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Stops para o passeio aleatório
MAC 5796. Aula 9
Walter Mascarenhas
27/04/2011
Walter Mascarenhas MAC 5796. Aula 9
Stops para o passeio aleatório
Resumo
1 Stops para o passeio aleatório
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Stops para o passeio aleatório
Curso de Streambase de 27/06 a 01/07.
Streambase é um ferramenta para CEP = complex eventprocessing.
Para alunos regularmente matriculados no IME.
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t s t + δp0
ε2 2ε2 3ε2
p0 + x Ganho = e−rs (p0 + x)
τ = tick = σε.
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Média
µt = n(t)(p−q)τ =t
ε2 (p−q)τ =t
ε2 (2p−1)τ (1)
Variânciaσ
2t = 4n(t)pqτ2 = 4
tε2 pqτ
2 (2)
Solução τ , p aproximada de (1) e (2):
τ = σε e p =12
(1+
µ
σε
).
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P(Cv ,n) =vn
(n
n+v2
)p
n+v2 q
n−v2 . (3)
τ = σε e p =12
(1+
µ
σε
).
Probabilidade de, saindo do 0, alcançar x pela primeira vez noinstante t:
x = vxτ = vτ ⇒ v =xε, para x =
xσ.
Além disso,
p =12
(1+ µε) e q =12
(1−µε)
Paraµ =
µ
σ.
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Se n− v >√
n = O(ε) então√
nπ
4n√2
(n
n+v2
)=
4nn!(n+v2
)!(n−v
2
)!
=
√nπ√2πne−nnn (1+O(ε))
4n√2π√
n2− v2e−n(n+v
2
) n+v2(n−v
2
) n−v2
=1+O(ε)√
(1− v2)(1+ v)n2 (1+v) (1− v)
n2 (1−v) .
=1+O(ε)
(1+ v)n2 (1+v) (1− v)
n2 (1−v) .
para
v =vn
=xε
tε2
=xε
t.
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√nπ
4n√2
(n
n+v2
)=
1+O(ε)
(1+ v)n2 (1+v) (1− v)
n2 (1−v) .
para v = xε/t. Logo, para n = t/ε2,
ln( √
nπ
4n√2
(n
n+v2
))=− t
2ε2
(1+
xt
ε
)ln(1+
xt
ε
)−
t2ε2
(1− x
tε
)ln(1− x
tε
)+O(ε)
Mathematica= −x2
2t+O(ε) .
Logo, √nπ
4n√2
(n
n+v2
)= e−
x22t (1+O(ε)) . (4)
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p =12
(1+ µε) e q =12
(1−µε) ,
Logo, para v = x/ε e n = t/ε2,
4npn+v2 q
n−v2 = (1+ µε)
t2ε2 (1+ xε
t ) (1−µε)t
2ε2 (1− xε
t ) .
Portanto,
ln(4np
n+v2 q
n−v2
)=
t2ε2
((1+
xε
t
)ln(1+ µε) +
(1− xε
t
)ln(1−µε)
).
Usando a expansão ln(1+u) = u−u2/2+O(u3) obtemos
ln(4np
n+v2 q
n−v2
)=−µ
2
2t+
µxt2 +O(ε) .
e4np
n+v2 q
n−v2 = e−
µ2t2 +µx (1+O(ε)) . (5)
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Segue das equações (3), (4) e (5) que
P(t ≤ tempo de chegada a x < t + δ ) =(t+δ)/ε2
∑n=t/ε2
P(Cx/ε,n
)≈
O número de n’s com a mesma paridade de x/ε na soma acima éδ/(2ε2) e todos termos são aproximadamente iguais a P
(Cx/ε,t/ε2
).
δ
2ε2 ×x/ε
t/ε2
√2√
tπ/ε2e−
x22t e−
µ2t2 +µx =
δx√2πt3
e−(x−µt)2
2t .
Logo,
P(t ≤ tempo de chegada a x < t + δ )≈ δx√2πt3
e−(x−µt)2
2t .
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No limite ε → 0 obtemos que a variável aleatória
τx(ω) = tempo da primeira chegada a x = inf { t tal que ωt = x },
que tem densidade
ρx(t) =x√2πt3
e−(x−µt)2
2t .
t t + δ
P(t ≤ τx < t + δ ) =∫ t+δ
tρx(t)dt ≈ δρx(t) .
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Uma vez que temos a densidade podemos calcular o valor esperadodo ganho ao colocarmos o stop em p0 + x :
E(G ) = (p0 + x)∫
∞
0e−rt
ρx(t)dt.
Esta integral complicada pode ser calculada explicitamente:
E(G ) =1σ
(p0 + x)e−(√
µ2+2r−µ
)x,
onde qualquer coisa = qualquer coisa /σ .
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Mostrando que
Ix =∫
∞
0
x√2πt3
e−(x−µt)2
2t −rtdt = e−(√
µ2+2r−µ
)x. (6)
Modo simples: Mathematica
Integrate [x t (−3/2)E (−(x−µ∗t)2/(2t)−r∗t),{t,0, Infinity} .]
Modo complicado: Note que, para λ =√
µ2 +2r ,
(x−µt)2
2t+ rt =
x2−2µxt + µ2t2 +2rt2
2t=−µx− 1
2
(x2
t+ λ
2t)
Ou ainda,
(x−µt)2
2t+ rt =−µx +
λx2
(x
λ t+
λ tx
)
= (λ −µ)x +λx2
(√x
λ t−√
λ tx
)2
.
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Ix =1√2π
e−(λ−µ)xJx (7)
Jx =∫
∞
0
x√t3
e− λx
2
(√λtx −√ x
λt
)2
dt.
Fazendo a mudança t = x2/(λ 2s) obtemos√λ t/x =
√x/λ s e
√x/λ t =
√λ s/x
Logo
Jx =∫
∞
0
xλ 3√
s3
x3 e− λx
2
(√λsx −√ x
λs
)2
x2
λ 2s2 ds
=∫
∞
0
λ√se− λx
2
(√λsx −√ x
λs
)2
ds.
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Combinado os resultados anteriores obtemos
Jx =∫
∞
0e− λx
2
(√λtx −√ x
λt
)2
12
(x√t3
+λ√t
)dt.
Note que
u =
√λ tx−√
xλ t
(8)
satisfaz
du =12
(√λ
xt+
√x
λ t3
)=
1√λx
12
(λ√t
+x√t3
)dt.
Como para cada u ∈ (0,∞) há um x ∈ (0,1) e outro x ∈ (1,∞) quesatisfaz (8) (ou seja a relação u× x é um para dois),
Jx = 2∫
∞
0e−
λx2 u2√
λxdu =√2π. (9)
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Combinado as equações (7)–(9) obtemos (6), ou seja,
Ix = e−(√
µ2+2ρ−µ
)x.
c.q.d.
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Voltando aos stops:
E(G ) =1σ
(p0 + x)e−(√
µ2+2r−µ
)x.
Derivando em x e igualando a 0 obtemos
1σ
(1− (p0 + x)
(õ
2 +2r −µ
))e−(√
µ2+2r−µ
)x
= 0
ex∗ =
1õ
2 +2r −µ
−p0.
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Em termos absolutos,
x∗ =σ2√
µ2 +2rσ2−µ−p0 =
√µ2 +2rσ2 + µ
2r−p0.
Ou ainda, se escrevermos σ = σp0 e µ = µp0,
x∗ =
(√µ2 +2r σ2 + µ
2r−1
)p0.
Note que x∗ > 0 se e só se√µ2 +2r σ2 > 2r − µ
o que é equivalente aσ
2 > 2(r − µ) .
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Temos portanto duas possibilidades (quando p0 > 0):
Se σ2 ≤ 2(r − µ) então devemos stopar imediatamente, pois ataxa de desconto é muito alta em relação aos demaisparâmetros.
Caso contrário devemos parar assim que o preço atingir o valor
p0 + x∗ =
√µ2 +2r σ2 + µ
2rp0 > p0.
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Petrobrás em 27/04/2011
r = ln( Selic ) = ln( 1.12 )≈ 0.113329.
σ = 0.28 (volatilidade nos últimos 12 meses).
Cenário 1: µ = 0.07.
0.282 = 0.0784< 0.0866574≈ 2(0.113329−0.7) .
Devemos estopar imediatamente.
Cenário 2: µ = 0.08,
0.282 = 0.0784> 0.0666574 = 2× (0.113329−0.8)
Devemos estopar quando o preço atingir√µ2 +2r σ2 + µ
2rp0 = 1.03887p0,
ou seja, após um aumento de ≈ 3.9%.
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Moral da história:
Quando tomamos o limite δ t→ 0 de modo apropriado podemosanalisar completamente o problema do stop superior.
Neste caso a evolução dos preços converge para o processo
pt = µt + σBt
onde o processo Bt é chamado de Movimento Browniano, que é olimite que obtemos ao tomar p = q = 1/2 e ticks da forma t/
√n
(ou seja, se exigirmos que B1 tenha variância 1.)
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O processopt = µt + σBt (10)
é parte de uma família mais geral, descrita pelas equaçõesdiferenciais estocásticas
dp = µ(pt)dt + σ(pt)dBt . (11)
Note que o processo (10) corresponde ao caso nos quais as funçõesµ e σ em (11) são constantes.
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Da mesma forma que analisamos quando um dado stop para oprocesso
pt = µt + σBt
é acionado, podemos analisar os stops para os processos mais geraisdescritos por
dp = µ(pt)dt + σ(pt)dBt .
Para isto precisamos antes formalizar dois conceitosFiltração.Tempo de parada (stopping time).
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σ -algebras representam informação.
Filtrações modelam a evolução desta informação.
Mais formalmente, dizemos que uma família {ℱt , t ≥ 0} deσ -algebras é uma filtração de um espaço de probabilidade(Ω,ℱ ,P) se ℱt ⊂ℱ para todo t e t < s ⇒ℱt ⊂ℱs .
Analogia: Ω = {{ω1,ω2, . . . ,ωN },ωi ∈ ±1}.
ℱk = { subconjuntos de Ω definidos a partir das
k primeiras coordenadas } . (12)
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Dados um espaço de probabilidade (Ω,ℱ ,P) e uma filtração{ℱt , t ≥ 0}, dizemos que uma variável aleatória τ : Ω 7→ [0,+∞] éum tempo de parada com respeito a {ℱt , t ≥ 0} se para todot ≥ 0 o conjunto
{ω ∈ Ω com τ(ω)≤ t }
pertence a ℱt .
Em outras palavras, τ é um tempo de parada com respeito a{ℱt , t ≥ 0} se para todo t a informação fornecida por ℱt nospermite determinar, para todo ω ∈ Ω, se τ(ω)≤ t ou não.
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Todas regras razoáveis para stop são tempos de parada pois:
Estas regras precisam ser calculáveis por procedimentosrelativamente simples. Isto quer dizer que elas devem servariáveis aleatórias.
Ao aplicarmos a regra em um certo instante t devemos usarapenas as informações disponíveis até aquele instante, semconsiderar possíveis informações que receberemos no futuro.Isto que dizer que devemos decidir se τ(ω)≤ t considerandoapenas a informação disponível no instante t, ou seja, devemoster {τ ≤ t } ⊂ ℱt .
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A fórmula de Dynkin.
E(e−rτ f (pτ )
)= f (p0) +E
(∫τ
0e−rt ((G−r) f )(pt)dt
).
pt é um processo estocástico que satisfaz
dp = µ(pt)dt + σ(pt)dBt .
τ é um tempo de parada com respeito a filtração dada por Bt ,G é o operador definido como
Gf (x) =σ(x)2
2f ′′(x) + µ(x) f ′(x)
f é uma função com derivadas segundas contínuas e
lim∣x ∣→∞
∣f (x)∣+∣∣f ′(x)
∣∣+ ∣∣f ′′(x)∣∣= 0.
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Aplicando a fórmula de Dynkin: Se
((G−r) f )(x) =σ(x)2
2f ′′(x) + µ(x) f ′(x)− rf (x) = 0 (13)
então
E(e−rτ f (pτ )
)= f (p0) +E
(∫τ
0e−rt ((G−r) f )(pt)dt
)= f (p0) .
Se σ e µ são constantes então (13) tem soluções da formaAeαx +Beβx com µ = 2µ/σ2, r = 2r/σ2 e
α =− µ +√
µ2 +4r2
e β =
√µ2 +4r − µ
2.
Como α < 0, limx→−∞ exα = ∞. Por isto, para calcular stopssuperiores devemos tomar A = 0. Dai obtemos a solução anterior:Beβx .
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