ma1201 m3-2 07-02-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

7 Februari 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

8 1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/08.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0

Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopitalmenggunakan Aturan l Hopital

8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya

Menghitung bentuk tak tentu tipe∞/∞, 0.∞, ∞ ‐ ∞, 00, ∞0, dan 1∞

2/7/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

8 3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga

Mengenali dan menghitung integral tak wajardengan batas tak terhinggadengan batas tak terhingga

8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran Tak Terbatas

Mengenali dan menghitung integral tak wajardengan integran tak terbatas


MA1201 MATEMATIKA 2A

8.3 INTEGRAL TAK WAJAR DENGANBATAS TAK TERHINGGABATAS TAK TERHINGGAMengenali dan menghitung integral takwajar dengan batas tak terhingga

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 4

wajar dengan batas tak terhingga

Integral Tak WajarIntegral Tak WajarDalam definisi integral tentu terdapat

b

dxxf )(dua asumsi: (i) selang pengintegralannya, yaitu [a,b],

a

merupakan selang terhingga;(ii) fungsi integrannya (yang diintegralkan)

merupakan fungsi terbatas.Namun, dalam aplikasinya, ada kalanya salahsatu atau kedua asumsi ini tidak dipenuhi. Dalam hal demikian kita berhadapan denganintegral tak ajarintegral tak wajar.2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Integral Tak Wajar dengank hBatas Tak Terhingga

Pada s b bab ini kita akan membahas terlebihPada sub‐bab ini kita akan membahas terlebihdahulu integral tak wajar dengan batas takterhingga misalnya integral berikut initerhingga, misalnya integral berikut ini:

211 2

dxdd x 0

32 .1

,,1

dxx

dxxedxx

x

Kita akan mulai dengan bentuk yang pertamaterlebih dahuluterlebih dahulu.


Bagaimana Menghitung

dxxf )(Bagaimana Menghitung

Untuk setiap b > a, kita dapat meng‐

a

dxxf )(

)(b

df

Untuk setiap b > a, kita dapat menghitung integral tentu

.)(a

dxxf

Integral tak wajarIntegral tak wajar

dxxf )( a b

dapat didefinisikan sebagai limit darii t l t t di t t k b

a

f )(


integral tentu di atas, untuk b∞.

Definisi Integral Tak Wajar

dxxf )(Definisi Integral Tak Wajar a

dxxf )(

b

dfdf )(li)(

a b

ab

a

dxxfdxxf ,)(lim:)( bila limit ini ada.


Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen.

Contoh/LatihanContoh/Latihan

1. Hitung bila konvergen.

2 ,1

1 dxJawab:

Untuk setiap b > 0 kita hitung

021 x

Untuk setiap b > 0, kita hitung

tan0tantantan1 1111 bbxdx bb

Jadi

.tan0tantantan1 0

02 bbxdx

x

.2

tanlim1

1lim1

1 122

bdxx

dxx

b

bb


211 00 xx bb

2. Hitung

.dxe xg

Jawab:0


Definisi Integral Tak Wajar c

dxxf )(Definisi Integral Tak Wajar

dxxf )(

cc

dfdf )(li)(

a c

a

adxxfdxxf ,)(lim:)( bila limit ini ada.


Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen.

3. Hitung

1

2

dxxe xg

Jawab:


Definisi Integral Tak Wajar

dxxf )(Definisi Integral Tak Wajar

dxxf )(

0

)()()( dfdfdf

0

,)()(:)( dxxfdxxfdxxf

bila kedua integral di ruas kanan konvergenbila kedua integral di ruas kanan konvergen.



,12 dxg g

Jawab:

,1 2x



,2 dxxg g

Jawab:

,1 2x


Meluncurkan Roket ke AngkasaMeluncurkan Roket ke Angkasa

Menurut Hukum Newton gaya gravitasi yangMenurut Hukum Newton, gaya gravitasi yang dialami oleh roket berbanding terbalik dgn jarakkuadrat yakni ‐k/x2, dengan x = jarak dari pusatkuadrat, yakni k/x dengan x = jarak dari pusatBumi. Karena itu, gaya yang diperlukan utkmengangkat roket tsb adalah F(x) = k/x2mengangkat roket tsb adalah F(x) k/x . Berapakah kerja yang diperlukan untukmeluncurkan roket dgn berat 500 N ke luarmeluncurkan roket dgn berat 500 N ke luarangkasa?


Bahan DiskusiBahan Diskusi

Untuk nilai p berapakah integral tak wajar iniUntuk nilai p berapakah integral tak wajar ini

1 dx

konvergen?1 x p


MA1201 MATEMATIKA 2A

8.4 INTEGRAL TAK WAJAR DENGANINTEGRAN TAK TERBATASINTEGRAN TAK TERBATASMengenali dan menghitung integral takwajar dengan integran tak terbatas


wajar dengan integran tak terbatas

Integral Tak Wajar dengank bIntegran Tak Terbatas

Sekarang kita akan membahas integral tak ajarSekarang kita akan membahas integral tak wajardengan integran tak terbatas, misalnya integral berikut iniberikut ini:

21 2/ 1tan1 dxdxxdx

Pada integral pertama, integran tak terbatas di

03/2

0 0

.)1(

,.tan, dxx

dxxdxx

g p , gujung kiri; sedangkan pada integral kedua, integran tak terbatas di ujung kanan. Apa yang g j g p y gmembuat integral ketiga tak wajar?2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 19

Definisi Integral Tak Wajar c

dxxf )(g jdengan f tak terbatas di a

a

f )(

a b c

c

ab

c

dxxfdxxf ,)(lim:)( bila limit ini ada.


b

aba


1. Hitung bila konvergen.1

,1 dxJawab:

Untuk setiap b > 0 dengan b < 1 kita hitung

0 x

Untuk setiap b > 0, dengan b < 1, kita hitung

1 1

2221 bxdx

Jadi .222b

bbxdx

x1 1 11

1

00

1

0.2)22(lim1lim1 bdx

xdx

x bb

b


2. Hitung bila konvergen. 3

3/1 ,)1(

dxg g

Jawab: 1

3/1 ,)1(x


3. Hitung bila konvergen. 1

,ldx

g g

Jawab:21 ln xx


Definisi Integral Tak Wajar dgnb

dxxf )(g j gf tak terbatas di c є (a,b)

a

f )(

bcb

dfdfdf )()()(

a bc

caa

dxxfdxxfdxxf ,)()(:)(


bila kedua integral di ruas kanan konvergen.


4. Hitung bila konvergen.2

3/2 ,)1(

dx

Jawab:

Integran tak terbatas di x = 1 Kita hitung dahulu:

03/2)1(x

Integran tak terbatas di x = 1. Kita hitung dahulu:

1

0

3/1

13/213/2 .3)1(3lim)1(

lim)1(

cc

xdxdx 0 0

013/213/2 )1()1( cc xx

2 2

23/1 3)1(3limlim xdxdx

Jadi:

113/213/2 .3)1(3lim

)1(lim

)1( cccc

xxx

6332

dx

Jadi:


.633)1(0

3/2 x

5. Hitung 3

2 .1 dxg

Jawab:2

2 .dxx


Bahan DiskusiBahan Diskusi

Untuk nilai p berapakah integral tak wajar inip p g j

1 1 dxp

konvergen?

A k h d bil b t i t l

0 x p

Apakah ada bilangan p yang membuat integral

1 dx

konvergen? [Oops.. Integral tak wajar jenis apa

0

dxx p

konvergen? [Oops.. Integral tak wajar jenis apapula ini?]2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 27

ma1201 m3-2 07-02-14

Documents