TIPO DE PROVA: A

Numa pesquisa de mercado, verificou-se que15 pessoas utilizam os produtos A ou B, sen-do que algumas delas utilizam A e B. O pro-duto A é usado por 12 dessas pessoas e o pro-duto B, por 10 delas.O número de pessoas que utilizam ambos osprodutos é:a) 5 b) 3 c) 6 d) 8 e) 7

alternativa E

Sejam A o conjunto das pessoas que consomemo produto A, e B o conjunto das pessoas que con-somem o produto B. Seja x o número de pessoasque consomem A e B. Assim n(A ∪ B) = n(A) ++ n(B) − n(A ∩ B) ⇔ 15 = 12 + 10 − x ⇔ x = 7.

Se axx 1

bx 1

2x 1x 12 2−

+−

= −−

para todo x,

x ≠ ± 1, então a b− vale:a) 4 b) −2 c) 3 d) 0 e) −1

alternativa A

Para todo x, x ≠ ±1,ax

x 12 −+ b

x 1−= 2x 1

x 12−−

⇔

⇔ ax b(x 1)(x 1)(x 1)

+ ++ −

= 2x 1(x 1)(x 1)

−+ −

⇔

⇔ (a b)x b(x 1)(x 1)

+ ++ −

= 2x 1(x 1)(x 1)

−+ −

.

Portantoa b 2

b 1

+ == −

⇔a 3

b 1

== −

e

a − b = 3 − − =( 1) 4.

Se um círculo e um quadrado têm áreasiguais, então a razão entre o comprimento da

circunferência do círculo e o perímetro doquadrado é:

a) 2π

b) 2π

c) π2

d) 2 π e) π2

alternativa C

Sejam r o raio do círculo e � o lado do quadrado.Como o círculo e o quadrado têm áreas iguais,

ππ

r 2 2 r 1= ⇔ =��

Logo a razão entre o comprimento da circunferên-cia do círculo e o perímetro do quadrado, nestaordem, é:

2 r4 2

r2

12

π π ππ

π� �

= ⋅ = ⋅ =

Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no

triângulo EFG. Se a medida de FG é 10, operímetro do quadrado é:

a) 20 b) 15 c) 18 d) 16 e) 17

alternativa B

Seja � o lado do quadrado.

Como AD // FG, os triângulos FEG e AED são se-melhantes (caso AA). Logo a razão entre os lados

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

homólogos dos triângulos é igual à razão entre as al-

turas. Portanto10�

= 66 − �

⇔ � = 154

.

Assim, o perímetro vale 4 ⋅154

= 15.

As bases de um trapézio isósceles medem 7 e13. Se a altura do trapézio é 4, o seu períme-tro é:a) 27 b) 25 c) 20 d) 30 e) 40

alternativa D

Seja ABCD o trapézio, com AB // CD, AB = 7 e

CD = 13. Sejam AE e BF alturas do trapézio.Como o trapézio é isósceles, temos DE = FC.

Assim, DE + EF + FC = 13 ⇔ DE = FC = 3.Logo, pelo teorema de Pitágoras, AD = BC =

= +3 42 2 = 5 e, portanto, o perímetro do tra-pézio é 13 + 7 + 2 ⋅ 5 = 30.

Se log x = 0,1, log y = 0,2 e log z = 0,3, o valor

de log x yz

2 1⋅ −é:

a) 0,15d) −0,25

b) −0,15e) 0,6

c) 0,25

alternativa B

Temos

logx y

zlog x log y log z

2 12 1⋅ = + − =

−−

= − ⋅ −2 log x 1 log y12

log z.

Assim, como log x = 0,1, log y = 0,2 e log z = 0,3,

logx y

z2 0,1 1 0,2

12

0,32 1⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ =

−

= −0,15.

Se log 13

9 = a, então log16 a2 é:

a) 12

b) − 14

c) −2 d) 4 e) 2

alternativa A

Temos que log 913

=a ⇔ 13

a

=9 ⇔3 a− =3 2 ⇔

⇔ = −a 2 e, portanto, a 42 = . Assim, log a162 =

= log 416 = 12

.

Num quadro, as chaves de 6 salas e de 2 ba-nheiros, todas distintas, estão dispostas emduas filas com quatro chaves cada uma. Seas chaves dos banheiros devem ocupar as ex-tremidades da primeira fila, o número deformas diferentes de se colocar as chaves noquadro é:a) 6!d) 8!

b) 6 ⋅6!e) 2 ⋅6!

c) 4 ⋅6!

alternativa E

Temos 2 maneiras de colocar as chaves dos ba-nheiros nas extremidades da primeira fila. Entãorestam 6 posições no quadro, onde devem ser co-locadas as 6 chaves distintas restantes. Assim,podemos colocar as chaves das salas no quadrode 6! maneiras distintas.Logo há 2 ⋅ 6! formas diferentes de colocar aschaves no quadro.

O recipiente da figura, que contém água, éum prisma reto cujas bases são triânguloseqüiláteros de altura 2. A superfície da águaé paralela à face ABCD. Se o volume ocupa-do pela água é metade do volume do prisma,o valor de h é:

matemática 2

Questão 5

Questão 6

Questão 7

Questão 8

Questão 9

a) 65

b) 3 c) 2 d) 12

e) 34

alternativa C

A água ocupa o volume de um prisma reto cujaaltura é igual à altura do prisma de face ABCD.Logo a razão entre seus volumes é igual à razãoentre as áreas das bases, que são triângulos se-

melhantes. Como a razão de semelhança é2h

e a

razão entre os volumes é 2, temos2h

22

= ⇔

⇔ =h 2 .

Se da soma de todos os números ímpares po-sitivos de 2 algarismos subtrairmos a somade todos os números pares positivos de 2 al-garismos, o resultado será:a) 55 b) 51 c) 50 d) 45 e) 46

alternativa D

(11 13 . . . 97 99) (10 12 . . . 96+ + + + − + + + ++ = − + − + + − +98) (11 10) (13 12) . . . (97 96)+ − ∗(99 98)( )Como existem 90 números naturais com 2 algaris-mos (45 ímpares e 45 pares), temos 45 parcelasiguais a 1, ou seja, ( ) 1 1 . . . 1 1 45∗ = + + + + = .

Uma reta, que passa pela origem e tem coe-ficiente angular 2, encontra a circunferênciade centro (1,0) e raio 1 em dois pontos A e B.A medida de AB é:

a) 55

b) 2 55

c) 54

d) 2 5 e) 52

alternativa B

Uma equação da reta que passa pela origem (0; 0)e tem coeficiente angular 2 é y − 0 = 2(x − 0) ⇔⇔ y = 2x.Uma equação da circunferência de centro (1; 0) eraio 1 é (x − 1)2 + (y − 0)2 =12 ⇔ (x − 1)2 + y 2 == 1.Assim, os pontos A e B são as soluções do siste-ma:

y 2x

(x 1) y 12 2

=

− + =⇔

y 2x

(x 1) (2x) 12 2

=

− + =⇔

⇔y 2x

5x 2x 02

=

− =⇔

(x 0 e y 0)

ou

x25

e y45

= =

= =

Portanto o segmento AB tem medida

25

045

02 5

5

2 2−

+ −

= .

No triângulo da figura, cos 2θ vale:

a) 29

b) 19

c) − 79

d) − 89

e) 59

alternativa C

Como o triângulo é isósceles, o pé da altura relati-va à base coincide com o seu ponto médio.

Assim, cosθ =

131

= 13

. Conseqüentemente,

cos 2θ = 2 cos 12θ − = 213

179

2⋅

− = − .

matemática 3

Questão 10

Questão 11

Questão 12

A função que mais bem se adapta ao esboçográfico dado é:

a) 1x

b) x c) 2x d) 1x2 e) x |x|⋅

alternativa D

O esboço sugere o gráfico de uma função par (si-metria em relação ao eixo Oy).

A função f(x) = 1

x 2 é par, pois f(−x) = 1

( x)2−=

= 1

x 2 = f(x), e o mesmo não ocorre para as

demais funções. Por exemplo, para x = 2, temos12

≠ 12−

, 2 ≠ −2 ∉R, 2 2 ≠ 2 2− e

2 ⋅ | |2 ≠ −2 ⋅ |−2|.

Na figura, temos o gráfico de y = x2 − 2px, devértice A. A área do triângulo OAB é:

a) 2 b) 32

c) 4 d) 43

e) 1

alternativa E

Seja A = (xv ; −1) o vértice da parábola y = x 2 − 2px.

Temos que

x 0

1(( 2p) 4 1 0)

4 1

( 2p)2 1

0

14p

4

v2

2

>

− = − − − ⋅ ⋅⋅

⇔

− −⋅

>

=⇔

⇔>

=⇔ =

p 0

p 1p 12 e, assim, y x 2x2= − , cu-

jas raízes são 0 e 2. Logo, como a distância de A

a OB é igual a 1 e OB = 2 − 0 = 2, a área de AOB

é igual a2 1

21

⋅ = .

Se p(x) 2x kx 22= + + é divisível por x 2+ , en-

tão 2k vale:

a) 32 b) 16 c) 8 d) 64 e) 4

alternativa A

Temos que p(x) é divisível por x + 2 se, e somen-te se, p( 2) 0 2( 2) k( 2) 2 02− = ⇔ − + − + = ⇔⇔ =k 5. Logo 2 32k = .

Numa progressão geométrica de números in-teiros maiores que 1, o produto dos dois pri-meiros termos é igual a 12. O quarto termodessa progressão é:a) 12 b) 54 c) 84 d) 36 e) 48

matemática 4

Questão 13

Questão 14

Questão 15

Questão 16

alternativa B

Sejam a1 o primeiro termo da PG e q a sua razão.Então a (a q) 12 a q 2 31 1 1

2 2⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅ .

Como a1 e q são inteiros maiores do que 1,a 21 = e q 3= e o quarto termo da progressão éa q 2 3 541

3 3⋅ = ⋅ = .

Considerando o produto de matrizes,0 1a 1

a 11 0

1 00 1

−

×

−

=

, o valor de a

é:

a) 0 b) −1 c) 2 d) −2 e) 1

alternativa E

0 1

a 1

a 1

1 0

1 0

0 1

−−

⋅

−−

=

⇔

⇔⋅ + − ⋅ − ⋅ + − ⋅⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

=

0 a ( 1) ( 1) 0 1 ( 1) 0

a a 1 ( 1) a 1 1 0

=

⇔

−

=

⇔

1 0

0 1

1 0

a 1 a

1 0

0 12

⇔ − ==

⇔ =a 1 0

a 1a 1

2

Se 2 2 4 8x x x⋅ + = , então x2 é igual a:

a) 2 b) 4 c) 1 d) 0 e) 9

alternativa C

2 2 4 8x x x⋅ + = ⇔ 2 (2 2 ) 2 4x x x x+ = ⋅ ⇔

⇔ 2 2 4x x+ = ⇔ (2 ) 2 2 0x 2 x− − = ⇔

⇔y y 2 0

y 2

2

x

− − =

=⇔

(y 1 ou y 2)

y 2 x

= − =

=⇔

⇔ 2 2x = ⇔ x = 1

Logo x 1 12 2= = .

Numa “super-promoção” uma loja oferece40% de desconto sobre o preço de venda deum produto, havendo, ainda assim, um lucrode 20% sobre o preço de custo desse produto.Se o desconto não tivesse sido dado, o lucroda loja teria sido de:a) 100%d) 55%

b) 80%e) 45%

c) 60%

alternativa A

Sejam c e v os preços de custo e de venda doproduto, respectivamente. Das condições doenunciado, (1 0,40)v (1 0,20)c v 2c− = + ⇔ = .Assim, se o desconto não tivesse sido dado, o lucro

da loja teria sido dev c

c2c c

c100%.

− = − =

Nas últimas eleições, três partidos políticostiveram direito, por dia, a 90s, 108s e 144sde tempo gratuito de propaganda na televi-são, com diferentes números de aparições. Otempo de cada aparição, para todos os parti-dos, foi sempre o mesmo e o maior possível.A soma das aparições diárias dos partidosna TV foi de:a) 15 b) 16 c) 17 d) 19 e) 21

alternativa D

O tempo de cada aparição, em segundos, deveser divisor de 90, 108 e 144 e também deve ser omaior possível. Assim, é igual a mdc (90, 108, 144)segundos. Como 90 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5, 108 = 2 2 ⋅ 33 e144 = 24 ⋅3 2 , mdc (90, 108, 144) = 2 ⋅3 2 = 18.Assim, os números de aparições dos partidossão, respectivamente, 90 : 18 = 5, 108 : 18 = 6 e144 : 18 = 8, totalizando 5 + 6 + 8 = 19 aparições.

matemática 5

Questão 17

Questão 19

Questão 20

Questão 18