ma1201 matematika 2a - … · sasaran kuliah hari ini 9.4 deret positif: uji lainnya memeriksa...
TRANSCRIPT
Kuliah yang Lalu
9.2 Deret Tak Terhingga
Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya
9.3 Deret Positif: Uji Integral
Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral
2/19/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari Ini
9.4 Deret Positif: Uji Lainnya
Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasio
9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlakdan Kekonvergenan Bersyarat
Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratderet ganti tanda
2/19/2014 3(c) Hendra Gunawan
9.4 DERET POSITIF: UJI LAINNYAMA1201 MATEMATIKA 2A
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasio
Mengapa Perlu Uji Lainnya
Kita telah mempunyai beberapa ‘senjata’ utkmenyelidiki kekonvergenan deret, ada: definisi, sifat deret geometri, teorema kelinearan deret, uji suku ke-n, uji jumlah terbatas, dan uji integral (termasuk uji deret-p). Namun, kita masihkesulitan menghadapi deret seperti
dan
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5
41
1
n.
!
2
n
n
Catatan. Di sini kita masih membahas deret positif.
Uji Perbandingan
Misalkan 0 ≤ an ≤ bn utk n ≥ K (utk suatu K ϵ N).
(i) Jika konvergen, maka konvergen.
(ii) Jika divergen, maka divergen.
Catatan. Kedua pernyataan di atas ekuivalen.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6
na nb
na nb
Contoh
Deret konvergen karena
untuk tiap n ϵ N dan konvergen.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7
41
1
n
4
1
n
44
1
1
1
nn
Uji Perbandingan Limit
Misalkan an ≥ 0 dan bn > 0 dan .
(i) Jika 0 < L < ∞, maka dan sama-sama konvergen atau divergen.
(ii) Jika L = 0 dan konvergen, makakonvergen.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8
na nb
nb na
Lb
a
n
n
n
lim
Uji Rasio
Misalkan deret dengan an > 0 dan
(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen.
(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.
(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikankesimpulan apapun.
Catatan. Pada deret geometri, rasionya konstan.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11
na
.lim 1
n
n
n a
a
Contoh
Selidiki kekonvergenan deret
Jawab: Kita hitung
Menurut Uji Rasio, deret konvergen.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12
.!
2
n
n
.01
2lim
!
2
)!1(
2lim
1
nnn n
nn
n
!
2
n
n
Soal
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
1.
2.
3.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13
.!n
nn
1.
2n
n
.2
!
n
nn
9.5 DERET GANTI TANDAMA1201 MATEMATIKA 2A
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratderet ganti tanda
Apa itu Deret Ganti Tanda
Kita telah mempelajari deret positif (dan deretnegatif). Sekarang kita tinjau deret ganti tanda, yaitu deret berbentuk
dengan an > 0 untuk tiap n ϵ N. Sebagai contoh, kita akan menyelidiki kekonvergenan deretharmonik ganti tanda
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 16
...4321 aaaa
...141
31
21
Kekonvergenan Deret Ganti Tanda
Diketahui deret ganti tanda
Kita hitung jumlah parsialnya
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17
.
... 434
323213
21212
11
dst
aSS
aSaaaS
aSaaS
aS
...4321 aaaa
Misalkan {an} turun. Maka S1, S3, S5, … turun danterbatas di bawah, sehingga konvergen, katakanke S*. Sementara itu, S2, S4, S6, … naik danterbatas di atas, sehingga konvergen, katakan keS**. Baik S* maupun S** berada di antara Sn danSn+1 (ilustrasi di papan tulis).
Jadi, |S* – S**| ≤ |Sn – Sn+1| = an+1.
Jadi, jika maka S* = S**, sehinggaderet konvergen ke bilangan yang sama, sebut-lah S. Dapat pula diperiksa bahwa
|S – Sn| ≤ |Sn+1 – Sn| = an+1.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18
,0lim0
nn
a
Uji Deret Ganti Tanda
Diketahui deret ganti tanda
dengan an > an+1 > 0 untuk tiap n ϵ N.
Dari pengamatan sebelumnya, kita simpulkan:
Jika maka deret konvergen.
Lebih jauh, jika jumlahnya ditaksir dengan Sn, maka kesalahannya tak lebih daripada an+1.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 19
...4321 aaaa
,0lim0
nn
a
Contoh
Deret merupakan deret gantitanda dengan an = 1/n turun dan menuju 0.
Jadi, deret ganti tanda ini konvergen.
Bila kita ingin menaksir jumlahnya dengankesalahan tak lebih daripada 0.01, maka kitaharus menaksirnya dengan S99, yaitu
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 20
...141
31
21
....1991
981
41
31
21
99 S
Kekonvergenan Mutlak
Teorema. Diketahui deret sembarang.
Jika konvergen, maka konvergen.
Catatan. Deret dikatakan konvergenmutlak apabila konvergen.
Kebalikan teorema di atas tidak berlaku: kekonvergenan tidak menjaminkekonvergenan .
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 21
nu
nu || nu
nu
|| nu
nu
|| nu
Contoh
Deret konvergen
mutlak, karena deret
konvergen.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22
...1321
161
81
41
21
...1321
161
81
41
21
Kekonvergenan Bersyarat
Deret harmonik ganti tanda
konvergen, tetapi tidak konvergen mutlak.
Deret yang konvergen tetapi
tidak konvergen dikatakan konvergen bersyarat.
Sebagai contoh, merupakan
deret yang konvergen bersyarat. 2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23
nu || nu
...141
31
21
...141
31
21
Uji Rasio Mutlak
Misalkan deret sembarang dengan suku-suku tak nol, dan
(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen mutlak.
(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.
(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikankesimpulan apapun.
2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 24
nu
.lim 1
n
n
n u
u