m2 _zadaci_za_vezbi

7/27/2019 M2 _zadaci_za_vezbi

http://slidepdf.com/reader/full/m2-zadacizavezbi 1/25

1

Задачи за вежби

1.1 Неопределен интеграл.

Задача 1.1.1. Да се решат интегралите:

а)

∫ 43 − 5

3√

2

; б)

∫ √

+3

2

;

в)

∫ (43 + 72 − 6 + 1

) ; г)

∫ ( + tg

2)

;

д) ∫ 1/2 + 3 − 4

; г) ∫ 3( + 1)(3 + 2) .

Интегрирање со смена на променлива.


а)

∫ (3 + 4)4 3 ; б)

∫ (42 − 3

)9 ; в)

∫ 2 cos(2 + 2) ;

г)

∫ + 1√ 2 + 2

; д)

∫ sin3 cos3 3 ; г)

∫ sin

cos5 .


а)∫

cos2 2 ; б)∫

√ + 1 ; в)∫

5

√ 22 + 1 ;

г)

∫

2 + 6 + 9; д)

∫

2 + 3; г)

∫ tg ( + 2) ;

е)

∫ + 1

2 + 2 − 3 ; ж)

∫ √

(√

+ 1); з)

∫ cos

1 + sin .

1



2 1.


а)∫

cos2 ; б)∫

2 + 4 + 5 ; в)∫

√ 4 − 2 ;

г)

∫

ln(ln(ln )); д)

∫ 2

(1 − )100.

Тригонометриски смени.

Задача 1.1.5. Да се пресметаат интегралите:

а)

∫ √ 4 − 2 ; б)

∫ √ 9 − 2

; в)

∫ √

9 + 2.

Парцијална интеграција.Задача 1.1.6. Да се пресметаат интегралите:

а)

∫ cos ; б)

∫ 2 ; в)

∫ ln ;

г)

∫ cos ; д)

∫ 3

2

; г)

∫ ln .


а)

∫ 5 sin4 ; б)

∫ arcsin2 ; в)

∫ sin(ln ) .

Задача 1.1.8. Со помош на парцијална интеграција да се покажедека:

а)

∫ = −

∫ −1 ;

б)

∫ ln =

1

+ 1+1 ln − 1

( + 1)2+1 ;

в)

∫ sin = − cos +

∫ −1 cos .

Задача1.1.9

. Да се покаже следната рекурентна формула:а)

∫ (sin ) = −1

(sin )−1 cos +

− 1

∫ (sin )−2 ;

б)

∫ (ctg ) = − 1

− 1(ctg )−1 −

∫ (cot )−2 .

Интеграл на рационална функција.



1.1. 3


а)∫

2 + 5 + 6

; б)∫

2

+ 3 + 3( + 2)2

;

в)

∫ 24 − 3 − 52 − 3 + 10

3 − 2 − 4 + 4 ; г)

∫ 1

( − 1)(2 + 1) ;

д)

∫ 1

(1 + 2)2 .

Интеграл на ирационална функција.


а)∫

√ 2 + 1 + 1 ; б)∫ −

1

+ 1 ;

в)

∫ +

3√

2 + 6√

(1 + 3√

) ; г)

∫ √ 2 − 3

3√

2 − 3 + 1 ;

д)

∫ 1

1 +√

2 + 2 + 2 ; г)

∫ 1

+√

2 + + 1 .

Интеграл на тригонометриски функции.


а) ∫ sin3 cos2 ; б) ∫ sin2 cos5 ; в) ∫ sin2 cos2 ;

г)∫

sin3 cos7 ; д)∫

ctg 32∫

cos3 ln(sin ) .


а)

∫

3sin + cos ; б)

∫ sin2

4cos2 + 12 cos − 7; в)

∫

sin2 cos4 .

Разни задачи.


а)∫ √ 2 + 2 + 5 ; б)

∫ 21√ 3 + 2 − 2 ;

в)

∫ 42 − + 5

( − 5)(2 + 4 + 5) ; г)

∫ arctg (/2)

/2(1 + );

д)

∫

( + 1)√

2 + 2 + 2; г)

∫ √

2 + 1.



4 1.

1.2 Определен интеграл.

Задача 1.2.1. Да се пресметаат по дефиниција следните интеграли:

а)

∫ 10

; б)

∫ 0

sin ; в)

∫

; г)

∫

1

.

Задача 1.2.2. По дефиниција на определен интеграл да се покаже

дека

∫ 31

(2 − 2) =2

3.

Задача 1.2.3. Да се пресмета ∫ 2

0

() ако () = { 2 0 ≤ ≤ 1

√ 1 < ≤ 2.

Задача 1.2.4. Да се пресметаат следните интеграли:

а)

∫ √ 3−√ 3

√ 4 − 2; б)

∫ 2−2∣∣ ; в)

∫ 31

2

2 + 5 + 4 ;

г)

∫ /30

(tg − 4

3) ; д)

∫ 2000

√ 1 − cos2 .

Задача 1.2.5. Нека е непрекината функција. Да се покаже дека

∫ /20

(sin ) = ∫ /20

(cos ) .

Задача 1.2.6. Ако е непрекината и периодична функција со пе-

риод , тогаш важи:

∫ +

() =

∫ 0

() .

Задача 1.2.7. Да се покаже дека:∫ /40

ln (sin( + /4)) =

∫ /40

ln (cos ) .

Задача 1.2.8. Нека ∈ [1, 5] и () = 3. Нека () =

∫

1

().

а) Да се опише аналитички;б) да се скицира графикот на .в) да се определи ′ и да се скицира неговиот график.



1.3. 5

Задача 1.2.9. Нека ∈ [−2, 2] и () =⎧⎨⎩

0 −2 ≤ < −1

+ 1 −1 ≤ < 01 − 0 ≤ < 10 1 ≤ < 2

. Нека

() =

∫ −2

().

а) Да се опише аналитички;б) да се скицира графикот на .в) да се определи ′ и да се скицира неговиот график.

Задача 1.2.10. Со помош на определен интеграл да се пресметаlim→∞

ако е дадено:

а) = 1 + 1

+ 1 + 2

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 12

;

б) =

2 + 12+

2 + 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +

2 + 2;

в) =1

sin

+ sin

2

+ ⋅ ⋅ ⋅ + sin

( − 1)

;

г) =1

1 +

1

+

1 +

2

+ ⋅ ⋅ ⋅ +

1 +

.

Задача 1.2.11. Со помош на определен интеграл да се пресмета

lim→∞

√ !

.

Задача 1.2.12. Да се пресмета

∫ /20

sin .

Задача 1.2.13. Да се покаже дека:

а)1

6≤∫ 20

10 + ≤ 1

5; б)

1√ 2≤∫ 10

√ 3 + 1

≤ 1 ;

в)2 − 1

2−1≤∫ 1/

2−2

≤ 2 − 1

2.

1.3 Несвојствени интеграли.

Задача 1.3.1. Да се испита дали се конвергентни следните инте-грали:

а)

∫ ∞3

(ln )2; б)

∫ +∞−∞

2

1 + 3; в)

∫ 0−∞

( + 2)2; г)

∫ ∞1

, > 0 .



6 1.

Задача 1.3.2. Да се покаже дека ∫ ∞

0

−2

= − 1

2∫

∞

0

−2−2

.


а)

∫ ∞0

− sin2 ; б)

∫ 10

2 √ 1 − 2

.

Задача 1.3.4. Нека () =

{−1−/, > 00, ≤ 0

каде што > 0 и

> 0 и е такво што

∫ ∞−∞

() = 1. За = = 2 за се најде .

Задача 1.3.5. Дадена е гама функцијата дефинирана со

Γ() =

∫ ∞0

−1− за > 0. Да се покаже дека Γ(1) = 1 ,

Γ() = ( − 1)Γ( − 1) и Γ( + 1) = ! .

1.4 Примена на определен интеграл.

Плоштина на рамнински слики.

Задача 1.4.1. Да се најде плоштината на областа во рамнина ограниченасо:а) = 2 − 2 ; = 2 − ;б) = ∣∣ ; = + 2 ; = 2 − ;в) = 3 − ; = 23 − 2 ;г) 2 = + 1 ; 2 = 1 − .

Задача 1.4.2. Да се најде плоштина на област во рамнина ограниченасо кривите:

а) = ; = 1 − ; = −/2 ; б) 2 = 4 и =8

2 + 4.

Задача1.4.3

. Да се пресмета плоштината на областа во првиотквадрант која е во внатрешноста на кугот 2+2 = 32 и е ограниченасо параболите 2 = 2 и 2 = 2.

Задача 1.4.4. Да се покаже дека плоштината на елипсата22 + 22 = 22 е .



1.4. 7

Задача 1.4.5. Да се пресмета плоштината што циклоидата за зафака

со оската за 0 ≤ ≤ 2 .Циклоида: () = ( − sin ) , () = (1 − cos ) .

Задача 1.4.6. Да се пресмета плоштината ограничена со астерои-дата: () = cos3 , () = sin3 .

Задача 1.4.7. Да се скицира графикот на функцијата = sin 3 .

Задача 1.4.8. Да се пресмета плоштината ограничена со кардиои-дата = (1 + cos ) .

Задача 1.4.9. Да се пресмета плоштината ограничена со фигурата = cos 3 .

Задача 1.4.10. Да се пресмета плоштината во кардиоидата = 1 + sin и надвор од кругот = 1 .

Задача 1.4.11. Да се пресмета плоштината ограничена со:а) = 1; = 1 + cos ; б) = sin ; = 1 + cos ;в) = sin 2; = cos 2 ; г) = 3

√ 2cos ; = 3 sin .

Волумен на ротациони тела.

Задача 1.4.12. Да се пресмета волуменот на телото што се добивасо ротација на кривите = 2; = околу -оската.

Задача 1.4.13. Да се пресмета волуменот на корнет со сладолед кој се добива со ротација на функциите = 4 и = 4 +

√ 1 − 2

околу оската.

Задача 1.4.14. Да се покаже дека волуменот на конус со радиус и висина ℎ е 2ℎ/3.

Задача 1.4.15. Да се пресмета волуменот на ротационото тело штосе добива со вртење околу оската на:а) циколоидата ; б) елипсата .

Должина на лак на крива.



8 1.

Задача 1.4.16. Да се пресмета должината на кривата

а) () = 3

6+ 1

2за ∈ [1, 2] ;

б) () = ln cos за ∈ [−/4, /4] .

Задача 1.4.17. Да се најде должината на:а) () = cos + sin , () = cos − sin , 0 ≤ ≤ ;б) циклоидата () = ( − sin ), () = (1 − cos ) ;в) кардиоидата = 1 + sin .

Плоштина на ротационо тело.

Задача 1.4.18. Да се покаже дека плоштината на топка со радиус

е 42.

Задача 1.4.19. Да се најде плоштината на телото што се добивасо ротација на правата = 2 + 3 на [1, 3] околу оската.

Задача 1.4.20. Да се пресмета плоштината на телото што се до-бива со ротација на астероидата околу оската.



2


2.1 Функции од повеке променливи.

Задача 2.1.1. Дадена е функцијата (,, ) =√

− 2 − 2. Да сенајдат (0, 1, 3) и (1, 2, 9) .

Задача 2.1.2. Да се покаже дека за функцијата (,, ) = −

−

важи: (−

,−

,−

) = 1,

,

= (,, ) .

Задача 2.1.3. Да се најде (, ) ако:

а) ( + , − ) = + 2 ; б)

+ ,

= 2 − 2 .

Задача 2.1.4. За функцијата (, ) = и константите ℎ и да се

најде: ( + ℎ, ) − (, )

ℎи

(, + ) − (, )

.

Задача 2.1.5. Да се определат функциите и дефинирани соусловите (, ) =

√ + (

√ − 1) и (, 1) = , ≥ 0 .

Задача 2.1.6. Да се најде доменот и рангот на функцијата

(, ) =√

1 − 2 − 2 .

9



10 2.

Задача 2.1.7. Да се најде дефиниционата област на функциите:

а) (, ) =√

1 − − ; б) (, ) = ln

−

;

в) (,, ) =√

4 − 2 − 2 − 2 ; г) (,, ) =1

( − 1).

Задача 2.1.8. Да се најде дефиниционата област на функциите:

а) (, ) = ln ; б) (,, ) =√

2 + 2 + 2 − 1 .

Задача 2.1.9. Да се определи ∘ акоа) (,, ) = 2 + 4 + 6 и () = 2;

б) (, ) =

√ 2 + 2 и () = 2.

Задача 2.1.10. Да се скицираат следните функции:а) (, ) = + − 2 ; б) (, ) = 2 ;

в) (, ) =

{2 + 2 2 + 2 ≤ 90, 2 + 2 > 9

;

г) (, ) =

{6 − 2 − 3 ≥ 0, ≥ 0, 6 − 2 − 3 ≥ 00, инаку

.

Задача 2.1.11. Да се скицираат следните функции:

а) (, ) = 4−−2 ; б) (, ) =

{2 − + ≥ 0, ≥ 0, 2 − + ≥ 00, инаку

.

Задача 2.1.12. Да се скицираат следните површини:

а)2

9+

2

4+

2

16= 1 ; б)

2

25− 2

16− 2

9= 1 ;

в) = −2 − 42 ; г) 2 = 9 .

Задача 2.1.13. Да се скицираат следните површини:а) = 2 + 4 2 ; б) 2 = 2 − 2 ;в) 2 − 2 = 0 ; г) = 1 .

Задача 2.1.14. Да се скицира графикот на површината = 2 + 2 .Потоа да се искористи добиениот резултат за да се скицираатграфиците на = −2 − 2 , = 2 + 2 + 2 , = 2 + 2 − 4 и

= 2

+ ( − 1)2

.Задача 2.1.15. Точките (1, 1, 3) , (−√ 2,

√ 2, 0) , (1,

√ 3,−2) и (1,−1, 3)

да се претстават во цилиндрични и сферни координати.

Задача 2.1.16. Да се скицира областа во простор зададена воцилиндрични координати /4 ≤ ≤ /2, 1 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 1 .



2.2. 11

2.2 Граници и непрекинатост на функции од повеке промен-

ливи.

Задача 2.2.1. Да се покаже по дефиниција дека lim(,)→(0,0)

(, ) = 3

за (, ) = 3 − − .

Задача 2.2.2. Да се најдат последователните лимеси на функци-

јата (, ) = −

+ во точката (0, 0) .

Задача 2.2.3. Да се пресмета:

а) lim→∞

lim→∞

2 + 2

2 + 4

; б) lim

→∞

lim→∞

2 + 2

2 + 4

.

Задача 2.2.4. Нека (, ) = 2 + , () = sin . Да се пресметаlim

(,)→(0,/2)( (, )) .

Задача 2.2.5. Да се покаже дека следните граници не постојат:

а) lim(,)→(0,0)

(, ) =

2 − ; б) lim

(,)→(0,0)

2

(2 + )2; в) lim

(,)→(0,0)

2

2 + 2.

Задача 2.2.6. Да се покаже дека lim(,)→(0,0)

2

2

4 + 34 не постои.

Задача 2.2.7. Да се определи границата на во дадените точкиако постои:а) (, ) = 2 + 2 во (0, 1) ; б) (, ) = + во (1, 0) ;

в) (, ) =2 − 2

− во (1, 1) ; г) (, ) =

sin(2 + 2)

2 + 2во (0, 0) .

Задача 2.2.8. Да се определат областите во рамнина каде што е непрекината функција.

а) (, ) = − 2 + 2

; б) (, ) =√

1 − 2 − 2 .

Задача 2.2.9. Да се испита во кои области од рамнината функци-

јата (, ) =1

1 − + е непрекината.



12 2.

Задача 2.2.10. Да се најдат точките на прекин на функциите:

а) (, ) = + + 12 + 2 ; б) (, ) = 1

sin + 1

sin ;

в) (,, ) =1

2 − 2 − 2.

Задача 2.2.11. Да се додефинира функцијата (, ) = +

3 + 3во

точките на прекин за да биде непрекината.

Задача 2.2.12. Да се покаже дека функцијата (, ) = {2

2+2, 2 + 2 ∕= 0

0 , = = 0

е непрекината по секоја променлива, но не е непрекината севкупно.

2.3 Парцијални изводи на функции од повеке променливи.

Задача 2.3.1. Да се пресметаат по дефиниција првите парцијалниизводи во дадените точки:а) (, ) = ln(2 + 2) во (1, 0) ; б) (,, ) = sin + 2 во (0, , 3) ;

в) (,, ) =

√ 2 + 2 + 2 во (1, 1, 2) .

Задача 2.3.2. Да се најдат првите парцијални изводи по , и на функциите:

а) (, ) = 2( + 2) ; б) (, ) = tg (2 + ) ; в) (,, ) =1

.

Задача 2.3.3. За функцијата (, ) =√

2 − 2 arctan

да се покаже

дека важи ∂

∂+

∂

∂= (, ) .

Задача2.3.4

. Да се пресметаат ′ и ′ ако (, ) =(

2

+ )3

.

Задача 2.3.5. Нека (, ) =

3−32+2

(, ) ∕= (0, 0)

0, (, ) = (0, 0). Да се најдат

по дефиниција ′(0, 0) и ′(0, 0).



2.3. 13

Задача 2.3.6. Ако е диференцијабилна функција доволен број

пати да се покаже дека за = + () важи ∂ ∂

− ∂ ∂

= .

Задача 2.3.7. Ако (,, ) = + да се најдат ′′′ и∂ 3

∂2∂.

Задача 2.3.8. Да се најде ′′′ и ′′′ ако (, ) = 3 + 2+2.

Задача 2.3.9. Нека = 2 arctan

− 2 arctan

. Да се покаже дека

∂ 2

∂∂=

2 − 2

2 + 2.

Задача 2.3.10. Нека (,, ) = ln ( + + ) . Да се покаже дека

∂ 3∂∂∂

= 2++−3.

Задача 2.3.11. Нека (, ) =

3−32+2

(, ) ∕= (0, 0)

0, (, ) = (0, 0). Да се покаже

дека ′′(0, 0) ∕= ′′(0, 0).

Задача 2.3.12. Да се покаже дека ∂ 2

∂∂− ∂

∂

∂

∂= 0, = ()()

каде што и се два пати диференцијабилни функции.

Задача 2.3.13. Да се покаже дека∂ 2

∂2 −2

∂ 2

∂∂+

∂ 2

∂2= 0 ако

= ( + ) + ( + ) каде и се два пати диференцијабилнифункции.

Задача 2.3.14. Да се покаже дека функцијата (, ) = е дифер-енцијабилна.

Задача 2.3.15. Да се најде ако (, ) = 2 cos .

Задача 2.3.16. Да се пресмета и ако =

; = .

Задача 2.3.17. Нека = 2−32. Да се пресмета и да се апроксимира (1.1, 2.2) ако

△ = 0.1;

△ = 0.2.

Задача 2.3.18. Нека = cos . Да се пресмета и да се апроксимира(−0.2, 0.1, 0.1) ако △ = −0.2;△ = 0.1;△ = 0.1.

Задача 2.3.19. Да се најдат функциите 1 и 2 од дефиницијата задиференцијабилност на функција и да се покаже дека (, ) = едиференцијабилна функција.



14 2.

2.4 Изводи и диференцијали на сложена функција.

Задача 2.4.1. Да се најдат∂

∂и

∂

∂ако:

а) (, ) = cos , (, ) = , (, ) = + − 1 ;

б) (, ) = 2+2 , (, ) = , (, ) = ln ;

в) (,, ) = ln( + + ) ,

(, ) = 2+2 , (, ) = ln(2 + 2) , (, ) = − .

Задача 2.4.2. Да се покаже дека ако = (, ) , = cos и = sin тогаш:

а)

∂

∂ =

∂

∂ cos +

∂

∂ sin ; б)

∂

∂ = [−∂

∂ sin +

∂

∂ cos ]

.

Задача 2.4.3. Равенката од облик∂ 2

∂2= 2∂ 2

∂2се нарекува едноди-

мензионална равенка на бран. Вибрациите на еластична прачкасе опишани со оваа равенка. Да се покаже дека ако (, ) =( − ) + ℎ( + ) и вторите изводи на и ℎ постојат, тогаш ја задоволува еднодимензионалната равенка на бран.

Задача 2.4.4. Нека = (,, ) и ,, имаат смени во цилин-

дрични координати. Да се најдат∂

∂

∂

∂ и∂

∂ .

Задача 2.4.5. Нека = (,, ) и ,, имаат смени во сферни

координати. Да се најдат∂

∂

∂

∂и

∂

∂.

Задача 2.4.6. Нека и се диференцијабилни функции од и инека е дифернцијабилна функција од и . Ако = (, ) да се

пресметаат∂ 2

∂2и

∂ 2

∂∂.

Задача 2.4.7. Нека и се диференцијабилни функции од и и нека е дифернцијабилна функција од и . Да се покаже декаако = (, ) тогаш

∂ 2

∂2=

∂ 2

∂2

∂

∂

2

+ 2∂ 2

∂∂

∂

∂

∂

∂+

∂ 2

∂2

∂

∂

2

+∂

∂

∂ 2

∂2+

∂

∂

∂ 2

∂2.



2.5. 15

Задача 2.4.8. Да се најдат парцијалните изводи од прв и втор ред

на функцијата = (, ) дадена во имплицитен вид со равенката:а) 3 + 23 + 3 − 3 − 2 + 3 = 0 ;б) 3 − 3 = 3 .

Задача 2.4.9. Да се најде и 2 ако

= ln

+ 1 .

Задача 2.4.10. Да се најде ако

,

= 0 . Потоа да се покаже

дека е задоволена равенката: ∂

∂+

∂

∂= .

Задача 2.4.11. Да се трансформира дадената равенка со воведу-вање на нови променливи:

а) ∂

∂+

∂

∂= 0 , ако = , = 2 + 2 ;

б) 2 ∂

∂+ 2∂

∂= 2 , ако = , =

1

− 1

и (, ) =

1

− 1

.

2.5 Извод на функција по правец. Градиент. Тангентна

рамнина.

Задача 2.5.1. Да се најде изводот на по правец на векторот воточката ако:а) (, ) = 2 + 2, = + , (1, 1) ;

б) (,, ) = 2 + + 3, = − + + 2 , (1, 2, 3) ;

в) (,, ) = +

+ , = 2 + − 3 , (1, 3, 1) .

Задача 2.5.2. Да се најде градиентот на функциите:

а) (, ) =2 −

− 1во (1, 2) ; б) (,, ) = (cos −sin ) во (1, , /2) .

Задача 2.5.3. Да се најде градиентот на функциите во произволнаточка: а) (, ) = ; б) (,, ) = sin(2 ) .

Задача 2.5.4. Да се покаже дека права која што е нормална насфера мора да минува низ нејзиниот центар.



16 2.

Задача 2.5.5. Да се најдат точките од параболоидот = 42+2 во

кои тангентната рамнина е паралелна со рамнината + 2 + = 6.

Задача 2.5.6. Да се најдат точките од елипсоидот2

4+

2

9+

2

36= 1

во кои тангентната рамнина е паралелна со рамнината + + = 0 .

Задача 2.5.7. Површините 2 + 2 = 5 и 2 + 2 = 5 се пресекуваатво крива што ја содржи точката (1, 2, 2). Да се најде равенката натангента на пресечната крива во дадената точка.

Задача 2.5.8. Да се покаже дека сумата од квадратите на от-сечките што ги отсекува тангентната рамнина во произволна точкана површината 2/3 + 2/3 + 2/3 = 2/3 е постојана и еднаква на 2 .

Задача 2.5.9. Да се покаже дека тангентните рамнини во произволнаточка на површината = 3 образуваат со координатните рамнинитетраедар со постојан волумен.

2.6 Екстремни вредности.

Задача 2.6.1. За следните функции да се најдат стационарнитеточки, а потоа да се испита дали постои екстрем:а) (, ) = 2 − 5 + 6 ; б) (, ) = 22 − 6 − 2 − 2 + 14 ;

в) (, ) =−

2 + 2 + 1; г) (, ) = sin + sin + sin .

Задача 2.6.2. Да се најдат апсолутните и релативните екстремина дадените функции:а) (, ) = на областа 2 + 22 ≤ 4 ;б) (, ) = 8 + , на областа 0 ≤ ≤ 15 − , 0 ≤ ≤ 5 ;

в) (, ) = 2

2

+ 2

2

+ на областа 5 − ≤ ≤ 10 , 0 ≤ ≤ 3 .

Задача 2.6.3. Да се најдат екстремните вредности на функцијата = (, ) зададена во имплицитен вид:

2 + 2 + 2 − − + 2 + 2 + 2 − 2 = 0 .



2.6. 17

Задача 2.6.4. Да се најде минимум на (, ) = 42 + 92 ако важи

2 + 3 = 6 .

Задача 2.6.5. Да се најде минимум на (, ) = 2− 2− ако важи2 + 2 − 1 = 0.

Задача 2.6.6. Да се определи точка на рамнината + 2 + 3 = 6која што е најблиска до точката (1, 2, 3) .

Задача 2.6.7. Да се најде точка која што е најблиску до коорди-натниот почеток и лежи на пресекот на конусот 2 = 22 + 22 сорамнината + + = 1 .

Задача 2.6.8. Да се најде точка од 2 + 2 + 2− 4− 6− 8 + 28 = 0(сфера) која што е најблиску до координатниот почеток.

Задача 2.6.9. Да се најдат димензиите на правоаголна кутија соволумен 8 така што таа да има минимална плоштина.

Задача 2.6.10. Од сите правоаголни паралелопипеди со даденадијагонала да се определи онај кој има најголем волумен.



18 2.



3


3.1 Двојни интеграли.

Задача 3.1.1. Да се пресмета интегралот

∫ 1

∫ 1

ln .


а)

∫ 31

∫ 1−2

22 ; б)

∫ 10

∫ 0

(2 +√

).

Задача 3.1.3. Со промена на границите на интеграција да се прес-

мета следниот интеграл

∫ 40

∫ 2 3√ 2

.

Задача 3.1.4. Да се смени редоследот на интеграција и да се прес-

мета вредноста на интегралот

∫ 10

∫ 1

(1 − )

2 − 2 .

Задача 3.1.5. Со смена во поларни координати да се пресметаат:

а)∫ 1−1

∫ √ 1−20

√ 2 + 2 ; б)

∫ 10

∫ √ 3/3

1√ 2 + 2 .


а)

∫ ∞1

∫ 42

1

2 ; б)

∫ ∞1

∫ 2

− .

19



20 3.

3.2 Волумен на тело.

Задача 3.2.1. Нека се дадени границите на тело со основа во 0-рамнината.а) = 2, = 1, = , = 0, = + 2 ;б) = −1, = 1, = 2 + 2, = 3 + 2 − 2, = 0, = + + 1 .Со помош на двојни интеграли да се најде површината на основатана телото и волуменот на телото.

Задача 3.2.2. Да се пресмета волуменот на телото што се добивасо пресекување на цилиндерот 2 + 2 = 9 со рамнините = 0 и

= за ≥ 0.

Задача 3.2.3. Да се пресмета волуменот на телото ограничено од горе со параболоидот = 4 − 2 − 2 а од долу со 0-рамнината.

Задача 3.2.4. Да се пресмета волуменот на телото ограничено социлиндерот 92 + 42 = 36 и рамнините = 0 и + + 2 = 6.

Задача 3.2.5. Да се најде волуменот на телото што се наога внатрево сферата 2 + 2 + 2 = 4 и цилиндерот 2 + 2 = 1.

Задача 3.2.6. Да се најде волуменот на телото што се наога внатрево сферата 2 + 2 + 2 = 4 и надвор од конусот 2 + 2 = 2.

Задача 3.2.7. Да се најде волуменот на телото што се наога внатрево цилиндерот формиран од пресекот на = sin и = cos , одгореограничен со параболоидот = 2 + 2, а од долу со рамнината = 0.

3.3 Плоштина на површина.

Задача 3.3.1. Да се најде плоштината на дел од сферата со равенка2 + 2 + 2 = 2 што лежи во параболоидот со равенка = 2 + 2 .

Задача 3.3.2. Да се најде површината на телото што се добива сопресек на цилиндрите 2 + 2 = 4 и 2 + 2 = 4.



3.4. 21

Задача 3.3.3. Да се најде плоштината на дел од рамнината

+ + = 1 што лежи во цилиндерот 2

+ 2

= 1.

Задача 3.3.4. Да се најде плоштината на дел од конусот2 + 2 − 2 = 0 што лежи мегу рамнините = −2 и = 3.

Задача 3.3.5. Да се пресмета плоштината и волуменот на телото

зададено со релациите 2 + 2 + 2

4≤ 6 и 2 + 2 − 2 ≤ 1 .

3.4 Тројни интеграли.


∫ ∫ ∫

2 каде што е областа во

првиот октант ограничена со рамнината = 4 и конусот 2 = 2+2.

Задача 3.4.2. Да се пресметаат тројните интеграли:

а)

∫ 10

∫ 1−0

∫ 1−−0

; б)

∫ 10

∫ √ 1−−√ 1−

∫ √ 1−2−0

.

Задача 3.4.3. Со смена во цилиндрични или сферни координатида се пресметаат следните интеграли:

а)

∫ 20

∫ √ 4−20

∫ √ 4−2−20

√ 2 + 2

;

б)

∫ 10

∫ √ 1−20

∫ √ 1−2−21−2−2

arctan

.

Задача 3.4.4. Со тројни интеграли да се определи волуменот нателото што лежи во првиот октант и од горе е ограничено со сфер-ата 2 + 2 + 2 = 2 а од долу со параболоидот = 2 + 2.

Задача3.4.5

. Да се пресмета волуменот на телото ограничено соповршините:а) =

√ 2 + 2, =

√ 32 + 32 и = 9 ;

б) 42 + 92 − 2 = 36 , = 0 и = 4 ;

в) =√

2 + 2 ,√

2 + 2 + 2 = 2 и√

2 + 2 + 2 = 3 ;

г) =√

2 + 2 , 2 + 2 = 4 , 2 + 2 = 9 и = 0.



22 3.

3.5 Векторски полиња.

Задача 3.5.1. Да се најде дивергенцијата и роторот на полетоа) (,, ) =

√ +

√ +

√ ;

б) (,, ) = 2 + 2 + 2 .

Задача 3.5.2. Да се пресмета ( ) ако функциите , и на

= + + имаат непрекинати втори парцијални изводи.

3.6 Криволиниски интеграли.


∫

каде што е дадена со

() = + ( + 2) + (2 − 1) , 0 ≤ ≤ 1 .


∫

( + + ) каде што кривата

е дадена со () = 2 + (3/2 + 1) + , 0 ≤ ≤ 4 .

Задача 3.6.3. Да се пресмета ∫ (2 + 2) + 2 каде што е

кругот 2 + 2 = 4 во 0 рамнината со почеток во (2, 0) и позитивнаориентација.


∫

+ √

2 − 2 + каде што

е лак на цилиндричната спирала = cos , = sin , =

2од

= 0 до = .


∫

( − ) + ( − ) + ( − )

каде што е пресечната крива на површината = 4 − 2

− 22

ирамнината + 2 + = 1 .


∫

( + 3/2) каде што е парабо-

лата = 2 во 0 рамнината од (0, 0) до (2, 4).



3.6. 23

Задача 3.6.7. Да се пресмета ∫

(2+2+ 2) каде што е правата

линија од (1, 0, 0) до (1, 0, 2). Да се пресмета и

∫ −

(2 + 2 + 2).


∫

(4/3 + 4/3

) каде што е астер-

оидата 2/3 + 2/3 = 2/3 .


∫

2+2 вдолж следните криви

во 0 рамнината од (1, 0) до (−1, 0) :

а) е горниот единечен полукруг;б) е делот од оската;в) е дел од кривата = 3 − .

Криволиниски интеграли независни од патот на интеграција.

Задача 3.6.10. Да се најде потенцијалот на следните функции:а) (, ) = − cos − − sin ;

б) (,, ) = 23 + 322 + 23 .

Задача 3.6.11. Да се покаже дека криволинискиот интеграл∫

ln + ln +

каде што е () = cos + sin + од (1, 0, 2) до (1, 0, 4) е независен од патот на интеграција. Потоа дасе пресмета интегралот.

Задача 3.6.12. Да се покаже дека криволинискиот интеграл∫

(2 + 2 ) + (2 − ) + (2− ) каде што е кривата дадена

со () = (sin /2)3 + cos() + 2(cos )2 за 0 ≤ ≤ 1 е независенод патот на интеграција. Потоа да се пресмета интегралот.

Теорема на Грин.


∫

(2 + 2 ) ⋅ каде што е

позитивно ориентирана крива правоаголникот 0 ≤ ≤ 2 ; 0 ≤ ≤ 1 :а) со пресметување на интегралот директно;б) со теорема на Грин.



24 3.

Задача 3.6.14. Со користење на теоремата на Грин да се пресмета∫

(2 sin + 22) + (3 + 2 cos ) ⋅ каде што е кривата дадена

со () = + 2 , 0 ≤ ≤ 2 .

Задача 3.6.15. Со помош на Гриновата теорема да се пресмета∫

( − 3) + (sin + 62) каде што е кривата дадена со

() = cos + 2 sin , 0 ≤ ≤ 2 .

Задача 3.6.16. Да се пресмета ∫

2 + 2−

2 + 2 каде што

е кружницата ( − 2)2 + ( − 2)2 = 1.

3.7 Површински интеграли.


∫∫

sin , каде што е површи-

ната на цилиндерот 2 + 2 = 4 во првиот октант за 0 ≤ ≤ .

Задача 3.7.2. Да се пресмета ∫∫

ако (,, ) = + +

и е делот од параболоидот = 2 + 2 што лежи во цилиндарот2 + 2 = 1, а е надворешната нормала.

Задача 3.7.3. Нека (,, ) = − + 2 и нека е површинатана телото добиено со пресек на цилиндрите 2 + 2 = 4 и 2 + 2 = 4.

Да се пресмета површинскиот интеграл

∫∫

.

Задача 3.7.4. Нека (,, ) = ( + ) + ( + sin ) − ( +√

) и нека е површината на телото добиено со пресек на рамнините = 0, = 0, = 0 и 2 + 3 + = 6. Да се пресмета површинскиот

интеграл

∫∫

.



3.7. 25

Теорема на Гаус-Острогратски.(Теорема за дивергенција)

Задача 3.7.5. Нека (,, ) = (2 + ) + (2 − 2 + ) + ( + 2) и е надворешната нормала на која што е површината на телото

ограничено со 2 + 2 = 1, = 0, + = 2. Со користење на теоре-

мата на Гаус-Острогратски да се пресмета

∫∫

.

Задача 3.7.6. Нека (,, ) = + + и нека е површината

ограничена со =√

2 − 2 − 2 и =√

2 + 2. Нека биде над-ворешната нормала на . Да се пресмета површинскиот интеграл

∫∫

а) директно; б) со користење на теоремата на Гаус-Острогратски.

Теорема на Штокс.

Задача 3.7.7. Нека (,, ) = 2 + ( + ) + и е површинатаод параболоидот = 4−2− 2 што лежи над 0 рамнината. Нека

е надворешниот единечен нормален вектор на . Да се најде

вредноста на површинскиот интеграл

∫∫

а) директно; б) со користење на теоремата на Штокс.

Задача 3.7.8. Со помош на теоремата на Штокс да се пресмета∫

каде што е позитивно ориентирана крива и е пресек на

сферата 2+2+ 2 = 1 и рамнината = 0 ако (,, ) = 2 + +3 .

Задача 3.7.9. Со помош на теоремата на Штокс да се пресмета∫

каде што е позитивно ориентирана крива и е пресек на

сферата 2 + 2 + 2 = 1 и цилиндерот = 2 за дадената функција (,, ) = 2 + 2 + 2 .


∫∫

каде што е нормал-

ниот вектор насочен надолу на површината дадена со = 2 + 2 − 3 за ≤ 0 и (,, ) = 2 + + .

m2 _zadaci_za_vezbi

Documents