MA3231 Pengantar Analisis Real

Semester II, Tahun 2016-2017

Hendra Gunawan, Ph.D.

Bab 7 Limit dan Kekontinuan

2

Isaac Newton (1643-1727)

Isaac Newton adalahseorang fisikawan & matematikawan Inggris yang bersama dengan Leibniz dinobatkan sebagai penemuKalkulus. Karyanya yang terkenal adalah“Philosophiae NaturalisPrincipia Mathematica” (1687) dan “Opticks” (1706).

Gottfried W. Leibniz (1646-1716)

Gottfried Wilhem (von) Leibniz adalah seorangfilsuf & matematikawanJerman yang bersamadengan Newton dinobatkansebagai penemu Kalkulus. Notasi dy/dx untuk turunandan ʃ untuk integral yang kita pakai sekarang adalahnotasi ciptaannya.

7.1 Limit Fungsi di Suatu TitikDiberikanfungsi f yang terdefinisi pada interval (𝑎, 𝑏) kecualimungkin di titik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), kita tertarik untuk mengamati nilai𝑓(𝑥) untuk x di sekitar c.

Khususnya, kita bertanya: apakah f(x) menuju suatu bilangantertentu bila x menuju c?

Misalkan 𝐿 ∈ ℝ. Kita katakan bahwa f menuju L bila x menujuc, dan kita tuliskan

𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐

atau lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿,

apabila untuk setiap 𝜖 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikiansehingga jika 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.

5

Limit Fungsi

Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit f di c, dan fdikatakan mempunyai limit L di c.

2/26/2017 6(c) Hendra Gunawan

PROPOSISI

(i) lim𝑥→𝑐

𝑘 = 𝑘.

(ii) lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 7

Limit Kiri dan Limit Kanan (1)

Kadang, yang terjadi di sebelah kiri c berbeda dengan yang terjadi di sebelah kanan c. Sehubungan dengan itu, kitamempunyai definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan, di suatu titik.

Misalkan f terdefinisi pada interval (𝑎, 𝑐) dan 𝐿 ∈ ℝ. Kita katakan bhw f menuju L bila x menuju c dari kiri; kita tulis

𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐−

atau lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = 𝐿,

apabila untuk setiap 𝜖 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian shg

jika 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 8

Limit Kiri dan Limit Kanan (2)

Misalkan f terdefinisi pada interval (𝑐, 𝑏) dan 𝑀 ∈ ℝ. Kita katakan bhw f menuju M bila x menuju c dari kanan; kitatulis

𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐+

atau lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = 𝑀,

apabila untuk setiap 𝜖 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian shg

jika 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.

Bilangan L dan M berturut-turut disebut limit kiri dan limit kanan dari f di c.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 9

Proposisi

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 jika dan hanya jika lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = 𝐿

dan lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = 𝐿.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 10

7.2 Kekontinuan Fungsi

Dalam definisi lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥), nilai f di c sama sekali tidak

diperhatikan. Kita hanya tertarik dengan nilai f(x) untuk x di dekat c, bukan dengan nilai f di c.

Jadi mungkin saja f mempunyai limit L di c sekalipunf tidak terdefinisi di titik c.

Dalam hal f terdefinisi di c, menarik untukmembandingkan nilai lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) dan f(c).

Jika lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐), kita katakan f kontinu di c.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 11

Catatan

Berdasarkan Proposisi 3, f kontinudi c jika dan hanya jika untuk setiap𝜖 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikiansehingga: jika |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)| < 𝜖.

Secara intuitif, f kontinu di c berartigrafik fungsi f tidak `terputus' di c.

Jelas bahwa f kontinu di c jika danhanya jika f kontinu kiri dankontinu kanan di c.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 12

Ketakkontinuan yang Dapat Dihapuskandan Ketakkontinuan Loncat

Jika limit kiri dan limit kanan f di c ada, tetapi salah satuatau kedua limit tersebut tidak sama dengan f(c), makaf tidak kontinu di c.

Jika limit kiri dan limit kanan f di c bernilai sama tetapitidak sama dengan f(c), maka ketakkontinuan f di cdisebut sebagai ketakkontinuan yang dapatdihapuskan.

Jika limit kiri dan limit kanan f di c ada tetapi berbedanilainya, maka ketakkontinuan f di c dikenal sebagaiketakkontinuan loncat.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 13

Contoh

(i) Untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥1

𝑛 kontinukanan di 0, dan kontinu di setiap x > 0.

(ii) Fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 kontinu di setiap titik.

(iii) Fungsi 𝑓(𝑥) = ⌊ 𝑥 ⌋, yang sama dengan bilanganbulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x, kontinu kecuali di setiap bilangan bulat. Ketakkontinuan f di setiap bilangan bulatmerupakan ketakkontinuan loncat.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 14

TEOREMAMisalkan f terdefinisi pada (𝑎, 𝑏) kecuali mungkin di 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 . Maka, kedua pernyataan berikut ekuivalen:

(a)lim𝑛→∞

𝑓 𝑥 = 𝐿.

(b) Untuk setiap barisan ⟨𝑥𝑛⟩ di (𝑎, 𝑏), dengan

𝑥𝑛 ≠ 𝑐 (𝑛 ∈ ℕ) dan lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝑐, berlaku

lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑛 = 𝐿.

Catatan. Jika f kontinu di c, makalim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓( lim𝑛→∞

𝑥𝑛) .

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 15

SOAL

Misalkan f terdefinisi pada (𝑎, 𝑏) dan kontinu di suatutitik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Buktikan jika 𝑓(𝑐) > 0, maka terdapat𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) > 0 untuk 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿).

16

7.3 Sifat-Sifat Limit & Kekontinuan

Proposisi. Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (𝑎, 𝑏) kecuali mungkin di 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Misalkanlim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 dan lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 = 𝑀, dan 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ.

Maka

(i) lim𝑥→𝑐

𝜆𝑓 𝑥 + 𝜇𝑔 𝑥 = 𝜆𝐿 + 𝜇𝑀.

(ii) lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝐿𝑀.

(iii) limx→𝑐

f 𝑥

𝑔 𝑥=

𝐿

𝑀, asalkan 𝑀 ≠ 0.

17

AKIBAT

Jika f dan g kontinu di c, maka 𝜆𝑓 + 𝜇𝑔, 𝑓𝑔, dan𝑓

𝑔kontinu di c (asalkan 𝑔 𝑐 ≠ 0.)

AKIBAT

Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya.

18

Teorema

Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka 𝑓 ∘ 𝑔kontinu pada c.

Bukti. Ambil 𝜖 > 0 sembarang. …

19

SOAL

Benar atau salah: Jika lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) = 𝐿 dan

lim𝑦→𝐿

𝑓(𝑦) = 𝑀, maka lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑀?

20