ma1201 matematika 2a - · pdf filekuliah hari ini 10.1-2 parabola, elips, dan hiperbola 10.4...
TRANSCRIPT
![Page 1: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/1.jpg)
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
10 Maret 201
![Page 2: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/2.jpg)
Kuliah yang Lalu
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2
![Page 3: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/3.jpg)
Kuliah Hari Ini
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 4: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/4.jpg)
Kuis 10 Menit
Tentukan persamaan garis singgung pada kurvar(t) = (cos t, sin t, t) di titik P(-1,0,π).
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 4
![Page 5: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/5.jpg)
11.8 PERMUKAAN DI RUANGMA1201 MATEMATIKA 2A
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5
• Menggambar permukaan di ruang
![Page 6: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/6.jpg)
Bola dan Bidang di Ruang
Ingat persamaan bola yang ber-pusat di P(a,b,c) dan berjari-jari R:
dan persamaan umum bidang di R3:
Seperti apa grafiknya?
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 6
,)()()( 2222 Rczbyax
.0, 222 CBADCzByAx
x
y
z
O
P
x
y
z
![Page 7: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/7.jpg)
Elipsoida
Lebih umum daripada bola, kitamempunyai persamaan elipsoida:
Perhatikan jika p = q = r, makapersamaan di atas menjadi
yang merupakan persamaan bola.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7
.1)()()(
2
2
2
2
2
2
r
cz
q
by
p
ax
P
x
y
z
,)()()( 2222 rczbyax
![Page 8: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/8.jpg)
Permukaan di Ruang
Bidang dan elipsoida merupakan contohpermukaan di ruang.
Secara umum, grafik persamaan F(x,y,z) = Cmerupakan permukaan di ruang.
Namun, tidak semua persamaan mudahdigambar grafiknya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8
![Page 9: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/9.jpg)
Paraboloida dan Hiperboloida
Grafik persamaan
merupakan paraboloida eliptik.
Sementara itu, grafik persamaan
merupakan paraboloida hiperbolik.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9
2
2
2
2
b
y
a
xz
2
2
2
2
b
y
a
xz
x
y
z
Seperti apabentuknya?
![Page 10: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/10.jpg)
Silinder
Grafik persamaan x2 + y2 = 1, z ϵ R, merupakan silinder lingkaran yang sejajar dengan sumbu-z.
Bagaimana dengan persamaan
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10
?0,sin xyz
x
y
z
Seperti apabentuknya?
![Page 11: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/11.jpg)
Hiperboloida Satu Lembar
Grafik persamaan
merupakan hiperboloida satulembar.
Irisannya dengan:
-Bidang z=k elips
-bidang-xz hiperbola
-bidang-yz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
x
y
z
![Page 12: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/12.jpg)
Hiperboloida Dua Lembar
Grafik persamaan
merupakan hiperboloida dualembar.
Irisannya dengan:
-bidang-xy hiperbola
-bidang x=k elips, titik, Ø
-bidang-xz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
x
y
z
![Page 13: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/13.jpg)
Kerucut Eliptik
Grafik persamaan
berbentuk kerucut eliptik(ganda).
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13
2
2
2
22
b
y
a
xz
x
y
z
![Page 14: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/14.jpg)
Soal
Diketahui persamaan
Gambarlah grafiknya.
Permukaan apakah itu?
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14
.1 22 yxz
![Page 15: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/15.jpg)
12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15
• Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubah
• Menentukan kurva ketinggian dan meng-gambar peta kontur fungsi dua peubah
MATERI MINGGU DEPAN
![Page 16: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/16.jpg)
Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah
Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah, yang bernilai skalar.
Sebagai contoh, foto atau citra 2Dmerupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatukeping datar.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 16
T(x,y)
![Page 17: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/17.jpg)
Fungsi Dua Peubah
Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x,y) ϵ R.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17
(x,y)
f
z =f(x,y)
![Page 18: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/18.jpg)
Catatan
Himpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y) | (x,y) ϵ D} disebut daerah nilai f.
Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.
Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18
![Page 19: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh
Tentukan daerah asaldan gambarlah daerah tsb pada R2.
Jawab:
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 19
221),( yxyxf
![Page 20: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/20.jpg)
Grafik Fungsi Dua Peubah
Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x,y) ϵ D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan
{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) ϵ D}
di ruang R3.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 20
x
y
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
![Page 21: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/21.jpg)
Latihan
Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan denganpersamaan
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 21
22:),( yxyxfz
![Page 22: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/22.jpg)
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.
Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22
x
y
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
z = k
Kurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k ≥ 0)
![Page 23: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/23.jpg)
Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.
Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23
xy
z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
z = k
Petakontur
x
y
![Page 24: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/24.jpg)
Latihan 1
Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsi z = f(x,y) := x2 – y2, untuk ketinggian k = -4, -1, 0, 1, 4; kemudian gambarlah peta konturnya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 24
![Page 25: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF fileKuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042506/5a712c537f8b9ab1538c978e/html5/thumbnails/25.jpg)
Latihan 2
Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = -2, -1, 0, 1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 25