m103 linearna algebra 1 - fizika.unios.hr · neka je vvektorski prostor nad f i m v, m6= ;. ako je...
TRANSCRIPT
M103 Linearna algebra 1
Tema: Potprostor. Unitarni prostori.
8. 5. 2017.
predavac: Darija Markovic asistent: Ivan Soldo
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
1 Potprostor
2 Unitarni prostori
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 2/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor nad F i M ⊆ V , M 6= ∅. Ako je i (M,+, ·)vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V , kazemo da je M potprostorod V .
Kada je M potprostor od V , pisat cemo M ≤ V .
Propozicija
Neka je V vektorski prostor nad F i M neprazni podskup od V . Tada jeM potprostor od V ako i samo ako vrijedi
(i) a+ b ∈M, ∀a, b ∈M ,
(ii) αa ∈M, ∀α ∈ F, ∀a ∈M .
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 3/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor nad F i M ⊆ V , M 6= ∅. Ako je i (M,+, ·)vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V , kazemo da je M potprostorod V .
Kada je M potprostor od V , pisat cemo M ≤ V .
Propozicija
Neka je V vektorski prostor nad F i M neprazni podskup od V . Tada jeM potprostor od V ako i samo ako vrijedi
(i) a+ b ∈M, ∀a, b ∈M ,
(ii) αa ∈M, ∀α ∈ F, ∀a ∈M .
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 3/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor nad F i M ⊆ V , M 6= ∅. Ako je i (M,+, ·)vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V , kazemo da je M potprostorod V .
Kada je M potprostor od V , pisat cemo M ≤ V .
Propozicija
Neka je V vektorski prostor nad F i M neprazni podskup od V . Tada jeM potprostor od V ako i samo ako vrijedi
(i) a+ b ∈M, ∀a, b ∈M ,
(ii) αa ∈M, ∀α ∈ F, ∀a ∈M .
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 3/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
KorolarNeka je V vektorski prostor nad F i M neprazni podskup od V . Tada jeM potprostor od V ako i samo ako vrijedi
(i’) αa+ βb ∈M, ∀α, β ∈ F, ∀a, b ∈M .
Primjer
Oznacimo sMn skup svih kvadratnih matrica reda n, G skup svihgornjetrokutastih matrica reda n, a s D skup svih donjetrokutaskih matricareda n. Vrijedi G ≤Mn i D ≤Mn.
Primjer
Oznacimo sa S skup svih simetricnih matrica reda n, a s A skup svihantisimetricnih matrica reda n. Vrijedi S ≤Mn i A ≤Mn.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 4/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
KorolarNeka je V vektorski prostor nad F i M neprazni podskup od V . Tada jeM potprostor od V ako i samo ako vrijedi
(i’) αa+ βb ∈M, ∀α, β ∈ F, ∀a, b ∈M .
Primjer
Oznacimo sMn skup svih kvadratnih matrica reda n, G skup svihgornjetrokutastih matrica reda n, a s D skup svih donjetrokutaskih matricareda n. Vrijedi G ≤Mn i D ≤Mn.
Primjer
Oznacimo sa S skup svih simetricnih matrica reda n, a s A skup svihantisimetricnih matrica reda n. Vrijedi S ≤Mn i A ≤Mn.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 4/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
KorolarNeka je V vektorski prostor nad F i M neprazni podskup od V . Tada jeM potprostor od V ako i samo ako vrijedi
(i’) αa+ βb ∈M, ∀α, β ∈ F, ∀a, b ∈M .
Primjer
Oznacimo sMn skup svih kvadratnih matrica reda n, G skup svihgornjetrokutastih matrica reda n, a s D skup svih donjetrokutaskih matricareda n. Vrijedi G ≤Mn i D ≤Mn.
Primjer
Oznacimo sa S skup svih simetricnih matrica reda n, a s A skup svihantisimetricnih matrica reda n. Vrijedi S ≤Mn i A ≤Mn.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 4/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Primjer
Neka je V vektorski prostor nad F i S ⊂ V . Tada je [S] potprostor od V .
Propozicija
Neka je V vektorski prostor takav da je dimV = n <∞, te neka je Mpotprostor od V . Tada je dimM ≤ n.Ako je M potprostor od V takav da je dimM = n, onda je M = V .
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 5/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Primjer
Neka je V vektorski prostor nad F i S ⊂ V . Tada je [S] potprostor od V .
Propozicija
Neka je V vektorski prostor takav da je dimV = n <∞, te neka je Mpotprostor od V . Tada je dimM ≤ n.Ako je M potprostor od V takav da je dimM = n, onda je M = V .
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 5/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Propozicija
Neka je V vektorski prostor te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je iL ∩M potprostor od V .
Definicija
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Sumapotprostora L i M oznacava se s L+M i definira kao
L+M = [L ∪M ].
Propozicija
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je
L+M = {x+ y | x ∈ L, y ∈M}.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 6/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Propozicija
Neka je V vektorski prostor te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je iL ∩M potprostor od V .
Definicija
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Sumapotprostora L i M oznacava se s L+M i definira kao
L+M = [L ∪M ].
Propozicija
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je
L+M = {x+ y | x ∈ L, y ∈M}.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 6/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Propozicija
Neka je V vektorski prostor te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je iL ∩M potprostor od V .
Definicija
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Sumapotprostora L i M oznacava se s L+M i definira kao
L+M = [L ∪M ].
Propozicija
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je
L+M = {x+ y | x ∈ L, y ∈M}.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 6/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori.Kazemo da je suma potprostora L i M direktna i tada je oznacavamo sLuM ako je
L ∩M = {0}.
Propozicija
Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Suma L+M jedirektna ako i samo ako svaki vektor v ∈ L+M dopusta jedinstvenprikaz u obliku
v = a+ b, a ∈ L, b ∈M.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 7/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori.Kazemo da je suma potprostora L i M direktna i tada je oznacavamo sLuM ako je
L ∩M = {0}.
Propozicija
Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V . Suma L+M jedirektna ako i samo ako svaki vektor v ∈ L+M dopusta jedinstvenprikaz u obliku
v = a+ b, a ∈ L, b ∈M.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 7/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
TeoremNeka je V konacnodimenzionalni prostor, te neka su L i M potprostori odV . Tada je
dim(L+M) + dim(L ∩M) = dimL+ dimM.
KorolarNeka potprostori L i M konacnodimenzionalnog prostora V cine direktnusumu. Tada je
dim(LuM) = dimL+ dimM.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 8/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
TeoremNeka je V konacnodimenzionalni prostor, te neka su L i M potprostori odV . Tada je
dim(L+M) + dim(L ∩M) = dimL+ dimM.
KorolarNeka potprostori L i M konacnodimenzionalnog prostora V cine direktnusumu. Tada je
dim(LuM) = dimL+ dimM.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 8/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Primjer
Promotrimo potprostore G i D prostoraMn.
Primjer
Promotrimo potprostore S i A prostoraMn.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 9/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Primjer
Promotrimo potprostore G i D prostoraMn.
Primjer
Promotrimo potprostore S i A prostoraMn.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 9/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor, te neka je L potprostor od V . Potprostor Mprostora V se naziva direktan komplement od L ako vrijedi
LuM = V.
TeoremNeka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor.Tada postoji direktan komplement od L u V .
NapomenaU proizvoljnom vektorskom prostoru niti jedan netrivijalni potprostor nemajedinstven direktan komplement.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 10/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor, te neka je L potprostor od V . Potprostor Mprostora V se naziva direktan komplement od L ako vrijedi
LuM = V.
TeoremNeka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor.Tada postoji direktan komplement od L u V .
NapomenaU proizvoljnom vektorskom prostoru niti jedan netrivijalni potprostor nemajedinstven direktan komplement.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 10/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor, te neka je L potprostor od V . Potprostor Mprostora V se naziva direktan komplement od L ako vrijedi
LuM = V.
TeoremNeka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor.Tada postoji direktan komplement od L u V .
NapomenaU proizvoljnom vektorskom prostoru niti jedan netrivijalni potprostor nemajedinstven direktan komplement.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 10/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Potprostor Unitarni prostori
1 Potprostor
2 Unitarni prostori
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 11/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor nad poljem F. Skalarni produkt na V jepreslikavanje
〈·, ·〉 : V × V → F
koje ima sljedeca svojstva:
(1) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V ;
(2) 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0;
(3) 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉, ∀x1, x2, y ∈ V ;
(4) 〈ax, y〉 = a〈x, y〉, ∀a ∈ F, ∀x, y ∈ V ;
(5) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V.
DefinicijaVektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt zove se unitaranprostor.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 12/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V vektorski prostor nad poljem F. Skalarni produkt na V jepreslikavanje
〈·, ·〉 : V × V → F
koje ima sljedeca svojstva:
(1) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V ;
(2) 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0;
(3) 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉, ∀x1, x2, y ∈ V ;
(4) 〈ax, y〉 = a〈x, y〉, ∀a ∈ F, ∀x, y ∈ V ;
(5) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V.
DefinicijaVektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt zove se unitaranprostor.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 12/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V unitaran prostor. Norma na V je funkcija
‖ · ‖ : V → R
definirana s‖x‖ =
√〈x, x〉.
Propozicija
Norma na unitarnom prostoru V ima sljedeca svojstva:
(1) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ V ;
(2) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;
(3) ‖ax‖ = |a|‖x‖, ∀a ∈ F, ∀x ∈ V ;
(4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ V.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 13/13
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Potprostor Unitarni prostori
Definicija
Neka je V unitaran prostor. Norma na V je funkcija
‖ · ‖ : V → R
definirana s‖x‖ =
√〈x, x〉.
Propozicija
Norma na unitarnom prostoru V ima sljedeca svojstva:
(1) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ V ;
(2) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;
(3) ‖ax‖ = |a|‖x‖, ∀a ∈ F, ∀x ∈ V ;
(4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ V.
M103 Linearna algebra 1 Potprostor. Unitarni prostori. 13/13