ma1003 c alculo iii tema 02: derivadas parciales y ... … · jesus s anchez guevara ( u.c.r. )...

MA1003 Calculo IIITema 02: Derivadas parciales y aplicaciones

Parte 03: Extremos de funciones

Profesor Jesus Sanchez Guevara

U.C.R.

I Semestre 2020

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 1 / 20

En esta clase

1 Extremos de funciones escalares.

2 Extremos condicionados.

3 Multiplicadores de Lagrange.

Introduccion

¿Cual es la importancia del estudios deextremos?

1 Extender las herramientas de calculo alanalisis de problemas de optimizacion paraproblemas complejos en varias variables.

2 Se incrementan los tipos de problemas quese pueden resolver en aplicaciones reales.


Extremos de funciones escalares

Maximos y mınimos

Una funcion escalar f : Rn Ñ R alcanza unmaximo en un punto P0 P Rn, si para todos lospuntos P ‰ P0 de un vecindario abiertoalrededor de P0 se cumple que f pP0q ą f pPq.P0 es un mınimo si en cambio f pP0q ă f pPqpara todos los puntos P ‰ P0 de un vecindarioabierto alrededor de P0. A los valores maximoso mınimos de f se les valores extremos de f .

¿Como buscar los estos puntos?

Geogebra 3D: z= (x^(2)+y^(2)) ((x-2)^(2)

+ (y-1)^(2)-1) (-x^(2)- (y-1)^(2))

Geogebra 3D: z=sin(x)+sin(y)

Propiedad

Si P es un punto extremo de f entonces

∇f pPq “ pfx1 pPq, . . . , fxn pPqq “ ~0

En particular:

Propiedad

Si P es un punto extremo de z “ f px , yq,entonces el plano tangente a la superficie en elpunto P es horizontal.

Recuerde: ∇f pPq “ pfx , fy qpPq “ p0, 0q y~NpPq “ pfx , fy ,´1qpPq “ p0, 0,´1q.

Definicion

1 Si P satisface ∇f pPq “ ~0, entonces P sedice punto crıtico (o punto estacionario)de f .

2 Un punto crıtico P se dice punto deensilladura si no es ni maximo ni unmınimo (explicar).

Geogebra: y=x^3

Geogebra 3D: z=x^2-y^2, 1=x^(2)+y^(2)+z^(2)


Aplicacion

Ejemplo, recta de mejor ajuste

Se quiere encontrar la recta de mejor ajuste

y “ ax ` b

para un conjunto de datos px1, y1q, . . . , pxn, ynq.

Hay que encontrar a y b tal que:

1 Las desviaciones yi ´ paxi ` bq seanmınimas.

2 Minimizar la funcion:

Dpa, bq “nÿ

i“1

pyi ´ paxi ` bqq2

Se resuelve:

"

Da “ 0Db “ 0

Se obtiene el sistema:

"

přn

i“1 x2i qa` p

řni“1 xi qb “

řni“1 xiyi

přn

i“1 xi qa` nb “řn

i“1 yi

Finalmente:

pendiente “ a “nřn

i“1 xiyi ´ přn

i“1 yi qpřn

i“1 xi q

npřn

i“1 x2i q ´ p

řni“1 xi q

2

y

b “přn

i“1 yi qpřn

i“1 x2i q ´ p

řni“1 xi qp

řni“1 xiyi q

npřn

i“1 x2i q ´ p

řni“1 xi q

2

Ya se han visto estas formulas en el laboratoriode fısica 1.

Ahora veremos una tecnica para verificar que unpunto crıtico sea mınimo local, maximo local opunto de ensilladura.


Criterios para extremos de funciones

Criterio de la segunda derivada para funcionesde dos variables

Sea P “ pa, bq punto crıtico de z “ f px , yq,suponga que f tiene derivadas parciales deprimer y segundo orden continuas en algunvecindario de P. Considere:

1 ∆1 “ fxx pa, bq.

2 ∆2 “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

fxx pa, bq fxy pa, bqfxy pa, bq fyy pa, bq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

fxx pa, bqfyy pa, bq ´ pfxy pa, bqq2.

Entonces,

1 Si ∆1 ă 0 y ∆2 ą 0, entonces P es unmaximo local de f .

2 Si ∆1 ą 0 y ∆2 ą 0, entonces P es unmınimo local de f .

3 Si ∆2 ă 0, entonces P es un punto deensilladura de f .

4 Si ∆2 “ 0, no se sabe. Hay que seguirinvestigando.

Ejemplo

En el ejemplo anterior se tiene que el punto esun mınimo ya que:

Daa “∆1 “

nÿ

i“1

x2i ą 0

∆2 “DaaDbb ´ pDabq2

“ npnÿ

i“1

x2i q ´ p

nÿ

i“1

xi q2 ą 0

La ultima desigualdad queda como ejercicioopcional.


Ejemplo

Determine y clasifique los puntos crıticos de

f px , yq “ x3 ` 3xy2 ´ 15x ´ 12y

1 Se resuelve:

"

fx “ 0fy “ 0

ñ

"

3x2 ` 3y2 ´ 15 “ 06xy ´ 12 “ 0

2 Se obtienen los puntos crıticos p1, 2q,p2, 1q, p´1,´2q y p´2,´1q.

3 Se calculan las dobles derivadas de f :fxx “ 6x , fyy “ 6x y fxy “ 6y .

4 Se hace una tabla para los valores de∆1 “ fxx y ∆2 “ fxx fyy ´ f 2

xy .

P∆1

“ fxxfyy fxy ∆2 Max/Min

p1, 2q 6 6 12 -108 sillap2, 1q 12 12 6 108 min

p´1,´2q -6 -6 -12 -108 sillap´2,´1q -12 -12 -6 108 max

Geogebra 3D: z=x^3+3xy^2-15x-12y

para visualizar mejor:

Geogebra 3D: z= ((x)/(10))^(3)+

(3x)/(10) ((y)/(10))^(2)-

(15x)/(10)- (12y)/(10)

Ejercicio

Determine y clasifique los puntos crıticos de:

f px , yq “ e2x`3y p8x2 ´ 6xy ` 3y2q


La matrix Hessiana

Definicion

Si f : Rn Ñ R funcion escalar con todas susderivadas de orden n definidas, entonces sumatrix Hessiana en el punto P “ px1, . . . , xnqes la matriz simetrica H “ paij q, donde:

aij “Bf

BxiBxjpPq

para todo 1 ď i , j ď n.

Ejemplo

Para f px , yq,

H “

ˆ

fxx fxyfxy fyy

˙

Ejemplo

Para f px , y , zq,

H “

¨

˝

fxx fxy fxzfxy fyy fyzfxz fyz fzz

˛

‚

Definicion

Si H “ paij q es una matriz simetrica de tamanon ˆ n, se escriben los determinantes de las nsubmatrices cuadradas desde a11 hasta ann,como:

∆1 “ˇ

ˇa11

ˇ

ˇ “ a11

∆2 “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a11 a12

a21 a22

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

∆3 “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

... hasta ∆n “ detpHq


Criterio de la segunda derivada para funcionesde tres variables

Sea P “ pa, b, cq punto crıtico dew “ f px , y , zq, suponga que f tiene derivadasparciales de primer y segundo orden continuasen algun vecindario de P. Considere ∆1pPq,∆2pPq y ∆3pPq,

1 Si ∆1 ą 0, ∆2 ą 0 y ∆3 ą 0, entonces Pes un mınimo local de f .

2 Si ∆1 ă 0, ∆2 ą 0 y ∆3 ă 0, entonces Pes un maximo local de f .

3 Cualquier otro patron de signos, P espunto de silla de f .

4 Si ∆3 “ 0, no se sabe. Hay que seguirinvestigando.

Para el caso general el enunciado es similar.

Criterio de la segunda derivada para funcionesde n variables

Sea P punto crıtico de f px1, . . . , xnq, supongaque f tiene derivadas parciales de primer ysegundo orden continuas en algun vecindario deP. Considere ∆1pPq, . . . ,∆npPq,

1 Si ∆1 ą 0, ∆2 ą 0, ∆3 ą 0, ∆4 ą 0, . . .entonces P es un mınimo local de f .

2 Si ∆1 ă 0, ∆2 ą 0, ∆3 ă 0, ∆4 ą 0, . . .entonces P es un maximo local de f .

3 Cualquier otro patron de signos, P espunto de silla de f .

4 Si ∆n “ 0, no se sabe. Hay que seguirinvestigando.


Ejemplos

1 Libro Pita, ejemplo 1, pagina 366, PDF.

Geogebra 3D: z=2(x-1)^2+3(y-2)^2




oTambien se pueden usar aproximaciones porpolinomios de Taylor para entender lanaturaleza de un punto critico.

Polinomio de Taylor, una variable

f pxq “ f paq `f p1qpaq

1!px ´ aq `

f p2qpaq

2!px ´ aq2`

¨ ¨ ¨ `f pnqpaq

n!px ´ aqn ` Rnpxq

Suponga que f px , yq tiene en un vecindario deP “ px , yq todas sus derivadas de orden n ` 1continuas, entonces:

Polinomio de Taylor, dos variables

f px , yq “ f pa, bq `1

1!pBx px ´ aq ` By py ´ bqq f pa, bq`

`1

2!pBx px ´ aq ` By py ´ bqq2 f pa, bq`

¨ ¨ ¨ `1

n!pBx px ´ aq ` By py ´ bqqn f pa, bq ` Rnpx , yq

Si escribimos los incrementos como h “ x ´ a yl “ y ´ b,

f pa` h, b ` lq “ f pa, bq `1

1!pBxh ` By lq f pa, bq`

`1

2!pBxh ` By lq

2 f pa, bq`

¨ ¨ ¨ `1

n!pBxh ` By lq

n f pa, bq ` Rnpx , yq


El resto Rnpx , yq es descrito por la formula deLagrange:

Rnpx , yq “

1

pn ` 1q!pBxh ` By lq

pn`1q f pa` θh, b ` θlq

Donde 0 ă θ ă 1.

Polonimio de Taylor, grado 2

f pa` h, b ` lq “

f pa, bq `1

1!pBxh ` By lq f pa, bq`

`1

2!pBxh ` By lq

2 f pa, bq ` R2px , yq

“f pa, bq ` phfx pa, bq ` lfy pa, bqq`

`1

2ph2fxx pa, bq ` 2hlfxy pa, bq ` l2fyy pa, bqq ` R2px , yq

Si P “ pa, bq punto crıtico de f px , yq, entonces:

f pa` h, b ` lq “ f pa, bq`

1


Escriba I ph, lq “12ph2fxx pa, bq ` 2hlfxy pa, bq ` l2fyy pa, bqq.

Propiedad

1 Si para todo h, l cercanos a cero,I ph, lq ą 0, entonces P es un mınimo.

2 Si para todo h, l cercanos a cero,I ph, lq ă 0, entonces P es un maximo.

3 Si siempre existen h, l tan cercanos comose quiera a cero, tal que I sea positivo yotras veces negativo, entonces P es puntode ensilladura.

4 Si I ph, lq “ 0, no se sabe.

Nota: Si sucede lo ultimo, puede recurrir a lospolinomios de Taylor de grado mayor con unrazonamiento similar.


Ejemplo

Clasifique los puntos crıticos p1, 2q y p2, 1q de

f px , yq “ x3 ` 3xy2 ´ 15x ´ 12y

Usando su polinomio de Taylor de orden 2.

Se tiene que: fxx “ 6x , fyy “ 6x y fxy “ 6y , porlo tanto:

f pa` h, b ` lq “ f pa, bq`

1


“ f pa, bq `1

2p6ah2 ` 12bhl ` 6al2q ` R2px , yq

“ f pa, bq ` 3ah2 ` 6bhl ` 3al2 ` R2px , yq

ñ I ph, lq “ 3ah2 ` 6bhl ` 3al2

1 Para P “ pa, bq “ p1, 2q:

I ph, lq “ 3ah2 ` 6bhl ` 3al2

“ 3h2 ` 12hl ` 3l2

1 Si l “ ´h, entoncesIph, lq “ 3h2

´ 12h2` 3h2

“ ´6h2ă 0.

2 Si l “ h, entoncesIph, lq “ 3h2

` 12h2` 3h2

“ 18h2ą 0.

Por lo que es un punto de ensilladura.

2 Para P “ pa, bq “ p2, 1q:

I ph, lq “ 3ah2 ` 6bhl ` 3al2

“ 6h2 ` 6hl ` 6l2

Y esta expresion siempre es positivacuando h, l ‰ 0 (¿por que?), ası, el puntoes un mınimo.


Analisis de formula de Taylor para camposescalares

Formula de Taylor

Si f : Rn Ñ R es una campo escalar con todaslas derivadas parciales necesarias continuas enun vecindario V de un punto P P Rb, entoncespara todo ~h “ ph1, . . . , hnq P Rn tal que

P ` ~h P V , se tiene que:

f pP ` ~hq ´ f pPq “

∇f pPq~h `1

2!~hHpPq~ht ` εpPq

donde εpPq Ñ 0 cuando }h} Ñ 0

o ~hHpPq~ht es una forma cuadratica y tieneformula:

~hHpPq~ht “nÿ

i“1

nÿ

j“1

hihjB2f

BxiBxjpPq

Teorema

Sea A “ paij q una matriz n ˆ n simetrica y sea

Qp~hq “ ~hA~ht , entonces

1 Qp~hq ą 0 para todo ~h ‰ ~0 ô todos losvalores propios de A son positivos (en talcaso se dice que A es definida positiva).

2 Qp~hq ă 0 para todo ~h ‰ ~0 ô todos losvalores propios de A son negativos (en talcaso se dice que A es definida negativa).

Teorema

Sea P punto crıtico de f : Rn Ñ R y sea H sumatriz hessiana.

1 Si HpPq es definida positiva entonces P esun mınimo local de f .

2 Si HpPq es definida negativa entonces Pes un maximo local de f .

3 Si HpPq tiene algunos valores propiosnegativos y otros positivos, entonces P esun punto de ensilladura de f .

4 Si todos los valores propios de HpPq soncero, entonces no se sabe.


Ademas,

Propiedad

1 Si HpPq es definida positiva ôsi ∆1 ą 0, ∆2 ą 0, ∆3 ą 0, ∆4 ą 0, . . ..

2 Si HpPq es definida negativa ôsi ∆1 ă 0, ∆2 ą 0, ∆3 ă 0, ∆4 ą 0, . . ..

Maximos y mınimos absolutos

Teorema

Toda funcion escalar diferenciable definidasobre una region cerrada y acotada D, alcanzasu valor maximo y su valor mınimo en un puntointerno de la region o en un punto de su borde.

Nota: Bajo estas condiciones, puede sucederque aunque el valor maximo y mınimo de lafuncion esten en el borde, estos no sean puntoscrıticos.

Ejemplo

f pxq “ x3 definida en D “ r´1, 1s. Su mınimoesta en x “ ´1 y su maximo en x “ 1 (bordesde D), pero no son puntos crıticos. Su unicopunto crıtico esta en x “ 0.

Ejemplo

Halle los extremos en el primer cuadrante de lafuncion f px , yq “ x2 ` y2 cuando x ` y “ 1(y “ ´x ` 1).

Geogebra z=x^2+y^2, x+y=1

La region donde se buscan los extremos de f esla lınea recta y “ ´x ` 1, por lo tanto:

f px , yq “ x2 ` y2

ñgpxq “ f px ,´x ` 1q “ x2 ` p´x ` 1q2

gpxq “ 2x2 ´ 2x ` 1

Ası, se analiza gpxq cuando x P r0, 1s.


Continuacion de ejemplo:Ası, se analiza gpxq “ 2x2 ´ 2x ` 1 cuandox P r0, 1s.

1 Puntos crıticos:g 1pxq “ 0 ñ 0 “ 4x ´ 2 ñ x “ 1{2.

2 Solo hay un punto crıtico en x “ 1{2.

3 Por criterio de segunda derivada,g2pxqq “ 4 ñ g2p1{2q “ 4 ą 0, es unmınimo.

4 El valor mınimo de g es gp1{2q “ 1{2

5 Finalmente se evalua g en el borde:gp0q “ 1 y gp1q “ 1.

Por lo tanto g toma su valor mınimo enx “ 1{2 y su valor maximo en x “ 0 y x “ 1.En terminos de f , significa que:

1 Sobre la lınea x ` y “ 1, f px , yq “ x2 ` y2

toma su valor mınimo en p1{2, 1{2q.

2 f toma su valor maximo en el borde de lalınea, es decir, en los puntos p0, 1q y p1, 0q.

Multiplicadores de Lagrange: obtener lospuntos crıticos para funciones de 2 o 3 variablessujetos a una o dos condicion mediante elmetodo de Lagrange y clasificarlos usando laformula de Taylor.

Lagrange con 1 condicion, 2 variables

Se quiere estudiar los extremos de f px , yq sujetaa la condicion gpx , yq “ 0.

1 Se forma el Lagrangiano:Lpx , y , λq “ f px , yq ´ λgpx , yq.

2 Se calculan los puntos crıticos de L,resolviendo ∇L “ ~0.

3 Para cada punto crıtico P se usa elcriterio:

1 Si d2LpPq ą 0, entonces P es un mınimo.

2 Si d2LpPq ă 0, entonces P es un maximo.

3 Si d2LpPq ą 0y ă 0, entonces P es unpunto de ensilladora.

En este caso

d2LpPq “ Lxx pPqpdxq2 ` Lyy pPqpdyq

2

`2Lxy pPqpdxqpdyq

y se hace varian dx y dy alrededor de 0para usar el criterio.



Se quiere estudiar los extremos de f px , y , zqsujeta a la condicion gpx , y , zq “ 0.

1 Se forma el Lagrangiano:Lpx , y , z, λq “ f px , y , zq ´ λgpx , y , zq.


3 Para cada punto crıtico P se usa elcriterio:

1 Si d2LpPq ą 0, entonces P es un mınimo.

2 Si d2LpPq ă 0, entonces P es un maximo.

3 Si d2LpPq ą 0y ă 0, entonces P es unpunto de ensilladora.

En este caso

d2LpPq “

Lxx pPqpdxq2 ` Lyy pPqpdyq

2 ` Lzz pPqpdzq2

` 2Lxy pPqpdxqpdyq ` 2Lxz pPqpdxqpdzq

` 2Lyz pPqpdyqpdzq

y se hace varian dx , dy y dz alrededor de 0para usar el criterio.


Se quiere estudiar los extremos de f px , y , zqsujeta a las condicion gpx , y , zq “ 0 yhpx , y , zq “ 0.

1 Se forma el Lagrangiano: Lpx , y , z, λ, βq “f px , y , zq ´ λgpx , y , zq ´ βhpx , y , zq.


3 Los puntos crıticos se clasifican como en elcaso anterior.

Nota:

1 Si Lpx , y , z, λ, βq “f px , y , zq ´ λgpx , y , zq ´ βhpx , y , zq,entonces

∇L “ ~0 ñ

$

’

’

’

&

’

’

’

%

Lx “ 0Ly “ 0Lz “ 0Lλ “ 0Lβ “ 0

ñ

$

’

’

’

&

’

’

’

%

fx ´ λgx ´ βhx “ 0fy ´ λgy ´ βhy “ 0fz ´ λgz ´ βhz “ 0

g “ 0h “ 0

Similar para los otros casos. Y en todos sid2LpPq “ 0, el criterio no decide.


Ejemplo

Use multiplicadores de Lagrande para obtenerlos puntos crıticos de f px , yq “ x2 ` y sujeta ala conficion gpx , yq “ y ´ x2 “ 0. Clasifiquetales puntos crıticos usando la formula deTaylor.

1. En este caso el Lagrangeano es Lpx , yλq “f px , yq ´ λgpx , yq “ x2 ` y ´ λpy ´ x2q.2. Se buscan los puntos crıticos.

∇L “ ~0 ñ

$

&

%

Lx “ 0Ly “ 0Lλ “ 0

ñ

$

&

%

fx ´ λgx “ 0fy ´ λgy “ 0

g “ 0

ñ p˚q

$

&

%

2x ` 2xλ “ 0 p1q1´ λ “ 0 p2q

´py ´ x2q “ 0 p3q

De p2q, λ “ 1, en p1q implica que x “ 0 ysustituyendo en p3q, y “ 0. Por lo tanto, solohay un punto crıtico P “ px , y , λq:

P1 “ p0, 0, 1q

4 Se clasifica P1. Para esto se calcula,

d2LpPq “


2 ` 2Lxy pPqpdxqpdyq

"

Lx “ 2x ` 2xλλLy “ 1´ λ

ñ

$

&

%

Lxx “ 2` 2λLyy “ 0Lxy “ 0

Ahora:

d2LpP1q “ 4pdxq2

Esta expresion siempre es positiva paratodo valor de dx , por lo que P1 debe serun mınimo.

Geogebra, z=x^2+y, y-x^2=0

Explicar la razon del metodo con este dibujo:En un punto crıtico D~uf “ ~0, entonces∇f ¨ ~u “ 0, en particular en la velocidad de lacurva, la cual es a su vez perpendicular a ∇g ,por lo tanto ∇f es paralelo a ∇g .


Ejemplo

Use multiplicadores de Lagrande para obtenerlos puntos crıticos def px , y , zq “ xy ` 3xz ` 3yz sujeta a la conficiongpx , y , zq “ 2x2 ` 2y2 ´ 3z2 ´ 4 “ 0. Clasifiquetales puntos crıticos usando la formula deTaylor.

1. En este caso el Lagrangeano esLpx , y , z, λq “ f px , y , zq ´ λgpx , y , zq “xy ` 3xz ` 3yz ` λp2x2 ` 2y2 ´ 3z2 ´ 4q.2. Se buscan los puntos crıticos.

∇L “ ~0 ñ

$

’

’

&

’

’

%

Lx “ 0Ly “ 0Lz “ 0Lλ “ 0

ñ

$

’

’

&

’

’

%

fx ´ λgx “ 0fy ´ λgy “ 0fz ´ λgz “ 0

g “ 0

ñ p˚q

$

’

’

&

’

’

%

y ` 3z ´ 4xλ “ 0 p1qx ` 3z ´ 4yλ “ 0 p2q

3x ` 3y ` 6zλ “ 0 p3q´p2x2 ` 2y2 ´ 3z2 ´ 4q “ 0 p4q

1 De (2)-(1) tenemos:

px ´ yq ´ 4yλ` 4xλ “ 0

ñpx ´ yqp1` 4λq “ 0 p5q

Se tienen dos casos x “ y y λ “ ´1{4.Cada uno se trata por separado.

2 Caso x “ y , se sustituye en p˚q:

ñ p˚q

$

&

%

3z ` p1´ 4λqx “ 0 p6qx ` zλ “ 0 p7q

4x2 ´ 3z2 ´ 4 “ 0 p8q

De p7q, x “ ´zλ, se sustituye en p6q:

3z ` p1´ 4λqp´zλq “ 0 ñ 3z ´ zλ` 4zλ2 “ 0

ñ zp3´ λ` 4λ2q “ 0 ñ z “ 0_ 3´ λ` 4λ2 “ 0

Si z “ 0, entonces x “ 0, por p8q, setendrıa ´4 “ 0, contradiccion. Ası queesto no puede pasar.


Ahora, 3´ λ` 4λ2 “ 0, tampoco sucedeporque ∆ “ p´1q2 ´ 4 ¨ 4 ¨ 3 “ ´47 ă 0. Asıque en este caso no hay puntos crıticos.

3 Caso λ “ ´1{4, se sustituye en p˚q:

ñ p˚q

$

&

%

y ` 3z ` x “ 0 p9qx ` y ´ 1

2z “ 0 p10q

2x2 ` 2y2 ´ 3z2 ´ 4 “ 0 p11q

De p9q ´ p10q tenemos 72z “ 0 ñ z “ 0.

ñ p˚q

"

y ` x “ 0 p12qx2 ` y2 ´ 2 “ 0 p13q

De p12q, y “ ´x , sustituyendo en p13q,tenemos x2 “ 1 ñ x “ ˘1. Ası, tenemos dospuntos crıticos P “ px , y , z, λq en este caso:

P1 “ p1,´1, 0,´1{4q

P2 “ p´1, 1, 0,´1{4q

4 Se clasifican P1 y P2. Para esto se calcula,

d2LpPq “


2 ` Lzz pPqpdzq2

` 2Lxy pPqpdxqpdyq ` 2Lxz pPqpdxqpdzq

` 2Lyz pPqpdyqpdzq

$

&

%

Lx “ y ` 3z ´ 4xλLy “ x ` 3z ´ 4yλLz “ 3x ` 3y ` 6zλ

ñ

$

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

%

Lxx “ ´4λLyy “ ´4λLzz “ 6λLxy “ 1Lyz “ 3Lxz “ 3

Ahora:

d2LpP1q “ d2LpP2q “ pdxq2 ` pdyq2 `

´3

2pdzq2

` 2pdxqpdyq ` 6pdxqpdzq ` 6pdyqpdzq

Esta expresion varıa de signos(sidx “ dy “ 0 es negativa, si dz “ dy “ 0es positiva), por lo que P1 y P2 son puntosde ensilladura.Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 18 / 20

Ejemplo

Use multiplicadores de Lagrande para obtenerlos puntos crıticos de f px , y , zq “ x ` y ` zsujeta a las conficionesgpx , y , zq “ x2 ` y2 ´ 2 “ 0 yhpx , y , zq “ x ` z ´ 1 “ 0. Clasifique talespuntos crıticos usando la formula de Taylor.

1. En este caso el Lagrangeano esLpx , y , z, λq “f px , y , zq ´ λgpx , y , zq ´ βhpx , y , zq “x ` y ` z ´ λpx2 ` y2 ´ 2q ´ βpx ` z ´ 1q.2. Se buscan los puntos crıticos.

∇L “ ~0 ñ

$

’

’

’

&

’

’

’

%

Lx “ 0Ly “ 0Lz “ 0Lλ “ 0Lβ “ 0

ñ

$

’

’

’

&

’

’

’

%

fx ´ λgx ´ βhx “ 0fy ´ λgy ´ βhy “ 0fz ´ λgz ´ βhz “ 0

g “ 0h “ 0

ñ p˚q

$

’

’

’

&

’

’

’

%

1´ 2xλ´ β “ 0 p1q1´ 2yλ “ 0 p2q

1´ β “ 0 p3qx2 ` y2 “ 2 p4qx ` z “ 1 p5q

Al resolver este sistema se obtienen los puntoscrıticos P “ px , y , z, λ, βq:

P1 “ p0,?

2, 1, 1{p2?

2q, 1q

P2 “ p0,´?

2, 1,´1{p2?

2q, 1q

Las derivadas dobles del Lagrangiano sonLxx “ Lyy “ ´2λ y Lzz “ Lxy “ Lxz “ Lyz “ 0.Por lo tanto:

d2LpPq “ ´2λpdxq2 ´ 2λpdyq2

Esta expresion cumple con:

1 d2LpP1q ă 0 por lo que es un maximo.

2 d2LpP2q ą 0 por lo que es un mınimo.


F I N


ma1003 c alculo iii tema 02: derivadas parciales y ... … · jesus s anchez guevara ( u.c.r. )...

Documents