ma 12 kopio
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
![Page 1: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/1.jpg)
Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12
![Page 2: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/2.jpg)
1. tunnin laskinharjoittelua ja kertausta Lue esimerkit 2 ja 3 ja harjoittele laskimen
käyttöä Tee tehtäviä 7, 8, 10, 13, 17, 18
![Page 3: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/3.jpg)
Funktion kuvaaja ja kertausta aiemmilta kursseilta Jotta funktion kuvaajan saisi skaalattua
laskimen näyttöön kokonaan, pitäisi tietää ainakin funktion ääriarvot (MA07 asiaa) ja ns. kulkukaavio
Joutuu skaalaamaan x ja y –akselia, katso esimerkki 1 s. 19
![Page 4: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/4.jpg)
Yhtälön graafinen ratkaisu
Piirrä molemmat funktiot graafisella laskimella ja määritä leikkauspisteiden koordinaatit. Esim. 3 sivulla 24.
Kaikki termit voi myös siirtää yhtälön vasemmalle puolelle ja ratkaista syntyvän funktion nollakohdat.
![Page 5: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/5.jpg)
Kertausta
Määrittelyjoukko ja toisen asteen epäyhtälön ratkaisu
Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö ja kuvaajan piirtäminen. Esim. 4 s. 27.
![Page 6: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/6.jpg)
Lukujärjestelmät
10-järjestelmässä luvut esitetään 10 potenssin avulla ja käytössä on 10 lukua.
Esim. tietokoneissa on käytössä binäärijärjestelmä (kaksijärjestelmä), joten luvut esitetään kakkosen potensseina ja lukuina on vain 0 ja 1.
Esim.
![Page 7: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/7.jpg)
Polynomien jakolasku
Esim. (2x2+3x-2):(x+2)
![Page 8: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/8.jpg)
Murtofunktion asymptootit
Murtofunktio ei saa arvoja nimittäjän nollakohdissa, vaan funktion arvot ainoastaan lähenevät sitä
Toinen asymptootti tulee polynomin jakolaskun tuloksena
Esim. (x2+1):(x+2)
![Page 9: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/9.jpg)
Polynomien jaollisuus
Jos jakolaskun P(x):S(x) osamäärä on Q(x) ja jakojäännös R(X), niin P(x):S(X) = Q(X) + R(x):S(x) eli P(x) = Q(x)S(x) + R(x)
Polynomi P(x) on jaollinen polynomilla S(x), kun jakojäännös R(x) = 0
Huom! Jakojäännöksen asteluku on pienempi kuin jakajan asteluku
![Page 10: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/10.jpg)
Binomilla x-a jakaminen
Tällöin P(x) = (x-a)Q(x) + r P(a) = (a-a)Q(x) + r = r
Eli jakolasku P(x):(x-a) menee tasan eli x-a on polynomin P(x) tekijä joss P(a) = 0
![Page 11: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/11.jpg)
Polynomien jaollisuus – tekijöihin jako Esim. s 50. Tekijöihin jako nollakohtien perusteella
päättele ensimmäinen nollakohta esim. kuvaajasta
jaa jakokulmassa, niin saat muut tekijät Esim. s. 50. s. 52 yleisesti Esim. s. 53. Tehtävä 111.
![Page 12: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/12.jpg)
Tekijöihin jako
Jos n. asteen polynomilla P on n nollakohtaa x1, x2, …, xn (ei voi olla enempää), niin P = a(x - x1) (x – x2)…(x - xn), missä a on
korkeimman asteen tekijä
Esim. ax2+bx+c = a(x - x1) (x – x2) Kaksinkertainen juuri tarkoittaa sitä, että
sama nollakohta toistuu. Esim. x2+4x+4 = (x+2)(x+2)=(x+2)2
![Page 13: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/13.jpg)
Korkeamman asteen yhtälöt
Ratkaisut voi päätellä kuvaajasta, kunhan toteaa, että ne myös ovat nollakohdat. S. 56.
Tulon nollasääntö. S. 57. Jos nähdään selkeästi vain yksi nollakohta x1,
niin muut saadaan jakamalla jakokulmassa tällä tekijällä (x – x1). S. 58.
Esim. s. 60. Aina ei tarvitse ”arvata”.
![Page 14: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/14.jpg)
Huom!
![Page 15: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/15.jpg)
Huom! Nollakohdan voi ’arvata’ myös näin.
![Page 16: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/16.jpg)
Likiarvon tarkkuus
Merkitseviä numeroita on kaikki muut paitsi ei kokonaisluvun lopussa olevat nollat ja desimaaliluvun alussa olevat nollat Esim. 13000 on kaksi merkitsevää numeroa Esim. 0,002340 on neljä merkitsevää numeroa Esim. 1,00 on kolme merkitsevää numeroa
Tulos ilmoitetaan epätarkimman avulla Monesti järkevä pyöristyssääntö on
desimaalien lukumäärä tai mittayksikön tarkkuus
![Page 17: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/17.jpg)
summassa ja erotuksessa käytetään epätarkinta desimaalilukua pyöristyssääntönä
tulossa ja osamäärässä käytetään epätarkinta merkitsevää numeroa pyöristyssääntönä
![Page 18: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/18.jpg)
Virhe
Esim. Jos suorakulmion mitat on 3 m ja 5 m, niin todelliset mitat voivat olla välillä [2,5 ; 3,5[ tai [4,5 ; 5,5[
Tällöin todellinen pinta-ala voi olla pienimmillään 2,5 * 4,5 =11,25 m2
suurimmillaan 3,5*5,5 = 19,25 m2
Absoluuttinen virhe on tällöin 15 – 11,25 = 3,75 tai 19,25 – 15 = 4,25
Suhteellinen virhe on tällöin 4,25 : 15 = 28 %
![Page 19: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/19.jpg)
Jonot ja raja-arvot
Esim. 84. Miten laskimella? Esim. s.78. Lukujonossa n on luonnollinen
luku. Miten tableset nyt toimii, kun n lähestyy ääretöntä? Eli lasketaan lukujonon raja-arvo, kun n lähestyy
ääretöntä. Tällöin lukujono suppenee.
![Page 20: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/20.jpg)
Funktion nollakohdat
![Page 21: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/21.jpg)
Esim.
Osoita, että funktiolla f(x) = x3+2x2+2x-1 on tasan yksi nollakohta ja määritä sen likiarvo Bolzanon lauseen avulla haarukoimalla.
![Page 22: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/22.jpg)
Derivointiesimerkkejä
Mikä oli derivaatta? Miten derivaatta liittyy funktion
kasvamiseen/vähenemiseen?
![Page 23: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/23.jpg)
Newtonin menetelmä
Lasketaan derivoituvan funktion nollakohtia
Valitaan b nollakohdan likiarvoksi Piste c on pisteeseen (b, f(b))
piirretyn tangentin ja x-akselin leikkauspiste
Tällöin c on yleensä lähempänä nollakohtaa kuin b
Toistetaan toimenpidettä, jotta saadaan tarkempia likiarvoja
![Page 24: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/24.jpg)
Itse prosessi on seuraava
Tangentin yhtälö on
![Page 25: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/25.jpg)
Esim.
![Page 26: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/26.jpg)
Iterointi
Pyritään ratkaisemaan yhtälö, joka on saatettu muotoon x = g(x)
Sijoitetaan funktioon g(x) alkuarvaus x0, josta saadaan uusi arvo x1, joka sijoitetaan takaisin funktioon g(x) jne. Alkuarvauksen voi katsoa kuvaajasta
![Page 27: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/28.jpg)
Graafinen iterointi
Kuva tilanteesta on sivun 115 yläreunassa Jos käy hyvin, niin xn lähestyy x:n ja g(x):n
leikkauspistettä (x=g(x))
![Page 29: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/29.jpg)
Esim.
![Page 30: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/30.jpg)
Esim.
![Page 31: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/31.jpg)
Kiintopiste s. 114
Äskeisessä esimerkissä x:n joutuu ratkaisemaan kahdella eri tavalla, jotta iterointi onnistuu.
Iterointi onnistuu, jos |g’(a)|<1 ns. puoleensa vetävä piste
Iterointi ei onnistu, jos |g’(a)|>1 ns. hylkivä piste
a voi käytännössä olla alkuarvaus
![Page 32: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/32.jpg)
Derivaatta
Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa
![Page 33: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/33.jpg)
Erotusosamäärä
![Page 34: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/34.jpg)
Derivaatan määritelmä osa I
![Page 35: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/35.jpg)
Derivaatan määritelmä osa II
Täsmälleen sama idea, mutta merkinnät hieman muuttuvat. x – a = h, jolloin x = a + h
ja derivaatan määritelmä on
![Page 36: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/36.jpg)
Esim.
Laske molempien määritelmien avulla funktion f(x)= x – x3 derivaatta numeerisesti kohdassa -1.
![Page 37: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/37.jpg)
Numeerinen derivaatta
Jos |h| on riittävän pieni, niin kohtaan a piirretyn tangentin kulmakerroin on likimain
![Page 38: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/39.jpg)
Esim.
![Page 40: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/40.jpg)
Pinta-alan numeerinen määrittäminen
![Page 41: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/41.jpg)
Ala suorakulmioiden avulla
Määritetään pinta-alojen ns. ylä –ja alasummat
Jaetaan kysyttävä pinta-ala n:ään osaväliin. Mitä suurempi n on, sitä tarkempi ala on
![Page 42: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/42.jpg)
Keskipistesääntö
Jaetaan väli [a,b] n:ään yhtä pitkään osaväliin ja valitaan suorakulmion korkeudeksi välien keskipisteet
![Page 43: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/43.jpg)
Puolisuunnikassääntö
Tehdään suorakulmiosta puolisuunnikas
![Page 44: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/44.jpg)
t. 289
![Page 45: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/45.jpg)
Simpsonin sääntö
![Page 46: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/46.jpg)
Esim.
Laske yksikköympyrän pinta-ala Simpsonin säännöllä laskemalla ensin neljänneksen ala käyttämällä kuutta osaväliä
![Page 47: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/47.jpg)
Määrätty integraali
Lasketaan funktion ja x-akselin väliin jäävää alaa.
Kun jakovälien lukumäärä lähestyy ääretöntä, niin tämän raja-arvon tuloksena saadaan alan tarkka arvo. (Simpsonin sääntö, puolisuunnikassääntö)
![Page 48: Ma 12 kopio](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061209/548c5e3ab479599d138b45bf/html5/thumbnails/48.jpg)
Esim.