m etóda k onečných p rvkov vo výrobných technológiach

Metóda Konečných Prvkovvo výrobných technológiach

prednáška č. 4

prednáška č.4 - 2/58

Obsah prednášky

• Rozšírené matice elementu

Vektor kódových čísiel

• Zostavenie matice konštrukcie

• Výpočet primárnych neznámych a reakcií vo väzbách

• Jednorozmerná sústava prútov – príklad riešenia

• Dvojrozmerná sústava prútov – príklad riešenia

• Izoparametrické prvky

Odvodenie matíc izoparametrického prútového prvku

• Numerická integrácia


Pri zostavení výslednej sústavy rovníc celej úlohy platí pre

celkovú potenciálnu energiu sústavy

Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia dostaneme

výslednú sústavu algebraických rovníc.

noe

i

eieieieieinoe

i

ei

1

TT

1

-2

1faaKa

0-

faKa

Zostavenie sústavy rovníc celej konštrukcie


Rozšírené matice elementu

• Sčítavanie potenciálnej energie prvkov a jej minimalizáciu

nahradíme výpočtom matice K a vektora f pomocou

rozšírených matíc prvku K* a f*.

• Rozmer rozšírenej matice prvku je zhodný s rozmerom celkovej

matice sústavy

• Ak počet globálnych posunutí uzlov prvkov označíme n, bude

rozmer celkovej matice sústavy n x n

• Členy rozšírenej matice, ktoré nezodpovedajú globálnym

posunutiam vybraného prvku sú nulové


Rozšírené matice elementuPríklad pre dvojuzlový prvok

Pre prvok s globálnymi číslami uzlov {d,m} (tzv. globálne prvkové číslo)

výsledný vektor globálnych posunutí uzlov konštrukcie bude

(ndof x nbn) x 1 = nbdof x 1

a = [u1 u2 ... ud ... um ... unbdof] T

Potenciálna energia vybraného prvku*

T*

T -2

1 eeeeee faaKa



nbdof

m

d

nbdofmd

ejj

eji

eij

eii

e

kk

kk

1

21

0..0..0..0

000..0..0

0......0

0..0..0..0

0......0

0..0..000

0..0..0..0

*

K

nbdof

m

d

ej

ei

e

f

f

2

1

0

0

*

f

kde rozšírené matice prvku sú

nbdof

m

d

ej

ei

e

u

u

2

1

0

0

*

a



• Pri tvorbe rozšírených matíc prvkov využívame tzv.

vektor kódových čísiel

• sú v ňom usporiadané čísla globálnych posunutí uzlových

bodov telesa

Príklad pre dvojuzlový prvok

m

del


Zostavenie matice konštrukcie

• Matice konštrukcie dostaneme sčítaním rozšírených

matíc elementov

• Výsledná matica je pásová, symetrická a pozitívne

definitná

noe

i

ei

noe

i

ei

1

*

1

*

ff

KK



• šírka polpásu matice sústavy

M = (R + 1) v

kde R je max. rozdiel čísiel uzlov na prvkoch modelu sústavy

v je počet globálnych stupňov voľnosti uzla prvku

minimalizácia šírky polpásu = minimalizácia R

Zásada: číslovať uzlové body tak, aby rozdiel na prvku (max. a min. číslo uzla) bol minimálny.

Pozn. vplyv šírky polpásu na rýchlosť riešenia je závislý na použitej metóde riešenia napr. v prípade Gaussovej eliminačnej metódy. U frontálnej metódy má vplyv napr. rozdiel čísiel uzlov susedných prvkov


Príklad vplyvu číslovania uzlových bodov na šírku polpása matice


1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15

1 6 11

2 7 12

3 8 13

4 9 14

5 10 15

1 15 11

2 14 10

3 13 9

4 12 8

5 6 7

R = 4 M = 10

R = 6 M = 14

v = 2

R = 14 M = 30



• vzhľadom na symetriu matice sústavy ukladáme iba

nenulové členy nad diagonálou a pod tzv. profilom pása

matice + diagonálne členy matice K

• usporiadavajú sa do poľa pre ušetrenie miesta v pamäti

počítača

• pásovosť matice možno narušiť nevhodným číslovaním

uzlových bodov



M (šírka polpása)

n (počet rovníc)

n

symetrická časť

0

M

0

profil pása


Príklad - jednorozmerná úloha

Vypočítajte reakcie a maximálne napätie v prúte.

l1 l2 l3

E1 , A1 E2 , A2 E3 , A3

F

e1 e2 e3

F = F3 F4 F1 1 2 3 4


Zostavenie výslednej sústavy rovníc úlohy:

Vektor posunutí telesa:

a = [u1 u2 u3 u4] T

Okrajové podmienky: u1 = u4 = 0

a) Celková potenciálna energia sústavy

3

1

TT3

1

-2

1

i

eieieieiei

i

ei faaKa

4433112

3432

2322

121

222uFuFuFuu

kuu

kuu

k


0

0

0

0

43444

34342323

3221212

12111

Fuuku

Fuukuuku

uukuuku

Fuuku

Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia

dostaneme

0-

faKa


čo v maticovom tvare

4

3

1

4

3

2

1

33

3322

2211

11

0

00

0

0

00

F

F

F

u

u

u

u

kk

kkkk

kkkk

kk


b) Matice tuhosti elementov sústavy

11

111

1

11

1

11

1

11

1

11

kk

kk

lEA

lEA

lEA

lEA

eK

22

222

2

22

2

22

2

22

2

22

kk

kk

lEA

lEA

lEA

lEA

eK

33

333

3

33

3

33

3

33

3

33

kk

kk

lEA

lEA

lEA

lEA

eK


Rozšírené matice tuhosti elementov sústavy:

0000

0000

00

00

4

3

2

14321

11

11

*1 kk

kk

eK

0000

00

00

0000

4

3

2

14321

22

22*

2

kk

kkeK

33

33

*3

00

00

0000

0000

4

3

2

14321

kk

kkeK


Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):

Pozn. noe označuje počet elementov v sústave

33

3322

2211

11

*3

*2

*1

1

*

00

0

0

00

kk

kkkk

kkkk

kk

eeenoe

i

ei

K

KKKKK

e1 e2 e3

F = F3 F4 F1 1 2 3 4


33

3322

2211

11

*3

*2

*1

00

0

0

00

kk

kkkk

kkkk

kk

eee

K

KKKK


e1 e2 e3

F3 F4 F1 1 2 3 4



e1 e2 e3

F3 F4 F1 1 2 3 4

33

3322

2211

11

*3

*2

*1

00

0

0

00

kk

kkkk

kkkk

kk

eee

K

KKKK



Pozn. Symetria matice vyplýva z Maxwell-Bettiho vety o vzájomnosti posunutí.

33

3322

2211

11

00

0

0

00

2

kk

kkkk

kkkk

kk

maticepolpásu šírka

K

{


Výsledná sústava rovníc celej konštrukcie pre neupevnené teleso:

Matica K je singulárna.

Po dosadení okrajových podmienok a do vektora uzlových síl

faK

4

3

2

1

4

3

2

1

33

3322

2211

11

00

0

0

00

F

F

F

F

u

u

u

u

kk

kkkk

kkkk

kk

faK

4

1

3

2

33

3322

2211

11

0

0

0

00

0

0

00

F

F

F

u

u

kk

kkkk

kkkk

kk


Redukovaná sústava rovníc celej konštrukcie má tvar

Výsledné posunutia uzlov 2 a 3

Fukkuk

ukukk

Fu

u

kkk

kkk

33222

32221

3

2

322

221

0

~0~~faK

312321

213

313221

22

kkkkkk

kkFu

kkkkkk

kFu


Vynechané rovnice pre výpočet reakcií

Napätia v elementoch sústavy

433

121

4

1

3

2

33

3322

2211

11

0

0

0

00

0

0

00

Fuk

Fuk

F

F

F

u

u

kk

kkkk

kkkk

kk

faK

34

3

232

121

1

3

3

2

2

1

1

uu

uu

uu

uul

E

lE

lE

lE

eee

ee


Príklad - dvojrozmerná prútová sústava

Vypočítajte reakcie a sily v prútoch sústavy.

1

2

3

3

L

L

1

2

x

y

45o

P


matice tuhosti prútov v LSS

vektory posunutí uzlov v LSS

vektory uzlových síl v LSS

11

11

1

111

l

EAeK

11

11

2

222

l

EAeK

11

11

3

333

l

EAeK

1

2

111e

ee

u

ua

23

222

e

ee

u

ua

33

313

e

ee

u

ua

12

111

e

ee

N

Nf

23

222

e

ee

N

Nf

33

313

e

ee

N

Nf


rozšírené matice tuhosti prútov v LSS

rozšírené vektory posunutí uzlov v LSS

rozšírené vektory uzlových síl v LSS

12

12

11

11

1

e

e

e

e

e

v

u

v

u

a

23

23

22

22

2

e

e

e

e

e

v

u

v

u

a

33

33

31

31

3

e

e

e

e

e

v

u

v

u

a

0000

0101

0000

0101

1

111

l

EAeK

0000

0101

0000

0101

2

222

l

EAeK

0000

0101

0000

0101

3

333

l

EAeK

0

01

2

11

1e

e

e

N

N

f

0

0

2

23

21

2

e

e

e

N

N

f

0

03

3

31

3

e

e

e

N

N

f


Transformácia uzlových posunutí a síl medzi LSS a GSS

vi

j

L

i x - GSS

y - GSS

x - LSS

y - LSS

ui ui

vi

iii

i

i

i

iii

iii

v

u

v

u

vuv

vuuuTu

~

cossin

sincos

cossin

sincos


Pre dvojuzlový prutový element potom

Podobne sú transformované uzlové sily

T0

0TTTuu ~

~

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

j

j

i

i

j

j

i

i

v

u

v

u

v

u

v

u

0

~

~

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

ji

yj

xj

yi

xi

j

j

i

i

TTprútpre

F

F

F

F

T

N

T

N

T0

0TTTuu


Matice prúta v 2-D priestore

rovnovážne rovnice v LSS

rozšírené rovnice v LSS

*

Ke je globálna symetrická matica 4x4

j

i

j

i

N

N

u

u

l

AE

11

11

0

0

0000

0101

0000

0101

j

i

j

j

i

i

N

N

v

u

v

u

l

AE

TKTK

faK*

T*

***

ee

eee


transformácia matíc do GSS

Prút 1:

vektor globálnych posunutí uzlov prvku

vektor globálnych uzlových síl

transformačná matica

1 L

1

2

y

y, x

x

0100

1000

0001

0010

90cos90sin00

90sin90cos00

0090cos90sin

0090sin90cos

1T

2

2

1

1

1

v

u

v

u

ea

y

y

x

e

F

P

F

F

2

1

1

1f


globálna matica tuhosti prvku

rozšírená matica tuhosti prvku

111T1 TKTK ee

2211

1010

0000

1010

0000

1

111

vuvu

e

l

EA

K

000000

000000

001010

000000

001010

000000

1

11*

1

l

EAeK



Prút 2:




2

3

L

2 x, x

y, y

y

x

y

x

e

F

F

F

F

3

3

2

2

2f

3

3

2

2

2

v

u

v

u

ea

1000

0100

0010

0001

0cos0sin00

0sin0cos00

000cos0sin

000sin0cos

2T




222T2 TKTK ee

3322

0000

0101

0000

0101

2

222

vuvu

e

l

EA

K

000000

010100

000000

010100

000000

000000

2

22*

2

l

EAeK


3

3

1 x

y

45o

x

y


Prút 3:




y

x

y

x

e

F

F

F

F

3

3

1

1

3f

3

3

1

1

3

v

u

v

u

ea

22

22

22

22

22

22

22

22

2

00

00

00

00

45cos45sin00

45sin45cos00

0045cos45sin

0045sin45cos

T




333T3 TKTK ee

3311

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

3

333

vuvu

e

l

EA

K

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

3

33*

3

00

00

000000

000000

00

00

l

EAeK


globálny vektor posunutí konštrukcie

globálny vektor uzlových síl konštrukcie

3

3

2

3

3

2

2

1

1

0

0

0

u

u

u

v

u

v

u

v

u

aa

x

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

F

F

F

P

F

F

F

F

F

F

F

F

3

3

2

1

1

3

3

2

2

1

1

ff

1

2

3

3

L

L

1

2

x

y

45o

u1=0

v1=0

v2=0 v3=0

u3

v3

u2

1

2

3

3

L

L

1

2

x

y

45o

P

F1x

F1y

F2y F3y

F3x

N3=0


vzhľadom na okrajové podmienky

Pozn. multipoint constraint

podobne pre sily

3333

3

322

22

333

0

045cos45sin

vuvu

v

uvuv

3333

3

3

22

22

333

0

045sin45cos

xyyx

y

x

yx

FFFF

F

FFFN


Celková globálna matica tuhosti konštrukcie

*3

*2

*1 eee KKKK


Výpočet primárnych neznámych a reakcií vo väzbách

Výslednú sústavu rovníc celej konštrukcie upravíme do tvaru

kde: aa sú neznáme zložky uzlových posunutí

ab sú známe zložky uzlových posunutí

fa sú známe (zaťažujúce) sily v uzloch

fb sú neznáme reakcie vo väzbách

b

a

b

a

bbba

abaa

f

f

a

a

KK

KK

faK


Potom neznáme uzlové posunutia aa vypočítame z rovníc

a neznáme reakcie fb

Úloha sa výrazne zjednoduší ak ab = 0 t.j. v uzloch sú tuhé upevnenia

babaaaa aKfaK

bbbabab aKaKf

faK

faK~~~

aaaa


Dôvody zavedenia a používania izoparametrických elementov:• modelovanie zložitých telies so zakriveným povrchom,• problémy s integráciou cez objem a povrch zložitých telies

Princíp IE:• využívajú vlastnosti a možnosti transformácie bodov oblasti (objemu)

na iný jednoduchší (normalizovaný) tvar,• objemová, resp. plošná integrácia sa potom vykonáva na tejto

normalizovanej tzv. jednotkovej oblasti,• transformácia musí byť pritom jednojednoznačná (každému bodu

pôvodnej oblasti jednoznačne prislúcha jeden bod normalizovanej oblasti a naopak).

Izoparametrické prvky


= 0

y, v

2 (1, -1) 1 (-1, -1)

9 (x9, y9)

= -1

= +1

= 0 = +1

= -1

4 (-1, 1) 3 (1, 1)

2 ( x2, y2)

3 (x3, y3)

x, u

4 (x4, y4)

9 (0, 0)

S (x, y) S (, )

( x, y ) = f ( , )

(, ) = g (x, y)

1 (x1, y1 )


Pre transformáciu súradníc ľubovolného bodu platí

teda

kde Ni() sú tvarové funkcie vyjadrené v prirodzených súradniciach

1,1

1,1 pritom

fy

x


)....,(),(

...),(),(

),(

),(),(

21

21

NN

NN

y

xx


ktoré musia spĺňať okrajové podmienky

Ak = 1 x() = x3

= 1 y() = y3

= 0 x() = x9

= 0 y() = y9

:

:

atď....



Izoparametrický prútový prvok

pre ľubovolný bod

prvku


Le

xie

xje

x

i j

uie uj

e u(r), u(x)

x - LSS r = -1 x = xi

e r = +1 x = xj

e

1

010

1

010

1)(

1)(

a

axxaaxu

rrru


pre posunutia uzlových bodov

potom posunutie ľubovolného bodu prvku


22)1(

)1(10

10

10 ijij

j

i uuuu

u

u

e

j

i

ei

ei

e

j

i

xu

u

L

xx

L

xxxu

ru

urrru

aN

aN

)(1)(

)()1()1()( 21

21

21 10

10

10 ijje

iie

i

jj

ii uuau

L

xu

L

xa

xaau

xaau


vzťah medzi súradnicou x a prirodzenou súradnicou r


221

1 10

10ijji

j

i

xxxx

xxr

xxr

rx

e

j

ir

x

xrrx xN )()1()1( 2

121


pomerná deformácia prvku

kde J je Jakobián (Jakobiho matica) zobrazenia, zabezpečujúci vzťah medzi globálnymi a prirodzenými súradnicami.


e

eeij

j

i

j

i

j

i

eej

i

e

Ldx

dr

drL

drdxLxx

x

x

dr

dx

u

u

dr

rud

u

u

LLu

u

Ldx

dr

dr

rud

dx

rudx

2

det

1

2detdet

222

)(

112)()()(

1

21

21

21

21

21

21

JJ

JJ

ε


lokálna matica tuhosti prvku

Pre zložitejšie prvky sa integrácia v matici tuhosti robí numericky, napr. pomocou Gaussovej kvadratúry.


11

11

2

V

111

11

1

111

11

1

111

1

V

T

e

e

LLL

L

LLL

L

LL

x

x L

Le

L

AEdr

LAE

drAEdxAEd

ee

e

e

ee

e

e

ee

ej

ei

e

e

JBDBK



Delenie izoparametrických prvkov

• subparametrické prvkyprvky pri ktorých sú pre transformáciu súradníc uzlov použité tvarové funkcie nižšieho rádu ako pre transformáciu posunutí

• izoparametrické prvkyprvky pri ktorých sú pre transformáciu súradníc uzlov použité rovnaké tvarové funkcie ako pre transformáciu posunutí

• superparametrické prvkyprvky pri ktorých sú pre transformáciu súradníc uzlov použité tvarové funkcie vyššieho rádu ako pre transformáciu posunutí


Numerická integrácia

Numerická integrácia funkcie jednej premennej

• vyčíslovanie integrálov pri výpočte matíc prvku pri použití

prirodzených súradníc sa vykonáva vždy na rovnakej

oblasti s jednotkovými hranicami

• preto je možné pre výpočet použiť numerickú integráciu

• najčastejšie sa používa metóda Gaussovej kvadratúry



Majme integrál

Integrál počítame tak, že hodnotu funkcie f v niekoľkých

vybraných bodoch (tzv. integračných bodoch) vynásobíme ich

váhovými súčiniteľmi w a sčítame navzájom:

dfI

1

1

)(

n

iii fwdfI

1

1

1

)()(



Pri Gaussovej metóde je poloha bodov i zvolená symetricky od

stredu intervalu tak, aby bola dosiahnutá maximálna presnosť

integrácie.



Vo všeobecnosti platí:

ak použijeme n integračných bodov, dostaneme exaktný

výsledok pre polynóm stupňa 2n-1 a nižší

m etóda k onečných p rvkov vo výrobných technológiach

Documents