m103 linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileneka je vvektorski prostor, te neka je lpotprostor od...
TRANSCRIPT
![Page 1: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/1.jpg)
M103 Linearna algebra 1
Tema: Potprostor.
27. 3. 2018.
predavac: Darija Markovic asistent: Darija Markovic
![Page 2: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/2.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
1 Potprostor
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 2/9
![Page 3: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/3.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Definicija 1.39.
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori.Kazemo da je suma potprostora L i M direktna i tada je oznacavamo sLuM ako je
L ∩M = {0}.
Propozicija 1.40.
Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Suma L+M jedirektna ako i samo ako svaki vektor v ∈ L+M dopusta jedinstvenprikaz u obliku
v = a+ b, a ∈ L, b ∈M.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 3/9
![Page 4: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/4.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Definicija 1.39.
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori.Kazemo da je suma potprostora L i M direktna i tada je oznacavamo sLuM ako je
L ∩M = {0}.
Propozicija 1.40.
Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Suma L+M jedirektna ako i samo ako svaki vektor v ∈ L+M dopusta jedinstvenprikaz u obliku
v = a+ b, a ∈ L, b ∈M.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 3/9
![Page 5: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/5.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Teorem 1.41.Neka je V konacnodimenzionalni prostor, te neka su L i M potprostori odV . Tada je
dim(L+M) + dim(L ∩M) = dimL+ dimM.
Korolar 1.42.Neka potprostori L i M konacnodimenzionalnog prostora V cine direktnusumu. Tada je
dim(LuM) = dimL+ dimM.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 4/9
![Page 6: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/6.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Teorem 1.41.Neka je V konacnodimenzionalni prostor, te neka su L i M potprostori odV . Tada je
dim(L+M) + dim(L ∩M) = dimL+ dimM.
Korolar 1.42.Neka potprostori L i M konacnodimenzionalnog prostora V cine direktnusumu. Tada je
dim(LuM) = dimL+ dimM.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 4/9
![Page 7: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/7.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Primjer 1.43.
Promotrimo potprostore G i D prostoraMn.
Primjer 1.44.
Promotrimo potprostore S i A prostoraMn.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 5/9
![Page 8: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/8.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Primjer 1.43.
Promotrimo potprostore G i D prostoraMn.
Primjer 1.44.
Promotrimo potprostore S i A prostoraMn.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 5/9
![Page 9: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/9.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Definicija 1.45.
Neka je V vektorski prostor, te neka je L potprostor od V . Potprostor Mprostora V se naziva direktan komplement od L ako vrijedi
LuM = V.
Teorem 1.46.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor.Tada postoji direktan komplement od L u V .
Napomena 1.47.U proizvoljnom vektorskom prostoru niti jedan netrivijalni potprostor nemajedinstven direktan komplement.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 6/9
![Page 10: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/10.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Definicija 1.45.
Neka je V vektorski prostor, te neka je L potprostor od V . Potprostor Mprostora V se naziva direktan komplement od L ako vrijedi
LuM = V.
Teorem 1.46.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor.Tada postoji direktan komplement od L u V .
Napomena 1.47.U proizvoljnom vektorskom prostoru niti jedan netrivijalni potprostor nemajedinstven direktan komplement.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 6/9
![Page 11: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/11.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Definicija 1.45.
Neka je V vektorski prostor, te neka je L potprostor od V . Potprostor Mprostora V se naziva direktan komplement od L ako vrijedi
LuM = V.
Teorem 1.46.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor.Tada postoji direktan komplement od L u V .
Napomena 1.47.U proizvoljnom vektorskom prostoru niti jedan netrivijalni potprostor nemajedinstven direktan komplement.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 6/9
![Page 12: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/12.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
• V vektorski prostor, ne nuzno konacnodimenzionalan, M potprostorod V
• definiramo binarnu relaciju ∼ na V formulom
x ∼ y ⇐⇒ y − x ∈M, x, y ∈ V
• za x ∈ V s [x] oznacavamo klasu ekvivalencije odredenu vektoromx, odnosno
[x] = {y ∈ V : x ∼ y}
• x nazivamo reprezentantom ili predstavnikom ove klase ekvivalencije.Uocimo da se ista klasa [x] moze predociti i drugim predstavnicima
[x] = [y]⇐⇒ x ∼ y
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 7/9
![Page 13: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/13.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
• V vektorski prostor, ne nuzno konacnodimenzionalan, M potprostorod V
• definiramo binarnu relaciju ∼ na V formulom
x ∼ y ⇐⇒ y − x ∈M, x, y ∈ V
• za x ∈ V s [x] oznacavamo klasu ekvivalencije odredenu vektoromx, odnosno
[x] = {y ∈ V : x ∼ y}
• x nazivamo reprezentantom ili predstavnikom ove klase ekvivalencije.Uocimo da se ista klasa [x] moze predociti i drugim predstavnicima
[x] = [y]⇐⇒ x ∼ y
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 7/9
![Page 14: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/14.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
• V vektorski prostor, ne nuzno konacnodimenzionalan, M potprostorod V
• definiramo binarnu relaciju ∼ na V formulom
x ∼ y ⇐⇒ y − x ∈M, x, y ∈ V
• za x ∈ V s [x] oznacavamo klasu ekvivalencije odredenu vektoromx, odnosno
[x] = {y ∈ V : x ∼ y}
• x nazivamo reprezentantom ili predstavnikom ove klase ekvivalencije.Uocimo da se ista klasa [x] moze predociti i drugim predstavnicima
[x] = [y]⇐⇒ x ∼ y
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 7/9
![Page 15: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/15.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
• V vektorski prostor, ne nuzno konacnodimenzionalan, M potprostorod V
• definiramo binarnu relaciju ∼ na V formulom
x ∼ y ⇐⇒ y − x ∈M, x, y ∈ V
• za x ∈ V s [x] oznacavamo klasu ekvivalencije odredenu vektoromx, odnosno
[x] = {y ∈ V : x ∼ y}
• x nazivamo reprezentantom ili predstavnikom ove klase ekvivalencije.Uocimo da se ista klasa [x] moze predociti i drugim predstavnicima
[x] = [y]⇐⇒ x ∼ y
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 7/9
![Page 16: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/16.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
• klase ekvivalencije za ovako uvedenu relaciju mozemo i preciznijeopisati:vrijedi
[x] = x+M, ∀x ∈ V,
pri cemu x+M oznacava skup {x+ a : a ∈M}
Definicija 1.48.
Neka je M potprostor prostora V . Svaki skup oblika
x+M = {x+ a : a ∈M}, x ∈ V,
naziva se linearna mnogostrukost u smjeru potprostora M . Skup svihlinearnih mnogostrukosti u smjeru potprostora M oznacava se s V/M inaziva kvocijentni skup ili kvocijent (prostora V po potprostoru M ).
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 8/9
![Page 17: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/17.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
• klase ekvivalencije za ovako uvedenu relaciju mozemo i preciznijeopisati:vrijedi
[x] = x+M, ∀x ∈ V,
pri cemu x+M oznacava skup {x+ a : a ∈M}
Definicija 1.48.
Neka je M potprostor prostora V . Svaki skup oblika
x+M = {x+ a : a ∈M}, x ∈ V,
naziva se linearna mnogostrukost u smjeru potprostora M . Skup svihlinearnih mnogostrukosti u smjeru potprostora M oznacava se s V/M inaziva kvocijentni skup ili kvocijent (prostora V po potprostoru M ).
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 8/9
![Page 18: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/18.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Teorem 1.49.Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te neka je M potprostor od V .Tada je uz operacije
(x+M) + (y +M) = (x+ y) +M, x, y ∈ V
α(x+M) = αx+M, α ∈ F, x ∈ V,
kvocijentni skup V/M vektorski prostor nad F.
Teorem 1.50.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i M njegov potprostor.Tada je i prostor V/M konacnodimenzionalan i vrijedi
dimV/M = dimV − dimM.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 9/9
![Page 19: M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileNeka je Vvektorski prostor, te neka je Lpotprostor od V. Potprostor M prostora Vse naziva direktan komplement od Lako vrijedi LuM= V:](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041014/5e0f7b17267edc145336b348/html5/thumbnails/19.jpg)
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor
Teorem 1.49.Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te neka je M potprostor od V .Tada je uz operacije
(x+M) + (y +M) = (x+ y) +M, x, y ∈ V
α(x+M) = αx+M, α ∈ F, x ∈ V,
kvocijentni skup V/M vektorski prostor nad F.
Teorem 1.50.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i M njegov potprostor.Tada je i prostor V/M konacnodimenzionalan i vrijedi
dimV/M = dimV − dimM.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. 9/9