩ a của hệsố tươ ng quan• Từcác tính chất của hệsố tươ ng quan suy ra r ằng

– Hệsố tươ ng quan làđại lượ ng đặc tr ưng cho mối qtuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y

– Hệsố tươ ng quan bằng 0 thì hai biến không có ququan tuyến tính nhưng chưa chắc chúngđộc lậ p vớchúng có phân bốchuNn)

– Hệsố tươ ng quan dươ ng thì hai biến quan hệ đồngnhau, hệsố tươ ng quan âm hai biến quan hệnghịcnhau

ww




8.3 Hệsố tươ ng quan mẫu• Hệsố tươ ng quanρ đã xét trênđây là hệsố tươ ng quagiữa hai biến ngẫu nhiên.Nó l à một hằng số chưa biết

• Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) và mẫu (X1,Y1),…,(Xn,Y• Hệsố tươ ng quan mẫu giữa haiđại lượ ng ngẫu nhiên

lượ ng đượ c xácđịnh bở i:

y x

xy

n

ii

n

ii

n

iii

xy s

D DY Y n

X X n

Y Y X X nr r ≡=

−−

−−=≡

∑∑

∑

==

=~~

~

)(1)(1

))((1

1

2

1

2

1 μ

• Khác vớ i hệsố tươ ng quan lý thuyết ρ , hệsố tươ ng r là một đại lượ ng thống kê nên nó là một biến ngẫu

ww




8.3 Hệsố tươ ng quan mẫu• Mật độ phân bốcủa r có dạng:

• Phân bốcủa r chỉ phụthuộc vào dung lượ ng mẫu n và hệquan tổng thể

• Khi n = 2 thì f n(r) = 0, phù hợ p vớ i sựkiện hệsố tươ ng qtính từtậ p mẫu chỉ có 2 quan tr ắc phải bằng ±1

• K ỳ vọng của hệsố tươ ng quan mẫu r : M[r ]= ρ • Phươ ng sai của hệsố tươ ng quan mẫu r :

∑∞

=

−−− −+−−−

=0

24

221

23

21(()1()1(

)2(2)(

i

nnn

nin

r n

r f

Γ ρ Γ π

∫ −−−−

= −

−−− 1

01

22

422

12

)1()1()1(2

)( rx x

r n

r f n

nnn

n ρ ρ π

hoặc dạng khác

)4442(4

][0211

13

2011

31211

22

2020

22202

04220

402

μ μ μ

μ μ μ

μ μ

μ μ μ

μ μ

μ μ ρ −−+++=

nr D

ww




8.3 Hệsố tươ ng quan mẫu• Ướ c lượ ng khoảng của hệsố tươ ng quan:

Khiđó biến z có phân bốxấ p xỉ chuNn vớ i trung bình v

Sửdụng phép biến đổi của Fisher:r r

z −+=

11log

21

ζ =

)1(2][ −+= n z M ρ ζ 3

1][ −= n z D

Và khoảng tin cậy của ζ vớ i độtin cậy 1−α là:

⎜⎜⎝ ⎛ +

−−

−−

−−=

)1(2,

31

)1(2)ˆ,ˆ( 21 u

nr

z n

unr

z α α ζ ζ

trongđó uα

nhận đượ c từ phân bốchuNn N(0,1): ≥( uu P

• Cách xácđịnh: – Choα tínhđượ c uα; từ r tínhđượ c z ; – Từ uα, r , z tínhđượ c )ˆ,ˆ( 21 ζ ζ ˆ()ˆ,ˆ( 121 ρ ρ ρ ρ <<⇒⇒

ww




8.3 Hệsố tươ ng quan mẫu• Kiểm nghiệm độrõ rệt của hệsố tươ ng quan: – Trong thực tế, dođộlớ n của mẫu (dung lượ ng mẫu) b

nên có thểxảy ra tình huống mặc dù ρ=0 nhưng r ≠0, v – Nói cách khác, trong tính toán thực hành nếu nhận đư

điều đó không có ngh ĩ a là ρ bằng 0. – Ngượ c lại, nếu r ≠0 thì cũng không hẳn là ρ khác 0 – Khi dung lượ ng mẫu nhỏthì mặc dù ρ =0 nhưng giá tr

có thểcó ý ngh ĩ a (lớ n đáng k ể) – Đểxác minh xem ρ=0 hay ρ≠0 cần phải kiệm nghiệm

của r (làướ c lượ ng của ρ)

ww




8.3 Hệsố tươ ng quan mẫu• Kiểm nghiệm độrõ rệt của hệsố tươ ng quan: – Đểkiểm nghiệm, tađặt giảthiết H0: ρ = 0 – Thay ρ ≈ r , vớ i giớ i hạn tin cậy banđầu d thì khi H0 đ

suất phạm sai lầm loại 1 là α =≥ )( d r P

2/1 2 −−= nr

r t 2/1 2 −−= nr

d t α Đặt

Khi H0 đúng, t có phân bốStudent vớ i n–2 bậc tựdo: t ∈

α α =≥=≥⇒ )()( t t P d r P Từ đó, vớ i α đượ c chọn ta tínhđượ c t α từ St(n–2)Và k ết luận:• N ếu |t | ≥ t α thì bác bỏH0 và đưa ra k ết luật r lớ n rõ r ệ• N ếu |t | < t α thì chấ p nhận H0 và k ết luận r không lớ n

ww




8.3 Hệsố tươ ng quan mẫu• Kiểm nghiệm độrõ rệt của hệsố tươ ng quan: – Ví d ụ: Từtậ p mẫu {(xt, yt), t=1..11} ta tínhđượ c hệsố

quanr xy=0.76. Hãy cho biết vớ i giá tr ị nhận đượ c như số tươ ng quan có lớ n rõ r ệt không nếu chọn xác suất plầm loại 1 là α =0.01?

• Vớ i α =0.01, từ St(11-2) xácđịnh đượ c t α =3.25 <t nênthiết Ho và k ết luận r xy lớ n rõ r ệt

=−−

=2/1 2 nr

r t xy

211/76.0176.02

−−

Giải: Ta có

ww




8.4 Khái niệm vềhồi qui• Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y)• Quan hệgiữa X và Y có thểlà:

– Quan hệhàm – Quan hệ tươ ng quan

• Khi X và Y có quan hệ tươ ng quan: – Mỗi giá tr ị x∈ X tươ ngứng vớ i một hàm phân bố(

mật độ) cóđiều kiện F(y/x) (hoặc f(y/x)) của Y, và – Nghiên cứu mối phụthuộc tươ ng quan cần xácđịnh

phân bốcó điều kiện

)(),()/(

1 x f y x f x y f =

)(),()/(

2 y f y x f y x f =

R ất khtạp, và hầkhông thểđượ c

ww




8.4 Khái niệm vềhồi qui• Một cách làm khác: Chỉ giớ i hạn xét mối quan hệphụ thX vớ i một số đặc trư ng cóđiều kiện của Y, như k ỳ vọnmốt,..

• Phổ biến hơ n cảlà xét mối quan hệgiữ a X và k ỳ vọng c

của Y: my(x) = M[Y/X=x]

• Ngườ i ta gọi đây làsự phụthuộc hồi qui: Hồi qui của YY=m y(X) hay y = m y(x)

• Hồi qui nàyđượ c gọi làhồi qui I: y = m y(x) có thểlà hàtínhhoặc phi tuyến• Nói chung, y = m y(x) là một hàm bất k ỳ, phức tạ p, và hầ

không biết đượ c dạng giải tích

∫+∞

∞−=== dy x y yf x X Y M xm y )/(]/[)(

ww




8.4 Khái niệm vềhồi qui

y=m y(x)

(x t ,yt )

ww




8.5 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính• Trong thực tế, đểnghiên cứu mối quan hệ tươ ng quan gngườ i ta thườ ng xấ p xỉ m y(x) bở i một lớ p hàm f(x) nàođótr ướ c dạng giải tích (Chú ý: f(x) là một hàm nàođó, khôhàm mật độcủa X)

• Trong tr ườ ng hợ p này hàm hồi quiđượ c gọi làhồi qui II• Nguyên tắc xácđịnh hàm f(x) là cực tiểu hóa hệthức:• Điều đó có ngh ĩ a là tìm trong các hàmφ(X) thuộc lớ p hà

hàm f(X) nàođó thỏa mãn

(~)()( f y y x f xm y =≈⇒≈

)(~

X f Y Y Hay =≈

M

]))([(]))([( 22 X Y M X f Y M ϕ φ ϕ

−=−∈(X)

min

• Hàm hồi qui IIđượ c xácđịnh bằng phươ ng pháp này gọbình phươ ng trung bình

ww




8.5 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính

y=m y(x)

(x t ,yt )

=f(x) y~

ww





y=m y(x)

(x t ,yt )

=f(x)= α+ β x y~

ww




8.5 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính• Tr ườ ng hợ p đơ n giản nhất của hồi qui bình phươ ng trunqui bình phươ ng trung bình tuyến tính- f(x) là hàm bậc n

Y = f(X) = α + β X Hay y = f(x) = α + β x

α , β là các hằng số. (Để đơ nký hiệu dấu “ngã” phía trê

• Các hằng số α , β đượ c gọi là các hệsốhồi qui• Từ phươ ng pháp bình phươ ng tối thiểu ta có:

]])[][][][[(])[(]))([(

2

222

X M X M X Y M Y M Y M

X Y M X f Y M R

β β β α

β α

−+−−+−==−−=−=

( ])[][(])[(])[( X M Y M X M X Y M Y M β α β −−+−−−=

]])[][])([(2][])([(2])[])([(2

[][(])[(])[( 222

X M Y M X M X

Y M Y M Y X M X Y M Y

X M Y M X M X Y M Y M

β α β

α β

β α β

−−−−−−−+−−−

−−+−+−=

ww




8.5 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính[

]])[][])([(2][])([(2])[])([(2

][][(])[(])[( 2222

X M Y M X M X

Y M Y M Y X M X Y M Y

X M Y M X M X Y M Y M R

β α β

α β

β α β

−−−−−−−+−−−

−−+−+−=

[

]][][][][][][.][.][][

][][][][.][.[2),cov(2])[][(][][

2

2

222

X M X M X M Y M X M

X M X X Y M X Y M X M

Y M Y M Y M X M Y Y Y M Y M

Y X X M Y M X DY D R

β βα β

β βα β β

α β α

β β α β

−−++++−+

++−−−+−−−++=

2222

22

222

(2

),cov(2)(

x x y x x x y x

y x y y y x y y

x y x y

mmmmmmmm

mmmmmmmm

Y X mm D D R

β αβ β β αβ β

β α β α

β β α β

−−+++−−++−−−+

+−−−++=

xy x y x y mm D D R βμ β α β 2)( 222 −−−++=ww




8.5 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính xy x y x y mm D D R βμ β α β 2)( 222 −−−++=

022)(2

0)(22

2

=−+−−−=∂∂

=−−−=∂∂

xy x x x y

x y

Dmmm R

mm R

μ β β α β

β α α

(2 −− y m α

α =⇒

0))((022)(2

=−+−−−⇒

=−+−−−

xy x x x x y y

xy x x x y

Dmmmmm

Dmmm

μ β β β

μ β β α xy x D μ β =−

x y x

xy mm D

β α μ

β −== , ][,)var(

),cov(Y M

X

Y X α β −==

X D D

mm X f Y x

xy

x

xy x y

μ μ +−== )()( mm y x y −= (hay

ww





x y x

xy mm D

β α μ

β −== ,

Dmm y X

D Dmm X f Y

x

xy x y

x

xy

x

xy x y

μ μ μ −=+−== (,)()(

x

y xy

x

y

y x

xy

y

y

x

xy

x

xy

x

xy

D σ

σ ρ

σ

σ ρ

σ

σ

σ σ

μ

σ

σ

σ

μ

σ

μ μ β ≡===== 22

• Hệsốgóc của đườ ng thẳng hồi qui cùng dấu vớ i hệsố tư – Hệsố tươ ng quan dươ ng:Đườ ng thẳng hồi qui có h

lên” từ trái sang phải – Hệsố tươ ng quan âm:Đườ ng thẳng hồi qui có hướn

xuống” từtrái sang phải

Đây là phươ ng trìnhđườ nghồi qui vớ i hệsốgóc β

ww





x

y

y = α + β x, β

> 0

y

y = α + β x , β < 0

ww





xy x y x y mm D D

X Y M X f Y M R

βμ β α β

β α

2)(]))([(]))([(

22

222

−−−++=+−=−=

x

xy

Dα

μ β = ,

• Sai sốcủa phươ ng pháp

1(12

2)(

222

22

2

22

2

2

2

22

2

22

4

222

ρσ σ σ

μ σ

σ

μ σ

σ

μ

σ

μ σ

μ σ

μ β β σ

σ

μ σ

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=−=−+=

−−+−++=

y y x

xy y

x

xy y

x

xy

x

xy y

xy x

xy x x y y x

x

xy y mmmm R

• Vì |ρ|≤1 nên sai sốR 2 càng nhỏkhi |ρ| càng gần 1

• Nói cách khác, nếu Y và X quan hệtuyến tính vớ i nhau chẽthì sai sốcủa phép xấ p xỉ m y(x) ≈ f(x) càng chính xá• Khi hệsố tươ ng quan |ρ|=1,ứng vớ i tr ườ ng hợ p Y và X

hàm tuyến tính, thì R 2=0ww




8.6 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính nhiều biến (• Xét mối quan hệ tươ ng quan giữa biến ngẫu nhiên Y với

ngẫu nhiên (X1,...,Xm)• Quan hệgiữa Y và (X1,...,Xm) có thể đượ c mô tả bở i các

đồng thờ i f(y, x 1 ,...,x m ) hoặc phân bốcó điều kiện f(y/x1 ,.• Tuy nhiên,điều đó thườ ng không thực hiện đượ c, và tha

đó ngườ i ta xét quan hệgiữa Y vớ i (X1,...,Xm) thông qutr ưng cóđiều kiện• Ở đây ta xét k ỳ vọng cóđiều kiện:

m y(x1 ,...,x m )=M [Y/X 1=x 1 ,...,X m=x m]

∫

+∞

∞−== dy x x y yf x xm y mm y ),...,/(),...,( 11 ,.( 1 y X mY =

• Đây đượ c gọi là mặt hồi qui I giữa Y và (X1,...,Xm)• Tươ ng tự như tr ườ ng hợ p một biến, mặt hồi qui Im y(x1 ,..

hàm phức tạ p và nói chung không thểxácđịnh đượ cww




8.6 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính nhiều biến (• Dođó, thay cho hàm hồi qui I ngườ i ta xét hồi qui II là biến nàođó f(x1 ,...,x m ) đượ c chọn làm xấ p xỉ cho k ỳ vọnkiện m y(x1 ,...,x m )=M [Y/X 1=x 1 ,...,X m=x m]

,.(),...,(),...,( 111 mm y X f Y x x f x xm y ≈≈= hay

• Trong tr ườ

ng hợ p

f(x1 ,...,x

m )

thuộ

c lớ p hàm tuy

ế

n tính ta

• Trongđó các β j , j=0..m là các hệsốhằng số, đượ c xácđ

∑=

+=≈m

1 j j jm x x x f y β β 01 ),...,(

∑=

+=≈m

1 j j hay jm X X X f Y β β 01 ),...,(

])),...,([( 02

1 ⎢⎢

⎣

⎡

⎜⎜

⎝

⎛

⎜⎜

⎝ ⎛ +−=−= ∑

=

m

1 j j

2 M R jm X Y M X X f Y β β

ww




8.6 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính nhiều biến (• Phươ ng trình hồi qui tìmđượ c trong tr ườ ng hợ p này gọi bình phươ ng trung bình tuyến tính nhiều biến

• Xácđịnh các hệsốhồi qui:• Từhệthức:

⎢⎢

⎣

⎡

⎜⎜

⎝

⎛ ⎜⎜

⎝ ⎛ +−= ∑

=0

m

1 j j

2 R XY M β β

• Lần lượ t lấy đạo hàm theo β k và cho bằng 0, tađượ c hệ:

mk X X Y M

X Y M

k jk

j

,..,1,02

020

==⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−−=

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−=∂∂

∑

∑

=

=

m

1 j j 0

2

m

1 j j 0

2

R

R

β β β

β β β

ww




8.6 Hồi qui bình phươ ng trung bình tuyến tính nhiều biến (

mk X X Y M

X Y M

k jk

j

,..,1,02

020

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−−=

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−=∂∂

∑

∑

=

=

m

1 j j 0

2

m

1 j j 0

2

R

R

β β β

β β β

),..,1(

][][0

0][][0

mk

X M YX M X X Y M

X M Y M X Y M

k k k j

j j

=

−−⇒=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−

=−−⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

∑∑

∑∑

==

==

m

1 j 0

m

1 j j 0

m

1 j j 0

m

1 j j 0

β β β β

β β β β

⇒=−− ∑=

0][][m

1 j j 0 j X M Y M β β ∑−=

j0 ][Y M β

ww





),..,1(,0][][][ mk X X M X M YX M k jk k ==−− ∑=

m

1 j j 0 β β =0 [ M β

),..,1(

[][][][][][

mk

X M X M X M X M Y M YX M k jk k

=

−+− ∑∑==

m

1 j j

m

1 j j β β

),..,1(

[][][(][][][

mk

X M X M X X M X M Y M YX M jk jk k

=

−−− ∑=

m

1 j j β

),..,1(,0 mk k jk x x yx ==−∑

=

m

1 j j μ β μ

),..,1(, mk yk jk ==∑= μ μ β

m

1 j j

• Đây là một hệ phươ ng trìnhđại sốtuyến tínhm phươ ng số Có nhiều cách giải: KhửGauss, Crame, nghịch đả

ww





∑=

−=m

1 j j 0 [][ j X M Y M β β ),..,1(, mk yk jk ==∑

=μ μ β

m

1 j j

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−==+++

=+++=+++

mm y

ymmmmm

ym

ym

mmm β β β μ β μ β μ β μ

μ β μ β μ β μ

μ β μ β μ β μ

......

.........

110

21

222221

111211

m 21

m 21

m 21

j X M

Y M ≡][

][Ký hi

Có thểk ết hợ p lại thành hệ đầy đủ

ww





⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

mm

m

m

m

mm

mmmm

μ

μ

β

β β

β

μ

μ μ

μ μ

μ μ μ μ

.........0............

...0

...

...01 0

2

1

21

2221

12

2

11

1

m

2

1

μ β =Σμ β 1−Σ=

• Dướ i dạngma trận

ww





⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

y

y

y

mmmm

m

m

μ

μ

μ

β

β

β

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

........

..................

21

22221

11211

m

2

1

yx xx B ∑=∑

yx xx B ∑∑= −1 y Bm −=0 β

• Cách biểudiễn khác

ww





mmmm

m

m

xx

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

...............

...

...

det21

22221

11211

=∑=Δ ym

y

y

mj

j

j

m

j

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

..................

...2

1

1

12

11

1

21

11

−

−

−

=Δ

m j j j ,...,2,1, =

ΔΔ= β

∑=

−=m

j j j y mm

10 β β

• Tìm nghiệm theo phươ ng pháp Crame

ww





B j

m

j j y mm ∑

=−=

10 β β

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ +−= ∑

=

2

0

m

1 j j

2 R j X Y M β β

⎢⎣

⎡ +++−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

++⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

+−=

∑∑∑∑∑∑

= ===

==

m

1 j k j

m

1 j j

m

1 j j

m

1 j j

m

1 j j

2

R

m

k j j

j j

X X YX Y Y M

X X Y Y M

10

200

2

2

002

222

2

β β β β β β β

β β β β

+−++

⎢⎣

⎡

−+−−−=

∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑

= == == =

===

m

1 j k j

m

1 j j k

m

1 j k j

m

1 j j

m

1 j j

m

1 j j

2

R

m

k j j

m

k k y

m

k k j

y j y j j y

X X X mmmm

mmmYX Y mmY M

111

22

)(2

22)(2

β β β β β β

β β β

• Sai sốcủa phươ ng pháp

ww





+−++

⎢⎣

⎡ −+−−−=

∑∑∑ ∑∑∑

∑∑∑

= == == =

===

m

1 j k j

m

1 j j k

m

1 j k j

m

1 j j

m

1 j j

m

1 j j

2 R

m

k j

m

k k y

m

k k j

y j y j j y

X X mmmm

mmmYX Y mmY M

111

22

)(2

22)(2

β β β β β β

β β β

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

= == === =

==

+−++

−+−+−=m

1 j j k

m

1 j j

m

1 j k j

m

1 j j

m

1 j j

2 R

m

k

m

j jk

m

k j y

m

k k j

y j j y

X M m X M mmm

mYX M Y M mY M mY M

1 11

22

][2][2

2][2][2][2][

β β β β β

β β

∑∑∑∑∑∑

= == =

==

+−

+−−=m

1 j k j

m

1 j k j

m

1 j j

m

1 j j

2

Rm

k k j

m

k k j

j y j y

X X M mm

mmYX M mY M

11

22

][

2][2][

β β β β

β β

ww





∑∑∑∑

∑∑

= == =

==

+−

+−−=

m

1 j k j

m

1 j k j

m

1 j j

m

1 j j

2 R

m

k k j

m

k k j

j y j y

X X M mm

mmYX M mY M

11

22

][

2][2][

β β β β

β β

∑∑∑ = ==+−=

m

1 j k j

m

1 j j

2 Rm

k jk yj y D

12 μ β β μ β

B =

( ) ( ) ( ) yx xx xx

T

yx xx yx

T

yx xx y D ∑∑∑∑∑+∑∑∑−= −−− 1112 2 R

( ) ( ) yx xx xx

T

yx xx yx

T

yx xx y D ∑∑∑∑∑+∑∑∑−= −−− 1112 2 R

( ) ( ) yx

T

yx xx yx

T

yx xx y D ∑∑∑+∑∑∑−= −− 112 2 R

( ) yx

T

yx xx y D ∑∑∑−= −1 2 R

ww





∑ ∑∑= ==

+−=m

1 j k j

m

1 j j

2 Rm

k jk yj y D

12 μ β β μ β

= 2 R y D

)1()1( 2 ∑∑ ==−=−=

m

1 j j

m

1 j j

2 R y

j

y j

yj y

y

yj y D

Dσ σ

σ σ μ β σ μ β

)1(2 yj

y

j y ρ

σ

σ β σ ∑

=−=

m

1 j j

2 R

• Cách biểu diễn khác

j j j ,...,2,1, =

ΔΔ= β

j

y

j yj

y

jm y ρ

σ σ ρ

σ σ β ρ ∑∑

==• Δ

Δ==m

1 j

m

1 j j ...12• Đại lượ ng

đượ c gọi là hệsố tươ ng quan bội giữa Y và (X1,...

y jk =∑=

μ μ β m

1 j j

ww



• Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) và mẫu tươ ngứng (X1,Y1• Ta cần tìm phươ ng trình hồi qui tuyến tính giữa Y và X

tậ p mẫu đã có• Từlý thuyết: Y=α + β X, hay y= α + β x vớ i• Trên thực tếcả α và β đều chưa biết và ta cầnướ c lượ ng

mẫu• Ký hiệuướ c lượ ng của α và β tươ ngứng là a và b ta có:


8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu

x

xy

Dα

μ β = ,

•Trườ ng hợ p một biến

bxa yhaybX aY +=+= ˆˆ• Các hệsố a và b cần thỏa mãnđiều kiện:

min)()ˆ(1

2

1

22 →−−=−= ∑∑==

n

iii

n

iii bX aY Y Y R

ww




8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu•Trườ ng hợ p một biến• Xem R2 như là

hàm của a và b: ∑∑==

−−=−=n

ii

n

iii bXaY Y Y ba R

11

22 ()ˆ(),(

• ĐểR 2 →minđiều kiện cần vàđủlà: (),( 22

∂∂=

∂∂

ba R

aba R

• Từ đó ta có: 0)(2),(1

2

=−−−=∂

∂ ∑=

n

iii bX aY

aba R

0)(2),(1

2

=−−−=∂

∂ ∑=

n

iiii X bX aY

bba R

(11

−−∑=

n

ii bXaY

n

(11

−∑=

n

iiii aX X Y

n

0=−− X baY X bY a −=n

iiiiiii X X bY X XY X bX X X b X Y X Y

n()()(1 2

1−−−=−+−∑

=

x

xy

D

Rb ~=

x

y xy

x

y

y x

xy

x

xy

s

sr

s

s

s s

R

s

Rb === 2 xy s

sr b =

ww



( )∑=

+−−++=n

iiiiiii abX X bY aY X baY R

1

22222 222


8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu•Trườ ng hợ p một biến• Sai số: ∑∑

==−−=−=

n

ii

n

iii aY Y Y R

11

22 ()ˆ(

22222222 22222 XY bY X bY X b X b X Y bY Y S +−+−++−+=

( ∑=

+−−−+−+= n

iiiiii X bY Y X bY X b X bY Y R

1

22222 22)(2)(

• Đặt S2 = R 2/n

XY bY X b X b X bY Y S 222

2222

22 −+−+−= xy x y bR Db DS 2~~ 22 −+=

22222

2222 2 y xy y y x xy

x

y xy x

x

y xy y sr s s sr

s

sr s

s

sr sS −=−+=

ww




8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu•Trườ ng hợ p một biến

22222

2222 2 y xy y y x xy

x

y xy x

x

y xy y sr s s sr

s

sr s

s

sr sS −=−+=

)1( 222 xy y r sS −=

XY bY X b X b X bY Y S 222222222 −+−+−=

xy x y bR Db DS 2~~ 22 −+=

ww




8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu•Trườ ng hợ p một biến

• là tổng bình phươ ng cácđộlệch giữa quan tr ắc (giá tr ịm

lượ ng (tínhđượ c từ phươ ng trình hồi qui) của Y

∑∑==

−−=−=n

iii

n

iii bX aY Y Y R

1

2

1

22 )()ˆ(

• là trung bình bình phươ ng cácđộlệch giữa quan tr ắc (givàướ c lượ ng (tínhđượ c từ phươ ng trình hồi qui) của Y

• Nócóthể đượ c dùng làm thướ c đo độchính xác của phé• Rõ ràng: Khi tr ị tuyệt đối của hệsố tươ ng quan càng lớ n

1) thì sai sốcàng nhỏ

)1( 222 xy y r sS −=

ww




8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu•Trườ ng hợ p một biến• Hãy so sánh

• Các hệsốcủa phươ ng trình hồi qui mẫu, ướ c lượ ng sốhồi qui lý thuyết, đượ c tính qua cácđặc trư ng mẫứ ng làướ c lượ ng của các đặc trư ng lý thuyết

X bY a −= x

xy

D Rb ~=

x

y xy s

sr b =

x

xy

D

μ β =

x

y

σ

σ ρ β =

x y mm β α −=

2 sS =

2 σ= R

ww



• Xét hồi qui giữa biến ngẫu nhiên Y và m biến ngẫu nhiêvớ i mẫu tươ ngứng (Y1,X11,..., X1m),...,(Yn,Xn1,..., Xnm)

• Ta cần tìm hàm hồi qui tuyến tính giữa Y và (X1,...,Xm) Y= β 0+ β 1 X 1 + β 2 X 2+…+ β m X m hay y= β 0+ β 1 x1 + β 2 x2+…

• Vì các β j, j=0,1,…,m đều chưa biết nên ta cần ướ c lưtậ p mẫu

• Ký hiệu cácướ c lượ ng β j, j=0,1,…,m tươ ngứng là a 0 , a 1


8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu•Trườ ng hợ p nhiều biến (hồi qui bội)

∑∑==

+=+=m

j j j

m

j j j xaa yhay X aaY

10

10 ˆˆ

• Các hệsố a j , j=0,1,…,m , cần thỏa mãnđiều kiện:min)()ˆ(

1

2

10

1

22 →−−=−= ∑ ∑∑= ==

n

i

m

jij ji

n

iii X aaY Y Y R

ww



• Tươ ng tự như tr ườ ng hợ p một biến, ta xem R2 như là hàmsốhồi quia j , j=0,1,…,m :



∑ ∑= =

−−==n

i

m

jij jim X aaY aaa R R

1

2

1010

22 )(),...,,(

• Điều kiện cần vàđủ đểR 2 →min là:

,0)(2

0)(2

1 10

2

1 10

0

2

X X aaY a

R

X aaY a

R

n

iik

m

jij ji

k

n

i

m

jij ji

=−−−=∂∂

=−−−=∂∂

∑ ∑∑ ∑

= =

= =

),...,2,1(,0)(

0)(

1 10

1 10

mk X X aaY

X aaY n

iik

m

jij ji

n

i

m

jij ji

==−−

=−−

∑ ∑∑ ∑

= =

= =

ww





),...,2,1(,0)(

0)(

1 10

1 10

mk X X aaY

X aaY

n

i

ik

m

j

ij ji

n

i

m

jij ji

==−−

=−−

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

110

1−− ∑∑

= i

n

ii

naY

n

∑=

−=n

i

i

n

Y

n

a1

01

=Ya 0),...,2,1(,0)(1 11

mk X X a X aY Y n

iik

m

jij j

m

j j ji ==−+−∑ ∑∑

= ==

,.2,1(,0)(11 11

k X X a X X a X Y X Y n

n

i

m

jik ij jik

m

j j jik ik i ==−+−∑ ∑∑

= ==

),...,2,1(,0)()(1

mk X X X X a X Y YX m

jk jk j jk k ==−−− ∑=

),...,2,1(,01

mk Ra Rm

j jk j yk ==−∑

=2,1(,

1k R Ra yk

m

j jk j ==∑

=

ww





∑=

−=m

j j j X aY a

10 ),...,2,1(,

1mk R Ra yk

m

j jk j ==∑

=

• Các hệthức:

• Lậ p thành hệ phươ ng trìnhđại sốtuyến tính:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−==+++

=+++=+++

mm

ymmmmm

ym

ym

a X a X Y a

Ra Ra Ra R

Ra Ra Ra R

Ra Ra Ra R

......

.........

110

21

222221

111211

m 21

m 21

m 21 • Giải hệnày ta xđượ c các hệsố

• Có nhiều cáchđnày: KhửGausnghịch đảo ma đúng (lặ p),...

ww




=⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

mmmm

m

m

a

a

a

R R R

R R R

R R R

......

..................

21

22221

11211

m

2

1

yx xx R A R = yx xx R R A 1−=

∑=

−=m

j j j X aY a

10

• Phươ ng phápnghịch đảo matrận


ww




mmmm

m

m

xx

R R R

R R R

R R R

R D

...............

...

...

det21

22221

11211

== ym

y

y

mj

j

j

m

j

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

D ..................

...2

1

1

12

11

1

21

11

−

−

−

=

m j

D

Da j

j ,...,2,1, ==

∑=

−=m

j j j X aY a

10

8.7 Hồi qui tuyến tính mẫu•Trườ ng hợ p nhiều biến (hồi qui bội)• Phươ ng pháp Crame

ww



• Sai sốcủa ướ c lượ ng hồi qui



∑ ∑= =

−−=n

i

m

jij ji X aaY R

1

2

10

2 )(

• Tươ ng tự như tr ườ ng hợ p một biến, ta sẽsửdụng trung tổng bình phươ ng cácđộlệch giữa quan tr ắc (mẫu) vàư(tínhđượ c qua phươ ng trình hồi qui) của Y làm thướ c đoxác của phươ ng pháp

là tổng bình phươ ng cácđ

∑ ∑∑∑= == =

⎜⎜

⎝

⎛ +−−++=n

i

m

jiji ji

m

j

m

k ik ijk ji X Y aY a X X aaaY R

1 10

1 1

20

22 222

n R

S 2

2 = là trung bình của tổng bình phươ ng cácđộlệ

ww






∑ ∑∑∑= == =

⎜⎜

⎝ ⎛ +−−++=

n

i

m

jiji ji

m

j

m

k ik ijk ji X Y aY a X X aaaY

nS

1 10

1 1

20

22 221

∑∑∑∑ === =+−−++=

m

j

m

j j j

m

j

m

k k jk j aYX aY a X X aaaY S

10

10

1 12022 222

=Ya 0

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

= ====

= == ==

−+−+−

++−+=

m

j

m

k j

m

j j j

m

j j j

m

j j j

m

j

m

k k j

m

j

m

k k jk j

m

j j j

a X Y aYX a X Y aY

X aa X X aa X Y aY Y S

1 1111

2

1 11 11

222

22222

2

∑∑∑= ==

+−=m

j

m

k jk k j

m

j yj j y Raa Ra DS

1 11

2 2~

ww






∑∑∑= ==

+−=m

j

m

k jk k j

m

j yj j y Raa Ra DS

1 11

2 2~ (,1

R Ra yk

m

j jk j =∑

=

∑ ∑∑= ==

+−= m

j

m

k jk k j

m

j yj j y Raa Ra DS

1 11

2 2~ ∑=

−=⇒m

j y a DS

1

2 ~

⎜⎜

⎝

⎛ −=−=−= ∑∑∑

===

m

j y

x j y

m

j x y yj

j y

m

j x y yj j y

s s

D

D s s sr

D

D s s sr a sS

1

2

1

2

1

22 1

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −= ∑

=

m

j yj

y

x j y r

s s

D

D sS

1

22 1 ∑=

• =m

j yj

y

x jm y r

s s

D

Dr

1...12

ww





∑=

−=m

j j j X aY a

10),...,2,1(,

1mk R Ra yk

m

j jk j ==∑

=

∑=

−=m

1 j j 0 ][][ j X M Y M β β ),..,1(, mk yk jk ==∑

=μ μ β

m

1 j j

• Hãy so sánh• C

phhồư

củ

hồthtínđặmứnlưcálý

)1(2 yj

y

j y ρ

σ

σ β σ ∑

=−=

m

1 j j

2 R

yj j

y

jm y ρ

σ

σ ρ ∑

=• Δ

Δ=m

1 j ...12

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −= ∑

=

m

j yj

y

x j y r

s s

D

D sS

1

22 1

∑=

• =m

j yj

y

x jm y r

s s

D

Dr

1...12

ww



K ẾT THÚC CHƯƠNG TRÌNH

ww



Bài t ập Ch ươ ng 1+21. Một ngày học 3 môn trong số 7 môn học. Hỏi có bao nhiêu cách xế p thờ i khóa

biểu trong một ngày?2. Có bao nhiêu cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con?3. Có mấy cách xế p r quả cầu khác nhau vàon hộ p?4. Tìm xác suất khi xế p ngẫu nhiên một bộ sách gồm 5 tậ p lên giá sách thì nó

đượ c xế p đúng thứ tự.5. Có 5 mảnh bìađượ c đánh số từ 1 đến 5. Chọn hú họa liên tiế p ra 3 mảnh và

xế p thành một số có 3 chữ số. Tìm xác suất để số đó là số chẵn.6. Gieođồng thờ i hai con xúc xắc cânđối đồng chất. Tìm các xác suất:

a) Tổng số chấm xuất hiện bằng 5. b) Hiệu số chấm xuất hiện có tr ị tuyệt đối bằng 3.

7. Trong hộ p bi có 6 viênđỏ và 4 viên tr ắng cùng kích cỡ . Rút hú họa ra 2 viên bi. Tính xác suất để trongđó có:

a) 2 viênđỏ; b) Ít nhất 1 viênđỏ;c) Viên thứ 2 màuđỏ.

8. Tìm xác suất để khi xế p ngẫu nhiên 5 ngườ i quanh 1 chiếc bàn tròn 5 ghế thì 2ngườ i định tr ướ c đượ c ngồi cạnh nhau.

9. Trong một buổi liên hoan có 6 cặ p nam nữ, trongđó có 3 cặ p là vợ chồng.Chọn hú họa ra 3 ngườ i. Tìm các xác suất để trongđó:

a) Cóđúng 1 nam; b) Cả 3 đều là nữ;c) Không có cặ p vợ chồng nào.

10. Có 10 mảnh bìađượ c đánh số từ 0 đến 9. Lấy hú họa ra hai mảnh bìa và xế pthành một số có hai chữ số; tìm xác suất để số đó chia hết cho 18.

11. Một lô hàng cón sản phNm vớ i m phế phNm. Tìm xác suất để khi chọn hú họara k sản phNm thì cóđúng l phế phNm.

12. Xế p ngẫu nhiên 10 kháchđi tàu lên 3 toa tàu hỏa. Hãy tìm xác suất:a) toađầu có 3 khách; b) toađầu có 3 khách và toa thứ hai có 4 khách;c) một toa có 3 khách và một toa khác có 4 khách (toa còn lại tất nhiên có 3

khách trong cả hai tr ườ ng hợ p b và c).13. Một lớ p có 30 sinh viên trongđó có 5 giỏi, 10 khá, 10 trung bình và 5 yếu.

Chọn hú họa ra 3 ngườ i, hãy tìm các xác suất:a) cả bađều là học sinh yếu; b) có ít nhất một học sinh giỏi.14. Có 10 viên bi, trongđó có 4 biđỏ và 6 bi xanhđượ c chia thành hai phần bằng

nhau. Tìm xác suất để mỗi phần đều cùng số biđỏ và bi xanh.15. Tìm xác suất khi xế p ngẫu nhiênk quả cầu vàon hộ p (k < n) thì trongk hộ p

xácđịnh tr ướ c mỗi hộ p chứa đúng một quả cầu.

www.daykemquynhon.ucoz.com



16. Đườ ng dây cáp ngầm nối một tổng đài vớ i một tr ạm dài 1km. Tính xác suấtcủa sự kiện dây cáp bị đứt tại nơ i cách tổng đài không dướ i 800m.

17. Cho một đoạn thẳng và bẻ gãy ngẫu nhiên thành 3đoạn. Tìm xác suất để 3đoạn đó tạo thànhđượ c 1 tam giác.

18. Một tổ gồm 4 nam và 3 nữ. Chọn liên tiế p ra hai ngườ i. Tìm xác suất để:a) cả hai là nữ; b) có một nam, một nữ.19. Có hai hộ p bút: Hộ p I có 2 bútđỏ và 10 xanh; hộ p II có 8đỏ và 4 xanh. Chọn

ngẫu nhiên từ mỗi hộ p ra một bút, tìm xác suất để có 1 bút xanh, 1 bútđỏ.20. Một phòngđiều tr ị có 3 bệnh nhân nặng vớ i xác suất cần cấ p cứu trong vòng

một giờ của các bệnh nhân tươ ng ứng là 0,7; 0,8 và 0,9. Tìm xác suất sao cho trongvòng một giờ :

a) có hai bệnh nhân cần cấ p cứu;

b) có ít nhất một bệnh nhân không cần cấ p cứu.21. Biết xác suất để một học sinh thiđạt yêu cầu ở lần thi thứ i là p i (i= 1,2). Tìm

xác suất để học sinhđó đạt yêu cầu trong k ỳ thi biết r ằng mỗi học sinhđượ c phép thitối đa 2 lần.

22. Một lô hàng gồm 100 sản phNm, trongđó có 5 phế phNm. Lô hàngđượ c chấ pnhận nếu chọn hú họa ra 50 sản phNmđể kiểm tra thì số phế phNm không quá 1. Tìmxác suất để lô hàngđượ c chấ p nhận.

23. Một ngườ i viết n bức thư cho n ngườ i bạn. Anh ta bỏ mỗi lá thư vào một phong bì r ồi viết hú họa một địa chỉ nàođó của n ngườ i bạn lên phong bìđó (cácđịa

chỉ chỉ đề 1 lần và khác nhau). Tìm xác suất sao cho có ít nhất 1 bức thư đúng vớ i địachỉ trên phong bì.24. Chọn hú họa ra một quân cờ tướ ng từ 1 bộ cờ gồm 32 quân. Gọi A là sự kiện

rút đượ c quân tướ ng, còn B là sự kiện rút đượ c quân cờ đen. Hỏi A và B có độc lậ pkhông?

25. Xác suất để một thiết bị bị tr ục tr ặc trong một ngày làm việc bằng α = 0,01.Tìm xác suất để trong vòng 5 ngày máy làm việc tốt.

26. Một thiết bị có 10 chi tiết vớ i độ tin cậy (xác suất làm việc tốt trong mộtkhoảng thờ i gian bàođó) của mỗi cho tiết là 0,9. Tìm xác suất để trong khoảng thờ igianấy:

a) cóđúng một chi tiết làm việc tốt; b) có ít nhất 2 chi tiết làm việc tốt.27. Gieo 5 lần một đồng tiền cânđối đồng chất. Tìm xác suất xuất hiện:a) đúng 1 lần mặt sấ p; b) hai lần mặt sấ p;c) ít nhất một lần mặt sấ p.28 Tỉ lệphếphNm của một lô hàng là 1% Hỏi cỡmẫu cần chọn là bao nhiêu

lý thuyết xác suất và thống kê toán học tác giả: phan văn tân, 2009

Documents