ma1101 m12-2 15-11-13
TRANSCRIPT
MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/201415 November 2013
LatihanLatihan1. Panjang alami suatu pegas adalah 0.08 m. Gaya
sebesar 0.6 N diperlukan untuk menekan danmenahannya pada panjang 0.07 m. Tentukank j dil k k t k k dkerja yang dilakukan untuk menekan danmenahan pegas tsb pada panjang 0.06 m.
2. Tentukan kerja yang dilakukanuntuk memompa seluruh air keluard i ki d
6 dm
dari tangki dengan penampang sptpada gambar di samping. Panjangtangki tsb 10 dm ke belakang
4 dm
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 2
tangki tsb = 10 dm ke belakang. 3 dm
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
5 5 Momen dan Pusat Massa5.5 Momen dan Pusat Massa
‐Menghitung momen dan menentukan pusatmassa dari suatu distribusi massa pada garismassa dari suatu distribusi massa pada garisdan bidang.
M k T P k‐Menggunakan Teorema Pappus untuk meng‐hitung volume benda putar (yang diperolehd d h dik h idengan memutar suatu daerah yang diketahuipusat massanya terhadap suatu sumbu putar).
11/15/2013 3(c) Hendra Gunawan
5.5 MOMEN DAN PUSAT MASSAMA1101 MATEMATIKA 1A
‐Menghitung momen dan menentukan pusatmassa pada garis dan bidang.‐Menggunakan Teorema Pappus untuk meng‐hitung volume benda putar.
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 4
Distribusi Massa Diskrit pada GarisDistribusi Massa Diskrit pada Garisd1 d2
Jungkit di atas seimbang bila d1m1 = d2m2 … (*). Bila kita letakkan jungkit tsb pada garis bilangan real
m1 m2
Bila kita letakkan jungkit tsb pada garis bilangan real sehingga titik tumpunya berimpit dengan 0, makapersamaan (*) menjadi:
x1m1 + x2m2 = 0 … (#).Hasil kali massa dari suatu partikel dan jaraknya(berarah) dari s at titik ac an diseb tmomen(berarah) dari suatu titik acuan disebutmomenpartikel terhadap titik acuan tsb.Persamaan (#) menyatakan bahwamomen totalPersamaan (#) menyatakan bahwamomen total terhadap titik tumpunya sama dengan 0.11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 5
MomenMomen
Situasi tadi dapat diperumum sbb. Sistem massaS tuas tad dapat d pe u u sbb. S ste assam1, … , mn yang tersebar di posisi x1, … , xn padagaris bilangan real mempunyai momen (total)
M = ∑i ximi.
Sistem tsb akan seimbang di titik tumpunya (yang berimpit dengan 0) bila M = 0.S i k i bSecara umum, suatu sistem massa akan seimbangdi suatu titik, tidak harus di 0. Tetapi bagaimanamencari titik keseimbangan tsb?mencari titik keseimbangan tsb?
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 6
Pusat MassaPusat Massa
Misalkan titik pusat massa‐nya adalah x*. Maka, sa a t t pusat assa ya ada a . a a,momen total terhadap x* haruslah sama dengan 0, yakni:
∑i (xi – x*)mi = 0.Dari sini kita dapatkan bahwa:
∑i ximi = x*∑i mi,sehingga mestilah
x* = ∑i ximi /∑i mi = M/m,dengan M = momen total terhadap 0 dan m = massa total. 11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 7
Distribusi Massa Kontinu pada GarisDistribusi Massa Kontinu pada Garis
Sekarang misalkan kita mempunyai seutas kawatSekarang misalkan kita mempunyai seutas kawatlurus yang menempati selang [a, b] pada garisbilangan real.
Bila rapat massanya (δ) konstan maka massaa b
δ
Bila rapat massanya (δ) konstan, maka massakawat tsb mudah dihitung – kita hanya perlumengalikan rapat massa kawat tsb denganmengalikan rapat massa kawat tsb denganpanjangnya: m = δ(b – a). Bagaimana bila rapat massanya tidak konstan?Bagaimana bila rapat massanya tidak konstan?
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 8
Distribusi Massa Kontinu pada GarisDistribusi Massa Kontinu pada Garis
Bila rapat massanya tidak konstan, δ = δ(x),Bila rapat massanya tidak konstan, δ δ(x), maka kita perlu mengintegralkannya:
Massa irisan: ∆m ≈ δ(x)∆xa b
δ
Massa irisan: ∆m ≈ δ(x)∆x.Momen irisan (thd 0): ∆M ≈ x δ(x)∆x.
b
Jadi, massa kawat: m =
d ( hd 0) M
a
dxx .)(
b
dan momen (thd 0): M = 11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 9
a
dxxx .)(
Pusat MassaPusat Massa
Jadi pusat massa kawat tsb terletak diJadi, pusat massa kawat tsb terletak di
)(b
dxxx.
)(
)(*
b
a
dxxmMx
)(a
dxx
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 10
ContohContohDiketahui kawat sepanjang 25 cm mempunyai rapatmassa δ(x) = √x (gr/cm) dengan x = jarak dari titikmassa δ(x) = √x (gr/cm), dengan x = jarak dari titikujung kiri kawat tsb. Tentukan massa dan pusatmassa kawat tsbmassa kawat tsb.
Jawab: Misal titik ujung kiri = 0 . Massa kawat tsbadalah 2525adalah
.3
25032 25
0
25
0
grxxdxxm Momen kawat tsb terhadap 0 adalah
00
12502 252
25
cmgrxxdxxxM 11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 11
..12505 00
cmgrxxdxxxM
Contoh (berlanjut)Contoh (berlanjut)
Jadi pusat massanya ada di
cmMx 151250*
d k k k b
cmm
x 153/250
dari titik ujung kiri kawat tsb.
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 12
LatihanLatihan
Diketahui kawat sepanjang 10 cm mempunyaiDiketahui kawat sepanjang 10 cm mempunyairapat massa δ(x) = x (gr/cm), dengan x = jarakdari titik ujung kiri kawat tsb Tentukan massadari titik ujung kiri kawat tsb. Tentukan massadan pusat massa kawat tsb.
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 13
MOMEN DAN PUSAT MASSALAMINA PADA BIDANG &LAMINA PADA BIDANG & TEOREMA PAPPUS
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 14
Distribusi Massa (Kontinu) d dpada Bidang
Misal kita mempunyai y=f(x)Misal kita mempunyaisebuah lamina (kepingdatar) dengan rapat massa ●datar) dengan rapat massaδ konstan, yang menempatidaerah pada bidang yang
y=g(x)
daerah pada bidang yang dibatasi oleh garis x = a danx = b serta kurva y = f(x) danx b serta kurva y f(x) dany = g(x) dengan f(x) ≥ g(x)pada [a b]
∆m ≈ δ[f(x) – g(x)].∆x
∆My ≈ δx[f(x) – g(x)].∆xpada [a, b].
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 15
∆Mx ≈ ½δ[f(x)2 – g(x)2].∆x
Momen dan Pusat Massa LaminaMomen dan Pusat Massa Lamina
Dari taksiran irisan tadi, kita peroleh
Massa: )]()([ dxxgxfmb
a
Momen thd sb‐y: )]()([ dxxgxfxMb
y
a
Momen thd sb‐x: )]()([ 22 dxxgxfMb
ay
Momen thd sb x: )]()([2
MM
dxxgxfM
y
ax
Pusat massa:11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 16
.*;*m
Mym
x xy
ContohContoh
Tentukan pusat massa lamina yang dibatasi olehTentukan pusat massa lamina yang dibatasi olehkurva y = √x, sumbu‐x, dan garis x = 4. [Gambarterlebih dahulu daerah lamina tsb ]terlebih dahulu daerah lamina tsb.]
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 17
Teorema PappusTeorema Pappus
Jika suatu daerah R padaJika suatu daerah R padabidang diputar mengelilingisebuah garis pada bidang tsbsebuah garis pada bidang tsbyang tidak memotong R, maka volume benda putar
●maka volume benda putaryang terbentuk sama denganluas daerah R kali kelilingluas daerah R kali kelilinglingkaran yang ditempuh olehpusat massa Rpusat massa R.
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 18
Mengapa Teorema Pappus BerlakuMengapa Teorema Pappus Berlaku
Perhatikan gambar di b
dhV )(2Perhatikan gambar dibawah. Dengan metodekulit tabung kita peroleh:
ba
dxxxhV )(2
kulit tabung, kita peroleh:
b
a
dxxxhx
)(*
y = h(x) b
a
dxxhx
)(
xa b b
a
dxxhxV .)(2 *
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 19
a
)(
ContohContoh
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = √x sumbu‐xDaerah yang dibatasi oleh kurva y = √x, sumbu x, dan garis x = 4 diputar mengelilingi garis y = 3. Tentukan volume bendar putar yang terbentukTentukan volume bendar putar yang terbentuk.
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 20
LatihanLatihan
1 Tentukan pusat massa lamina yang dibatasi1. Tentukan pusat massa lamina yang dibatasioleh kurva y = x2 dan y = √x.
2 Menggunakan Teorema Pappus tentukan2. Menggunakan Teorema Pappus, tentukanvolume benda putar yang terbentuk biladaerah pada Soal 1 diputar mengelilingidaerah pada Soal 1 diputar mengelilingigaris y = ‐x.
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 21