ma tri cat
TRANSCRIPT
Ushtrime nga matematika
Orhan Bakalli
Më 13, Mars, 2008
Matricat
A =
a11 a12 a13 …a1n
a21 a22 a23…a2n
am1 am2 am3 …amn
a23
Tregon rreshtin
Tregon kolonën
A
B
X
…
K
J
I
HGFE
DC
YZ
Rreshtat e matricës
Kolonat e matricës
Matrica është një bashkësi e elementeve të renditura në rreshta dhe
shtylla (kolona)
Mbledhja e dy matricave
A=2 -1
3 4B=
-3 -2
3 0
2 -1
3 4
-3 -2
3 0A + B= =
=-1 -3
6 4
+
2+(-3) -1+(-2)
3+3 4+0
Kujdes! –Mund ti mbledhim vetëm
matricat e rendit të njëjtë!
I mbledhim numrat me ngjyrë të njejtë!
Zbritja e dy matricave
A=2 -1
3 4B=
-3 -2
3 0
A - B=2 -1
3 4-
-3 -2
3 0=
2-(-3) -1-(-2)
3-3 4-0=
5 1
0 4=
Kujdes! –Mund ti zbresim vetëm
matricat e rendit të njëjtë!
I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë
Trego se cilat shumëzime janë të mundshme
1 3 4
1 5 6*
1 -4 12
2 7 4
3 0 -5
=A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti
analizojmë!
Nëse elementet e një rreshti nga matrica e parë
janë të barabarta me me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë!
Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në
rresht.
Numrojmë sa elemente i ka matrica
e dytë ne kolonë.
Mund ti shumëzojmë ato dy
matrica!
Trego se cilat shumëzime janë të mundshme
1 3 4
1 5 6*
1 -4 12
2 7 4=
A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti
analizojmë!
Nëse numri i elementeve të një rreshti nga matrica e
parë janë të ndryshëm me me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë!
Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në
rresht.
Numrojmë sa elemente i ka matrica
e dytë ne kolonë.
S’mund ti shumëzojmë ato dy
matrica!
Shumëzimi i dy matricave
A=2 -1
3 4B=
-3 -2
3 0
A * B=2 -1
3 4*
-3 -2
3 0
=2*(-3) + (-1)*3 2*(-2) + (-1)*0
3*(-3) + 4*3 3*(-2) + 4*0=
=- 6- 3 - 4- 0
- 9+12 - 6+0=
-9 -4
3 -6
I shumëzojmë numrat me ngjyrë të njëjtë
Shumëzimi i matricës me një
skalar
A=2 -1
3 4Si skalar le të jetë numri 5
5*A=2 -1
3 4=5* =
10 -5
15 20
5*(-1)5*2
5*3 5*4A* 5=
Është njësoj!
D.m.th., numri 5 i shumzëzon të gjithë anëtarët e matricës!
Plotësimi i matricës me anëtarë
A=
a21=a12=
a13=
a11=
a22=
a23=
a31= a32=
a33=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A=
6 3 0
1 8 -2
-1 10 2
Nga ne kërkohet që ti plotësojmë me numra hapësirat e zbrazta, të
ngjyrosura me të verdhë!
Forma e përgjithshme e matricës së rendit të tretë!
Shembull:
Njehsoni katrorin e matricës
A=
-2 3 0
1 4 2
5 0 -1
2
=
-2 3 0
1 4 2
5 0 -1
-2 3 0
1 4 2
5 0 -1
* =
= =-2*(-2)+3*1+0*5 -2*3+3*4+0*0 -2*0+3*2+0*(-1)
1*(-2)+4*1+2*5 1*3+4*4+2*0 1*0+4*2+2*(-1)
5*(-2)+0*1+(-1)*5 5*3+0*4+(-1)*0 5*0+0*2+(-1)*(-1)
=
7 6 6
12 19 6
-15 15 1
2
Gjeni të panjohurat!
Duke u nisur nga kushti që dy matricat e mëposhtme të jenë të barabarta, të gjenden të panjohurat x dhe a.
x -2
-1 2a=
3 -2
-1 2
Për të qenë matricat e barabarta duhet që numrat me ngjyra të
njëjta të jenë të barabartë
x=3
2a=2 a=2/2 a=1
2=2
-1=-1
Definimi i përcaktorëve
2 -1 3
5 6 11A=
Matrica s’është katrore. S’ka përcaktor.
2 -1 3
5 6 11
-3 7 1
A=
Matrica është katrore. Mund t’ia gjejmë përcaktorin.
|A| =
2 -1 3
5 6 11
-3 7 1
=
Dmth. Ekziston një numër që e përcakton tërë matricën katrore.
|A| Ose detA
Janë dy mënyrat e shënimit të përcaktorit/determinantës
2X3
3X3
Përcaktorët e rendit të dytë
|A|=- 2 1
0 - 3
+
-
= -2*(-3) - 0*1 = 6- 0 = 6
Ky është numri që e përcakton apo determinon matricën katrore
|B|=x a
2 - 3
+
-
= x*(-3) - 2*a = -3x- 2a
Përcaktorët e rendit të tretë
|A|= =
Duke zbatuar metodën e plotësve algjerbrik dhe sipas reshtit të dytë të zgjidhet përcaktori
- 2*0 -1
5 2
a21
Meqë 2+1=3 dmth numër tek atëherë para 2 e kemi
– (minus)
+(-1)*1 -1
7 2+0*
1 -1
7 2=
=
a22 a23
-2*(0+5) -1*(2-7) +0 = -10+5=-5
1 0 -1
2 -1 0
7 5 2
Metoda e Sarusit dhe e trekëndëshit
A=2 3 0
3 -1 7
0 1 4
2 3
3 -1
0 1
=
+
-
= 2*(-1)*4
= -8+0+0-0-14-36
+3*7*0+0*3*1-0*(-1)*0 -1*7*2 -4*3*3 =
= -58
