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PARTE III

MACCHINE A REGISTRI Macchine a registri (RAM) Modelli di costo RAM e macchine di Turing Macchine a registri elementari

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3.1 MACCHINE A REGISTRI (RAM: Random Access Machines)

Introdotte da Shepherdson e Sturgis nel 1963 per sviluppare la teoria della calcolabilità con un modello di macchina che fosse un’astrazione ragionevole di un calcolatore (macchina di von Neumann).

• Memoria costituita da un numero arbitrario di celle (registri) indirizzabili direttamente R[1], R[2], ..., R[n] contenenti un intero positivo di un numero qualunque di cifre • Registri speciali: contatore istruzioni (CI) accumulatore R[0] • Nastri di ingresso e di uscita • Unita' centrale in grado di eseguire semplici istruzioni logico-aritmetiche

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INPUT

............

R1

R2

R3

ALU

ACCUMULATORE

CONT. ISTRUZIONI

OUTPUT

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Repertorio istruzioni (tipiche di un linguaggio assembler) LOAD, STORE: trasferimenti da registri ad accumulatore e viceversa READ, WRITE: trasferimenti da nastro di input a registri e da registri a nastro di output ADD, SUB, MULT, DIV, REM: operazioni aritmetiche tra accumulatore e registri; il risultato resta nell'accumulatore JGTZ, JEQZ: salti condizionati in base al contenuto dell' accumulatore JUMP: salto incondizionato HALT: terminazione

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Sintassi delle istruzioni LOAD [ = | * ] operando -> operando: numero STORE [ * ] operando d’ordine di registro ADD [ = | * ] operando -> = operando: SUB [ = | * ] operando operando immediato MULT [ = | * ] operando -> * operando: DIV [ = | * ] operando accesso indiretto REM [ = | * ] operando READ [ * ] operando WRITE [ = | * ] operando JUMP etichetta -> etichetta: numero JGTZ etichetta d’ordine di istruzione JEQZ etichetta HALT etichetta

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Semantica delle istruzioni (Esempi)

ADD =n R[0]:= R[0]+ n CI:=CI+1 ADD n R[0] := R[0]+ R[n] CI := CI+1 ADD *n R[0] := R[0]+ R[R[n]] CI := CI+1 JGTZ m if R[0]>0 then CI := m else CI := CI+1

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Programmi per RAM Il programma non e' contenuto in memoria ma e' cablato: ad ogni macchina corrisponde un programma.

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ESEMPIO - Programma per il calcolo di xy READ 1 lettura di x dal nastro di ingresso READ 2 lettura di y dal nastro di ingresso LOAD =1 STORE 3 inizializzazione del risultato 5 LOAD 2 JEQZ 14 fine ciclo while? LOAD 1 MULT 3 STORE 3 R[3] := x * R[3] LOAD 2 SUB =1 STORE 2 JUMP 5 14 WRITE 3 stampa del risultato HALT

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3.2 MODELLI DI COSTO PER RAM • Modello a costi uniformi

costo unitario per l'esecuzione di ogni istruzione

ESEMPIO. Eseguire il programma per calcolare xy costa O(y); infatti le 9 istruzioni del ciclo vengono eseguite y volte Critiche: - moltiplicare due interi di 32 bit costa quanto moltiplicare due interi di 1024 bit - accedere ad una memoria di 1 kilobyte costa come accedere ad una memoria di 1 terabyte Vantaggi: il modello ha il pregio di essere molto semplice ed e’ quello più usato quando valutiamo il comportamento di programmi scritti in linguaggio ad alto livello

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• Modello a costi logaritmici I costi sono proporzionali al numero di bit degli operandi e al logaritmo del numero d’ordine dei registri cui si accede Definiamo la seguente funzione (lunghezza in binario):

l(n) = 1 se n=0 l(n) = int(log n)+1 se n>0 - l'elaborazione di un intero n ha costo l(n) - l'accesso al registro i ha costo l(i)

Vantaggi: la valutazione dei costi e’ più realistica dal punto di vista asintotico (operandi molto grandi, memoria molto grande Critiche: analisi più laboriosa

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Per eseguire l'istruzione ADD 3 si paga: l (3) per accedere al registro 3 e l(R[3]) + l(R[0]) per eseguire la somma del contenuto del registro 3 e dell’accumulatore. Per eseguire l'istruzione ADD *3 si paga: - l(3) + l(R[3]) per accedere al registro indirizzato dal registro 3 - l(R[R[3]]) + l(R[0])

per eseguire la somma.

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ESEMPIO - Valutazione con modello a costi logaritmici.

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READ 1 l(1)+l(x) O(log x) READ 2 l(2)+l(y) O(log y) LOAD =1 l(1) O(1) STORE 3 l(3)+l(1) O(1) 5 LOAD 2 l(2)+l(y) O(log y) JGTZ 14 l(y) O(log y) LOAD 1 l(1)+l(x) O(log x) MULT 3 l(3)+l(x)+l(xy) O(log x + y log x) STORE 3 l(3)+l(xy) O(y log x) LOAD 2 l(2)+l(y) O(log y) SUB =1 l(1)+l(y) O(log y) STORE 2 l(2)+l(y) O(log y) JUMP 5 1 O(1)

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La porzione di codice dentro la cornice viene eseguita O(y) volte. Costo di esecuzione totale: O(y2 log x)

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NOTA BENE. In pratica in situazioni in cui: a) i dati hanno una dimensione prefissata (es: 36 bit) b) le dimensioni della memoria sono prefissate i due modelli coincidono. NOTA BENE. Se le operazioni aritmetiche hanno precisione arbitraria o se si rende necessario l'accesso a memoria secondaria, si deve fare uso di modelli di calcolo analoghi al modello a costi logaritmici anche nell’analisi di complessità di algoritmi scritti in linguaggi ad alto livello

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3.3 RAM E MACCHINE DI TURING Calcolabilità mediante RAM Def. Una funzione f: Nn →N e' calcolabile da una RAM se esiste un programma P tale che

- se f(x1,...,xn)=y, allora P, attivato con x1,...,xn sul nastro di input, termina con y sul nastro di output

- se f(x1,...,xn) non e' definita, allora P non termina

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Teorema. Sia M=<{0,1},b,K,q0,F,δ> una MT con nastro seminfinito; esistono una RAM ed un programma P tali che se M calcola q0x|—*qFy e la RAM ha la stringa x nelle celle 2,....,|x|+1 al termine della computazione la RAM ha la stringa y nelle celle 2,....,|y|+1; inoltre la RAM simula T passi di M in tempo O(T log T) nel modello a costi logaritmici. Dim.

Stabiliamo una corrispondenza tra la cella i del nastro di M e la cella i+1 della memoria della RAM. Usiamo la cella 1 della RAM per rappresentare la posizione della testina di M.

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All'inizio la cella 1 contiene il valore 2 (posizione iniziale della testina di M). P contiene una sequenza di istruzioni per ogni stato di M.

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Esempio. Se δ(q1,0)=<q2,1,d> e δ(q1,1)=<q3,0,s> allora P contiene il seguente frammento di programma: .................... q1 LOAD *1 acquisizione del contenuto del nastro JGTZ q1' lettura di un 1 o di uno 0? LOAD =1 STORE *1 scrittura di un 1 sul nastro LOAD 1 ADD =1 STORE 1 movimento a destra della testina JUMP q2 aggiornamento dello stato q1' LOAD =0 STORE *1 scrittura di uno 0 sul nastro LOAD 1 SUB =1 STORE 1 movimento a sinistra della testina

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JUMP q3 aggiornamento dello stato .................... Ogni passo di M e' simulato da al piu' 8 istruzioni ognuna con costo O(log tmax) dove tmax e' il massimo numero di celle usate da M Se M esegue T passi allora tmax ≤ T+1 Costo complessivo O(T log T)

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Teorema. Data una RAM con programma P che calcola la funzione f esiste una MT M tale che se f(x1,...,xn)=y e sul nastro di input sono memorizzati in binario gli interi x1,...,xn la macchina M termina con la rappresentazione binaria di y sul nastro di output e se f(x1,...,xn) non e' definita M non termina; inoltre se la computazione della RAM ha costo T nel modello a costi logaritmici allora M la simula in O(T2) passi. Dim. M ha tre nastri di lavoro, un nastro di input e un nastro di output. Sul nastro 1 sono memorizzati in binario i dati memorizzati nella memoria della RAM preceduti dal proprio indirizzo rappresentato in binario, cioe': #i1#R[i1]#i2#R[i2]#i3#R[i3] ... #im#R[im].

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Sul nastro 2 e' rappresentato il contenuto dell'accumulatore. Il nastro 3 e' usato per il funzionamento di M. Per ogni istruzione del programma della RAM, M ha un insieme di stati per eseguire le operazioni. • Istruzioni di salto JUMP, JGTZ, JZERO, HALT:

si controlla se il contenuto dell'accumulatore verifica le condizioni di salto e si gestiscono i corrispondenti cambiamenti di stato

• Istruzioni che non modificano il contenuto della memoria LOAD, ADD, SUB, MULT, DIV, WRITE:

si cerca sul nastro 1 il registro su cui si deve operare

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si esegue sul nastro contenente la rappresentazione dell'accumulatore l'operazione prevista

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• Istruzioni che modificano il contenuto della memoria STORE,READ

si trascrive sul nastro 3 il contenuto del nastro 1 a destra del registro da modificare si esegue l'operazione modificando sul nastro 1 la rappresentazione del contenuto del registro da modificare si ricopia sul nastro 1 il contenuto del nastro 3 a destra della cella modificata.

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Analisi di complessita'. i) Ogni sequenza di transizioni relativa ad una operazione di RAM costa ad M, nel caso peggiore, un tempo dell'ordine della massima lunghezza lungmax del nastro 1 e se la RAM opera con costo totale T allora lungmax ≤ T. Infatti nel modello a costi logaritmici • se sul nastro 1 e' presente l' indirizzo i vuol dire che la RAM ha acceduto almeno una volta al registro Ri e quindi ha pagato almeno una volta log i, d'altro canto l'indirizzo i occupa su nastro 1 proprio log i celle • se sul nastro 1 compare il contenuto del registro i allora la RAM ha pagato almeno una volta log(R[i]) d'altro canto R[i] occupa su nastro 1 proprio log(R[i]) celle quindi lungmax≤T

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ii) Se la RAM opera con costo totale T le operazioni che essa esegue sono al piu' T In conclusione la MT M opera in tempo O(T lungmax) = O(T2).

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NOTA BENE 1 • Tutto cio' che si puo' fare (calcolo di funzioni, riconoscimento o accettazione di insiemi, ecc.) con una MT si puo' fare anche con una RAM e viceversa (adottando le opportune convenzioni per la rappresentazione dell'input e dell'output). • Considerato che le RAM corrispondono a semplici programmi Assembler e’ chiaro che il loro potere computazionale coincide con quello dei linguaggi di programmazione ad alto livello. • Tesi di Church-Turing: tutti i modelli di calcolo introdotti per definire la calcolabilita' (e tutti i linguaggi di programmazione) hanno al massimo lo stesso potere computazionale delle MT.

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NOTA BENE 2

• Una MT ed una RAM con modello a costi logaritmici possono simularsi a vicenda in tempo polinomiale. La stessa cosa non si puo' fare se si considerano RAM con moltiplicazione e costi unitari (Esercizio).

• Per stabilire se un problema ammette una soluzione calcolabile in tempo polinomiale possiamo indifferentemente far riferimento ad una MT o ad una RAM a costi logaritmici.

• Tesi di Cobham. Tutti i modelli di calcolo introdotti per definire la "trattabilita" (calcolabilita' in tempo polinomiale) hanno al piu' lo stesso potere computazionale delle MT operanti in tempo polinomiale. • Questo principio "potrebbe" essere violato dalle macchine quantistiche (fattorizzazione in tempo polinomiale!)

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3.4 MACCHINE A REGISTRI ELEMENTARI (MREL) Esistono modelli di calcolo ancora piu' elementari delle RAM dotati dello stesso potere computazionale. - Due sole istruzioni di incremento e decremento del contenuto di registri: R[i] := R[i] + 1 R[i] := R[i] - 1 Se il contenuto e' 0 il decremento lascia 0. - Una sola istruzione di salto: IF R[i] = 0 THEN GOTO n (altrimenti prosegui).

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Altre semplificazioni: - eliminazione di nastri di ingresso e uscita - eliminazione dell'accumulatore - eliminazione dell'indirizzamento indiretto Convenzioni: - all'inizio l'input e' nei registri 1, ..., n - tutti gli altri registri contengono 0 - al termine l'output e' nel registro 1 - la macchina si arresta se si richiede un salto ad un'istruzione che non esiste.

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Possiamo simulare tutte le istruzioni di una RAM: LOAD 1 ADD 2 STORE 1 si realizza nel seguente modo: IF R[2] = 0 THEN GO TO 6 R[2] := R[2] - 1 R[1] := R[1] + 1 R[3] := R[3] + 1 IF R[4] = 0 THEN GO TO 1 IF R[3] = 0 THEN GO TO 0 R[3] := R[3] - 1 R[2] := R[2] + 1 IF R[4] = 0 THEN GO TO 6

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Teorema. Ogni funzione f: Nn → N calcolabile con una RAM e' calcolabile con una MREL e viceversa. In conclusione si puo’ osservare come semplici istruzioni di incremento e decremento di registri (contatori) siano sufficienti ad effettuare il calcolo di una qualunque funzione calcolabile. Vari altri risultati hanno mostrato come sia possibile definire modelli di calcolo estremamente elementari. ESEMPIO - Ogni funzione calcolabile puo’ essere calcolata da una RAM con due soli registri.