M 10.1 sfg

In einem Kreis mit Radius 𝑟 gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel 𝛼:

Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors

𝒃 =𝛼

360°∙ 2𝑟𝜋 𝑨 =

𝛼

360°∙ 𝜋𝑟2

Das Bogenmaß 𝑏 eines Winkels 𝛼 ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis (𝑟 = 1):

Umrechnungsformeln:

𝒃 =𝜶

360°∙ 2𝜋 𝜶 =

𝒃

2𝜋∙ 360°

Besondere Werte:

Gradmaß 𝜶 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝟗𝟎° 𝟏𝟖𝟎° 𝟐𝟕𝟎° 𝟑𝟔𝟎°

Bogenmaß 𝒃 𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2 𝜋

3

2𝜋 2𝜋

Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.2 sfg

Ist 𝑟 der Radius einer Kugel, so gilt:

➢ Volumen: 𝑉 =4

3𝜋𝑟3

➢ Oberfläche: 𝑂 = 4𝜋𝑟2

𝑟 = 6𝑐𝑚

𝑉 =4

3𝜋 ∙ (6𝑐𝑚)3 =

4

3𝜋 ∙ 216𝑐𝑚3 ≈ 905𝑐𝑚3

𝑂 = 4𝜋 ∙ (6𝑐𝑚)2 = 4𝜋 ∙ 36𝑐𝑚2 ≈ 452𝑐𝑚2

Kugel

M 10.3 sfg

Für beliebige Winkel 0 < 𝛼 < 360° gibt

➢ der Sinus die 𝑦-Koordinate: 𝑦 = sin(𝛼)

➢ der Kosinus die 𝑥-Koordinate: 𝑥 = cos(𝛼)

eines Punktes 𝑃 an, der unter 𝛼 auf dem Einheitskreis liegt.

Die Sinuswerte (bzw. Kosinuswerte ) haben für den spitzen Winkel 𝛼 sowie für die Winkel 180° − 𝛼, 180° + 𝛼 und 360° − 𝛼 denselben Betrag. Die Vorzeichen liefern die Quadranten:

Alle anderen Winkel lassen sich durch Addition und Subtraktion von Vielfachen von 360° auf einen Winkel zwischen 0° und 360° zurückführen.

762° = 2 ∙ 360°+ 42° 762° =̂ 42° am Einheitskreis

1596° = 4 ∙ 360°+ 156° 1596° =̂ 156° am Einheitskreis

Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

M 10.4 sfg

Eigenschaften:

Sinusfunktion 𝒔𝒊𝒏(𝒙) Kosinusfunktion 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

periodisch mit der Periode 2π

𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑘 ∙ 2𝜋) , 𝑘 ∈ ℤ

periodisch mit der Periode 2π

𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑘 ∙ 2𝜋), 𝑘 ∈ ℤ

Definitionsmenge 𝐷 = ℝ

Wertemenge W = [−1; 1]

punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch zur 𝑦-Achse

𝑠𝑖𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

Sinus- & Kosinusfunktion

𝜶 im Gradmaß 𝒙 im Bogenmaß 𝒔𝒊𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

45° 𝜋

4 √2

2

√2

2

90° 𝜋

2 1 0

180° 𝜋 0 −1

M 10.5 sfg

Durch die allgemeine Sinusfunktion 𝑓(𝑥) = a ∙ sin(b(x + c)) + dlassen sich

beliebige sinusförmige Graphen beschreiben:

➢ 𝑎 : Stauchung/Streckung in 𝑦 -Richtung (Amplitude)

➢ b: Stauchung/Streckung in 𝑥-Richtung.

➢ c: Verschiebung in 𝑥-Richtung

➢ d: Verschiebung in 𝑦-Richtung

𝑔(𝑥) = 2 ∙ sin (1

2(𝑥 +

𝜋

2)) − 1

➢ 𝑎 = 2: Doppelter Ausschlag nach oben (2)

➢ 𝑏 =1

2: Doppelte Periode (4𝜋)

➢ 𝑐 =𝜋

2: Verschiebung um

𝜋

2 nach links

➢ 𝑑 = −1: Verschiebung um 1 nach unten

Die allgemeine Sinusfunktion

M 10.6 sfg

Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum

Konstanter Zuwachs pro Zeiteinheit Konstanter Wachstumsfaktor in gleichen

(Zeit-) Schritten

Nimmt die Größe 𝑥 um 1 zu, so wächst die Größe 𝑦 stets um einen festen Summanden 𝑑.

Nimmt die Größe 𝑥 um 1 zu, so wächst die Größe 𝑦 stets um einen festen Faktor 𝑎.

𝒚 = 𝒃 + 𝒙 ∙ 𝒅 𝒚 = 𝒃 ∙ 𝒂𝒙

Lineares und exponentielles Wachstum

M 10.7 sfg

Funktionen der Form 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥 ( 𝐷𝑓 = ℝ , 𝑏 ≠ 0 , 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 ) heißen

Exponentialfunktionen. Die Konstante 𝑎 gibt den Wachstumsfaktor an. Die

Konstante 𝑏 gibt den Anfangswert der Funktion für 𝑥 = 0 an, also ist 𝑓(0) = 𝑏.

Spiegelt man den Graphen von 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑎𝑥 an der 𝑦-Achse,

so erhält man den Graphen von 𝑔(𝑥) = 𝑏 ∙ (1

𝑎)𝑥

und umgekehrt.

Exponentialfunktion

Für 𝑎 > 1 steigt der Graph Wachstum

Ist 𝒃 ≠ 𝟏, so wird der Graph in 𝑦-Richtung mit dem

Faktor 𝑏 gestreckt (|𝑏| > 1) bzw. gestaucht (|b|< 1).

Ist 𝒃 < 𝟎, so wird der gestreckte/gestauchte Graph

zusätzlich an der 𝑥-Achse gespiegelt.

Für 𝑎 < 1 fällt der Graph negatives Wachstum

Der Graph verläuft durch den Punkt (0; 𝑏).

Die 𝑥-Achse ist Asymptote.

M 10.8 sfg

Die eindeutige Lösung der (Exponential-)Gleichung 𝑎𝑥 = 𝑏 (für 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1,

𝑏 > 0) bezeichnet man als Logarithmus von 𝑏 zur Basis 𝑎 und schreibt 𝑥 =

log𝑎 𝑏:

𝑎𝑥 = 𝑏

29 = 512

⇔ log𝑎 𝑏 = 𝑥

log2 512 = 9

log𝑎 1 = 0

log𝑏(𝑏𝑥) = 𝑥

⇔ 𝑎0 = 1

𝑏𝑥 = 𝑏𝑥 ⇔ ⇔

„Logarithmus“ ist ein Name für „Exponent zu einer bestimmten Basis“:

3𝑥 = 81 ⟺ 𝑥 = log3 81 = 4

Rechenregeln:

➢ log𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 (Produktregel)

➢ log𝑎 (𝑏

𝑐) = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 (Quotientenregel)

➢ log𝑎(𝑏𝑐) = 𝑐 ∙ log𝑎 𝑏 (Potenzregel)

➢ log𝑎 𝑏 =log𝑢 𝑏

log𝑢 𝑎 (Wechsel der Basis)

Logarithmus

M 10.9 sfg

Bei einer Exponentialgleichung tritt die Unbekannte im Exponenten auf.

Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen, für die es

unterschiedliche Lösungsstrategien gibt:

Logarithmieren Substitution Grafisch

Exponentialgleichungen, die in die Form 𝑎𝑥 = 𝑏 gebracht werden können, löst man durch Logarithmieren:

𝟐, 𝟓 ∙ 𝟑𝒙 = 𝟓 ∙ 𝟐𝒙/∶ 𝟐, 𝟓 𝟑𝒙 = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙/: 𝟐𝒙

𝟏, 𝟓𝒙 = 𝟐/ 𝐥𝐨𝐠𝟏,𝟓 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟏,𝟓 𝟐 𝒙 ≈ 𝟏, 𝟕𝟏

𝟓𝟐𝒙 − 𝟐 ∙ 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟎

Substitution: 𝑢 = 5𝑥 (𝑢2 = 52𝑥)

𝒖𝟐 − 𝟐𝒖 − 𝟖 = 𝟎

Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstitution liefert das Ergebnis:

𝒙 ≈ 𝟎, 𝟖𝟔

Exponentialgleichungen in denen die Unbekannte im Exponenten und in der Basis auftreten sind rechnerisch unlösbar.

Eine näherungsweise Lösung bietet das Zeichnen in einem Koordinatensystem:

𝟑𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟑

Exponentialgleichungen

M 10.10 sfg

Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge, beim einfachen Würfelwurf mit Ω = {1,2,3,4,5,6}ist

z.B. „Augenzahl gerade“ A = {2, 4, 6} bzw. „Augenzahl prim“ B ={2, 3, 5}.

Mit den Ereignisverknüpfungen erhält man:

„Komplement von A“: �̅� = {1,3,5} „A und B“: 𝐴 ∩ 𝐵 = {2} „A oder B“: 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,5,6}

Statistische Angaben über zwei Merkmale mit jeweils zwei Merkmalsausprägungen stellt man

üblicherweise in einer sog. Vierfeldertafel dar. Diese kann Anzahlen oder auch Wahrscheinlichkeiten

enthalten. Die Wahrscheinlichkeiten findet man auch im zugehörigen Baumdiagramm.

Ereignisse und Vierfeldertafel

𝑨 𝑨

𝑩 |𝐴 ∩ 𝐵| |𝐴 ∩ 𝐵| |𝐵|

𝑩 |𝐴 ∩ 𝐵| |𝐴 ∩ 𝐵| |𝐵|

|𝐴| |𝐴| |Ω| 1. Merkmal (𝐴)

2. Merkmal (𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴) =|𝐴|

|Ω|

𝑃(𝐴) =|𝐴|

|Ω|

M 10.11 sfg

𝑃𝐴(𝐵) ist die Wahrscheinlichkeit von 𝐵 unter der Bedingung, dass 𝐴

eingetreten ist. Die möglichen Ergebnisse sind nur noch die Ergebnisse von 𝐴.

Die günstigen Ergebnisse sind die Ergebnisse von 𝐴, bei denen zusätzlich

𝐵 eintritt (“Anteil vom Anteil des Ganzen”).

1. Baumdiagramm 2. Baumdiagramm

Bedingte Wahrscheinlichkeit

𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴)

𝑃𝐴(𝐵)

𝑃𝐴(𝐵)

𝑃𝐴(𝐵)

𝑃𝐴(𝐵)

𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

𝑃(𝐵)

𝑃(𝐵)

𝑃𝐵(𝐴)

𝑃𝐵(𝐴)

𝑃𝐵(𝐴)

𝑃𝐵(𝐴)

1. Merkmal (𝐴) 2. Merkmal (𝐵) 1. Merkmal (𝐵) 2. Merkmal (𝐴)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Berechnung: 𝑷𝑨(𝑩) =𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑨)⇔ 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∙ 𝑷𝑨(𝑩)

M 10.12 sfg

In einem Betrieb kommt es an 1% aller Arbeitstage zu einem Brand. In 90% dieser Fälle wird ein automatischer Alarm ausgelöst. Liegt kein Brand vor, so gibt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% einen Fehlalarm. Berechne, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass es wirklich brennt, wenn ein Alarm ausgelöst wird? A:= „Alarm wird ausgelöst“ B:= „Es brennt im Betrieb“ Geg.: 𝑃(𝐵) = 0,01, 𝑃𝐵(𝐴) = 0,90𝑢𝑛𝑑𝑃�̅�(𝐴) = 0,05

Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel Baumdiagramm – 4-Feldertafel

𝐵 �̅�

𝐴 0,01 ∙ 0,90 (1 − 0,01) ∙ 0,05 𝑃(𝐴)

�̅�

0,01 1 − 0,01

M 10.13 sfg

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Beispiel für qualitativen Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion:

höchster vorkommende Exponent (hier 𝟓)

gerade ungerade

Leitkoeffizient 𝒂𝒏 (hier −𝟒)

𝒂𝒏 > 𝟎 „von links oben nach

rechts oben“ „von links unten nach

rechts oben“

𝒂𝒏 < 𝟎 „von links unten nach

rechts unten“ „von links oben

nach rechts unten“

Ganzrationale Funktionen

Polynom

ganzrationale Funktion

Grad Potenzfunktionen Koeffizienten

M 10.14 sfg

Beispiel:

(𝑥4 − 4𝑥3 − 22𝑥2 + 4𝑥 + 21): (𝑥 − 1) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝟏

−(𝑥4 − 𝑥3)

−3𝑥3 − 22𝑥2

−(−3𝑥3 + 3𝑥2)

−25𝑥2 + 4𝑥

−(−25𝑥2 + 25𝑥)

−21𝑥 + 21

−(−21𝑥 + 21)

0

Polynomdivision

∙

∙

∙

∙

∙

M 10.15 sfg

−𝑐

𝑏= 4

𝑑 = −1

𝑎 = 5

1

𝑏= 2

(vgl. M10.5)

❖ Verschiebung von Funktionsgraphen

➢ Verschiebung um −𝒄

𝒃 in 𝑥-Richtung (Ausklammern von b)

➢ Verschiebung um d in 𝑦-Richtung

❖ Strecken (Stauchen) von Funktionsgraphen

➢ Stauchung/Streckung um 1

𝑏 in 𝑥-Richtung.

➢ Stauchung/Streckung um a in 𝑦-Richtung

❖ Spiegelung an der 𝑥-Achse / 𝑦-Achse /

am Ursprung

➢ −𝒇(𝒙) liefert den an der 𝑥-Achse gespiegelten Graph von 𝒇(𝒙)

➢ 𝒇(−𝒙) liefert den an der y-Achse gespiegelten Graph von 𝒇(𝒙)

➢ −𝒇(−𝒙) liefert den an der x - und 𝑦-Achse gesp. Graph von −𝒇(𝒙)

Verschieben, Strecken/Stauchen/ Spiegeln von Funktionsgraphen

𝑔(𝑥) = 𝐚 ∙ 𝑓(𝒃𝑥 + 𝒄) + 𝒅 = 𝐚 ∙ 𝑓 (𝒃 ∙ (𝑥 +𝒄

𝒃)) + 𝒅

𝒇(−𝒙) 𝒇(𝒙)

−𝒇(𝒙) −𝒇(−𝒙)

M 10.16 sfg

Achsensymmetrie zur 𝒚-Achse Punktsymmetrie zum Ursprung

Gleich weit vom Nullpunkt entferte 𝑥-Werte besitzen stets denselben Funktionswert.

Gleich weit vom Nullpunkt entfernte 𝑥-Werte besitzen stets den betragmäßig

gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.

𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙) 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙)

Ganzrationale Funktionen sind achsensymmetrisch, wenn sie nur geradzahlige Exponenten

besitzen und punktsymmetrisch, wenn sie nur ungeradzahlige Exponenten besitzen.

Symmetrie von Funktionsgraphen

M 10.17 sfg

Konvergenz Divergenz

Kommen die Funktionswerte 𝑓(𝑥) einer Funktion 𝑓 für beliebig groß werdende 𝑥-Werte einer Zahl 𝑎 ∈ ℝ beliebig nahe, so

nennt man 𝑎 den Grenzwert der Funktion 𝑓 für 𝑥 gegen unendlich (𝑥 → ±∞).

Die Gerade mit der Gleichung 𝑦 = 𝑎 ist dann waagrechte Asymptote von 𝐺𝑓 .

Wachsen die Funktionswerte 𝑓(𝑥) für 𝑥 →+∞ bzw. 𝑥 → −∞ unbegrenzt nach ∞ oder

sinken sie unbegrenzt nach −∞, so divergiert die Funktion (bestimmte Divergenz) d.h. sie

besitzt keinen Grenzwert 𝑎 ∈ ℝ.

𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒇(𝒙) = 𝒂 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒇(𝒙) = ±∞

Verhalten im Unendlichen

kein Grenzwert

unbestimmt

divergent

M 10.18 sfg

-

+

❖ Ganzrationale Funktionen

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ 𝑔(𝑥) = +∞ und lim

𝑥→+∞𝑔(𝑥) = −∞

❖ Gebrochen rationale Funktionen

Ausklammern und Kürzen der höchsten Nennerpotenz:

limx→∞

3𝑥2−2𝑥+1

3+2𝒙𝟐= lim

𝑥→∞

3𝑥2

𝑥2−2𝑥

𝑥2+

1

𝑥2

3

𝑥2+2𝑥2

𝑥2

= lim𝑥→∞

3−𝟐

𝒙+

𝟏

𝒙𝟐

𝟑

𝒙𝟐+2

=3

2

❖ Exponentialfunktionen

also besitzt Graph waagrechte Asymptote y = 3 mit Annäherung von unten für x⟶∞.

Strategien zum Untersuchen des Verhaltens im Unendlichen

vgl. 10.13

geht gegen 0

geht gegen 0

größte Nennerpotenz

vgl. 10.7

M 10.19 sfg

Name Term Beispiel Graph

1 Lineare

Funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑡 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑

2 Quadratische Funktionen

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝒇(𝒙) = 𝟎, 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏

3 Ganzrationale

Funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥

𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟐

4 Gebrochen rationale

Funktionen 𝑓(𝑥) =

𝑝1(𝑥)

𝑝2(𝑥) 𝒇(𝒙) =

𝟐𝒙 − 𝟏

−𝟑𝒙 − 𝟐

5 Exponential-funktionen

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝒇(𝒙) = 𝟐, 𝟓𝒙

6 Winkel-

funktionen 𝑓(𝑥) = a ∙ sin(b(x + c)) + d 𝒇(𝒙) = 𝟒𝐬𝐢𝐧(𝟏, 𝟓𝒙 − 𝝅)

Grundfunktionen

M 10.20 sfg

Eine ganzrationale Funktion 𝒏-ten Grades hat höchstens 𝒏 Nullstellen.

Beispiel zur Bestimmung der Nullstelle(n) der Funktion 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐

Faktorisierte Form: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 2) (doppelte Nullstelle bei 𝑥 = 1)

Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle 𝑥𝑘

➢ ungeradzahlig oft auf, wechselt 𝑓(𝑥) bei 𝑥𝑘das Vorzeichen,

➢ geradzahlig oft auf, wechselt 𝑔(𝑥) bei 𝑥𝑘 das Vorzeichen nicht.

Nullstellen einer ganzrationalen Funktion

Restliche Nullstellen durch Mitternachtsformel (bzw. Vieta) bestimmen

𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = −𝟐

Schreibe Funktion als Produkt mit Restpolynom

𝑟1(𝑥)

𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏) ∙ 𝒓𝟏(𝒙)

Errate Nullstelle durch systematisches

Probieren (NST Teiler von 𝑎0)

𝒙𝟎 = 𝟏

Polynomdivision

(𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐): (𝒙 − 𝟏)

= 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐

falls Grad des Restpolynoms > 2