ma5032 analisis real - … semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut ... 2 nyatakan...
TRANSCRIPT
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
MA5032 ANALISIS REAL(Semester I Tahun 2011-2012)
Hendra Gunawan∗
∗Dosen FMIPA - ITBE-mail: [email protected].
August 16, 2011
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baikbilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional. Himpunansemua bilangan asli dilambangkan dengan N, yakni
N := {1, 2, 3, . . . }.
Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z, yakni
Z := {0,±1,±2,±3, . . . }.
(Tanda . . . di sini menyatakan ‘dan seterusnya’, yang meng-asumsikan bahwa pembaca telah mengetahui pola yang ada.)
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Sementara itu, himpunan semua bilangan rasional dilambangkandengan Q, yakni
Q :={p
q: p ∈ Z, q ∈ N, dan FPB(p, q) = 1
}.
(Di sini FPB(p, q) menyatakan faktor persekutuan terbesar dari pdan q. Sebagai contoh, FPB(6, 10) = 2.)
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Selain itu, anda juga diasumsikan telah mengenal notasi bilangandalam bentuk desimal. Sebagai contoh,
1 = 1.00000 . . .
1
2= 0.50000 . . .
1
3= 0.33333 . . .
√2 = 1.41421 . . .
e = 2.71828 . . .
π = 3.14159 . . .
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang ‘berhenti’,seperti 1
2 = 0.5, dan sebagian bilangan mempunyai bentuk desimalyang ‘berulang’, seperti 1
3 = 0.33333 . . . . Bilangan rasionalsenantiasa dapat dinyatakan dalam bentuk desimal yang berhentiatau berulang.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Bilangan yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupunberulang merupakan bilangan irasional. Sebagai contoh,
√2 yang
memang bukan merupakan bilangan rasional mempunyai bentukdesimal tak berhenti ataupun berulang. Contoh lainnya, bilangan
0.1010010001 . . .
merupakan bilangan irasional.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Himpunan semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebutsebagai himpunan bilangan real, yang dilambangkan dengan R.Dalam hal ini, kita mempunyai
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Pada pembahasan selanjutnya, kita akan mempelajari sifat-sifatbilangan real secara lebih mendalam.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Soal Latihan
1 Nyatakan 112 dalam bentuk desimal. Apakah bentuk
desimalnya berhenti atau berulang?
2 Nyatakan 0.123123123 . . . sebagai bentuk pecahan.
3 Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional x yang memenuhipersamaan x2 = 2. (Petunjuk. Gunakan metode pembuktiantak langsung.)
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Himpunan bilangan real R memenuhi Sifat Lapangan yang terkaitdengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya, yakni:A1. x + y = y + x untuk setiap x , y ∈ R.A2. (x + y) + z = x + (y + z) untuk setiap x , y , z ∈ R.A3. Terdapat 0 ∈ R sedemikian sehingga x + 0 = x untuk setiapx ∈ R.A4. Untuk setiap x ∈ R terdapat −x ∈ R sedemikian sehinggax + (−x) = 0.A5. xy = yx untuk setiap x , y ∈ R.A6. (xy)z = x(yz) untuk setiap x , y , z ∈ R.A7. Terdapat 1 ∈ R, 1 6= 0, sedemikian sehingga x · 1 = x untuksetiap x ∈ R.A8. Untuk setiap x ∈ R, x 6= 0, terdapat x−1 ∈ R sedemikiansehingga x(x−1) = 1.A9. x(y + z) = xy + xz untuk setiap x , y , z ∈ R.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Perlu diingat bahwa 0 tidak mempunyai unsur kebalikan, dansecara umum pembagian dengan 0 tidak didefinisikan. Sehubungandengan itu tidak benar bahwa
1
0= ∞.
Walaupun kelak lambang ∞ (baca: tak hingga atau tak terhingga)akan sering digunakan, ia tidak menyatakan sebuah bilangan real.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Teorema 1 (Hukum Pencoretan)
Misalkan x , y, dan z adalah bilangan real sembarang.(a) Jika x + z = y + z, maka x = y.(b) Jika xz = yz dan z 6= 0, maka x = y.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Bukti. (a) Misalkan x + z = y + z . Tambahkan kedua ruas dengan−z , sehingga kita dapatkan
(x + z) + (−z) = (y + z) + (−z).
Dengan menggunakan sifat asosiatif dan sifat unsur lawan, kitaperoleh
x + 0 = y + 0,
dan berdasarkan sifat unsur identitas pada penjumlahan, kitasampai pada kesimpulan bahwa x = y .
(b) Serupa dengan (a); dapat dicoba sebagai latihan.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Soal Latihan
1 Buktikan Teorema 1 bagian (b).2 Diketahui bilangan real a sembarang. Buktikan bahwa
1 a.0 = 0.2 (−1)a = −a.3 −(−a) = a.4 (−1)(−1) = 1.
3 Diketahui bilangan real a dan b. Buktikan jika ab = 0, makaa = 0 atau b = 0.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Selain memenuhi Sifat Lapangan, sistem bilangan real R denganoperasi penjumlahan dan perkalian juga memenuhi Sifat Urutan,yakni terdapat himpunan bagian P ⊆ R yang bersifat:B1. Jika x , y ∈ P, maka x + y ∈ P.B2. Jika x , y ∈ P, maka xy ∈ P.B3. Jika x ∈ P, maka −x /∈ P.B4. Jika x ∈ R, maka: atau x ∈ P, atau x = 0, atau −x ∈ P.
Bilangan x ∈ P disebut sebagai bilangan positif.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Selanjutnya kita tuliskan x < y (y > x) apabila y − x ∈ P; danx ≤ y (y ≥ x) apabila x < y atau x = y .Notasi x < y (y > x) dibaca ‘x lebih kecil daripada y ’ (‘y lebihbesar daripada x ’). Sementara itu, x ≤ y (y ≥ x) dibaca ‘x lebihkecil daripada atau sama dengan y ’ (‘y lebih besar daripada atausama dengan x ’.
Catat bahwa x > 0 berarti x ∈ P, yakni x merupakan bilanganpositif.
Diberikan tiga bilangan real a, b, dan c , notasi a < b < c berartia < b dan b < c . Sebagai contoh, kita mempunyai 0 < 1
2 < 1.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Perhatikan bahwa, menurut sifat B4, untuk sembarang bilanganreal a dan b, terdapat tiga kemungkinan dan hanya satu di antaratiga kemungkinan tersebut yang benar — yaitu:
atau a > b, atau a = b, atau a < b.
Sifat ini dikenal sebagai Hukum Trikotomi.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Teorema 2
.(i) Jika a > b dan b > c, maka a > c.(ii) Jika a > b dan c ∈ R, maka a + c > b + c.(iii) Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc; Jika a > b dan c < 0,maka ac < bc.
Bukti. (i) Misal a > b dan b > c . Maka, a− b ∈ P dan b− c ∈ P.Menurut sifat B1, a− c = (a− b) + (b − c) ∈ P. Jadi a > c .Bukti bagian (ii) dan (iii) diserahkan sebagai latihan.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Contoh 3
Fakta bahwa 1 > 0 dapat dibuktikan kebenarannya denganmenggunakan sifat-sifat pada Teorema 2. Ingat bahwa 1 6= 0.Karena itu tinggal ada dua kemungkinan: atau 1 < 0 atau 1 > 0.Andaikan 1 < 0. Tambahkan kedua ruas dengan −1, kita peroleh0 < −1 atau −1 > 0. Akibatnya [lihat Soal Latihan 0.2 No. 2(d)],kita peroleh 1 = (−1)(−1) > 0, bertentangan dengan pengandaiansemula. Dengan demikian tidak mungkin 1 < 0, dan karena itumestilah 1 > 0.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Contoh 4
Misalkan diketahui a < b + ε untuk setiap ε > 0. Maka dapatdisimpulkan bahwa a ≤ b. (Andaikan a > b. Maka, untukε = a + (−b) := a− b, berlaku a < b + (a− b) = a, sesuatu yangmustahil.)
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Soal Latihan
1 Buktikan Teorema 2 bagian (ii) dan (iii).
2 Buktikan jika a > 0, maka 1a > 0. (Di sini 1
a menyatakankebalikan dari a.)
3 Buktikan jika a > b dan c > d , maka a + c > b + d .
4 Buktikan jika a < b dan A,B > 0, maka aA < a+b
A+B < bB .
5 Diketahui x , y > 0. Buktikan x < y jika dan hanya jikax2 < y2.
6 Buktikan jika b − ε < a < b + ε untuk setiap ε > 0, makaa = b.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Untuk n ∈ N, kita tuliskan xn = x x · · · x (n kali).
Asumsi berikutnya tentang sistem bilangan real (yang akan dibahaspada Bab 1) menjamin eksistensi akar ke-n. Persisnya, diberikany ≥ 0, terdapat sebuah bilangan x ≥ 0 (tunggal) sedemikiansehingga
y = xn.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Untuk y ≥ 0, nilai x ≥ 0 yang memenuhi persamaan y = xn
disebut sebagai akar ke-n dari y dan dilambangkan dengan
x = y1/n.
Khususnya, untuk n = 2, kita gunakan notasi√
y = y1/2. Catatbahwa dalam hal ini senantiasa berlaku
√y ≥ 0. Jika y > 0, maka
tentu saja terdapat dua buah bilangan yang kuadratnya samadengan y , yaitu
√y yang bernilai positif dan −√y yang bernilai
negatif. Notasi ±√y berarti ‘√
y atau −√y ’.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Jika r = mn adalah suatu bilangan rasional positif dan y ≥ 0, kita
definisikany r := (y1/n)m.
Jika r adalah suatu bilangan rasional negatif, maka −r merupakanbilangan rasional positif dan karenanya y−r terdefinisi. Khususnya,jika y > 0, maka kita dapat mendefinisikan y r sebagai
y r :=1
y−r.
Kita juga mendefinisikan y0 = 1. Dengan demikian, jika y > 0,maka y r terdefinisi untuk semua bilangan rasional. (Definisi y x
untuk bilangan irasional x harus menunggu hingga pembahasanberikutnya.)
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Seperti telah disinggung di atas, untuk y > 0, persamaan x2 = ymempunyai dua buah solusi, yaitu x = ±√y . Persamaan x2 = y disini merupakan suatu persamaan kuadrat. Bentuk umumpersamaan kuadrat (dalam x) adalah
ax2 + bx + c = 0,
dengan a 6= 0.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, persamaankuadrat ax2 + bx + c = 0 tidak mempunyai solusi atau akar realjika b2 − 4ac < 0, mempunyai sebuah akar real (tunggal) jikab2 − 4ac = 0, dan mempunyai dua buah akar real berbeda jikab2 − 4ac > 0. Dalam hal b2 − 4ac ≥ 0, akar persamaan kuadrat diatas diberikan oleh rumus
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Akar persamaan kuadrat merupakan titik potong grafik persamaany = ax2 + bx + c (yang berbentuk parabola) dengan sumbu-xpada sistem koordinat Cartesius. (Pembaca diasumsikan telahmengenal sistem koordinat Cartesius dan grafik persamaanpadanya.) Ingat bahwa grafik persamaan kuadrat terbuka ke atasjika a > 0, atau terbuka ke bawah jika a < 0.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Soal Latihan
1 Misalkan koefisien a, b dan c pada persamaan kuadratax2 + bx + c = 0 merupakan bilangan rasional (dengan, tentusaja, a 6= 0). Buktikan jika α = r + s
√2 merupakan akar
persamaan ini, dengan r dan s rasional, maka β = r − s√
2juga merupakan akar.
2 Misalkan n ∈ N dan a1, . . . , an dan b1, . . . , bn adalah bilanganreal. Buktikan bahwa
(a1b1 + · · ·+ anbn)2 ≤ (a2
1 + · · ·+ a2n)(b
21 + · · ·+ b2
n).
(Catatan. Ketaksamaan ini dikenal sebagai ketaksamaanCauchy-Schwarz.)
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Jika x adalah bilangan real, maka nilai mutlak x , ditulis |x |,didefinisikan sebagai
|x | ={
x , jika x ≥ 0,−x , jika x < 0.
Sebagai contoh, |2| = 2, |0| = 0, dan | − 5| = −(−5) = 5. Jelasbahwa |x | ≥ 0 untuk setiap x .Perhatikan pula bahwa |x |2 = x2, dan karenanya
√x2 = |x | untuk
setiap x .
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Teorema 5
Untuk setiap bilangan real x berlaku
−|x | ≤ x ≤ |x |.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Teorema 6
Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku
|ab| = |a| · |b|.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Teorema 7 (Ketaksamaan Segitiga)
Untuk setiap a, b ∈ R berlaku
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku
|a + b|2 = (a + b)2
= |a|2 + 2ab + |b|2
≤ |a|2 + 2|a| · |b|+ |b|2
= (|a|+ |b|)2.
Karena itu (lihat Soal Latihan 0.3 No. 4), kita peroleh
|a + b| ≤ |a|+ |b|,
sebagaimana kita harapkan.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak
Soal Latihan
1 Buktikan Teorema 5.
2 Buktikan Teorema 6.
3 Buktikan bahwa |a| < b jika dan hanya jika −b < a < b.
4 Buktikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku|a− b| ≥ |a| − |b| dan juga |a− b| ≥
∣∣|a| − |b|∣∣.5 Buktikan jika a < x < b dan a < y < b, maka|x − y | < b − a. Berikan interpretasi geometrisnya.
Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL