Mια αβαρής ράβδος µήκους L έχει το ένα της άκ ρο Α αρθρωµένο κοντά στην περιφέρεια κυκλικής τροχαλίας ακτίνας R, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι στε ρεωµένο σφαιρίδιο Σ που η µάζα του δεν µπορεί να θεωρηθεί αµελη τέα. Όταν η τροχαλία στρέφεται αριστερόστροφα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

�

! ! η ράβδος µετατοπίζεται στο κατακόρυφο επίπεδο Οxy της

τροχαλίας, µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται χρονικά η γωνία φ που σχηµατίζει µε τον κατακόρυφο άξονα Οy. Να δείξετε ότι η γωνία φ ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:

�

d2!

dt2="

2R

L#$%(! -"t) -

g

L&µ!

όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία στιγµή t που η επιβατική ακ τίνα ΟΑ του άκρου Α της ράβδου σχηµατίζει µε τον οριζόντιο άξονα Ox γωνία ωt η δε αντίστοιχη γωνία της ράβδου µε την κατακόρυφη διεύθυνση είναι φ. Το σφαιρίδιο Σ δέχεται το βάρος του

�

m! g και την δύναµη επαφής

�

! F από την

ράβδο, της οποίας ο φορέας συµπίπτει µε την ράβδο διότι αυτή είναι αβαρής. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των άξόνων Οx καi Οy παίρνουµε τις σχέσεις:

Σχήµα 1

�

md2x /dt2 = -Fx

md2y /dt2 = Fy - mg

!

"

#

�

!

�

md2x /dt2 = -F!µ"

md2y /dt2 = F#$%" - mg

& ' (

�

!

�

F = -m

!µ"#

$ %

&

' (

d2x

dt2

F =mg

)*+"+

m

)*+"#

$ %

&

' (

d2y

dt2

,

-

.

. .

/

.

.

.

�

!

�

-m

!µ"#

$ %

&

' (

d2x

dt2=

mg

)*+"+

m

)*+"#

$ %

&

' (

d2y

dt2

�

!

�

!"#$d2x

dt2+ %µ$

d2y

dt2+ g%µ$ = 0 (1)

Oι συντεταγµένες του σφαιριδίου την χρονική στιγµή t είναι:

�

x = R!"#$t + L%µ&

y = R%µ$t - L!"#&

' ( ) (2)

Παραγωγίζοντας τις σχέσεις (2) ως προς τον χρόνο t δύο φορές παίρνουµε:

�

dx/dt = -R!"µ!t + L#$%&(d& /dt)

dy /dt = R!#$%!t + L"µ&(d& /dt)

' ( )

�

!

�

d2x/dt2 = -R! 2"#$!t - L%µ&(d& /dt)2 + L"#$&(d2& /dt2)

d2y /dt2 = -R! 2 %µ!t + L"#$&(d& /dt)2 + L%µ&(d2& /dt2)

' ( ) (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε:

�

!"#$ -R% 2!"#%t -L&µ$d$dt

'

( )

*

+ ,

2

+L!"#$d

2$dt

2

-

.

/ /

0

1

2 2 +

�

+!µ" -R# 2 !µ#t+L$%&"d"dt

'

( )

*

+ ,

2

+L!µ"d2"dt2

-

.

/ /

0

1

2 2 +g!µ" = 0

�

!

�

-R!2"#$(% -!t) +L

d2%

dt2+g&µ% = 0

�

!

�

d2!

dt2="

2R

L#$%(! -"t) -

g

L&µ!

P.M. fysikos

Mια τροχαλία µάζας Μ και ακτίνας R, µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της K και είναι κάθετος στο επίπεδό της. O λαιµός της τροχαλίας περιβάλλεται µε λεπτό ανθεκτικό και µη εκτατό νήµα, του οποίου το ένα άκρο δένεται σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθε

ράς k, ενώ στο άλλο του άκρο στερεώνεται µικρή σφαίρα Σ µάζας m, όπως φαίνεται στο σχήµα (2). Κρατάµε την σφαίρα σε µια θέση Ο, ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του µήκος και κάποια στιγµή την αφήνουµε ελεύθερη. i) Να βρείτε την µέγιστη ταχύτητα που θ΄ αποκτήσει η σφαίρα και την αντίστοιχη επιµήκυνση του ελατηρίου. ii) Να βρείτε την εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου. Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας ΙΚ=ΜR2/2 της τροχα

λίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ και είναι κά θετος στο επίπεδό της. ΛYΣH: i) Εξετάζουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία στιγµή t που η αποµάκ ρυνση του σφαιριδίου Σ ως προς την αρχική του θέση Ο είναι

�

! x , η αντί στοιχη

ταχύτητά του είναι

�

! v , η δε γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας είναι

�

! ! . Εφαρ

µόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας από την στιγµή t0=0 µέχρι την στιγµή t παίρνουµε την σχέση:

�

Eµ!" (t0) = Eµ!" (t)

�

!

�

0 = -mgx + mv2/2 + IK!2/2 + kx2/2

�

!

�

0 = -mgx + mv2/2 + MR2!

2/4 + kx2/2 (1)

Σχήµα 2 Επειδή το νήµα είναι µη εκτατό ισχύει v=ωR, οπότε η (1) γράφεται:

�

0 = -mgx + mv2/2 + Mv2/4 + kx2/2

�

!

�

0 = -4mgx + 2mv2 + Mv2 + 2kx2

�

!

�

2kx2 - 4mgx + (2m + M)v2 = 0 (2)

Η (2) αποτελεί µια εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς x που πρέπει οι ρίζες της να είναι πραγµατικές, δηλαδή η διακρίνουσά της πρέπει να είναι µη αρνητική, οπότε θα ισχύει:

�

16m2g2 - 8k(2m + M)v2! 0

�

!

�

2m2g2! k(2m + M)v2

�

!

�

v ! mg2

k(2m + M)

�

!

�

vmax= mg2

k(2m + M) (3)

Tην στιγµή που η ταχύτητα του σφαιριδίου αποκτά την µέγιστη τιµή της vmax η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι ίση µε την αντίστοιχη αποµάκρυνση x* του σφαιριδίου, δηλαδή ίση µε την διπλή ρίζα της (2), οπότε θα έχουµε:

�

x* =4mg

4k=

mg

k (4)

ii) Διαφορίζοντας την σχέση (2) παίρνουµε:

�

4kxdx - 4mgdx + 2(2m + M)vdv = 0

�

!

�

(2m + M)vdv

dt= 2mg

dx

dt- 2kx

dx

dt

�

!

�

(2m + M)vdv

dt= 2mgv - 2kxv

�

!

�

(2m + M)dv

dt= 2mg - 2kx

�

!

�

(2m + M)d2x

dt2+ 2kx = 2mg

�

!

�

d2x

dt2+

2kx

2m + M=

2mg

2m + M

�

!

�

d2x

dt2+!

2x =2mg

2m + M µε

�

!2

=2k

2m + M (5)

Η (5) αποτελεί µια µη οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξε ως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται ως µερική λύση την σταθερή συ νάρτηση x1(t), που προκύπτει από την σχέση:

�

!2x1(t) =

2mg

2m + M

�

!

�

2k

2m + Mx1(t) =

2mg

2m + M

�

!

�

x1(t) =mg

k (6)

Η αντίστοιχη οµογενής της (5) δέχεται λύση x2(t) της µορφής:

�

x2(t) = A!µ ("t +#) (7) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που οι τιµές τους εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σφαιριδίου. Η γενική λύση x(t) της (5) είναι:

�

x(t) = x1(t) + x2(t)

�

!

(6),(7)

�

x(t) = mg/k + A!µ ("t +#) (8) Παραγωγίζοντας την (8) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την στιγµιαία ταχύ

τητα v του σφαιριδίου (αλγεβρική τιµή), δηλαδή θα έχουµε:

�

v = dx(t)/dt = A!"#$(!t +%) (9) Οι σχέσεις (8) και (9) για t=0 δίνουν:

�

0 = mg/k + A!µ"

0 = A#$%&"

' ( )

�

!

�

A = -mg/k!µ"

#$%" = 0

& ' (

�

!

�

A = -mg/k

! = "/2

#

$

%

(10)

Με βάση τις σχέσεις (10) η (8) γράφεται:

�

x(t) = mg/k - (mg/k)!µ ("t + #/2)

�

!

�

x(t) = mg(1 - !"#$t)/k (11) Η (11) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου.

P.M. fysikos

Στην διάταξη του σχήµατος (3) ο δακτύλιος Δ έχει µάζα m και µπορεί να ολισθαίνει κατά µήκος λείου οδηγού σχήµατος ηµιπεριφέρειας, o οποίος είναι στερεωµένος στις άκρες του Α και Β. To επίπεδο του οδηγού είναι κατακόρυφο το δε ελατήριο θεωρείται ιδανικό µε φυσικό µήκος ίσο προς την ακτίνα R του οδηγού και στα θερά k=3mg/R, όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

i) Να καθορισθεί η θέση και το είδος ισορροπίας του δακτυλίου. ii) Eάν ο δυκτύλιος αφήνεται ελεύθερος στην θέση, όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος, να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που καθο ρίζει την κίνησή του κατά µήκος του οδηγού. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα δακτύλιος-ελατήριο σε µια τυχαία θέση, όπου ο άξονας του ελατηρίου σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διάµετρο ΑΒ του οδηγού γωνία φ. Επειδή στην αρχική θέση του συστήµατος το ελατήριο βρίσκε ται στην φυσική του κατάσταση και το µήκος του είναι R, η γωνία φ είναι µικρότερη από π/3. H δυναµική ενέργεια U(φ) του συστήµατος στην θέση αυτή είναι ίση µε την βαρυτική δυναµική ενέργεια του δακτυλίου συν την δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόφφωσης του ελατηρίου, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

U(!) = -mg(R + R"#$2!) + k%L2/2 (1) όπου ΔL η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση. Όµως για την επιµήκυνση ΔL ισχύει:

�

!L = A! - R = 2AM - R = 2R"#$% - R

�

!

�

!L = R(2"#$% - 1) (2) όπου Μ το µέσον της ΑΔ. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

U(!) = -mgR(1+"#$2!) + kR2(2"#$! - 1)2/2 (3)

Επειδή µεταξύ του δακτυλίου και του οδηγού δεν υπάρχει τριβή, στην θέση ισορροπίας του συστήµατος πρέπει η πρώτη παράγωγος της U(φ) να µηδενίζε ται, δηλαδή πρέπει να ισχύει:

�

dU(!)

d!= 0

�

!

(3)

�

d

dt-mgR(1+!"#2$) +

kR2

2(2!"#$ - 1)2

%

&

'

(

)

* = 0

�

!

Σχήµα 3

�

2mgR!µ2" - 2kR2(2#$%" - 1)!µ" = 0

�

!

�

2mgR!µ"#$%" - 3(mg/R)R2(2#$%" - 1)!µ" = 0

�

!

�

2!"#$ - 3(2!"#$ - 1) = 0

�

!

�

!"#$ = 3/4 (4) H σχέση (4) είναι αποδεκτή, διότι εξασφαλίζει φ<π/3. Παρατήρηση: H θέση ισορροπίας του συστήµατος µπορεί να βρεθεί µε στοι χειώδη τρόπο αν εξετάσουµε την ισορροπία µόνο του δακτυλίου. Ο δακτύλιος δέχεται το βάρος του

�

m! g , την δύναµη δεσµού

�

! N από τον λείο ηµικυκλικό οδη

γό η οποία έχει ακτινική διεύθυνση και την δύναµη

�

! F από το τεντωµένο ελα

τήριο. Στην θέση ισορροπίας του δακτυλίου τα µέτρα των δυνάµεων αυτών πρέπει να ικανοποιούν την σχέση:

�

mg

!µ (" - #)=

F

!µ2#

�

!

�

mg

!µ"=

k#L

2!µ"$%&"

�

!

�

mg

!µ"=

(3mg/R)R(2#$%" - 1)

2!µ"#$%"

�

!

�

1 =3(2!"#$ - 1)

2!"#$

�

!

�

2!"#$ = 3(2!"#$ - 1)

�

!

�

!"#$ = 3/4 Για να καθορίσουµε το είδος ισορροπίας του συστήµατος εξετάζουµε την δεύ τερη παράγωγο της U(φ), οπότε θα έχουµε:

�

d2U(!)

d! 2=

d

dt2mgR"µ 2! - 2kR2(2#$%! - 1)"µ![ ]

�

!

�

d2U(!)

d! 2= 4mgR"#$2! + 4kR2

%µ!%µ! - 2kR2(2"#$! - 1)"#$![ ]

�

!

�

d2U(!)

d! 2= 4mgR(2"#$2

! - 1) + 2kR2(2%µ 2! - 2"#$2

! +"#$!)[ ]

�

!

�

d2U(!)

d! 2= 4mgR(2"#$2

! - 1) + 2kR2(2- 4"#$2! +"#$!)[ ]

�

!

�

d2U(!)

d!2

"

#

$

%

&

'

()*! =3/4

= 4mgR18

16- 1

+

, -

.

/ 0 + 2

3mg

RR2 2-

36

16+

3

4

+

, -

.

/ 0

"

#

$

%

&

'

�

!

�

d2U(!)

d!2

"

# $

%

& ' ()*! =3/4

= 2mgR +12mgR( ) = 14mgR > 0

δηλαδή η ισορροπία του συστήµατος είναι ευσταθής. ii) Eφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως και της τυχαίας θέσεώς του, όπου η ταχύτητα του δακτυλίου είναι

�

! v , παίρνουµε την σχέση:

�

-mgR!"#($ /3) = -mg(R + R!"#2%) + mv2/2 + k&L2/2

�

!

�

-mgR/2 = -mgR(1+!"#2$) + mv2/2 + kR2(2!"#$ - 1)2/2

�

!

�

mgR/2 = -mgR!"#2$ + mv2/2 + 3mgR(2!"#$ - 1)2/2

�

!

�

gR = -2gR!"#2$ + v2 + 3gR(2!"#$ - 1)2

�

!

�

gR = -2gR(2!"#2$ - 1) + v2 + 3gR(4!"#2

$ +1- 4!"#$)

�

!

�

gR = -4gR!"#2$ + 5gR + v2 - 12gR!"#$)

�

!

�

v2 = -4gR +12gR!"#$ + 4gR!"#2$ (5)

Διαφορίζοντας την (5) παίρνουµε:

�

2vdv = -12gR!µ"d" - 8gR#$%"!µ"d"

�

!

�

vdv

dt= -2gR(3 + 2!"#$)%µ$

d$

dt (6)

Όµως για το µέτρο της ταχύτητας έχουµε την σχέση:

�

v = Rd(2!)

dt= 2R

d!

dt

οπότε η (6) γράφεται:

�

2Rd!dt

2Rd2!dt2

"

# $

%

& ' = -2gR(3 + 2()*!)+µ!

d!dt

�

!

�

d2!

dt2= -

g

2R(3 + 2"#$!)%µ!

�

!

�

d2!

dt2+

g

2R(3 + 2"#$!)%µ! = 0 (7)

H (7) αποτελεί µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως η οποία δεν λύνεται µε αναλυτικό τρόπο παρά µόνο γραφικά µέσω ηλεκτρονικού υπο λογιστή που χρησιµοποιεί κατάλληλο µαθηµατικό πρόγραµµα, λογουχάρη το Mathematika.

P.M fysikos

Στην µια άκρη ελατηρίου µηδενικού φυσικού µή κους και σταθεράς k, στερεώνεται µικρό σφαιρίδιο µάζας m, ενώ η άλλη άκρη του είναι δεµένη σε οροφή. Εκτρέπουµε το σφαιρίδιο από την θέση ισορροπίας του Ο προς τα κάτω κατά y0<mg/k (όπου

�

! g η

επιτάχυνση της βαρύτητας) και κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή των χρόνων το αφήνουµε ελευθερο, δίνοντάς του την στιγµή αυτή κατάλληλη ώθηση, ώστε να αποκτήσει οριζόντια ταχύτητα

�

! v

0.

Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο θα διαγράψει στο κατακόρυφο επίπεδο Οxy που περιλαµβάνει το διάνυσµα της ταχύτητας

�

! v

0, ελλειπτική

τροχιά, της οποίας να καθορίσετε αναλυτικά όλα τα στοιχεία της. Nα δεχθείτε ότι το ελατήριο στην διάρκεια της κίνησης του σφαιριδίου δεν καµπτεται, δηλαδή είναι συνεχώς ευθύγραµµο. ΛΥΣΗ: Στην θέση ισορροπίας Ο του σφαιριδίου το βάρος

�

m! g του εξουδετερώ

νει την δύναµη

�

! F

0 από το τεντωµένο ελατήριο, δηλαδή ισχύει:

�

mg = F0

�

!

�

mg = kL0

�

!

�

L0 = mg /k (1) όπου L0 το αντίστοιχο µήκος του ελατηρίου. Εξετάζοντας το σφαιρίδιο όταν κινείται, παρατηρούµε ότι στην τυχαία θέση του Σ(x, y) δέχεται το βάρος του

�

m! g και την δύναµη

�

! F από το τεντωµένο ελατήριο, του οποίου ο άξονας

παρουσιάζει κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διευθυνση Οy. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δευτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά τον οριζόντιο άξονα Οx παίρνουµε την σχέση:

�

md

2x

dt2

= -Fx

�

!

�

md

2x

dt2

= -F!µ" = -kLx

L

�

!

�

md

2x

dt2

= -kx

�

!

�

d2x

dt2

+k

mx = 0 (2)

Σχήµα 5 όπου L το µήκος του ελατηρίου στην θεωρούµενη θέση του σφαιριδίου. Εφαρ µόζοντας τον ίδιο νόµο για το σφαιρίδιο κατά τον κατακόρυφο άξονα Οy παίρ νουµε την σχέση:

�

md2y

dt2= Fy - mg

�

!

�

md2y

dt2= F!"#$ - mg = kL

L0 - y

L

%

& '

(

) * - mg

�

!

�

md2y

dt2= kL0 - ky - mg

�

!

(1)

�

md2y

dt2= -ky

�

!

�

d2y

dt2+

k

my = 0 (3)

Οι σχέσεις (2) και (3) αποτελούν δυο οµογενείς γραµµικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχονται λύσεις της µορφής:

�

x = Ax!µ ("t +#x)

y = Ay!µ ("t +#y)

$ % & µε

�

!2

=k

m (4)

όπου Αx, Ay, θx, θy σταθερές ποσότητες, που οι τιµές τους εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σφαιριδίου. Παραγωγίζοντας τις σχέσεις (4) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τις συνιστώσες vx, vy (αλγεβρικές τιµές) της ταχύ τητας

�

! v του σφαιριδίου, δηλαδή θα έχουµε:

�

vx = dx /dt = Ax!"#$(!t +%x)

vy = dy /dt = Ay!"#$(!t +%y)

&

'

(

µε

�

!2

=k

m (5)

Οι σχέσεις (4) και (5) για t=0 δίνουν:

�

0 = Ax!µ"

x

v0

= Ax#$%&"

x

' ( )

�

!

�

!µ"x

= 0

Ax= v

0/#$%&"

x

' ( )

�

!

�

!x

= 0

Ax= v

0/"

#

$

%

και

�

-y0 = Ay!µ"y

0 = Ay#$%&"y

' ( )

�

!

�

Ay = -y0/!µ"y

#$%"y = 0

& ' (

�

!

�

Ay = y0

!y = -"/2

#

$

%

Έτσι οι σχέσεις (4) παίρνουν την µορφή:

�

x = (v0 /!)"µ!t

y = y0"µ (!t - # /2)

$ % &

�

!

�

x! /v0 = "µ!t

y /y0 = -#$%!t

& ' (

�

!

�

x2! 2 /v0

2 = "µ2!t

y2 /y0

2 = #$%2!t

& ' (

�

!

(+ )

�

x2!

2

v0

2+

y2

y0

2= 1

�

!

�

x2

v0

2 /! 2+

y2

y0

2= 1 (6)

Aπό την (6) προκύπτει ότι η τροχιά του σφαιριδίου είναι έλλειψη, της οποίας το κέντρο συµπίπτει µε την θέση ισορροπίας Ο του σφαιριδίου, τα δε µήκη των ηµιαξόνων της είναι v0/ω και y0.

P.M. fysikos

Στις άκρες ενός ελατηρίου σταθεράς k και αµελη τέου φυσικού µήκους είναι στερεωµένα τα σφαιρίδια Α και Β της ίδιας µάζας m. To ποθετούµε το ελατήριο πάνω στον άξονα x ενός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς Oxyz, το τεντώνουµε ώστε το σφαιρίδιο Α να βρεθεί στην θέση (-α, 0, 0) και το σφαιρίδιο Β στην θέση (α, 0, 0) και κάποια στιγµή που θεωρούµε ως αρχή των χρόνων αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο, δίνοντας µε κατάλληλη ώθηση στο σφαιρίδιο Α ταχύτητα

�

! v

0 η οποία κατευθύνεται οµόρροπα προς τον

άξονα y. Nα δείξετε ότι στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας των σφαιριδίων αυτά κινούνται πάνω στην ίδια ελλειπτική γραµµή, της οποίας να καθορίσετε αναλυτικά όλα τα στοιχεία. Κάτω από ποια συνθήκη η τροχιά αυτή εκφύλίζεται σε περιφέρεια; Να αγνοηθεί το βαρυτικό πεδίο της Γης και να θεωρήσετε ότι το ελατήριο συνεχώς είναι ευθύγραµµο, δηλαδή δεν κάµπτεται. ΛΥΣΗ: Το σύστηµα των δύο σφαιριδίων είναι µηχανικά µονωµένο, που σηµαί νει ότι η ορµή του παραµένει σταθερή στην διάρκεια της κίνησης των σφαιρι δίων. Στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Οxyz η σταθερή αυτή ορµή είναι ίση

Σχήµα 5 Σχήµα 6 µε την αρχική ορµή

�

m! v

0 του σφαιριδίου Α, οπότε η ορµή

�

2m! v

C του κέντρου

µάζας C των δύο σφαιριδίων θα είναι

�

m! v

0, δηλαδή θα ισχύει

�

! v

C=! v

0/2 και

εποµένως το σύστηµα αναφοράς CXYZ του κέντρου µάζας είναι αδρανειακό

σύστηµα, αφού κινείται µε σταθερή ταχύτητα

�

! v

0/2 ως προς το Οxyz. Εξετά

ζοντας τα δύο σφαιρίδια στο σύστηµα CXYZ έχουµε να παρατηρήσουµε τα εξής: i) Oι ροπές περί το C των δυνάµεων

�

! F και

�

-

! F που δέχονται τα σφαιρίδια Α και

Β αντιστοίχως από το τεντωµένο ελατήριο είναι µηδενικές, που σηµαίνει ότι η στροφορµή περί το C κάθε σφαιριδίου παραµένει σταθερή και µάλιστα είναι ίδια. Πράγµατι για τις στροφορµές αυτές θα έχουµε:

�

! L A = [CA0 ! m(

! v 0/2)]

! L B= [CB0 ! m(-

! v 0/2)]

"

# $

% $

(1)

όπου

�

! v

0/2,

�

-! v

0/2 οι ταχύτητες των σφαιριδίων Α και Β αντιστοιχως στο σύστη

µα αναφοράς του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t=0. Όµως για τα διανύσ

µατα

�

CA0 και

�

CB0 έχουµε:

�

CB0

= -CA0

= !r! i

όπου

�

! i το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα X , οπότε οι σχέσεις (1) παίρνουν την

µορφή:

�

! L A = [-!

! i " m(

! v 0/2)]

! L B= [!

! i " m(-

! v 0/2)]

#

$

%

�

!

�

! L A =

! L B=

! L = (-m! /2)[

! i "! v 0]

�

!

�

! L = (-m!/2)[

! i " v0

! j ]

�

!

�

! L = (-m!/2)[

! i " v0

! j ]

�

!

�

! L = m!v

0

! k /2 (2)

όπου

�

! L η κοινή στροφορµή των σφαιριδίων Α και Β περί το C και

�

! j ,

�

! k τα αντί

στοιχα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Υ και Z. ii) Επειδή οι δυνάµεις

�

! F και

�

-

! F είναι κεντρικές µε κέντρο το C, η κίνηση τό

σο του σφαιριδίου Α όσο και του Β είναι επίπεδη και µάλιστα τα επίπεδα κίνησής τους ως κάθετα στο διάνυσµα

�

! L συµπίπτουν µε το επίπεδο CXΥ.

iii) O δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα για το σφαιρίδιο Α δίνει:

�

md2! r /dt

2=! F

�

!

�

md2

dt2(-! i X -

! j Y) =

! i FX +

! j FY

�

!

�

md2

dt2(-! i X -

! j Y) =

! i 2kr(X/r) +

! j 2kr(Y/r)

�

!

�

md2

dt2(-! i X -

! j Y) =

! i 2kX +

! j 2kY

�

!

�

d2

dt2(-! i X -

! j Y) =

! i 2k

mX +! j 2k

mY

�

!

�

d2X /dt

2+! 2

X = 0

d2Y /dt

2+! 2

Y = 0

"

#

$

µε

�

!2

=2k

m (3)

όπου

�

! r το διάνυσµα θέσεως του σφαιριδίου Α ως προς το C την χρονική στιγµή

t που εξετάζουµε το σύστηµα και Χ, Y οι αντίστοιχες συντεταγµένες του σφαι ριδίου στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας C. Οι σχέσεις (3) αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του σφαιριδίου Α στο σύστηµα CXYZ και δέχονται λύσεις της µορφής:

�

X = A1!µ ("t +#1)

Y = A2!µ ("t +# 2)

$ % & (4)

όπου Α1, Α2, φ1, φ2 σταθερές ποσότητες που οι τιµές τους εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σφαιριδίου Α. Παραγωγίζοντας τις σχέσεις (4) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τις αλγεβρικές τιµές των συνιστωσών της ταχύ τητας

�

! V του Α την χρονική στιγµή t, οπότε θα έχουµε:

�

VX = A1!"#$(!t +%1)

VY = A2!"#$(!t +% 2)

&

'

(

(5)

Οι σχέσεις (4) και (5) για t=0 δίνουν:

�

-! = A1"µ#

1

0 = A1$%&'#

1

( ) *

�

!

�

A1

= -! /"µ#1

$%&#1

= 0

' ( )

�

!

�

A1

= -!

"1

= # /2

$

%

&

και

�

0 = A2!µ"

2

v0

= A2#$%&"

2

' ( )

�

!

�

!µ"2

= 0

A2

= v0/#$%&"

2

' ( )

�

!

�

!2

= 0

A2

= v0/"

#

$

%

Έτσι οι σχέσεις (4) παίρνουν την µορφή:

�

X = -!"µ (#t + $ /2)

Y = (v0 /#)"µ#t

% & '

�

!

�

-X /! = "#$%t

Y% /v0

= &µ%t

' ( )

�

!

�

X2/! 2

= "#$2%t

Y2% 2

/v0

2= &µ

2%t

' ( )

�

!

(+ )

�

X2

!2

+Y

2"

2

v0

2= 1

�

!

�

X2

!2

+Y

2

v0

2/"

2= 1 (6)

Aπό την (6) προκύπτει ότι η τροχιά του σφαιριδίου Α στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας των δύο σφαιριδίων είναι έλλειψη, µε κέντρο το C και µε µήκη ηµιαξόνων α, v0/ω. Αν οι αρχικές συνθήκες κίνησης του σφαιριδίου ικα νοποιούν την σχέση α=v0/ω, τότε η έλλειψη εκφυλίζεται σε περιφέρεια κεν τρου C και ακτίνας α. Εξετάζοντας µε τον ίδιο τρόπο το σφαιρίδιο Β θα καταλή ξουµε ότι η τροχία του συµπίπτει µε την τροχιά του Α.

P.M. fysikos

Ένα υλικό σηµείο δέχεται κεντρική δύναµη

�

! F (r),

υπό την επίδραση της οποίας διαγράφει επίπεδη τροχιά. Να δείξετε ότι η διαφορική εξίσωση της τροχιάς σε πολικές συντεταγµένες (r, θ) µε πόλο το κέντρο από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη, έχει την µορ φή:

�

d2r

d!2-2

r

dr

d!"

# $

%

& '

2

- r =mr

4

L2

F(r)

ή την µορφή:

�

d2u

d!2

+ u = -m

L2u

2F(r)

όπου u=1/r, L το µέτρο της σταθερής στροφορµής του υλικού σηµείου και m η µάζα του. ΛΥΣΗ: Επειδή το υλικό σηµείο δέχεται κεντρική δύναµη θα έχει µόνο ακτι νική επιτάχυνση και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, ισ χύει κατά την ακτινική διεύθυνση η σχέση:

�

md

2r

dt2

- rd!dt

"

# $

%

& '

2(

)

*

*

+

,

-

-

= F(r)

�

!

�

d2r

dt2

- rd!dt

"

# $

%

& '

2

=F(r)

m (1)

Όµως για το σταθερό µέτρο L της στροφορµής ισχύει:

�

L = mr2

d!dt

"

# $

%

& '

�

!

�

d!

dt=

L

mr2

οπότε η (1) γράφεται:

�

d2r

dt2

-rL

2

m2r

4=

F(r)

m

�

!

�

d2r

dt2

-L

2

m2r

3=

F(r)

m (2)

Εάν η εξίσωση της τροχιάς σε πολικές συντεταγµένες έχει την µορφή r=r(θ), τότε θα έχουµε:

�

dr

dt=

dr

d!

d!

dt=

dr

d!

L

mr2 (3)

Παραγωγίζοντας την (3) ως πρός τον χρόνο t παίρνουµε:

�

d2r

dt2

=d

dt

dr

d!L

mr2

"

# $

%

& ' =

d

d!dr

d!L

mr2

"

# $

%

& '

d!dt

�

!

�

d2r

dt2

=d

2r

d!2

L

mr2

+dr

d!L

m-2

r

"

# $

%

& '

dr

d!

(

)

*

+

,

-

L

mr2

�

!

�

d2r

dt2

=d

2r

d!2

L2

m2r

4-

2L2

m2r

5

dr

d!"

# $

%

& '

2

(4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (4) παίρνουµε:

�

d2r

d!2

L2

m2r

4-

2L2

m2r

5

dr

d!"

# $

%

& '

2

-2L

2

m2r

3=

F(r)

m

�

!

�

L2

m2r

4

d2r

d!2-2

r

dr

d!"

# $

%

& '

2

- r(

)

*

*

+

,

-

-

=F(r)

m

�

!

�

d2r

d!2-2

r

dr

d!"

# $

%

& '

2

- r =m

2r

4

L2

F(r)

Εξάλλου θέτοντας u=1/r η σχέση (3) γράφεται:

�

dr

dt= -

L

m

d(1/r)

d!= -

L

m

du

d! (5)

Παραγωγίζοντας την (5) ως πρός τον χρόνο t έχουµε:

�

d2r

dt2

= -L

m

d

dt

du

d!"

# $

%

& ' = -

L

m

d

d!du

d!"

# $

%

& '

d!dt

�

!

�

d2r

dt2

= -L

m

d2u

d!2

"

# $

%

& '

L

mr2= -

L2u

2

m2

d2u

d!2

"

# $

%

& ' (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (6) παίρνουµε:

�

-L

2u

2

m2

d2u

d!2

"

# $

%

& ' -

L2u

3

m2

=F(r)

m

�

!

�

-L

2u

2

m2

d2u

d!2+ u

"

# $

%

& ' =

F(r)

m

�

!

�

d2u

d!2

+ u = -m

L2u

2F(r)

P.M. fysikos

Δύο µικρά σφαιρίδια Σ1, Σ2 της ίδιας µάζας m συν δέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα, το οποίο διέρχε ται από µια µικρή οπή O λείου οριζόντιου επιπέδου. Το σφαιρίδιο Σ1

κρατείται επί του οριζοντίου επιπέδου σε απόσταση α από την οπή, ενώ το Σ2 κρέµεται µε το νήµα κατακόρυφο. Την χρονική στιγµή t=0 δίνουµε στο σφαιρίδιο Σ1 οριζόντια ταχύτητα

�

! v

0, της οποίας ο φορέας

είναι κάθετος στην ευθεία ΟΣ1, το δε µέτρο της είναι

�

v0= 2g! , όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. i) Nα εκφράσετε την ταχύτητα του σφαιριδίου Σ2 σε συνάρτηση µε την απόστασή του z από την οπή Ο. ii) Να δείξετε ότι το νήµα είναι συνεχώς τεντωµένο και να βρείτε τα όρια κίνησης του σφαιριδίου Σ2. Δίνεται το µήκος L=2α του νήµατος. ΛΥΣΗ: i) To σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του

�

! w , την κατακόρυφη αντίδραση

�

! N του λείου ορίζόντιου επιπέδου που εξουδετερώνει το βάρος του και την τάση

�

! T του νήµατος, η οποία κατευθύνεται συνεχώς προς την οπή Ο, δηλαδή αποτελεί κεντρική ελκτική δύναµη. Όλα τα παραπάνω εγγυώνται ότι η κίνηση του σφαιριδίου είναι επίπεδη και µάλιστα η τροχιά του βρίσκεται επί του οριζόντιου επιπέδου, αφού το διάνυσµα της αρχικής του ταχύτητας

�

! v

0 ανήκει

στο επίπεδο αυτό. Επί πλέον η στροφορµη

�

! L του σφαιριδίου περί το Ο διατη

ρείται σταθερή, το δε µέτρο της είναι:

�

L =m!v0

�

!

�

mrv!=m"v

0

�

!

�

v!= r

d!

dt="v

0

r2

�

!

�

d!

dt="v

0

r2

(1)

Σχήµα 7

όπου

�

! v ! η εγκάσσια συνιστώσα της ταχύτητας

�

! v και r η απόστασή του από την

οπή Ο την στιγµή που το εξετάζουµε. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της ακτίνας παίρνου µε την σχέση:

�

md

2r

dt2

- rd!dt

"

# $

%

& '

2(

)

*

*

+

,

-

-

= -T

�

!

(1)

�

d2r

dt2

- r!v

0

r2

"

# $

%

& '

2

= -T

m

�

!

�

d2r

dt2

-!

2v

0

2

r3

= -T

m (2)

όπου dr/dt η αλγεβρική τιµή της ακτινικής συνιστώσας

�

! v

r της ταχύτητας του

σφαιριδίου. Εξάλλου το σφαιρίδιο Σ2 δέχεται το βάρος του

�

! w =m

! g και την τάση

�

! T ' του νήµατος της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε Τ και σύµφωνα µε τον δεύτε ρο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε για το σφαιρίδιο αυτό την σχέση:

�

md2z

dt2= -T'+mg

�

!

�

d2z

dt2= -

T

m+ g (3)

όπου z η απόσταση του Σ2 από την οπή Ο. Όµως κάθε στιγµή ισχύει η σχέση:

�

z + r = 2!

�

!

�

dz

dt+

dr

dt= 0

�

!

�

dz

dt= -

dr

dt

�

!

�

d2z

dt2

= -d

2r

dt2

οπότε η (3) γράφεται:

�

-d2r

dt2= -

T

m+ g

�

!

�

-T

m= -

d2r

dt2- g (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (4) έχουµε:

�

d2r

dt2-!

2v0

2

r3= -

d2r

dt2- g

�

!

�

2d2r

dt2-!

2v0

2

r3+ g = 0 (5)

Εξάλλου έχουµε την σχέση:

�

d2r

dt2

=d

dt

dr

dt

!

" #

$

% & =

d

dr

dr

dt

!

" #

$

% &

dr

dt= v

r

dvr

dr

�

!

�

d2r

dt2

=d

dr

vr

2

2

!

" #

$

% &

οπότε η (5) γράφεται:

�

d vr

2( ) =! 2v0

2

r3- g

"

# $

%

& ' dr (6)

Ολοκληρώνοντας την (6) παίρνουµε:

�

vr

2 = -!

2v0

2

2r2- gr + C

�

!

�

vr

2 = -!

22g!

2r2- gr + C

�

!

�

vr

2 = -!

3g

r2- gr + C (7)

όπου C σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι vr=0 και r=α, οπότε η (7) δίνει:

�

0 = -!

3g

!2

- g! + C

�

!

�

C = 2g!

Άρα η τελική µορφή της (7) είναι:

�

vr

2 = -!

3g

!2

- gr + 2g!

�

!

�

vr

2 = g 2! - r -! 3

r2

"

# $

%

& ' (8)

Eπειδή r=2α-z η (8) γράφεται:

�

vr

2 = g 2! - 2! + z -! 3

(2! - z)2

"

#

$

%

&

' = g z -! 3

(2! - z)2

"

#

$

%

&

'

�

!

�

vz

2 = g z -! 3

(2! - z)2

"

#

$

%

&

' (9)

διότι ισχύει vr=vz. ii) Ας δεχθούµε ότι υπάρχει χρονική στιγµή, όπου το νήµα χαλαρώνει. Τότε θα ισχύει Τ=0 και οι σχέσεις (2) και (4) δίνουν:

�

d2r

dt2

=!

2v

0

2

r3

και

�

md2z

dt2= g

Eπειδή d2r/dt2 =-d2z/dt2 θα πρέπει την στιγµή αυτή να ισχύει:

�

!2v0

2

r3= -g

�

!

�

2g!

3

r3= -g

�

!

�

r = -!

που αποτελεί άτοπο. Άρα το νήµα ποτέ δεν χαλαρώνει. Εξάλλου όταν το σφαιρί διο Σ2 βρίσκεται στην εγγύτερη ή στην πιο απόµακρη θέση του ως προς τη οπή Ο θα ισχύει vz=0, οπότε η (9) γράφεται:

�

0 = z -!

3

(2! - z)2

�

!

�

!3

(2! - z)2

= z

�

!

�

z(2! - z)2

= !3 (10)

H (10) δέχεται ως ρίζα την z=α, οπότε αν z1, z2 είναι οι δύο άλλες ρίζες της θα έχουµε:

�

z(2! - z)2-!

3" (z -!)(z - z1)(z - z2)

Mε την µέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών βρίσκουµε τελικώς ότι µόνο η µία από τις ρίζες z1, z2 είναι αποδεκτή και µάλιστα η ρίζα αυτή είναι:

�

z1

=!

23 - 5( )

Από την παραπάνω διαδικασία προκύπτει ως συµπέρασµα ότι, κατά την κίνηση του σφαιριδίου Σ2 τα όρια κίνησής του είναι:

�

zmax

= ! και

�

zmin

=!

23 - 5( )

P.M. fysikos

Ένα υλικό σηµείο µάζας m εκτοξεύεται σε σηµείο Α0 κεντρικού δυναµικού πεδίου, µε ταχύτητα

�

! v

0 της οποίας ο φορέας

είναι κάθετος στην ευθεία που συνδέει το Α0 µε το κέντρο Ο του δυνα µικού πεδίου. Εάν η δύναµη

�

! F (r) που δέχεται το υλικό σηµείο από το

πεδίο ακολουθεί τον νόµο:

�

! F (r) = µm

! r /r4 (1)

όπου

�

! r το διάνυσµα θέσεώς του ως προς το Ο, να βρεθεί η εξίσωση

της τροχιάς του σε πολικές συντεταγµένες στις εξής περιπτώσεις: i) όταν ο συντελεστής αναλογίας µ και η απόσταση α του σηµείου εκτόξευσης από το Ο συνδέονται µε την σχέση µ=-2α2v0

2 και ii) όταν µ=-α2v0

2. ΛΥΣΗ: Επειδή η δύναµη

�

! F (r) είναι κεντρική, η τροχία του υλικού σηµείου

είναι επίπεδη και µάλιστα ανήκει στο επίπεδο που καθορίζει το κέντρο Ο του δυναµικού πεδίου και η αρχική ταχύτητα

�

! v

0. Επί πλέον η στροφορµή

�

! L του

υλικού σηµείου ως προς το Ο διατηρείται σταθερή και το µέτρο της είναι L=mαv0. Εάν θέσουµε u=1/r, τότε η διαφορική εξίσωση της κίνησης του υλικού σηµείου έχει την µορφή:

�

d2u

d!2

+ u = -mF(r)

Lu2

�

!

(1)

�

d2u

d!2

+ u = -µu

3

u2"

2v

0

2

�

!

�

d2u

d!2

+ u = -µu

"2v

0

2

�

!

�

d2u

d!2+ 1+

µ

" 2v

0

2

#

$ %

&

' ( u = 0 (2)

i) Όταν µ=-2α2v0

2 η σχέση (2) γράφεται:

�

d2u

d!2

- u = 0 (3)

Η (3) είναι µια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

u = C1e

-!+ C

2e! (4)

όπου C1, C2 σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες θα βρεθούν από τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή ότι κατά την στιγµή της εκτόξευσης (t=0) είναι θ=0, r=α και dr/dt=0. H (4) για θ=0 δίνει:

�

1/! = C1+ C

2 (5)

Εξάλλου παραγωγίζοντας την (4) ως προς θ παίρνουµε:

�

du

d!= -C

1e

-!+ C

2e!

�

!

�

m

L

du

dr= -C

1e

-!+ C

2e!

η οποία εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=0 δίνει:

�

0 = -C1+ C

2

�

!

(5)

�

C1= C

2= 1/2!

Έτσι η τελική µορφή της (2) είναι:

�

1

r=

1

2!e

-"+ e

"( ) =cosh"

!

�

!

�

r =!

cosh" (6)

ii) Όταν µ=-2α2v0

2 η διαφορική εξίσωση της κίνησης είναι:

�

d2u

d!2

= 0

�

!

�

du

d!= C

�

!

�

u = C! + C'

Σχήµα 8 Σχήµα 9 όπου C’, C’’ σταθερές ολοκλήρωσης για τις οποίες οι αρχικές συνθήκες εξασφα λίζουν τις σχέσεις:

�

1/! = C' και 0 = C οπότε

�

1/r = 1/!

�

!

�

r = ! δηλαδή στην περίπτωση αυτή η τροχία του υλικού σηµείου είναι περιφέρεια κέντρου Ο και ακτίνας α. Στα σχήµατα (8) και (9) φαίνονται οι τροχιές του υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες στις περιπώσεις (i) και (ii) αντιστοί χως.

P.M. fysikos