ma trận nghịch đảo - hệ phương trình tuyến tính

www.hoasen.edu.vn

1Linear Algebra

Chương 1

MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

www.hoasen.edu.vn

2Linear Algebra

Nội dung

1.1 Khái niệm ma trận

1.2 Các phép toán trên ma trận

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

1.4 Ma trận nghịch đảo

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính

www.hoasen.edu.vn

3Linear Algebra

Ta xét hệ phương trình:

2 3 8 2 3 8

5 7 1 5 7 1

x x y

y x y

Hệ phương trình trên có thể viết ở dạng ma trận: A X=B. Câu hỏi đặt ra là X = ?

1.4 Ma trận nghịch đảo

www.hoasen.edu.vn

4Linear Algebra

)0(.1 1 ababaa

bx

1 .AX B X A B 1A

Xét phương trình: a x = b.

Ta có:

Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có

như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào?

1.4 Ma trận nghịch đảo (tt)

www.hoasen.edu.vn

5Linear Algebra

bax

bax

baaxa

bxa

1

1

11

1

1 1

1

1

A X B

A A X A B

I X A B

X A B

?1 IAA

Ta để ý:

Phải chăng


www.hoasen.edu.vn

6Linear Algebra


A là ma trận vuông cấp n, nghịch đảo (inverse) của ma trận A là ma trận cấp vuông cấp n, kí hiệu A-1, nếu thỏa mãn

A.A-1 = I = A-1A

với I = In là ma trận đơn vị cấp n.

A có nghịch đảo thì A được gọi là khả nghịch (invertible)

Định nghĩa:

www.hoasen.edu.vn

7Linear Algebra


1. Nếu ma trận A có nghịch đảo là A-1 thì A-1 là duy nhất

2. Nếu A, B là ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB)-1 = B-1A-1.

Định lý:

Chứng minh:…

www.hoasen.edu.vn

8Linear Algebra

Nhận xét:

• Tính khả nghịch chỉ có với ma trận vuông. Tuy nhiên, không phải ma trận vuông nào cũng khả nghịch


www.hoasen.edu.vn

9Linear Algebra


1. Chứng minh các ma trận sau không có nghịch đảo:

2. Chứng minh

0 0

0 0A

0 0

1 2A

15 2 1 3

3 1 2 5A

Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

10Linear Algebra


3. Tìm nghịch đảo của các ma trận sau (dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho ma trận A|I):

2 1 0

4 1 3

3 1 2

A

2 1 0

4 1 3

33 1

2

A

Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

11Linear Algebra


Làm các bài tập từ 25 đến 35 trang 54; 41 đến 44 trang 55 và 45, 47, 48 trang 56

www.hoasen.edu.vn

12Linear Algebra

Một hệ m phương trình tuyến tính (linear equation) của n ẩn số x1, x2 , …, xn (m, n là số tự nhiên khác 0) có dạng:

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính

Định nghĩa:

được gọi là hệ phương trình tuyến tính (system of linear equations)

www.hoasen.edu.vn

13Linear Algebra

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt)

aij, bj: thuộc tập số thực (phức)

aij: hệ số

bj: hệ số tự do

1, ; 1,i m j n

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

Ma trận bổ sung

www.hoasen.edu.vn

14Linear Algebra


Ví dụ: Cho hệ phương trình1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 2 2 3 5 1

2 3 4 0 1 2 3 4

3 8 5 3 2 3 8 5 3

0 4 2 74 2 7 9

x x x x

x x x xA

x x x x

x x x

Ma trận hệ số2

0

2

9

B

Ma trận hệ số tự do

1

2

3

4

x

xX

x

x

Ma trận ẩn số

www.hoasen.edu.vn

15Linear Algebra

Hệ phương trình trên còn được viết dưới dạng:

AX = B

được gọi là dạng ma trận của hệ đã cho.


Ví dụ:

www.hoasen.edu.vn

16Linear Algebra

Ví dụ:2 7 1 9

3 1 4 0

5 9 2 5

x

y

z

2 7 9

3 4 0

5 9 2 5

x y z

x y z

x y z


www.hoasen.edu.vn

17Linear Algebra

• Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình:Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình:

–Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 phương Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 phương trình của hệ.trình của hệ.

–Đổi chỗ hai phương trình của hệ.Đổi chỗ hai phương trình của hệ.

–Nhân một số ( ) vào một phương trình rồi Nhân một số ( ) vào một phương trình rồi cộng vào PT khác của hệ.cộng vào PT khác của hệ.

0

0

1

2 3 2

2 5

x y z

x y z

x y z

1

2 3 2

2 4 2 10

x y z

x y z

x y z

2 4 2 10

1

2 3 2

x y z

x y z

x y z


www.hoasen.edu.vn

18Linear Algebra

Xét hệ phương trình tổng quát sau:


www.hoasen.edu.vn

19Linear Algebra

Ta có ma trận bổ sung tương ứng


11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... ...

...

n

na

m m mn m

a a a b

a a a bA

a a a b

www.hoasen.edu.vn

20Linear Algebra

11 12 1 1 1

22 2 2 2

' ' ... ' ... ' '

0 ' ... ' ... ' '

... ... ... ... ... ... ...

' 0 0 ... ' ... ' '

0 0 ... 0 ... 0

.. .. .. .. .. .. ..

0 0 ... 0 ... 0 0

r n

r n

r r r n r

a a a a b

a a a b

A a a b

k

Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:


www.hoasen.edu.vn

21Linear Algebra

Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

1 2

' ' ... ' ... ' '

' ... ' ... ' '

... ... ... ... ...

' ... ' '

0 0 ... 0 ... 0

r r n n

r r n n

r r r r n n r

r n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

x x x x k


www.hoasen.edu.vn

22Linear Algebra

Khi đó ta có:

1. Nếu thì phương trình thứ (r +1) vô nghiệm suy ra hệ phương trình vô nghiệm.

2. Nếu k = 0 thì hệ có nghiệm:– Nếu r = n (số ẩn) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

– Nếu r < n (số ẩn) thì hệ phương trình có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.

0k


www.hoasen.edu.vn

23Linear Algebra

a. Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

' ' ... ' ... ' '

' ... ' ... ' '

... ... ... ... ...

' ... ' '

... ... ...

' '

r r n n

r r n n

rr r rn n r

nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

a x b


www.hoasen.edu.vn

24Linear Algebra

b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế phải của hệ phương trình phương trình ta được hệ PT sau:

Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.

11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1

22 2 2 2( 1) 1 2 2

( 1) 1

' ' ... ' ' ... ' '

' ... ' ' ... ' '

... ... ... ... ...

' ' ... ' '

r r r r n n

r r r r n n

r r r r r r r n n r

a x a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x b


www.hoasen.edu.vn

25Linear Algebra

Ví dụ: 2 3 5 2 5 3

5 3 3 5

5 3 2(5 3) 7 1

5 3 5 3

7 1 6

5 3, 1 2

1

13

2 7

2

x y z x y z

y z y z

x z z x z

y z y z

x m x

y m m y

z m z

x

m y

z


www.hoasen.edu.vn

26Linear Algebra

Ví dụ: Giải hệ phương trình


www.hoasen.edu.vn

27Linear Algebra

Bài toán:Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn Tìm ma trận X thỏa mãn

1)1) AX = BAX = B 2)2) XA = BXA = B 3)3) AXB = CAXB = C 4)4) AX + kB = CAX + kB = C


www.hoasen.edu.vn

28Linear Algebra

Ta có:

1A B

1

-1 -1

-1

1) AX=B A AX=A

IX=A

B

A

B

X B

1 1

1

1

2) XA B XAA BA

XI BA

X BA


www.hoasen.edu.vn

29Linear Algebra

Ta có:-1 -1

-1 -1

1 1

1

3) AXB=C A AXB=A

XBB =A

X A

B

CB

C

C

1

1 1

(

4 ( )

( )

)

) AX kB C AX C kB

A AX A C kB

X A C kB


www.hoasen.edu.vn

30Linear Algebra

Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trình sau:

2 6

3 2 1

4 3 5 5

x y z

x y z

x y z

1 2 1 6

3 1 2 1

4 3 5 5

x

y

z

1

2

1

X

1AX B X A B


www.hoasen.edu.vn

31Linear Algebra

Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:

1 2 3 1 5

0 1 4 0 4

0 0 1 2 3

X

1X A BPhương trình có dạng: AX=B

Ta có:


www.hoasen.edu.vn

32Linear Algebra


www.hoasen.edu.vn

33Linear Algebra

1 3 1 1 2 32

2 4 2 0 0 5X

Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:


www.hoasen.edu.vn

34Linear Algebra


www.hoasen.edu.vn

35Linear Algebra

1 3 2 2 2

0 4 2 0 4

5 0 3 8 6

X

Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:


www.hoasen.edu.vn

36Linear Algebra

2 4 2 7 4 8

3 5 1 3 2 0X

Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:


www.hoasen.edu.vn

37Linear Algebra


Làm các bài tập 21 – 32 trang 10; 15 – 39 trang 22, 23

ma trận nghịch đảo - hệ phương trình tuyến tính

Education