ma3-6.pdf
TRANSCRIPT
DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski programi: matematika,matematika-fizika,matematika-informatikamatematika- druga godina , matematika-fizika,matematika-informatika -cetvrta godina OAS
MATEMATICKA ANALIZA 3( pismeni deo ispita,jul 2015)
1 . Date su funkcije
f(x) =
{3x4−2y4
x2+y2, za x2 + y2 > 0
0, za x2 + y2 = 0, g(x) =
{2y3
x2+y2, za x2 + y2 > 0
0, za x2 + y2 = 0
. U tacki (0, 0) ispitati
(a) diferencijabilnost funkcija f i g .
10+10=20
(b) neprekidnost parcijalnih izvoda ∂f∂x
, ∂f∂y
, ∂g∂x
i ∂g∂y
.
10+10=20
2. (a) Ako je F C1-funkcija na R3 i z = z(x, y) funkcija implicitno zadana jednakoscuF (cx2 + by2, cx2 − az2, by2 + az2) = 0 , proveriti tacnost jednakostiaz
cx
∂z
∂x− az
by∂z∂y− 1 = 0.
(b) Dokazati da je jednacinom 3x2yz4 − xy2z3 + z = 0 u okolini tacke (0, 0) implicitnodefinisana funkcija z = f(x, y), f(0, 0) = 0 i naci vrednost
izraza∂2f
∂x2+
∂2f
∂x∂y+
∂2f
∂y2u tacki (0, 0)
10+10=20
3. Ispitati prirodu stacionarnih tacaka i naci uslovne ekstreme funkcije f(x, y) = x2+xy+y2
pri uslovu x2 + y2 = 1 cija je prva koordinata x > 0
20
4. Data je funkcija
f(x, y) =
{1, 0 < y < x2
0, y ≤ 0 ili y ≥ x2
. Dokazati da je funkcija f neprekidna u (0, 0) duz svake prave koja prolazi kroz koor-dinantni pocetak ( neprekidna kroz skup {(x, tx) ∈ R2 : x ∈ R} za svako t ∈ R ) i nacikrivu(odrediti skup iz R2) koja prolazi kroz koordinantni pocetak ,takvu da osim u (0, 0),f ima ima vrednost 1, a zatim izvesti zakljucak o neprekidnosti funkcije f u (0, 0).
20∑=100
broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10