01/07/13 1

CÁLCULO 1 (MA 262)

Examen Final

Ciclo 2013 – 01

Coordinador : José Cuevas González.

Secciones : Todas

Duración : 110 minutos.

______________________________________________________________________

PARTE I Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones justificando claramente

sus respuestas: (1,0 punto cada ítem)

(a) 𝑥

𝑥2−4 𝑑𝑥

1

0 es una integral impropia.

Solución

Analizamos 4

)(2

x

xxf es continua en

2,2R , no presenta discontinuidad infinita

en 1,0 , no es integral impropia.

Falso

(b) Si en la integral definida

2𝑥

1 + 𝑥2 𝑑𝑥

1

0

se hace la sustitución 𝑢 = 1 + 𝑥2 , entonces se obtiene la igualdad

2𝑥

1 + 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

𝑢 𝑑𝑢

2

1

1

0

Solución

Hacemos 21 xu , xdxdu 2

x 0 1

u 1 2

Entonces reemplazando

2

1

1

0 21

2

u

dudx

x

x

Verdadero

01/07/13 2

(c) Sea 𝒟 la región del plano limitada por las curvas 𝒞1: 𝑦 = 𝑥3 , 𝒞2: 𝑦 = 8 ,

𝒞3: 𝑥 = 0. Si 𝒟 gira alrededor del eje 𝑦, entonces el diferencial de volumen es

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑥 8 − 𝑥3 𝑑𝑥

Solución

8,20/, 32 yxxRyxD

dxxxdV )8(2 3

Verdadero

2. Calcule cada una de las siguientes integrales:

( 2,5 pts.)

Solución

Hacemos el cambio de variable

xem ,

Por fracciones parciales, tenemos:

2121

122

m

C

m

BAm

mm

m

121 2 mCmBAmm

5/35/1,5/3 CyBA

dmmmm

mI

2

5/3

1

5/1

1

5/322

CmmmI 2ln5

3arctan

5

11ln

10

3 2

CeeeI xxx 2ln5

3arctan

5

11ln

10

3 2

(2,5 pts.)

Solución

Hacemos: 222 99 xmxm

dxedm x

dm

mm

m

)2(1

12

a) 𝑒𝑥+1 𝑒𝑥

𝑒2𝑥+1 𝑒𝑥−2 𝑑𝑥

b) 𝑥3

9−𝑥2

3

20

𝑑𝑥

01/07/13 3

xdxmdm 22

x 0 3/2

m 3

2

33

dmmm

mI )(

)9(2

33

3

2

dmmI 2

33

3

2)9(

2

33

3

3

2

33

3

2 93

)9(

m

mdmmI

38

8118I

c ) xdxxsen 32 cos (2,5 pts.)

Solución

xdxxxsenxdxxsen coscoscos 2232

xdxxsenxsenxdxxxsen cos)1(coscos 2222

xdxxsenxdxxsenI coscos 42

Cxsenxsen

I 53

53

d) dxx

x

e )ln(ln

(2,5 pts.)

Solución

01/07/13 4

dmmt

t

ln

1

lnlim

tt

t

t

tdmmmdmm

ln

1

ln

1

ln

1

lnlimlnlim

t

tmmm

ln

1lnlim

1ln)ln(lnlnlim tttt

Diverge

x e t

m 1 lnt

t

ete

dxx

xdx

x

x )ln(lnlim

)ln(ln

01/07/13 5

3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 𝑡 𝑡4 + 73

𝑑𝑡

2𝑥−1

−1

en el punto de abscisa 1. (1 pto.)

Solución

Por el primer teorema fundamental del calculo

)2(1)12()12(6)(' 3 4 xxxxf

10)1(' f 10

1

xLTm

373)1(1

1

3 4 dtttf

impar

)1(103: xyLT

PARTE II

4. Sea 𝒟 la región del plano limitada por 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 𝑒.

a) Dibuje y describa en forma ordenada la región 𝒟 ( 1 pto.)

Solución

xeyxexRyxR ln,1/),( 2

01/07/13 6

b) Sea 𝐸 el sólido que se genera cuando la región 𝒟 gira alrededor del eje 𝑥,

(2,5 pts.)

Obs: Según el método elegido, dibuje un elemento de volumen con sus

dimensiones. Halle el diferencial de volumen. Plantee una integral definida que

permita calcular el volumen de 𝐸. Calcule el volumen de 𝐸.

Solución

Método de la arandela

xeR :

xr ln:

Elemento diferencial de volumen

dxxedV x 22

ln

3

1

22 41,110)(ln uxdxee

x

𝒓

𝑹

01/07/13 7

5. Sea 𝒟 la región del primer cuadrante que es interior al cardioide 𝑟 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃

y que se encuentra arriba de la parábola de ecuación 𝑦 =2

9 𝑥2. Calcule el área

de 𝒟 .

Nota: La ecuación de la parábola 𝑦 =2

9 𝑥2 en coordenadas polares es 𝑟 =

9𝑠𝑒𝑛𝜃

2𝑐𝑜𝑠2𝜃

(2,5 pts.)

Solución

Intersección

2cos2

922sen

r

senr

6

21cos2

90,

60/,

senrrD

senrrD 220,26

/,2

6

0

2

21

cos2

9

2

1

d

senA

2

6

2

2)22(

2

1

dsenA

𝐴 = 3 3

8+ 𝜋 +

9 3

4 =

21 3

8+ 𝜋