ma joão 15-08 sei uni iii (ms) (rf)_bb(1)
DESCRIPTION
Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)TRANSCRIPT
![Page 1: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/1.jpg)
Unidade III
MATEMÁTICA APLICADA
Prof. João Giardulli
![Page 2: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/2.jpg)
Ajuste de curvas
O que é isso?
![Page 3: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/3.jpg)
Ajuste de curvas
É um método que consiste em encontrar uma curva que
se ajuste a uma série de pontos.
Existem vários métodos para realizar esse ajuste, como
o método dos mínimos quadrados, o método da máxima
verossimilhança e o método do máximo coeficiente
de correlação linear.
![Page 4: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/4.jpg)
Ajuste de curvas
Adrien-Marie Legendre
(1752-1833)
Em 1806, aos 56 anos, publica os primeiros resultados
sobre aproximação de curvas utilizando o Método
dos Mínimos Quadrados.
Do pintor Julien-Leopold Boilly 1820-Album de 73 portraits-charge
aquarellés des membres de I’Institut.
![Page 5: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/5.jpg)
Ajuste de curvas
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Em 1796 descobre e justifica o Método dos Mínimos
Quadrados, aos 19 anos.
Extraído de http://www.gauss-goettingen.de/gauss_en.php?navid=2&supnavid=1
em 13/8/2014, página da universidade onde lecionou Gauss.
![Page 6: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/6.jpg)
Ajuste de curvas
Quantidade
(q)
Incidentes
(i)
1 164
2 272
3 348
4 416
5 500
Fonte: autoria própria
![Page 7: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/7.jpg)
Ajuste de curvas
Qual é o problema?
Encontrar uma reta que passe o mais próximo possível de
todos os pontos dados.
![Page 8: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/8.jpg)
Ajuste de curvas
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6
Fonte: autoria própria
![Page 9: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/9.jpg)
Ajuste de curvas
Fonte: autoria própria
![Page 10: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/10.jpg)
Ajuste de curvas
Fonte: autoria própria
![Page 11: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/11.jpg)
Ajuste de curvas
Como funciona?
![Page 12: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/12.jpg)
Ajuste de curvas
Consideremos n pontos do ℝ2, não todos situados na
mesma vertical, cujas coordenadas são:
(x1,y1), (x2, y2), (x3, y3) ... (xn, yn).
O problema consiste em encontrar uma reta que se ajuste
a esses pontos.
![Page 13: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/13.jpg)
Ajuste de curvas
Fonte: página 57 do livro-texto
![Page 14: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/14.jpg)
Ajuste de curvas
Essa nuvem de pontos é conhecida como gráfico de
dispersão. Há inúmeras maneiras de se encontrar a reta que
mais se aproxima, inclusive usando uma régua, por exemplo.
Contudo, uma maneira simples e de qualidade é o método
dos mínimos quadrados.
![Page 15: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/15.jpg)
Ajuste de curvas
A ideia básica desse método consiste em considerar o
modelo mais simples de relacionar duas variáveis x e y.
A equação de uma reta dada pela sentença y = Ax + B tornará
mínima a soma dos quadrados dos desvios:
((d1)2 + (d2)
2 + (d3)2 + (d4)
2 + ... + (dn)2), em que di = yi – (Axi + B).
Tal reta é chamada de reta de mínimos quadrados,
cuja equação iremos determinar.
![Page 16: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/16.jpg)
Ajuste de curvas
Os dados a serem ajustados são os (xi, yi), de forma
tal que a distância vertical di seja a menor possível.
A partir dessas distâncias, define-se que D é igual ao
somatório do quadrado dessas diferenças, isto é:
D(A, B) = Σ (di)2 = Σ(yi – (Axi + B))2.
Portanto, temos que: D(A, B) = Σ(yi – Axi – B)2
![Page 17: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/17.jpg)
Ajuste de curvas
Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema:
D(A) = 2Σ(yi – Axi – B)(-xi) = 0
D(B) = 2Σ(yi – Axi – B)(-1) = 0
![Page 18: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/18.jpg)
Ajuste de curvas
Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema:
D(A) = 2Σ(yi – Axi – B)(-xi) = 0
D(B) = 2Σ(yi – Axi – B)(-1) = 0
Ou seja:
Σ(xiyi – (Axi)2 - Bxi) = 0 ⇔ Σxiyi - AΣ(xi)
2 =Bxi
Σ(yi – Axi – B) = 0 ⇔ Σyi - AΣxi – nB = 0
![Page 19: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/19.jpg)
Ajuste de curvas
A solução do sistema é:
O método dos mínimos quadrados consiste basicamente
em obter-se a curva, dentro de uma família de curvas
preestabelecidas, que minimiza esse desvio.
Fonte: página 58 do livro-texto
![Page 20: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/20.jpg)
Ajuste de curvas
Lembrete:
Quando usamos funções do primeiro grau para representar
essas curvas, temos as retas e, no caso das funções
quadráticas, temos as parábolas.
![Page 21: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/21.jpg)
Ajuste de curvas – exemplo
Um comerciante deseja obter uma equação de demanda para
o seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada
(y) se relaciona com o seu preço unitário (x) por meio de
uma função do 1o grau y = ax + b.
Para estimar essa reta, fixou os preços em vários níveis e
observou a quantidade demandada, obtendo os dados a seguir:
Qual a equação da reta de mínimos quadrados?
Fonte: página 59 do livro-texto
![Page 22: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/22.jpg)
Ajuste de curvas
Solução:
Inicialmente, vamos escrever a seguinte tabela de dados:
Temos que n = 4 (quantidade de dados fornecidos).
Fonte: página 59 do livro-texto
![Page 23: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/23.jpg)
Ajuste de curvas
Logo, A será dado por:
Fonte: página 59 do livro-texto
![Page 24: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/24.jpg)
Ajuste de curvas
B será dado por:
Logo, a equação da reta procurada é:
Fonte: página 59 do livro-texto
Fonte: página 59 do livro-texto
![Page 25: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/25.jpg)
Interatividade
Qual é o objetivo do Método de Mínimos Quadrados?
a) Ajustar uma reta a uma nuvem de pontos.
b) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que
as distâncias destes pontos a esta curva sejam mínimas.
c) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que
os quadrados das distâncias destes pontos a esta
curva sejam mínimos.
d) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte
que a soma dos quadrados das distâncias verticais
destes pontos a esta curva seja mínima.
e) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que
os quadrados das distâncias destes pontos a esta
curva sejam máximos.
![Page 26: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/26.jpg)
Tipos de ajustes de curvas
O tipo de ajuste mais simples é o ajuste linear ou
regressão linear, que relaciona duas variáveis x e y.
O modelo matemático usado e a equação de uma reta:
y = Ax + B, em que A e B são os parâmetros do modelo.
![Page 27: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/27.jpg)
Tipos de ajustes de curvas
No caso em que precisamos relacionar uma variável dependente
y com p variáveis independentes, o tipo de ajuste é chamado de
ajuste linear múltiplo, representado por:
y = β0 + β1.x1 + β2.x2 + ... + βp.xp
Em que β0 , β1 , ..., βp são os parâmetros do modelo.
![Page 28: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/28.jpg)
Tipos de ajustes de curvas
Quando o modelo usado para o ajuste da curva
não é uma reta, e sim uma parábola, o tipo de ajuste
que usamos e a regressão quadrática são dados por:
y = Ax2 + Bx + C em que A, B e C são os parâmetros do modelo.
![Page 29: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/29.jpg)
Tipos de ajustes de curvas
Observações:
Qualquer que seja o tipo de ajuste, precisamos de métodos
para calcular esses parâmetros e encontrar a solução.
Dependendo do caso, da quantidade de variáveis e
parâmetros, o calculo não é tão simples e precisamos
de recursos computacionais para resolver o problema.
![Page 30: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/30.jpg)
Tipos de ajustes de curvas
Observações:
Existem diversos softwares com as fórmulas programadas,
com os quais só precisamos fornecer os dados para obter os
resultados. Entre eles, o mais popular é o Excel, da Microsoft.
![Page 31: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/31.jpg)
Regressão linear
Em análise estatística, o método que estuda a relação
entre diversas variáveis quantitativas ou qualitativas, de modo
que uma variável pode ser predita a partir de outra variável
(ou outras variáveis), é conhecido como análise de regressão.
Não se quer apenas analisar a associação existente entre
duas variáveis quantitativas (ou qualitativas), mas justificar
a hipótese a respeito da provável relação de causa e
efeito entre essas variáveis.
A variável X depende da variável Y?
![Page 32: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/32.jpg)
Regressão linear
A análise de regressão é usada com a finalidade de previsão.
Nesse caso, queremos prever o valor da variável X em
função da variável Y.
Outra finalidade é o de estimar o quanto a variável Y influencia
ou modifica a variável X.
![Page 33: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/33.jpg)
Regressão linear
O caso mais simples de regressão é quando temos duas
variáveis e a relação entre elas pode ser representada por
uma linha reta, que chamamos de regressão linear simples
ou ajuste linear simples.
Fonte: página 60 do livro-texto
![Page 34: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/34.jpg)
Regressão linear
b0 é o coeficiente linear, também chamado intercepto;
é o valor que y assume quando x for zero.
Quando a região experimental inclui x = 0, então b0
é o valor da média da distribuição de y em x = 0.
Fonte: página 60 do livro-texto
![Page 35: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/35.jpg)
Regressão linear
b1 é o coeficiente angular, expressa a taxa de mudança
em y, isto é, a mudança em y quando ocorre a mudança
de uma unidade em x.
Ele indica a mudança na média da distribuição de
probabilidade de y por unidade de acréscimo em x.
Página 60 da apostila
![Page 36: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/36.jpg)
Regressão linear
O ajuste linear múltiplo aplica-se nos casos em que y
é uma função linear de duas ou mais variáveis lineares.
Nesse caso, procura-se calcular os valores de b0, b1, b2 ,b3, ... ,
bn, tais que a relação entre eles seja aproximada por uma
expressão do tipo: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn.
![Page 37: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/37.jpg)
Regressão linear
No caso do ajuste linear múltiplo, resolver o sistema de
equações normais é resolver o sistema:
Fonte: página 61 do livro-texto
![Page 38: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/38.jpg)
Regressão linear
Exemplo: determinar a equação do tipo y = b0 + b1x1 + b2x2
que melhor se ajusta a tabela a seguir:
Solução:
Logo:
y = 4,2 + 3,4 x1 – 6,5 x2
Fonte: página 61 do livro-texto
Fonte: página 61 do livro-texto
Fonte: página 61 do livro-texto
![Page 39: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/39.jpg)
Regressão linear
Observações:
O caso do ajuste polinomial consiste em determinar um
polinômio (que pode ser de qualquer grau).
Quando se trata de um polinômio do 2º grau, dizemos que o
ajuste é uma regressão quadrática.
![Page 40: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/40.jpg)
Regressão linear
y = b0 + b1x1 + b2x
2 + b3x3 + ... + bnxn
Para resolver o ajuste polinomial, usamos o método do ajuste
linear múltiplo, com a seguinte adaptação:
x1 = x1, x2 = x2, x3 = x3, ... , xn = xn
![Page 41: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/41.jpg)
Regressão linear
Portanto, o sistema fica assim:
Fonte: página 62 do livro-texto
![Page 42: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/42.jpg)
Regressão linear
Exemplo: ajustar os pontos da tabela a uma
expressão do tipo y = b0 + b1x1 + b2 x
2.
Solução:
Fonte: página 62 do livro-texto
Fonte: página 62 do livro-texto
![Page 43: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/43.jpg)
Regressão linear
Exemplo: ajustar os pontos da tabela a uma
expressão do tipo y = b0 + b1x + b2 x2.
Solução:
y = -2,018 + 11,332x – 1,222x2
Fonte: página 62 do livro-texto
Fonte: página 62 do livro-texto
![Page 44: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/44.jpg)
Interatividade
Defina a equação da reta para a quantidade de incidentes
ao longo dos meses de 2011 e estime a quantidade de
chamados para o mês de agosto.
Mês Quantidade
1 1.017
2 879
3 1.135
4 1.082
5 975
6 902
7 1.037
a) 1096 chamados.
b) 996 chamados.
c) 896 chamados.
d) 796 chamados.
e) 696 chamados.
Fonte: autoria própria
![Page 45: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/45.jpg)
Medidas de dispersão
Medidas de dispersão são aquelas usadas para nos dizer
o quanto os valores analisados estão distantes (dispersos)
do valor real. A mais comum é a média. Na realidade, a
média é uma medida de tendência central e o seu valor é
calculado por meio da soma dos valores dados, dividida
pelo número de dados.
![Page 46: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/46.jpg)
Medidas de dispersão
Em determinadas análises, a média não é suficiente, pois
podemos ter dois grupos distintos com uma dispersão
diferente e mesmo assim o valor da média ser igual.
![Page 47: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/47.jpg)
Medidas de dispersão
Exemplo:
Observe os dados nos grupos:
A = 3,3,3
B = 1,3,5
A média nos dois grupos é a mesma e igual a 3, mas a
variação dos dados observados no grupo A é diferente
da variação observada no grupo B.
![Page 48: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/48.jpg)
Medidas de dispersão
Nesse caso, além de usar a medida de tendência, é
aconselhável usar medidas de dispersão para uma
análise mais completa. As mais usadas são a
variância e o desvio padrão.
![Page 49: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/49.jpg)
Medidas de dispersão
Propriedades do desvio padrão
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os
valores de uma variável, o desvio padrão não se altera.
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma
variável por uma constante (diferente de zero), o desvio
padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.
![Page 50: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/50.jpg)
Interatividade
Defina a variância e o desvio padrão para a quantidade
de incidentes ao longo dos meses de 2011.
Mês Quantidade
1 1.017
2 879
3 1.135
4 1.082
5 975
6 902
7 1.037
a) 8.562 e 2,16.
b) 4,67 e 93.
c) 8.562 e 93.
d) 4,67 e 2,16.
e) 7.027 e 84.
Fonte: autoria própria
![Page 51: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/51.jpg)
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação é usado para analisar e caracterizar
a dispersão dos dados observados com relação ao seu valor
médio, isto é, o coeficiente de variação é a razão entre o
desvio padrão e a média dos dados observados.
CV = (desvio padrão / média) x 100
![Page 52: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/52.jpg)
Coeficiente de variação
Exemplo:
Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um
mesmo grupo de indivíduos:
Qual das medidas (estatura ou peso)
possui maior homogeneidade?
Fonte: página 64 do livro-texto
![Page 53: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/53.jpg)
Coeficiente de variação
Solução:
Teremos de calcular o coeficiente de variação da estatura
e o do peso.
O resultado menor será o de maior homogeneidade
(menor dispersão ou variabilidade).
![Page 54: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/54.jpg)
Coeficiente de variação
Solução:
Coeficiente de variação da estatura:
(5 / 175 ) x 100 = 2,85%
Coeficiente de variação do peso:
(2 / 68 ) x 100 = 2,94%
Fonte: página 64 do livro-texto
![Page 55: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/55.jpg)
Coeficiente de variação
Solução:
No caso, as estaturas apresentam menor grau de dispersão
que os pesos.
![Page 56: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/56.jpg)
Correlação entre variáveis
Para analisar como os valores entre duas variáveis estão
relacionados, podemos observar um diagrama de dispersão
ou analisar os resultados por meio de uma equação.
![Page 57: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/57.jpg)
Correlação entre variáveis
A partir da análise do diagrama de dispersão, podemos verificar
se a correlação entre as duas variáveis é:
linear positiva: os pontos do diagrama têm como imagem uma
reta ascendente;
linear negativa: os pontos têm como imagem uma reta
descendente;
não linear: os pontos têm como imagem uma curva;
não há relação: os pontos não dão ideia de uma
imagem definida.
![Page 58: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/58.jpg)
Coeficiente de correlação linear
Proposto por Karl Pearson, o coeficiente de correlação
(ou “r de Pearson”) é usado para obter a medida da
correlação linear.
Ele indica o grau de intensidade da correlação entre
duas variáveis e o sentido dessa correlação, isto é,
se a correlação é positiva ou negativa.
![Page 59: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/59.jpg)
Coeficiente de correlação linear
É dado pela fórmula:
Em que: n = número de observações.
Os valores limites de r são -1 e +1.
Fonte: página 65 do livro-texto
![Page 60: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/60.jpg)
Coeficiente de correlação linear
Resumindo:
r = -1 (correlação linear negativa);
r = 0 (pontos não correlacionados);
r = +1 (correlação linear positiva).
![Page 61: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/61.jpg)
Coeficiente de correlação linear
Exemplos:
Fonte: página 65 do livro-texto
![Page 62: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/62.jpg)
Interatividade
O Método dos Mínimos Quadrados é um processo de:
a) estimação estatística.
b) determinação exata das curvas.
c) interpolação.
d) aproximação de curvas.
e) cálculo de erros.
![Page 63: Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081802/563db7d6550346aa9a8e6b67/html5/thumbnails/63.jpg)
ATÉ A PRÓXIMA!