ma 214 : differential equation (chapter 1) - บทที่ 1 สมการ...

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.

......

MA 214 : Differential equation (Chapter 1)บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง (ชุดที่ 1)

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย

ภาควิชาคณิตศาสตรและสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

เทอม 2/2557

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 1 / 1

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

บทที่ 1 : สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง

สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งที่พิจารณาในบทนี้หมายถึงสมการที่เขียนอยูในรูปอนุพันธ

dydx = f(x, y)

หรือเขียนอยูในรูปคาเชิงอนุพันธ

M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยางเชน..

......

dydx =

2yx+ y

สามารถเขียนอยูในรูปคาเชิงอนุพันธเปน

2y dx− ( x+ y )dy = 0

ทำนองเดียวกันสมการในรูปคาเชิงอนุพันธ

( y2 + 1 )dx − ( xy + 2y )dy = 0

สามารถเขียนอยูในรูปเชิงอนุพันธเปน

dydx =

y2 + 1

xy+ 2y


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

วิธีการในการหาผลเฉลยของสมการทั้งสองแบบมีหลายวิธีขึ้นกับรูปแบบเฉพาะของสมการ ในที่นี้เราจะพิจารณาบางแบบที่เปนพื้นฐานของสมการอันดับหนึ่ง


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

แบบที่ 1. สมการตัวแปรแยกกันได

พิจารณาสมการในรูป

M ( x , y )dx+ N ( x , y )dy = 0

จะเรียกวาเปน สมการตัวแปรแยกกันได ถาสามารถจัดรูปไดเปนF ( x )G ( y )dx + f ( x ) g ( y )dy = 0

หรือA ( x ) dx + B ( y ) dy = 0

เมื่อA ( x ) =

F ( x )f ( x ) และ B ( y ) =

g ( y )G ( y )


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

จากสมการA ( x ) dx + B ( y ) dy = 0

โดยการปริพันธของสมการ ไดวา∫A ( x )dx +

∫B ( y )dy = C

เมื่อ C เปนคาคงตัวไมเจาะจง


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 2.1..

......

จงแกสมการเชิงอนุพันธ

y dx+ (xy2 + x)dy = 0

เมื่อ x ̸= 0 , y ̸= 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......จงแกสมการเชิงอนุพันธ

y′ = 6y2x


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงแกสมการเชิงอนุพันธ

(1 + y2)dx+ (1 + x2)dy = 0

พรอมดวยเงื่อนไขเริ่มตน x = 0 , y = 1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

x sin y dx+ (x2 + 1) cos y dy = 0, y(0) = π

2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธdydt =

4 sin(2t)y , y(0) = 1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ√x2 + 1y′ = xy2, y(0) = 2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


xdx+ sec x sin ydy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(x− 1) cos ydy = 2x sin ydx


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหัด..

......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) (xy+ 2x+ y+ 2)dx+ (x2 + 2x)dy = 0

(ii) sin x sin y dx + cos x cos y dy = 0

(iii) ex+1 tan ydx+ cos ydy = 0

(iv) ydy+ xdx = 3xy2dx, y(2) = 1

(v) xy2dx + exdy = 0 เมื่อ x → ∞ , y → 12


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

แบบที่ 2. การเปลี่ยนตัวแปร

พิจารณาสมการในรูป

M ( x , y )dx+ N ( x , y )dy = 0

ถาสมการนี้ไมสามารถแยกตัวแปรได อาจเปนไปไดวาเมื่อเปลี่ยนตัวแปร x หรือ y หรือทั้งคู แลวสมการขางตนจะแปลงเปนสมการในรูปที่สามารถแยกตัวแปรได ถึงแมวาไมมีกฎทั่วไปในการกำหนดตัวแปรใหม แตอาจทำไดโดยการสังเกตพจนที่ปรากฏซ้ำในสมการ ดังตัวอยางตอไปนี้


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(y+ xy2)dx+ (x− x2y)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(x2 − xy+ y2)dx− xydy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


2xyy′ = y2 − x2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


y′ = (y+ 9x)2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

แบบที่ 3. สมการเอกพันธุ

ในหัวขอนี้จะพิจารณากลุมของสมการเชิงอนุพันธซึ่งสามารถลดรูปเปนสมการตัวแปรแยกกันได.บทนิยาม 2.1..

......

สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง เรียกวาเปน สมการเอกพันธุ (HomogeneousEquations) ถาสามารถเขียนอยูในรูป

dydx = g

(yx)

เมื่อ g ( yx) เปนฟงกชันขึ้นกับ yx เทานั้น


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

สมการเชิงอนุพันธ(x2 + y2)dx− xydy = 0

เปนสมการเอกพันธุ เนื่องจาก


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.บทนิยาม 2.2..

......

ฟงกชัน F ( x , y ) เรียกวาเปน ฟงกชันเอกพันธุ (Homogeneous Function) ดีกรี nถา

F( tx , ty ) = tnF( x , y )เชน F(x, y) = x2 + y2 exp

(2xy)

F( tx , ty) = (tx)2 + (ty)2 exp(2txty

)= t2(x2 + y2 exp

(2xy)) = t2F(x, y)

เปนฟงกชันเอกพันธุ ดีกรี 2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ทฤษฎีบท 2.1..

......

ถา M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุดีกรีเดียวกัน ดังนั้นฟงกชัน M(x, y)N(x, y)

เปนฟงกชันเอกพันธุ ดีกรี 0.ทฤษฎีบท 2.2........ถา F(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุดีกรี 0 ดังนั้น F(x, y) เปนฟงกชันของ y

x


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ตอไปพิจารณาสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง

M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0 (∗)

สมมุติวาสัมประสิทธิ์ M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุดีกรีเดียวกัน ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 2.1 ไดวา M(x, y)

N(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุ ดีกรี 0โดยทฤษฎีบท 2.2 ไดวา สมการเขียนใหมไดในรูป

dydx + g

(yx)

= 0

นั่นคือสมการ (*) เปนสมการเอกพันธุโดยการเปลี่ยนตัวแปร y = vx หรือ x = vy จะไดสมการ

xdvdx + v + g (v) = 0

ซึ่งเปนสมการตัวแปรแยกกันไดอาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 38 / 1

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(y+√

x2 + y2)dx− xdy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(x2 − 3y2) + 2xydydx = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(1 + 2ex/y)dx+ 2ex/y(1− x

y)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


y′ = x2 + 5y24xy


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

แบบที่ 4. สมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนฟงกเชิงเสน

สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งที่มีสัมประสิทธิ์เปนฟงกเชิงเสนในรูป

(a1x+ b1y+ c1)dx + (a2x+ b2y+ c2)dy = 0

สามารถลดรูปเปนสมการเอกพันธุไดโดยการแปลงพิกัดดังกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้.ทฤษฎีบท 2.3..

......

พิจารณาสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนฟงกเชิงเสน

(a1x+ b1y+ c1)dx+ (a2x+ b2y+ c2)dy = 0

เมื่อ a1,b1, c1,a2,b2, c2 เปนคาคงตัว


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ทฤษฎีบท 2.3 (ตอ)..

......

กรณี 1 ถา a2b1 ̸= a1b2 แลวการแปลง

x = u+ h , y = v+ k

เมื่อ (h, k) เปนผลเฉลยของระบบสมการ

a1h+ b1k+ c1 = 0

a2h+ b2k+ c2 = 0

สมการจะลดรูปเปนสมการเอกพันธุในตัวแปร u และ v

(a1u+ b1v)du+ (a2u+ b2v)dv = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ทฤษฎีบท 2.3 (ตอ)..

......

กรณี 2 ถา a2b1 = a1b2 แลวการแปลง

z = a1x+ b1y

สมการลดรูปเปนสมการตัวแปรแยกกันไดในตัวแปร x และ z หรือตัวแปร y และ z


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงแกสมการ

(x− 2y+ 1)dx+ (4x− 3y− 6)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(x+ 2y+ 3)dx+ (2x+ 4y− 1)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหัด..

......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) (x+√y2 − xy)dy− ydx = 0

(ii) ydx+ x ln yxdy− 2xdy = 0

(iii) 2yex/ydx+ (y− 2xex/y)dy = 0

(iv) (xy− y2)dx− x2dy = 0 เมื่อ y(1) = 1

(v) (x2 + y2)dx = 2xydy เมื่อ y(−1) = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

แบบที่ 5. สมการแมนตรง


......

ให F(x, y) เปนฟงกชันของสองตัวแปร ซึ่งมีอนุพันธยอยอันดับหนึ่งตอเนื่องในโดเมน Dคาเชิงอนุพันธรวม dF(x, y) ของฟงกชัน F(x, y) นิยามโดย

dF(x, y) =∂

∂xF (x, y) dx +∂

∂yF (x, y) dy


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

นิพจนM(x, y)dx+ N(x, y)dy

เรียกวา คาเชิงอนุพันธแมนตรง ในโดเมน D ถาสำหรับทุกๆ (x, y) ∈ D มีฟงกชันF(x, y) ของสองตัวแปร ซึ่งนิพจนนี้เทากับคาเชิงอนุพันธรวม dF(x, y)นั่นคือสำหรับทุก (x, y) ∈ D มีฟงกชัน F(x, y) ซึ่ง

∂

∂xF (x, y) = M(x, y)

และ∂

∂yF (x, y) = N(x, y)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

ถาM(x, y)dx+ N(x, y)dy

เปนคาเชิงอนุพันธแมนตรงแลวสมการเชิงอนุพันธ


เรียกวา สมการแมนตรง


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

สำหรับสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งในรูป


สามารถตรวจสอบวาเปนสมการแมนตรงหรือไม โดยใชทฤษฎีบทตอไปนี้.ทฤษฎีบท 2.4 (วิธีการทดสอบสมการแมนตรง)..

......

สมการเชิงอนุพันธM(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0

เปนสมการแมนตรง ก็ตอเมื่อ∂

∂yM (x, y) =∂

∂xN (x, y)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(2x sin y+ y3ex)dx+ (x2 cos y+ 3y2ex)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......จงแกสมการ

(2xy+ 3y)dx+ (x2 + 3x)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงแกปญหาคาเริ่มตน

(2x cos y+ 3x2y)dx+ (x3 − x2 sin y− y)dy = 0, y(0) = 2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......จงหาผลเฉลย

3x2y+ ey + (x3 + xey − 2y)y′ = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงหาผลเฉลย2ty

t2 + 1− 2t− [2− (ln(t2 + 1))]y′ = 0, y(5) = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


ma 214 : differential equation (chapter 1) - บทที่ 1 สมการ...

Documents