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MA-14 - Aula 01

Semana 05/ 08 a 11/ 08

Unidade 1

Divisibilidade

1.2 Divisibilidade: Problemas

Exercício 1.2.1.Sejam a, b, c ∈ Z e c ̸= 0 . Mostre que: ac|bc ⇔ a|b.

Demonstração.

(⇒ ) Condição necessária.Seja ac|bc então existe m ∈ N tal que bc = m · ac, logo bc − m · ac = 0 assim,

c(b − ma ) = 0 .Se c = 0 nada a concluir. Suponhamos que b− ma = 0 então b = ma e portanto a|b.(⇐ ) Condição suciente.Suponhamos que a|b então existe β ∈ Z tal que b = βa. Para c ∈ Z temos que bc = βca

de onde ac|bc.Portanto, ac|bc ⇔ a|b.

Exercício 1.2.2.(ENC-98) 1 A soma de todos os múltiplos de 6 que se escrevem (no sistema decimal)

com dois algarismos é:(a) 612 (b) 648 (c) 756 (d) 810 (e) 864

Solução.

Os múltiplos de 6 com dois algarismos são: 12, 18, . . . , 96. A soma pedida é

12 + 18 + . . . + 96 = 6(1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 16 − 1) =1 Exame Nacional de Cursos, MEC/INEP.

1

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2

= 616 × 17

2 − 1 = 810

Resposta d) 810.

Exercício 1.2.3.Com quanto zeros termina o número 100!?

Solução.

Da denição de fatorial temos:

100! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × 98 × 99 × 100

100! = 250

[1 × 3 × 5 × 7 × . . . 97 × 99][1× 2 × 3 × 4 × . . . × 50]100! = 250 [1× 3× 5× 7× . . . 97× 99][225 (1 × 2× 3× 4× . . . × 25)(1× 3× 5× 7× . . . × 47× 49)]

100! = 275 [5 × 15 × 25 × 35 × . . . × 85 × 95 × α 1 ][(25!)(5 × 15 × 25 × 35 × 45 × β 1 ]

100! = 275 [510 (1 × 3 × 5 × 7 × . . . 17 × 19)α 2 ][(25!)][55 (1 × 3 × 5 × 7 × 9)β 2 ]

100! = 275 · 515 [(1 × 3 × 5 × 7 × . . . 17 × 19)α 2 ][(25!)][(1× 3 × 5 × 7 × 9)β 2 ]

100! = 275 · 515 [(5 × 15α 3 ][(25!)][(5× β 3 ] = 275 · 518 γ 1 × 25! (1.1)

Por outro lado:

25! = 1× 2× 3× 4× . . . × 24× 25 = [1× 3× 5× 7× . . . 23× 25][212 (1 × 2× 3× 4× . . . × 12)]

25! = 212 [5 × 15 × 25 × α 3 ][(2 × 4 × 5 × 6 × 8 × 10 × 12)β 3 ]

25! = 212 [54 × α 4 ][(210 × 52 )β 4 ] = 222 × 56 × γ 2

En (1.1)

100! = 275 · 515 [(5 × 15α 3 ][(25!)][(5× β 3 ] = 275 · 518 γ 1 × (222 × 56 × γ 2 )]

Portanto 100! = 297 × 522 × γ , termina em 24 zeros.Recomendo o site http : // 2000clicks.com/MathHelp/BasicFactorialTable.aspx

Exercício 1.2.4.

a) Mostre que o produto de i números naturais consecutivos é divisível por i!.

b) Mostre que 6|n(n + 1)(2 n + 1) , para todo n ∈ N.Demonstração.

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3

a) Seja n ∈ N tal que n > i e os números consecutivos n, n − 1, n − 2, · · · , n − i + 1na forma decrescente. Seu produto é dado por

N = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − i + 1) =

Sabemos que

C in = n!

i!(n − i)! =

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − i + 1)i!

= N i!

= α ∈ N

logo N = αi !

Portanto, o produto de i números naturais consecutivos é divisível por i!

b) Aplicando indução sobre n

Se n = 1, temos (1)(2)(3) = 6 é imediato que 6|n(n + 1)(2 n + 1) .

Suponhamos que para algum h ∈ N onde h ≤ n cumpra que 6|h(h +1)(2 h + 1) , istoé existe α ∈ N tal que h(h + 1)(2 h + 1) = 6 α.

Para h + 1 temos

(h + 1)[(h + 1) + 1][2(h + 1) + 1] = ( h + 1)( h + 2)[(2h + 1) + 2] ⇔

h(h +1)(2 h +3)+2( h +1)(2 h + 3) = h(h +1)(2 h +1)+2 h(h +1)+2( h +1)(2 h + 3)

aplicando a hipótese auxiliar

= 6 α + 2( h + 1)[h + (2 h + 3)] = 6 α + 6( h + 1) 2 = 6 β

onde β ∈ N.

Portanto, 6|n(n + 1)(2 n + 1) , para todo n ∈ N.

Exercício 1.2.5.Mostre, por indução matemática, que, para todo n ∈ N,

a) 8|32 n + 7 b) 9|10n + 3 × 4n +2 + 5

c) 9|n4n +1 − (n + 1)4 n + 1 d) 169|33 n +3 − 26n − 27

Demonstração.

a) Aplicar indução matemática.

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4

b) Aplicar indução matemática.

Para n = 0 e n = 1 é imediato, a propriedade é verdadeira.

Suponhamos que, para n ≤ h seja verdade que 9|10h + 3 × 4h +2 + 5 , logo existeα ∈ N tal que 10h + 3 × 4h +2 + 5 = 9 α

Para h + 1 temos 10h +1 + 3 × 4h +3 + 5 = 10 h (9 + 1) + 3 × 4 × 4h +2 + 5 =

= 9 × 10h + [10h + 3 × 4h +2 + 5] + 3 × 3 × 4h +2 = 9 β

para algum β ∈ N

Portanto, 9|10n + 3 × 4n +2 + 5 para todo n ∈ N

c) Aplicando indução sobre n

d) Aplicando indução sobre n

Exercício 1.2.6.

Mostre que 13|270 + 3 70 .Demonstração.

Temos: 24 = 13 + 3 , 25 = m(13) + 7 , 26 = m(13) + 4 = m(13) − 1. Logo,

270 = 2 4 × (26 )11 = 2 4 [m(13) − 1]11 = m(13) − 24 = m(13) − 3

Por outro lado, 32 = 13 − 4, 33 = m(13) + 1 . então

370 = 3 · (33 )23 = 3 · (m(13) + 1) 23 = 3( m(13) + 1 23 ) = m(13) + 3

Assim, 270 + 3 70 = [m(13) − 3] + m(13) + 3 = m(13).Portanto, 13|270 + 3 70 .

Exercício 1.2.7.

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5

Mostre que, para todo n ∈ N:

a) 9|10n − 1 d) 3|10n − 7n g) 19|32 n +1 + 4 4 n +2

b) 8|32 n

− 1 e) 13|92 n

− 24 n

h) 17|102 n +1

+ 72 n +1

c) 53|74 n − 24 n f ) 6|52 n +1 + 1 i) 14|34 n +2 + 5 2 n +1

Solução.

a) Temos para todo n ∈ N

10n − 1 = (m(9) + 1) n − 1 = m(9) + 1 10 − 1 = m(9)

b) Temos para todo n ∈ N

c) Temos para todo n ∈ N que

74 n = 49 2 n = ( m(53) − 4)2 n = m(53) + ( − 4)2 n = m(53) + 2 4 n

Logo 74 n − 24 n = m(53). Portanto, 53|74 n − 24 n

d) Temos para todo n ∈ N que

10n − 7n = ( m(3) + 1) n − (m(3) + 1) n = m(3) + (1) n − (1)n = m(3)

Portanto, 53|74 n − 24 n .

e)

f)

g)

h)

1)

x

Exercício 1.2.8.Sejam a, b ∈ Z.

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6

a) se a ̸= b, mostre que, para todo n ∈ N, n ≥ 2,

an − bn

a − b = an − 1 + an − 2 b + an − 3 b2 + · · · + abn − 2 + bn − 1

b) Se a + b ̸= 0 , mostre que, para todo n ∈ N∗ ,

a2 n +1 + b2 n +1

a + b = a2 n − a2 n − 1 b + a2 n − 2 b2 + · · · − ab2 n − 1 + b2 n

c) Mostre que, para todo n ∈ N,

a2 n − b2 n

a + b = a2 n − 1 − a2 n − 2 b + a2 n − 3 b2 + · · · + ab2 n − 2 − b2 n − 1

Demonstração. a)

Por indução sobre n ≥ 2 quando b ̸= a

Se n = 2 temos a2 − b2 = ( a − b)(a + b) ⇒ a2 − b2

a − b = a + b é verdadeira

Suponhamos para h ∈ N seja verdade que

ah − bh

a − b = ah − 1 + ah − 2 b + ah − 3 b2 + · · · + abh − 2 + bh − 1

Para h + 1 e aplicando a hipótese auxiliar

ah +1 − bh +1 = a(ah − bh ) + bh (a − b) =

ah +1 − bh +1 = a[(a − b)(ah − 1 + ah − 2 b + ah − 3 b2 + · · · + abh − 2 + bh − 1 )] + bh (a − b) =

ah +1 − bh +1 = ( a − b)[a(ah − 1 + ah − 2 b + ah − 3 b2 + · · · + abh − 2 + bh − 1 ) + bh ] =

ah +1 − bh +1

a − b = ah + ah − 1 + ah − 2 b + ah − 3 b2 + · · · + abh − 2 + bh − 1 + bh

Portanto, a igualdade é verdadeira para todo n ∈ N, n ≥ 2

Exercício 1.2.9.Para quais valores de a ∈ N:

a) (a − 2)|a3 + 4 ? b) (a + 3) |a3 − 3 ?c) (a + 2) |a4 + 2 ? d) (a + 2) |a4 + 2 a3 + a2 + 1 ?

Demonstração.

a) Suponhamos que (a − 2)|a3 + 4 então existe β ∈ N tal que a3 + 4 = β (a − 2) isto é

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8

Para todo n ∈ N sabemos pelo binômio de Newton que

(n + 1) n =n

∑k =0

C n − kn nn − k × 1k = nn + n × nn − 1 +

n − 1

∑k =2

C n − kn nn − k × 1k + 1

= n2 [nn − 2 + nn − 2 + n2n − 1

∑k =2

C n − kn nn − k − 2 ] + 1 = m(n 2 ) + 1

Portanto, para todo n ∈ N, temos que n2 |(n + 1) n − 1.

Exercício 1.2.12.Mostre, para todo a ∈ N, que:a) 2|a2 − a b) 3|a3 − a c) 5|a5 − a d) 7|a7 − a

Demonstração.

a) Seja N = a2 − a = a(a − 1), Se a ∈ N é par, logo a = 2k, então N = (2 k)(2k − 1) =2(2k2 − k), assim, 2|a2 − a.

Se a = 2α + 1 , então N = (2α + 1)[(2α + 1) − 1] = 2α(2α + 1) , logo 2|a2 − a

b)

c) Suponhamos que a 5 e seja o conjunto M = {a, 2a, 3a 4a} então cada um doselementos de M , diferença con elementos do conjunto P = {1, 2, 3, 4} em algumaordem, são divisíveis por 5.

Suponhamos a − 1 = m(5) ⇒ a = 1 + m(5), 2a − 2 = m(5) ⇒ 2a =2 + m(5), 3a − 3 = m(5) ⇒ 3a = 3 + m(5), 4a − 4 = m(5) ⇒ 4a = 4 + m(5)de onde 4!a = 4! + m(5). Logo, como 4! não é múltiplo de 5 segue

4!a4 − 4! = m(5) ⇒ a(a4 − 1) = a × m(5) ⇒ a5 − a = m(5)

Portanto, 5|a5 − a

d) Suponhamos que a 7 e seja o conjunto M = {a, 2a, 3a 4a, 5a, 6a} então cada umdos elementos de M , diferença con elementos do conjunto P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} emalguma ordem, são divisíveis por 7. Logo

6!a6 − 6! = m(7) ⇒ a7 − a = m(7)

Portanto, 7|a7

− a

Exercício 1.2.13.

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9

Mostre que existem innitos valores de n em N para os quais 8n 2 + 5 é divisível por 7e por 11.Demonstração.

Se o número 8n 2 + 5 é divisível por 7 e por 11, logo ele é divisível por 77 (7 e 11 sãocoprimos). Suponhamos que 8n 2 + 5 é divisível por 77, logo existe β ∈ N tal que

8n 2 + 5 = 77 β ⇒ 8n2 + 5 − 77 = 77(β − 1) ⇒ 8(n 2 − 9) = 77(β − 1)

Como 8 77, segue que 8|(β − 1) e 77|(n 2 − 9).Assim, para todo α ∈ N temos β − 1 = 8α e n2 − 9 = 77α, α ∈ N, logo

β = 1 + 8 α.

Portanto, 8n 2 + 5 = 77(1 + 8 α) para todo α ∈ N, assim existem innitos valores den em N para os quais 8n 2 + 5 é divisível por 7 e por 11

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10

Unidade 2

Divisão Euclidiana

2.2 Divisão Euclidiana: Problemas

Exercício 2.2.1.Ache o quociente e o resto da divisão a) de 27 por 5. b) de 38 por 7.

Solução.

a) 27 = 5(5) + 2 quociente q = 5 e o resto r = 2.

b) 38 = 5(7) + 3 quociente q = 5 e o resto r = 3.

Exercício 2.2.2.Mostre como, usando uma calculadora que só realiza as quatro operações, pode-se

efetuar a divisão euclidiana de dois números naturais em apenas três passos. Aplique oseu método para calcular o quociente e o resto da divisão de 3721056 por 18735.Demonstração.

Exercício 2.2.3.Discuta a paridade a) da soma de dois números. b) da diferença de dois números.

c) do produto de dois números. d) da potência de um número. e) da soma de n números ímpares.

Demonstração.

Exercício 2.2.4.a) Mostre que um número natural a é par se, e somente se, an é par, qualquer que

seja n ∈ N∗ . b) Mostre que an ± am é sempre par, quaisquer que sejam n, m ∈ N∗ . c)Mostre que, se a e b são ímpares, então a2 + b2 é divisível por 2 mas não divisível por 4.Demonstração.

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11

Exercício 2.2.5.Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual a) à metade do

quociente? b) ao quociente? c) ao dobro do quociente? d) ao triplo do quociente?

Demonstração.

a) Seja D o número procurado, das condições do problema temos

D = 5q + q 2

⇒ 2D = 11q ⇒ D = 11β, q = 2β β ∈ N

Os números são: 11, 22, 33, 44

b) Em geral temos D = 5q + r, 0 ≤ r < q Supor r = q está errado pela denição do algoritmo da divisão. Quando r = 0temos 0 = 5 × 0 + 0 .

Portanto, o zero é o único número.

c)

Exercício 2.2.6.Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um, número de cada terna abaixo

é divisível por 3. a) n, n + 1, n + 2 b) n, n + 2, n + 4 c) n, n + 10, n + 23 d)n, n + 1 , 2n + 1 .Demonstração.

O conjunto de todos números naturais podemos representar mediante o conjuntoA = { 3k, 3k + 1, 3k + 2, k ∈ N }. Se n = 3k então para todos os 4 exercíciosum, e apenas um, número de cada terna é divisível por 3

a) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 2, 3k + 3logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.

Se n = 3k + 2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 2 , 3k + 3 , 3k + 4logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.

Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisívelpor 3.

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12

b) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 3, 3k + 5logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.



c) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1 , 3k + 11 , 3k + 24logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.

Se n = 3k +2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k +2 , 3k +12 , 3k +25logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.


d) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 2, 6k + 3logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.


Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível

por 3.

Exercício 2.2.7.Mostre que a) se n é ímpar, então n2 − 1 é divisível por 8. b) se n não é divisível por

2, nem por 3, então n2 − 1 é divisível por 24. c) ∀n ∈ N, 4 n2 + 2 .Demonstração.

a) Se n é ímpar, então é da forma 2k +1 , k ∈ N. Logo, como o produto de dois númerosnaturais consecutivos sempre é par, temos

n 2 − 1 = (2k + 1) 2 − 1 = 4k2 + 4 k = 4k(k + 1) = 8 β, β ∈ N

Portanto, n2 − 1 é divisível por 8

b)

c) Todo natural n ∈ N podemos escrever em alguma das formas dos elementos do conjunto{ 5k, 5k + 1 , 5k + 2 , 5k + 3 , 5k + 4 } onde k ∈ N. Logo

• Se n = 5k, então n2 = (5 k)2 = m(5)

• Se n = 5k + 1 , então n 2 = (5 k + 1) 2 = m(5) + 1

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14

divide a2 + b2 , então a e b são divisíveis por 3.Demonstração.

Exercício 2.2.11.(ENC-2001) Seja N um número natural; prove que a divisão de N 2 por 6 nunca deixa

resto 2.Demonstração.

Seja N ∈ N, então N = 2k ou N = 2k + 1. Também N = 3α ou N = 3β + 1 ouN = 3γ + 2. Assim,

• N 2 = (2 k)(3α) = 6kα + 0

• N 2 = (2 k)(3β + 1)

• N 2 = (2 k)(3γ + 2)

• N 2 = (2 k + 1)(3 α) = 6kα + 3α

• N 2 = (2 k + 1)(3 β + 1) = 6 kβ

• N 2 = (2 k + 1)(3 γ + 2)

Exercício 2.2.12.(ENC-2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da divisão de

N por 5? Solução.

Temos N = 20q + 8 , isto é N = 5(4q ) + 5 + 3 = 5(4 q + 1) + 3 .O resto, é 3.

Exercício 2.2.13.Mostre que, se n é ímpar, então a soma de n termos consecutivos de uma P A é sempre

divisível por n.Solução.

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15

Exercício 2.2.14.Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4.

Demonstração.

Seja x o número pedido, então x = 3a + 2 ou x = 4b + 2 para algum a, b ∈ N∗ , logo3a + 2 = 4 b + 2 de onde 3a = 4b assim, a = 4 + 4 t e b = 3 + 3 t para todo t ∈ N∗

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40b 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30x 14 26 38 50 62 74 86 98 110 122

Logo, o menor número é 50.

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16

Problemas Suplementares

Exercício 2.2.15.

a) 6|n 3 + 11 n b) 9|4n + 15 n − 1 c) 3n +2 |103 n − 1d) 7|23 n − 1 e) 8|32 n + 7 f ) 7|32 n +1 + 2 n +2

g) a2 − a + 1 |a2 n +1 + ( a − 1)n +2∀a ∈ N

Solução.

Exercício 2.2.16.(a) Mostre que um quadrado perfeito ímpar é da forma 4n + 1 .(b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11;111; 1111; . . . :: é um quadrado

perfeito.Solução.

Exercício 2.2.17.O resto

Solução.

Exercício 2.2.18.(a) Mostre que todo quadrado perfeito é da forma 5k ou 5k ± 1.(b) Com que algarismo pode terminar um quadrado perfeito? (c) Se três inteiros positivos vericam a2 = b2 + c2 , então entre eles há um múltiplo

de 2 e um múltiplo de 5.

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(d) A soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito.Solução.

Exercício 2.2.19.Mostre que, de n inteiros consecutivos, um, e apenas um, deles é divisível por n.

Solução.

Exercício 2.2.20.Um número é dito livre de quadrados se não for divisível pelo quadrado de nenhum

número diferente de 1.

(a) Determine qual é o maior número de números naturais consecutivos livres de quadrados.

(b) Dena números livres de cubos e resolva o problema correspondente.Solução.

Exercício 2.2.21.Seja m ∈ N. Pode o número m(m + 1) ser a sétima potência de um número natural?

(generalize).Solução.

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18

Exercício 2.2.22.Dados a; b ∈ N, quantos números naturais divisíveis por b existem na sequência

a; 2a; . . . ba?

Solução.

Exercício 2.2.23.

Sejam a; d ∈ N. Mostre que, na sequência a + 0 d; a + d; a + 2 d; a + 3 d; . . . ou não existe nenhum quadrado ou existem innitos quadrados.Solução.

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