M A T R I K S

Budi MurtiyasaJur. Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah SurakartaJuli 2008

20/04/23 1design by budi murtiyasa 2008

Notasi Matriks

• Nama matriks menggunakan huruf Besar• Anggota-anggota matriks (jika berupa huruf)

dengan huruf kecil, atau berupa angka• Digunakan kurung biasa atau kurung siku

675

231A =

H =

ihg

fed

cba

Matriks A mempunyai 2 baris 3 kolom, dikatakan A berdimensi (berordo) 2x3 A2x3

20/04/23 2design by budi murtiyasa 2008

Notasi A = (aij)• Memudahkan pengembangan teori• Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

A = A = (aij), dng i = 1,2,...,m

j = 1,2,...,n

20/04/23 3design by budi murtiyasa 2008

434241

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

bbb

B = b32 anggota B pd brs 3 kolom 2 b13 anggota B pd brs 1 kolom 3

675

231A = a21 = 5; a13 = 2; a22 = 7; dsb.

Matriks Baris : Matriks yg hanya punyai satu baris

R = (2 1 3 -1)

Matriks Kolom:Matriks yg hanya punya satu kolom

3

1C =20/04/23 4design by budi murtiyasa 2008

Matriks Persegi (Square Matrices)

• Matriks yang mempunyai banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom

• Unsur-unsur pada indek baris dan kolom yang sama (i = j) dinamakan unsur (elemen) diagonal.

• Jumlah elemen diagonal dari matriks persegi disebut Trace.

611

853

247

P = p11= 7, p22= 5, p33= 6 disebut elemen diagonal

Trace(P) = 7 + 5 + 6 = 18.

20/04/23 5design by budi murtiyasa 2008

Kesamaan Matriks

• Matriks A = (aij) dan B = (bij) disebut sama jika dan hanya jika untuk setiap i dan j berlaku aij = bij.

• Dengan demikian jelas bahwa matriks yang sama akan : (1) mempunyai dimensi yang sama, (2) elemen-elemen yang seposisi nilainya sama.

20/04/23 6design by budi murtiyasa 2008

Matriks Nol (Zeros Matrices)

• Matriks Nol adalah matriks yang anggota-anggotanya adalah bilangan 0.

000

000

00

00O =

O =

20/04/23 7design by budi murtiyasa 2008

Operasi Matriks

• Penjumlahan

• Pengurangan

• Perkalian Skalar

• Perkalian Matriks

20/04/23 8design by budi murtiyasa 2008

PEJUMLAHAN MATRIKS• Andaikan matriks A = (aij) dan B = (bij),

dengan i = 1, 2, .., m dan j = 1, 2, …, n; maka matriks C yang merupakan jumlah dari A dan B adalah : C = (cij) = A + B = (aij) + (bij) untuk semua nilai i dan j.

• Sifat-sifat :

- Komutatif A + B = B + A

- AsosiatifA + (B + C) = (A + B) + C

- memp. identitas, matriks Nol; A + O = A

- mempunyai invers; A + (-A) = O20/04/23 9design by budi murtiyasa 2008

PERKALIAN SKALAR

• Andaikan A = (aij) dan k adalah skalar, maka perkalian skalar k dengan matriks A = (aij) adalah : k A = k(aij) = (k aij) untuk semua i dan j.

• Sifat-sifat : k A = A k k (A + B) = kA + kB (k + s) A = kA + sA ; k dan s skalar. k (s A) = (k s) A

20/04/23 10design by budi murtiyasa 2008

PERKALIAN MATRIKS

• A dan B dapat dikalikan, AB = C jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. unsur-unsur yg berkorespondensi dikalikan,

kemudian hasilnya dijumlahkan.

20/04/23 11design by budi murtiyasa 2008

PERKALIAN MATRIKS

• A = (a11 a12 a13 ... a1n) dan B =

• AB = (a11 a12 a13 ... a1n)

• AB = (a11b11 + a12b21 + a13b31 + ... + a1nbn1)

1

31

21

11

...

nb

b

b

b

1

31

21

11

...

nb

b

b

b

20/04/23 12design by budi murtiyasa 2008

PERKALIAN MATRIKS

=

Perpangkatan Matriks ?A2 = A AA3 = A2 AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan seterusnya.20/04/23 13design by budi murtiyasa 2008

PERKALIAN MATRIKS

• Sifat-sifat : asosiatif A (BC) = (AB)C distributif A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

Umumnya : tidak komutatif : AB ≠ BA jika AB = O, tidak harus A = O atau B = O jika AB = AC, tidak harus B = C

20/04/23 14design by budi murtiyasa 2008

Matriks Bagian (SubMatriks)• Matriks bagian adalah matriks yang diperoleh

dengan menghilangkan satu (beberapa) baris dan/atau satu(beberapa) kolom dari Suatu matriks.

675

231A = Menghilangkan baris pertama dari A

diperoleh submatriks (5 7 6).

Menghilangkan baris kedua dan kolom pertama dari A diperoleh submatriks (3 2).

20/04/23 15design by budi murtiyasa 2008