ma1101 m13-1 20-11-13
TRANSCRIPT
MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/201420 November 2013
Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 5Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 5
1. Luas Daerah
2. Volume Benda Putar: Metode Cakram/Cincin
3 Volume Benda dengan Penampang Tertentu3. Volume Benda dengan Penampang Tertentu: Metode Irisan Sejajar
4. Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung
5. Kerja dan Gaya Fluida
6. Momen dan Pusat Massa
11/20/2013
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
6 1 Fungsi Logaritma Natural6.1 Fungsi Logaritma Natural
‐Menentukan turunan dari fungsi logaritmanatural dan variannyanatural dan variannya.
‐Menentukan integral tak tentu dari 1/u danivariannya.
‐Menurunkan fungsi secara logaritmik.
6.2 Fungsi Invers dan Turunannya
Menentukan invers dari suatu fungsi danMenentukan invers dari suatu fungsi danturunannya.
11/20/2013
6.1 FUNGSI LOGARITMA NATURALMA1101 MATEMATIKA 1A
‐Menentukan turunan dari fungsi logaritmanatural dan variannya.‐Menentukan integral tak tentu dari 1/u danvariannya.
11/20/2013
‐Menurunkan fungsi secara logaritmik.
The Missing LinkThe Missing Link2
3
3
xx
dxd
12
3
xxd
dx
0
2
d
xdx
1
0
d
xxdx
21
1(?)
d
xdxd
11/20/2013
21)( xxdxd
Fungsi Logaritma Natural (ln)Fungsi Logaritma Natural (ln)
Definisi: x
xdtx 1 0:ln yDefinisi:
C il i l k l
t xdtx1
.0,:lny=1/t
Cttn. Nilai ln x menyatakan luasdaerah di bawah kurva y = 1/t, 1 K i
1 x t
1 ≤ t ≤ x. Karena itu,
ln x < 0 jika 0 < x < 1y
= 0 jika x = 1
> 0 jika x > 1
y=1/t
> 0 jika x > 1.
11/20/2013
1x t
Turunan dari ln xTurunan dari ln x
Menurut Teorema Dasar KalkulusMenurut Teorema Dasar Kalkulus,
01l d .0,ln x
xx
dx
11/20/2013
ContohContoh
1 Tentukan )ln( 2xd1. Tentukan
b22)(1)l (
).ln(
22 xdd
xdx
Jawab: .)()ln( 22
22
xxx
dxxx
dx
d2. Tentukan .||ln x
dxd
Jawab:
11/20/2013
Integral Tak Tentu dari 1/uIntegral Tak Tentu dari 1/u
||ln1 Cd
C h
.||ln1 Cuduu
Contoh:
1. Tentukan .
1dx
Jawab: Misal u = x + 1 Maka du = dx shg
1x
Jawab: Misal u x + 1. Maka du dx, shg
.|1|ln||ln1
CxCuudu
xdx
11/20/2013
1 ux
ContohContoh
2. Tentukan .dxx2. Tentukan
Jawab:
.
12 dxx
Jawab:
3 Hit 1
dx3. Hitung 0
2 .1
dxx
Jawab:
11/20/2013
Teorema (Sifat‐Sifat Logaritma)Teorema (Sifat Sifat Logaritma)
• ln 1 = 0
• ln a.b = ln a + ln b
• ln a/b = ln a – ln bln a/b = ln a ln b
• ln ar = r ln a
11/20/2013
ContohContoh
Tentukan dy/dx jika1ln
xyTentukan dy/dx jika
b k b l
.1
ln
x
y
Jawab: Menggunakan Teorema sebelumnya
)]1l ()1[l (11l1 x
1111
)]1ln()1[ln(21
ln2
dy
xxx
y
.1
11
11
121
2
xxxdxdy
11/20/2013
Penurunan LogaritmikPenurunan Logaritmik
Tentukan dy/dx bila .11
xyy/
Jawab: Ambil ln dari kedua ruas, lalu turunkan43 x
y
terhadap x:)4ln(
21)11ln(ln 3 xxy
3111
)(2
)(
2
xdy
y
1131
42112
3
xxdy
xxdxy
11/20/2013
.4
11)4(2
311
133
xx
xx
xdxdy
Grafik Fungsi y = ln xGrafik Fungsi y ln x
Catat bahwa ln 1 = 0 yCatat bahwa ln 1 = 0, dy/dx = 1/x > 0 dand2y/dx2 = ‐1/x2 < 0d y/dx = 1/x < 0sehingga grafik y = ln xmonoton naik dan 1 xmonoton naik dancekung ke bawah.
11/20/2013
LatihanLatihan
1 Tentukan )2tan( dxx1. Tentukan
2 k il i k i d i
.)2tan( dxx
2. Tentukan semua nilai ekstrim dari
f(x) = 2x2 ln x – x2
pada daerah asalnya.
3. Tentukan dy/dx jika .2
)1()1( 222/3
x
xxy
11/20/2013
6.2 FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYAMA1101 MATEMATIKA 1A
Menentukan invers dari suatu fungsi danturunannya.
11/20/2013
Fungsi InversFungsi InversDalam hal tertentu, dari persamaan fungsi y = f(x)kita dapat memperoleh x sebagai fungsi dari y, sebutlah x = g(y). Fungsi g disebut invers dari f, dit liditulis
g = f ‐1.
Jadi: y = f(x) jika dan hanya jika x = f ‐1(y).
Contoh:
y = 2x + 3 jika dan hanya jika x = ½(y – 3).
Cttn. Grafik y = f ‐1(x) merupakan pencerminanCttn. Grafik y f (x) merupakan pencerminangrafik y = f(x) terhadap garis y = x.11/20/2013
Teorema (Eksistensi Invers)Teorema (Eksistensi Invers)
Jika f fungsi 1‐1 maka fmempunyai inversJika f fungsi 1 1, maka fmempunyai invers.
Akibatnya,
jik f j i k f i ijika fmonoton sejati, maka fmempunyai invers.
11/20/2013
Turunan dari Fungsi InversTurunan dari Fungsi Invers
Jika y = f(x) dan f’(x) ≠ 0 makaJika y = f(x) dan f (x) ≠ 0, maka
l i ib i.
)('1)()'( 1
xfyf
Dalam notasi Leibniz:.1
)(
dydydx
xf
dxdydy
11/20/2013
ContohContoh
Diketahui y = x5 + x + 1 = f(x) Tentukan (f ‐1)’(3)Diketahui y = x + x + 1 = f(x). Tentukan (f ) (3).
Jawab: 3 = f(1). Lalu, fmonoton naik karena f ’(x) = 5x4 + 1 > 0 untuk setiap x Jadi f ‐1 ada= 5x4 + 1 > 0 untuk setiap x. Jadi, f 1 ada.
Menurut Teorema tadi,111 .61
11.51
)1('1)3()'( 4
1
ff
11/20/2013