maestria educacion parte 2
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METODOS ESTADISTICOS PARA LA
INVESTIGACION
PARTE II
Dr. CLETO DE LA TORRE DUEÑAS
2011.
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2 ESTADISTICA
1RA EDICION
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por cualquier medio mecánico o electrónico, incluyendo fotocopia, grabación o
cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información no autorizada
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Impreso en Perú.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 3
CAPITULO I
INTRODUCCION AL MUESTREO
1.1 INTRODUCCION.
El objetivo de la estadística es hacer inferencias acerca de una población con
base a la información contenida en una muestra. Este mismo objetivo motiva
el estudio del problema de muestreo.En lo referente al muestreo, la inferencia consiste en la estimación de un
parámetro de población, tal como una media, proporción con un margen de
error de estimación (precisión).
Para un buen entendimiento del problema de muestreo, introduciremos
enseguida, ciertos aspectos técnicos de muestreo.
1.2 DEFINICION DE TÉRMINOS, REVISIÓN DE CONCEPTOS.Población (UNIVERSO): Es una colección finita o infinita de individuos o
elementos, con una característica de interés para el estudio.
Una tarea importante para el investigador es definir cuidadosa y
completamente la población antes de recolectar la muestra. La definición
debe contener una descripción de los elementos que serán incluidos y una
especificación de las mediciones que se van a considerar, ya que estas dos
componentes están interrelacionadas.
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4 ESTADISTICA
Muestra: Es un subconjunto representativo de la población. Una muestra
puede ser probabilística (aleatoria) o no probabilística.
Unidad de Muestreo: Es una colección de uno o más elementos de la
población. Las unidades de muestreo cubren toda la población. Una unidad
de muestreo debe ser claramente definida, identificable y observable.
Unidad de Análisis: Es la que suministra la información estadística
requerida.
Marco de Muestreo: Se presenta en forma de lista o mapa de las unidadesde muestreo que conforman la población. Forma el material básico para la
selección de la muestra.
El marco muestral debe contener todas las unidades de muestreo que
conforman la población bajo estudio, y debe excluir unidades de cualquier otra
población.
Parámetro: Es un valor numérico de la población usualmente desconocidoque representa cierta característica de la población.
Estadístico: Es una función real de la muestra aleatoria, usado para estimar
un parámetro, si un parámetro se denota con , el estimador se denotará con
ˆ .
Estimación: Es el valor que toma el estimador en los datos de la muestra.
Error de Estimación: Es la diferencia absoluta entre el parámetro y su
estimador, es decir || . Como se puede apreciar, es imposible conocer
con exactitud el error de estimación, pero podemos, al menos
aproximadamente encontrar un límite E tal que:
)|ˆ(| E P , para cualquier entre 0 y 1.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 5
Si ˆ tiene distribución aproximadamente normal, entonces para
)ˆ(96.1 V E se cumple:
ˆ(| | ) 0.95P E
Limite para el error de estimación: Denotado por E es dado por
)ˆ(96.1 V E . El factor E es llamado también precisión. Si E esta
expresado en las mismas unidades de la medida de la variable, se le llama
precisión absoluta. Si E está expresado como un porcentaje del parámetroque se está estimando, se le llama precisión relativa.
Una vez estimado el límite E, podemos afirmar que el parámetro se
encuentra en el intervalo E E ˆ,ˆcon una confianza del 95%. El
intervalo anterior es llamado intervalo de confianza.
Error de Muestreo: Este error se debe a que una muestra no produce
información completa sobre una población. Puede ser controlado por un
diseño cuidadoso de la muestra y es estimado en gran parte por el factor E.
Por esta razón, algunos autores denominan al factor E, error de muestreo.
Error de no Muestreo: Son los errores que se introducen imperceptiblemente
a la encuesta y estos son más difíciles de controlar, infortunadamente estos
errores no se pueden medir fácilmente, y aumentan a medida que aumenta el
tamaño de la muestra. Los tipos errores no muestrales que suelen
presentarse son:
- Definición equivocada del problema.
- Definición defectuosa de la población.
- Marco imperfecto o desactualizado.
- La no respuesta.
- El sesgo de respuesta.
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6 ESTADISTICA
- Diseño pobre del instrumento de medición.
Sin embargo, los errores de no muestreo pueden ser controlados mediante
una atención cuidadosa en todas las etapas de la encuesta.
1.3 ENCUESTA.
La función de la encuesta es la medición del comportamiento, actitudes o
características del encuestado, que es un individuo de la población en estudio
seleccionado para la muestra.
Diseño de la encuesta
Pasos a seguir, para diseñar una encuesta:
Definir los objetivos Determinar el marco
Diseñar el procedimiento de muestreo
Diseñar el cuestionario
Diseñar y realizar el trabajo de campo
Codificar, depurar y analizar las respuestas
Redactar el informe
Diseño de la muestra
El diseño de la muestra incluye:
La elección del procedimiento de muestreo
La determinación del tamaño de la muestra
Existen varios procedimientos de muestreo, entre las principales se tiene
muestreo: aleatorio simple, estratificado y sistemático.
1.4 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Definición. Si una muestra de tamaño n, es seleccionado de una población
de tamaño N de tal manera que cada muestra posible tiene la misma
probabilidad de ser seleccionada, el procedimiento de muestreo se llama
Muestreo Aleatorio Simple (M. A. S.)
El M. A. S. puede ser de 2 formas, sin reposición (muestreo irrestricto
aleatorio) y con reposición.
Procedimiento de selección.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 7
El procedimiento de selección de una Muestra Aleatoria Simple (M.A.S.)
consiste en:
i) Enumerar las unidades de la población, desde 1 hasta N.
ii) Usando la tabla de números aleatorios seleccionar la primera unidad
para la muestra.
iii) Continuar la selección excluyendo las unidades repetidas (si es sin
reposición) o incluyendo las unidades repetidas (si es con reposición)
hasta completar el tamaño de muestra n.
Tamaño de la muestra
Una parte fundamental para realizar un estudio estadístico de cualquier tipo
es obtener unos resultados confiables y que puedan ser aplicables. Como ya
se comentó anteriormente, resulta casi imposible o impráctico llevar a cabo
algunos estudios sobre toda una población, por lo que la solución es llevar a
cabo el estudio basándose en un subconjunto de ésta denominada muestra.
Sin embargo, para que los estudios tengan la validez y confiabilidad buscada
es necesario que tal subconjunto de datos, o muestra, posea algunas
características específicas que permitan, al final, generalizar los resultados
hacia la población en total. Esas características tienen que ver principalmente
con el tamaño de la muestra y con la manera de obtenerla.
Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres
factores:
- El nivel de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la
muestra hacia la población total.- El error que se pretende aceptar al momento de hacer la estimación.
- La varianza
Tamaño de muestra para estimar la media poblacional.
Si se desea estimar la media poblacional , con precisión fijada por el
investigador, el tamaño de muestra necesario es dado por:
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8 ESTADISTICA
2 2
(1 / 2)
22 2
(1 / 2)
*
* ( 1)
Z N n
Z N Población finita.
2 2
(1 / 2)
2
* Z n
, Población infinita.
Donde
2 Es la varianza poblacional
En la practica el valor de2
estimado por S2 a partir de una encuesta
anterior o de una muestra piloto
Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional.
De manera simular, la fórmula del tamaño de muestra n para la estimación de
la proporción poblacional, p con un error máximo de estimación de y un
nivel de confianza del 100(1 - )%, esta dado por:
2
(1 / 2)
22
(1 / 2)
* * (1 )
* (1 ) ( 1)
Z N p pn
Z p p N , Población finita.
Si N :
2(1 / 2)
2
* (1 ) Z p pn, Población infinita.
En este caso el valor de esta entre 0 y 1, el valor de p es desconocido, por
lo que debe ser estimado preliminarmente a partir de una encuesta anterior, o
de una muestra piloto. En última instancia el valor de p se puede sustituir por
0.5 y se obtendrá un tamaño de muestra mayor que el requerido.
Recomendaciones para el uso del M. A. S.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 9
El M. A. S. esta orientada a encuestas de pequeña escala y raras veces a
encuestas de gran escala, debido a que otros diseños proporcionan mayor o
igual precisión a menor costo.
En las encuestas por muestreo a gran escala, el M. A. S. es usado
como parte de un diseño de muestreo mucho más complejo.
El M. A. S. es muy eficiente cuando la población es homogénea.
1.5 MUESTREO ESTRATIFICADO.
Una muestra estratificada es obtenida mediante la separación de los elementos
de la población en grupos heterogéneos disjuntos, llamados estratos y la
selección posterior de una muestra aleatoria simple en cada estrato.
Consideremos una población de tamaño N, la cual es dividida en k estratos
(sub poblaciones) de tamaños Ni, i=1,2…., k, tal que
1 2 ... k N N N N
El tamaño de muestra se estima mediante:
2 2
(1 / 2)
1
2 2 2
(1 / 2)
1
* (1 ) /
* (1 )
k
i i i ii
k
i i ii
Z N p p wn
N Z N p p ,
iw
: Es el peso asignados al estrato i
N1 N2 NK …
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10 ESTADISTICA
El tamaño de muestra necesario de cada estrato, se puede obtener por
afijación proporcional al tamaño de cada estrato, es decir:
* * , 1,...,ii i N n n n w i k N
Cuando se realiza un muestreo estratificado, los tamaños muestrales en cada
uno de los estratos, ni, los elige quien hace el muestreo, Así en un estrato
dado, se tiende a tomar una muestra más grande cuando:
- El estrato es más grande;- El estrato posee mayor variabilidad interna (varianza).
1.6 MUESTREO SISTEMATICO
Definición.- Una muestra obtenida al seleccionar aleatoriamente un elemento
de los primeros k elementos en el marco y después cada k-ésimo elemento,
se denomina muestra sistemática de intervalo de selección k.
Una muestre sistemática simple se obtiene cuando el intervalo de selección k
es exactamente un número entero.
El procedimiento de selección de una muestra sistemática simple consiste:
i) Las unidades del marco deben ser ordenados en magnitud de acuerdo
con algún esquema de ordenación (población ordenada) es base al orden
se establece la numeración desde 1 hasta N
ii) Determinar el intervalo de selección N k n (k exactamente un número
entero)
iii) Seleccionar un número aleatorio entre 1 y k (arranque aleatorio) sea “a”
el arranque aleatorio elegido, entonces los elementos de la muestra
sistemática, son los que ocupan las posiciones en el marco:
a, k+a, 2k+a, 3k+a,......(n-1)k+a
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 11
iv) El tamaño de muestra, para el muestreo sistemático es el mismo que el
M.A.S
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Por encargo del Ministerio de educación, un grupo de especialistas debe
realizar un estudio, para determinar el nivel de analfabetismo en una ciudad.
La estimación debe presentar un nivel de confianza del 95% y un margen de
error de 5%, suponiendo que la población es de 25000 ¿Cual es el tamaño de
muestra mínimo para este estudio?
Solución:
Consideremos que no se tiene ningún estudio de este tipo, por tanto 0.5 p ,
del problema:
(1 /2)25000, 0.05, 1.96 N z
2(1 / 2)
22(1 / 2)
* (1 )
* (1 ) ( 1)
Z NP P
Z P P N
n
2
22
1.96 *25000*0.5(1 0.5)378.361 379
1.96 *0.5(1 0.5) (25000 1) 0.05n
Se debe utilizar como mínimo 379 personas para el estudio.
2. Un funcionario del sector de educación, desea estimar el porcentaje deprofesores que presentan problemas de comprensión de lectura, con un nivel
de confianza del 95% y un margen de error del 5%. Suponiendo que en estudio
realizado hace 10 años, el porcentaje estimado de profesores con problemas
de comprensión de lectura fue de 15% ¿Cual debe ser el tamaño de muestra
para este estudio?
Solución:
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12 ESTADISTICA
La población materia de estudio, no es finita, por tanto la relación para estimar
el tamaño de muestra es:
2
(1 / 2)2
(1 )* P P Z n
Del problema se tiene los siguientes datos
(1 / 2)0.15, 0.05, 1.96P z
2
2
1.96 *0.15(1 0.15)195.92 196
0.05n
3. Un investigador, desea hacer una estimación del egreso medio que tienen los
padres de familia de una I.E, con 99% de confianza, suponiendo que el
máximo error permitido es de 1 sol, además de una muestra piloto se obtuvo
una varianza de 25. También se sabe que la institución educativa tiene 2500
padres de familia. ¿Que tamaño de muestra necesitara para tal estudio?
Solución
2
(1 / 2)
2500, 1,
25, 2.58
N
Z
2 2
(1 / 2)22 2
(1 / 2)
2
22
** ( 1)
2.58 *2500*25156.08 157
2.58 *25 (2500 1) 1
Z N n Z N
n
Se debe utilizar como mínimo 157 padres de familia para el estudio.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 13
4. Un grupo de especialistas en educación, planifican realizar un estudio sobre el
efecto del programa de capacitación un tres regiones del Perú. Suponiendo,
cuyo tamaño poblacional se muestra en el cuadro siguiente:
Región Tamaño de población.
A 2000
B 1200
C 5000
Total 8200
Considere que el tamaño de muestra es 245, calcule el tamaño de muestra
para cada región, necesario para este estudio.
Solución:
En este ejemplo, las regiones forman los estratos:
Región Ni wi
A 2000 =2000/8200=0.24B 1200 =1200/8200=0.15
C 5000 =5000/8200=0.61
Total N=8200 1
n=245.
Usando la relación:
* * , 1,...,ii i
N n n n w i k N , Se determina el tamaño de
muestra para cada region.
* 245 * 0.24 59.76 60* A A
A N
n w N
n n
* 245 * 0.15 35.85 36* B
B
B
N n w
N n n
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14 ESTADISTICA
* 245 * 0.61 149.39 149*C C
C N
n w N
n n
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Por encargo del Gobierno regional de Cusco, usted tiene que realizar un
estudio de seguimiento al programa de alfabetización en la región.
a) Cual es el tamaño de muestra para su estudio.
b) ¿Qué tipo de muestreo se debe aplicar?.
2. Suponiendo que usted, está realizando un estudio del efecto que presenta elprograma plan lector implementado por el gobierno, en la comprensión de los
estudiantes de las región de Cusco.
a) ¿Cuántos estudiantes como mínimo se requiere para el estudio?
b) Qué criterio de muestreo debería aplicar, con la finalidad de recopilar
información.
c) Explique el procedimiento, métodos estadísticos a utilizar en estudio.
3. Suponiendo que usted, está realizando un estudio del efecto que presenta los
hábitos de lectura en la comprensión lectora de los estudiantes de las
provincias de Cusco, La Convención y Canchis.
a) ¿Cuál es el tamaño de muestra para este estudio?
b) Qué criterio de muestreo debería aplicar, con la finalidad de recopilar
información.
4. Un investigador desea estimar el porcentaje de niños hiperactivos que existe en
una ciudad con un nivel de confianza del 98%.
¿Cuántos niños debería seleccionar para su estudio y que criterio de selección
de la muestra debe utilizar?. Justifique adecuadamente su respuesta.
5. Se desea estimar el ingreso medio mensual de los padres de familia de la una
I.E. Ante la ausencia de cualquier información acerca de la variabilidad del
ingreso económico, se tomó una muestra preliminar de 5 padres de familia, en
los que se obtuvieron los siguientes ingresos (en soles): 470, 480, 567, 491,
673.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 15
a) Determinar el tamaño mínimo de muestra, al 95 %, para cumplir el
objetivo anterior, suponiendo que dicha institución educativa tiene 500
padres de familia
b) Qué tipo de muestreo se debe aplicar para este estudio.
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16 ESTADISTICA
CAPITULO II
ESTIMACION PUNTUAL Y POR INTERVALOS
2.1 INFERENCIA ESTADÍSTICA.
La Inferencia estadística es aquella rama de la estadística mediante la cual se
trata de sacar conclusiones de una población en estudio, a partir de la
información que proporciona una muestra representativa de la misma.
Cuando se busca información acerca de una población, pero solo disponemos
de datos sobre una muestra, se necesitan algunos medios para utilizar los
datos de la muestra y sacar conclusiones acerca de la población. Losconceptos y técnicas que satisfacen esta necesidad constituyen lo que se
conoce con el nombre de Inferencia Estadística.
PUNTUALESTIMACIÓN
POR INTERVALOS
INFERENCIA ESTADÍSTICA
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Definición . Un estadístico es cualquier función de las observaciones de una
muestra aleatoria; es por lo tanto una variable aleatoria.
Se llama estimador de un parámetro a cualquier función de una muestra
),,,(ˆ
21 n X X X f
que conduce a la obtención de valoresaproximados de . Un estimador es un estadístico.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 17
La estimación es puntual cuando el estimador ˆ toma un solo valor.
Definición . Un estimador puntual de un parámetro es insesgado si su valor
esperado es ; es decir, ˆ es insesgado si ]ˆ[E
A la diferencia ]ˆ[E se le denomina sesgo del estimador.
2.2 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
2.2.1 Distribución de la media muestral con varianza poblacional
conocida.
Sea X una variable aleatoria con media µ y desviación típica conocida y
n X X X ,,, 21 una muestra aleatoria de tamaño n, entonces la media
muestral será:
n
ii X
n
X 1
1
Por el Teorema Central del Límite, si n 30, la distribución de X se aproxima
a la de una variable aleatoria normal de media µ y desviación típica n / .
Se representa por ) / ,(~ n N X
2.2.2 Distribución de la media muestral en poblaciones normales con
varianza poblacional desconocida.
Dada una variable aleatoria con distribución normal ),(~ N X con 2
conocido y una muestra aleatoria simple de tamaño n suya,
n X X X ,,, 21 , entonces:
12
~)1 /(
nt nS
X
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18 ESTADISTICA
Donde la varianza muestral se define como:
2
1
2 )(1 n
i
i X X
n
S
2.2.3 Distribución de la proporción muestral
La proporción muestral es un caso particular de la media muestral. Dada una
población, llamamos p a la proporción poblacional de elementos que presentan
una determinada característica. Si extraemos aleatoriamente un individuo de
dicha población, la variable aleatoria X que toma valor 1 si tal individuo
presenta la característica y 0 si no es así, es una variable de Bernoulli,
X ~ B(1, p ).
Si tomamos una muestra aleatoria simple de X de tamaño n ,
n X X X ,,, 21 , entonces
1
1ˆ
n
i
i X X pn
La proporción representa el cociente entre el número de elementos que poseen
la característica y el tamaño de la muestra.
Si n 30, aplicando el Teorema Central del Límite, la distribución de p̂ se
aproxima por una normal, ( , (1 ) / ) N p p p n
2.2.4 Distribución de la diferencia de medias muestrales de dos
poblaciones normales independientes con varianzas
poblacionales conocidas.
Sean X e Y dos variables aleatorias normales:
1 1~ ( , ) X N
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 19
2 2~ ( , )Y N con 1 y 2 conocidas.
Sea una muestra aleatoria simple de X de tamaño n , n X X X ,,, 21 e
independientemente se extrae otra muestra aleatoria simple de Y de tamaño
m , 1 2, , , mY Y Y . , entonces
) / ,(~ 11 n N X e ) / ,(~22
m N Y
Como las medias muestrales X e Y son independientes, tenemos que:
) / / ,(~ 2
2
2
121 mn N Y X
2.2.5 Distribución de la diferencia de medias muestrales de dos
poblaciones normales independientes con varianzas
poblacionales desconocidas, pero iguales.
Sean X e Y dos variables aleatorias normales, 1 1~ ( , ) X N e
2 2~ ( , )Y N con desviaciones típicas 21 , pero
desconocida.
Sea una muestra aleatoria simple de X de tamaño n , 1 2, , , n X X X e
independientemente se extrae otra muestra aleatoria simple de Y de tamaño
m , 1 2, , , mY Y Y
. Entonces:
1 2
2 2
1 2
2
( ) ( )~
1 1
2
n m
X Y
nS mS
n m n m
t
Donde:
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20 ESTADISTICA
2
1S es la varianza muestral de la variable X y2
2S la varianza muestral de la
variable Y .
2 22 1 2
2c
nS mSS
n m es el estimador de la varianza común.
2.2.6 Distribución de la varianza muestral en poblaciones normales.
Si ),(~ N X y 1 2, , , n X X X
es una muestra aleatoria de tamaño n ,
entonces la distribución de la varianza muestral2S es :
2
2
2( 1)
( 1)~ n
n S
Donde2
( 1)ndenota la distribución chi cuadrado con n -1 grados de libertad.
2.2.7 Distribución del cociente de varianzas muestrales de dos
poblaciones normales
Sean X e Y dos variables aleatorias normales, ( , )1 1~ X N e
( , )
2 2
~Y N e independientes. Si extraemos muestras de tamaños
1 2 1 2: , , , y : , , ,n m X X X Y Y Y n m
Respectivamente observamos que
2 *2
1 1
2 21 1
21
( 1)~ n
nS n S
;
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 21
2 *2
2 2
2 2
2 2
21
( 1)~ m
mS m S
El cociente entre ellas se distribuye según una F de Snedecor
2
1
2
1
( 1, 1)
1
1
/ ~
/
n
mn m
n
mF
Por lo tanto,
*2 2
1 1*2 2
2 2
( 1, 1)
/ ~ /
n m
SF S
2.3 INTERVALOS DE CONFIANZA.
Cuando tratamos la estimación puntual, uno de los problemas que se
plantearon es que el valor de la estimación es solo uno de los valores del
estimador, obtenido al extraer una muestra concreta, de forma que si
extraemos dos muestras distintas, las estimaciones serán distintas.Al hacer cualquier estimación se está cometiendo un error, y seria deseable
proporcionar una medida de la precisión de la estimación del parámetro.
En este tema vamos a introducir el concepto de intervalo de confianza como un
intervalo cuyos extremos son variables que dependen de la muestra, y en el
cual se confía que esté el valor de parámetro. El intervalo se obtendrá a partir
de un estadístico generalmente relacionado con un estimador puntual, cuya
distribución no depende del parámetro desconocido, y una medida de la validez
del intervalo es el nivel de confianza, que indica la proporción de intervalos de
todos los que se podrían construir a partir de muestras distintas, que realmente
contienen al parámetro.
La importancia del intervalo de confianza para la estimación está en el hecho
de que el intervalo contiene información sobre el estimador puntual (valor
central del intervalo) y sobre el posible error en la estimación a través de la
dispersión y de la distribución muestral del estimador. Una estimación será
tanto más precisa cuanto menor sea la amplitud del intervalo de confianza, es
decir, cuanto menor sea el error de estimación.
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22 ESTADISTICA
Definición
Un intervalo de confianza (IC) al 100(1 - )% para un parámetro poblacional
de una v.a. X es un intervalo con estadísticas L1 y L2 en los extremos (IC =
L1, L2 ) tal que .121 L LP
Intervalo de confianza para la media
El IC al 100(1 - )% para , cuando 2
es conocida , se obtiene
usando como pivote a
N (0, 1) /
X Z
n
y vienen dado por
1 12 2
X z X zn n
Z(1 Z(1
1
/2 /2
Donde:
x : Estimador
21
z: Factor de confiabilidad
n : Error típico del estimador
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 23
En términos generales un intervalo de confianza se puede expresar como
ESTIMADOR DELTÍPICOERROR DADCONFIABILI DE FACTORESTIMADOR
El IC al 100(1 - )% para , cuando 2
es desconocida se obtiene
usando como pivote a
(n -1)t /
X T
S n
y vienen dado por :
(1 , 1) (1 , 1)2 2
,n n
S S X X
n nt t
t(1 t(1
1
/2 /2
Donde:
(1 , 1)2 n
t denota al valor de la distribución t de Student con n – 1 grados de
libertad y la varianza muestral esta dado por :
2
2 1
1
n
i
i
x x
Sn
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24 ESTADISTICA
Intervalo de confianza para la varianza
El IC al 100(1 - )% para2, se obtiene usando como pivote a
22
( 1)2
1 n
n S y vienen dado por :
22
2
2 2
(1 (2 2, 1) , 1)
11
n n
n Sn S
1
2
(1 /2)
2
( /2)
Donde
2
( , 1)2 n y
2
(1 , 1)2 n denotan los valores en la distribuciónchi-cuadrado con n – 1 grados de libertad y la varianza muestral dado por:
2
2 1
1
n
iiS
x x
n
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 25
Intervalo de confianza para la razón de dos varianzas
El IC al 100(1 - )% para2 2
1 2 / , se obtiene usando como pivote a
2 2
1 11 22 2
2 2
/ 1, 1
/
SF F n n
S
y vienen dado por
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
( / 2, 1, 1) (1 / 2, 1, 1)2 1 2 1
S S
f f n n n nS S
Donde 2 1( /2, 1, 1)n n f y 2 1(1 / 2, 1, 1)n n f denotan a los valores
en la distribución F.2 2
1 2y S S y son las varianzas de dos muestras aleatorias
independientes de tamaños 1n y 2n
Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias.
El IC al 100(1 - )% para 1 2 , cuando 2
1 y 2
2 es conocida se
obtiene usando como pivote a
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
( ) X X z
n n
y vienen dado por:
2 2 2 2
1 2 1 2(1 / 2) 1 2 (1 / 2)
1 2 1 2
( ) ( )1 2 1 2* * X X X X z z
n n n n
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26 ESTADISTICA
Intervalo de confianza para la proporción
El IC al 100(1 - )% para p, se obtiene usando como pivote a
1N (0, 1)
p p
n
p p Z
y vienen dado por:
2 2
1 1
1 1
p p p p
n n p p p z z
Intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones
El IC al 100(1 - )% para 1 2 p p , se obtiene usando como pivote a
1 2
1 1 2 2
1 2
1 1
1 2( ) ( )N (0, 1)
p p p p
n n
p p p p Z
y vienen dado por:
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
1 1
1 1
( ) * ( )1 2 1 2 1 2(1
2
*(1
2
)
)
( ) p p p pn n
p p p p
n n
p p p p z p p
z
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 27
2.4 RESUMEN DE INTERVALO DE CONFIANZA.
En el cuadro siguiente se presenta el resumen de las relaciones para los
intervalos de confianza de los principales parámetros.
Intervalos de confianza de: Limite inferior Limite Superior
La Media
-Si se asume 2 conocido
-Nota: Si la población no es
normal pero n 30
(12
) X
n z
(12
) X
S
n z
(12
) X
n z
(12
) X
S
n z
La Media
Si se asume que 2 es
desconocido2
(1 , 1)n
S
n
X t 2
(1 , 1),
n
S
n
X t
La diferencias de Medias
21 y 2
2 Conocidos
--Nota: Si las poblaciones no
son normales pero n 1 30 y
n 2 30
2 2
1 2
(1 / 2)
1 2
( )1 2
* X X zn n
2 2
1 2(1 / 2)
1 2
( )1 2 * X X S S
z n n
2 2
1 2
(1 /2)
1 2
( )1 2
* X X zn n
2 2
1 2(1 / 2)
1 2
( )1 2
* X X S S zn n
La diferencia de Medias
Asumiendo que: 22
21 y
desconocidos
1 2 0
1 2
1 1( ) * p X X t S
n n 1 2 0
1 2
1 1( ) * p X X t S
n n
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28 ESTADISTICA
2 21 1 2 2
1 2
1 1
2
n S n S
n nS p 1 2(1 /2,n + n -2)ot t
La diferencia de Medias
Asumiendo que:
22
21 y desconocidos
(1 / 2, )
2 21 2( )
1 21 2
*v
S S X X
n nt
2 221 1
1 1
2 2 2 2( / ) ( / )1 21 21 11 2
( )S S
n n
S n S nn n
v
(1 / 2, )
2 21 2( )
1 21 2
*v
S S X X
n nt
La varianza 2
2
12
1
1
n S
n
2
2
2
1
1
n S
n
La razón de varianzas. 2122
( /2, 1, 1)2 1
Sn nS
f
2
1
2
2
(1 /2, 1, 1)2 1
n nS
Sf
La proporción
2
1
(1 )
p p
n p z 2
1
(1 )
p p
n p z
La diferencia de
proporciones.1 1 2 2
1 2
1 1
1 2 (1 )2
( ) *p p p p
n n p p z
1 1 2 2
1 2
1 1
1 2 (1 )2
( ) *p p p p
n n p p z
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 29
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1.- En una muestra de 250 padres de familia de una I.E rural, se obtuvo un ingreso
medio anual de 5900 soles y una desviación típica de 94 soles. Obtener un
intervalo de confianza al 95% para el ingreso medio poblacional.
Solución:
)(12
250, 5900,
94, 1.96
n X
z
Reemplazando en la relación
(1 ) (1 )2 2
X z X zn n
Z (1 Z (1
1
/2 /2
94 945900 1.96 5900 1.96250 250
5888.34 5911.65
El 95% de los padres de familia tienen ingresos anuales que fluctúan entre
5888.34 y 5911.65 soles.
2. En un estudio sobre las razones que dan los alumnos suspendidos en el
colegio, un investigador entrevisto a 200 estudiantes suspendidos, de los
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30 ESTADISTICA
cuales 140 dijeron que lo habían hecho por dificultades económicas en su
familia. Construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción.
Solución:
1400.7
200 p , (1
2)
1.96 z , n=200
1 1
) )(1 (12 2
p p p p
n n p z p p z
0.7(1 0.7) 0.7(1 0.7)200 2000.7 1.96 0.7 1.96 p
3. Dos muestras de docentes 250 de la provincia A, 200 de la provincia B,
indicaron que usan dinámica grupal (75 Provincia A y 80 de la Provincia B).
Utilizando un intervalo de confianza del 95% ¿ Se puede aceptar que es igual
la proporción de uso de dinámica grupal en ambas provincias?
Solución:
Provincia A
1
750.3
250 p , 1 250n
Provincia B
2
800.4
200
p, 1 200n
12
1.96 z
1 1 2 2
1 22
1 1 2 2
1 2
1 1
(1 )
1 1
)
1 2 1 2
1 2 (1 2
( ) ( )
( )
*
*
p p p p
n n
p p p p
n n
p p p p
p p
z
z
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 31
0.3 1 0.3 0.4 1 0.4
250 200
0.3 1 0.3 0.4 1 0.4
250 200
(0.3 0.4) 1.96 ( (0.3 0.4)1 2
1.96
* )
*
p p
1 2-0.18 ( ) -0.011 p p
El intervalo contiene solo valores negativos, entonces.
1 2 1 2( ) 0 p p p p
4. El director de un colegio quiere comparar el rendimiento académico, entre dos
secciones del quinto grado. Para ello recopilo una muestra de 50 notas de la
sección A y 40 de la sección B, resultando las medias de 13 y 15
respectivamente y las desviaciones estándar respectivamente son 3 y 4.
Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias
¿Podemos concluir que la media de los rendimientos de la Sección B es
mayor que la de A?
Solución:
Terapia A
1 1 113 3 50, , x n
Terapia B
2 2 215, 4, 40 x n
)(12
1.96 z
2 2 2 2
1 2 1 2(1 / 2) (1 / 2)
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2( ) ( )* * X X X X n n n n
z z
1 2
9 16 9 16(13 15) 1.96* (13 15) 1.96*
50 40 50 40
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32 ESTADISTICA
1 23.49 0.50
Como 1 20 , entonces 1 2 .
Se concluye que la seccion B presenta mejores resultados que la seccion A.
5. Un psicólogo desea calcular el tiempo medio de respuesta de unos jóvenes a un
determinado sonido, para ello selecciona una m.a.s. de 25 universitarios para
participar en el experimento. El tiempo medio de respuesta para la muestra es
de 160 milisegundos con una desviación típica de 5 milisegundos. Suponiendo
que el tiempo de respuesta de todos los individuos está normalmente distribuido.
Construya el Intervalo de confianza del 99%.
Solución:
X : Tiempo de respuesta
2, X N
2 desconocida
99,0 10 2,7969t
25n , 160 x , 5s
0 0t t
s s x x
n n
5 5160 2,7969 160 2,7969
25 25
157,2031 162,7969
El psicólogo puede afirmar con un 99% de confiabilidad, que el tiempo medio
verdadero de respuesta para todos los individuos similares a los que se emplean
en el experimento, está aproximadamente entre 157 y 163 milisegundos.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 33
6. Se tomaron dos muestras de presión sistólica (en mm Hg.) a sujetos normales
(X) y sujetos hospitalizados (Y) , obteniéndose la siguiente información:
Normales (X) : 146 142 135 140 154 163 138 168
Hospitalizados (Y) : 164 176 165 172 169 171
a) Determine entre qué valores se encuentra la presión sistólica media de la
población de sujetos normales con un nivel de confianza del 95%.
b) ¿Podría Ud. afirmar que la presión sistólica media de los sujetos
hospitalizados es mayor que la de los sujetos normales? Use un nivel de
significación de 0.05
c) ¿Es la varianza de la presión sistólica en la población de sujetos
hospitalizados igual a 16 (mm Hg.)? Use un nivel de significación de 0.05d) Un médico afirma que la presión sistólica de los sujetos hospitalizados es
menor que 175 mm Hg. Verifique tal afirmación usando un nivel de confianza
del 95%.
Solución:
a)2
es desconocida, por tanto la relación a emplear es:
(1 / 2, 1) (1 / 2, 1)n n
S S X t X t
n n
Normales i x
2
i x x
1 146 5,06252 142 39,0625
3 135 175,5625
4 140 68,0625
5 154 33,0625
6 163 217,5625
7 138 105,0625
8 168 390,0625Totales 1186 1033,5
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34 ESTADISTICA
8
1 1186 148.258
i
i
x
X n
82
2 1 1033.5147.64
1 8 1
ii
x xS
n
82
1
147.64 12.151
ii
x x
S n
(1 / 2, 1) 2.365nt
(1 /2, 1) (1 /2, 1)n n
S S X t X t
n n
12.15 12.15
148.25 2.365 148.25 2.3658 8
138,09 158,409
b) En forma similar, desarrollamos el intervalo de confianza para los pacientes
hospitalizados.
Hospitalizados i x 2
i x x
1 164 30,25
2 176 42,25
3 165 20,25
4 172 6,25
5 169 0,25
6 171 2,25Totales 1017 101,5
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 35
8
1 1017 169.56
i
i
x
X n
82
2 1 101.520.3
1 6 1
ii
x xS
n
82
1 20.3 4.511
ii x x
Sn
(1 / 2, 1) 4,032nt
4.51 4.51169,5 2,571 148, 25 2,571
6 6
164,766 174,234
El IC de la presión sistólica para los pacientes normales es:
138,09 158,409
El IC de la presión sistólica para los pacientes hospitalizados es:
164,766 174,234
Los dos intervalos no presentan elementos comunes por tanto la presión
sistólica entre el grupo de sujetos normales y hospitalizados difiere
significativamente. Los sujetos hospitalizados presentan mayores valores en su
presión sistólica.
c)
2
20.3S
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36 ESTADISTICA
2 2
, 1 1 , 12 2
0.83 12.83;n n
x x
El Intervalo de confianza para la varianza, esta dado por:
2 2
2
2 2
1 , 1 , 12 2
1 1
n n
S Sn n
x x
220.3 20.36 1 6 112.83 0.83
27,911 122.289
La varianza de la presión sistólica en la población de sujetos hospitalizados es
igual a 16 (mm Hg)
d) Como el intervalo de confianza de la presión sistólica de los pacienteshospitalizados es: 164,766 174,234 , por tanto al 95% se confirma la
sospecha del medico.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 37
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. En un experimento ideado para comprobar la efectividad de cierto método de
enseñanza, a 25 estudiantes escogidos al azar en una escuela se les enseño
por medio del método experimental. Al termino del experimento, los
estudiantes rindieron un examen, obteniendo una media de 15 puntos y una
desviación de 10 ¿Construir un intervalo de confianza del 95% para la media de
poblacional?
2. Se tienen algunos indicios de que el programa de capacitación dirigida por elministerio de educación tiende a mejorar el nivel de solución de problemas
matemáticos de los profesores. Para estudiar esta hipótesis, se selecciono una
muestras de 8 profesores y se evaluó su nivel de solución de problemas
matemáticos antes y después de la capacitación, obteniendo las siguientes
calificaciones en una escala de 0- 100.
Antes 25 24 27 43 31 67 53 53Después 28 28 37 57 47 82 57 80
Hay suficiente evidencia estadística al nivel de significación de 0,05 a favor de
la hipótesis de que el programa de capacitación presenta una mejora
significativa en la solución de problemas matemáticos.
3. Según la afirmación del gobierno aprista el ingreso familiar de los profesores,ha cambiado significativamente durante los últimos 5 años. Se sabe que hace 5
años la distribución del ingreso familiar presentaba una distribución normal con
media de 950 nuevos soles y con una desviación de 300 nuevos soles.
Para contrastar dicha afirmación un grupo de economistas selecciona una
muestra aleatoria de 50 familias, obteniendo los siguientes ingresos actuales:
325 1123 525 1023 453 1450 793 1965 327 1525
895 740 525 315 593 843 424 1595 643 797255 255 1460 985 530 924 1214 1509 727 1134456 772 1220 971 685 1044 1455 1725 1020 335
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38 ESTADISTICA
1525 847 1005 1024 646 1255 1675 580 437 1702
Al nivel de confianza del 95%. ¿Puede el grupo de economistas confirmar la
afirmación del gobierno, respecto a la distribución de los ingresos familiares?
4. Los estudiantes que se matricularon en un curso de investigación educativa
fueron distribuidas al azar en dos grupos. El grupo A utilizo numerosas técnicas
y actividades para enriquecer el curso. El grupo B estudio con el método
clásico. Los puntajes en una prueba de rendimiento hecha al terminar el curso,
dieron los siguientes resultados.
Grupo A: n1=10, 1 16 x , 1 8s
Grupo B: n2=10, 2 14 x , 2 10s
Construir un intervalo de confianza del 95%.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 39
CAPITULO III
PRUEBAS DE HIPOTESIS
3.1 PRUEBAS DE HIPOTESIS
En muchas situaciones el investigador tiene alguna idea o conjetura sobre el
comportamiento de una o más variables en la población.
El diseño de la investigación debe permitir probar la veracidad de sus ideas
sobre la población en estudio, en base a los datos de la muestra.
La idea o conjetura es una hipótesis y el procedimiento de toma de decisión
sobre la hipótesis se conoce como prueba de hipótesis.Una hipótesis estadística es una conjetura sobre el comportamiento
probabilística de una población.
Si la hipótesis estadística identifica por completo la distribución, recibe el
nombre de “hipótesis simple”, y si no la especifica recibe el nombre de
“hipótesis compuesta”.
El contraste de hipótesis tiene por finalidad decidir si una conjetura puedeconsiderarse cierta, o debe rechazarse, basándonos en la información
suministrada por una muestra.
Hipótesis nula (denotada como H0). Esta hipótesis nula es la que se somete
a comprobación, y es la que se acepta o rechaza, como la conclusión final de
un contraste.
Hipótesis alternativa (denotada como Ha). Se denomina hipótesis alternativa
aquella hipótesis contra la cual queremos contrastar la hipótesis nula. Esta
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40 ESTADISTICA
hipótesis puede ser simple o compuesta. Podemos cometer dos tipos de error:
rechazar la hipótesis nula siendo ésta cierta (error de tipo I) y aceptar la
hipótesis nula cuando esta es falsa (error de tipo II).
Aceptar Ho Rechazar Ho
Ho verdadera Decisión correcta Error Tipo I
Ho falsa Error Tipo II Decisión correcta
La decisión de rechazar, o no, la hipótesis nula la tomamos a partir de la
información proporcionada por la muestra (estadístico de prueba ). Realizamosuna partición del espacio muestral en dos regiones, la región crítica en la que
se rechaza la hipótesis nula (tiene probabilidad si 0 H es cierta) y la región
de aceptación , en la que se acepta la hipótesis nula.
Antes de definir los pasos de una prueba de hipótesis se define algunos
conceptos básicos.
1. Nivel de significación del contraste es la probabilidad de cometer un error
del tipo I, es decir, de rechazar la hipótesis nula siendo cierta, y se
acostumbra a denotar por
2. El contraste de hipótesis, es pues, un mecanismo mediante el cual se
rechaza la hipótesis nula cuando existan diferencias significativas entre los
valores muestrales y los valores teóricos, y se acepta en caso contrario.Estas variables se medirán mediante una variable denominada estadígrafo
de contraste, que sigue una distribución determinada conocida, y que para
cada muestra tomará un valor particular.
3. La región crítica es el conjunto de valores del estadístico de contraste que
nos induce a rechazar la hipótesis nula
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 41
3.2 PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS.
Los pasos que son convenientes seguir para realizar la prueba de hipótesis
son:
1. Formulación de hipótesis.
Los supuestos planteados en la investigación nos llevan a formular
hipótesis estadísticas, las mimas que presentan las siguientes formas.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
: vs :
: vs :
: vs :
a
a
a
H H
H H
H H
2. Elegir el nivel de significación, .
3. Estadístico de prueba
4. Determinar la región crítica. La forma de la región crítica depende de la
hipótesis alterna.
Para 0:a H
Z(1
Z(1
R.A. H0R.R. H0 R.R. H0
/2 /2
1
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42 ESTADISTICA
Para 0:a H
Z(1
R.A. H0 R.R. H0
1
Para 0:a H
Z(1
R.A. H0R.R. H0
1
La región de rechazo de la hipótesis nula es la sombreada. Se rechaza H 0 cuando el estadístico de prueba toma un valor comprendido en la zona
sombreada y se acepta Ho cuando el valor del estadístico de prueba cae en la
región de aceptación, región no sombreada.
5. Conclusión. Determinar las conclusiones estadísticas del contraste (aceptar
o rechazar Ho).
A continuación se presentan las pruebas de hipótesis en forma de resumen.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 43
3.3 PRUEBAS DE HIPOTESIS EN POBLACIONES NORMALES.
Pruebas de Hipótesis. Estadístico de
Prueba
Rechazar H0, si:
Hipótesis Nula Hipótesis
Alternativa
Prueba de Medias
H0: = 0 vs:
si 2 conocido
- Si la población no es normal pero
n 30
Ha: 0
Ha: > 0
Ha: < 0
0
/
X c n
Z
0
/
X
c s n Z
(1 )2
c Z z
(1 )c Z z
(1 )c Z z
Prueba de Medias
H0: = 0 vs
Si se asume que :2
es desconocido
Ha: 0
Ha: > 0
Ha: < 0
0
/
X c S n
T
(1 , 1)2
c nT t
(1 , 1)c nT t
(1 , 1)c nT t
Prueba de
diferencias de
Medias
H0: 1 = 2 vs:
Asumiendo
21 y
22
Conocidos
--Si las poblaciones
no son normales
pero n 1 30 y
n 2 30
Ha: 1 2
Ha: 1 > 2
Ha: 1 < 2
1 2
2 21 2
1 2n n
X X c Z
1 2
2 21 2
1 2
s s
n n
X X c Z
(1 )2
c Z z
(1 )c Z z
(1 )c Z z
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44 ESTADISTICA
Prueba de
diferencia de
Medias
H0: 1 = 2 vs
Asumiendo que:
22
21 y
Desconocidos
Ha: 1 2
Ha: 1 > 2 Ha: 1 < 2
1 2
1 11 2 p n n
X X
c S
T
2 21 1 2 2
1 2
1 1
2
n S n S
p n nS
(1 , 2)1 22
c n nT t
(1 , 2)1 2
c n nT t
(1 , 2)1 2c n nT t
Prueba de
diferencia de
Medias
H0: 1 = 2 vs
Asumiendo que:
22
21 y
desconocidos
Ha: 1 2
Ha: 1 > 2
Ha: 1 < 2
1 2
2 21 2
1 2
S S
n n
X X cT
2 221 1
1 1
2 2 2 2( / ) ( / )1 21 2
1 11 2
( )
S S
n n
S n S n
n n
v
2(1 , )c v
T t
(1 , )c vT t
(1 , )c vT t
Prueba de
varianzas
H0:2 = 2
0 vs
Ha: 20
2
Ha: 202
Ha: 20
2
2
20
12 n Sc
2 2
( , 1)
2 2
, 1)
2
(12
c n
c n
ó
2 2
(1 , 1)
2 2
, 1)(
c n
c n
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 45
Prueba de razón de
varianzas.
H0: 22
21 vs
Ha: 22
21
Ha: 2221
Ha: 22
21
2max
2
min
Sc
S
F
( , 1, 1)max min2
(1 , 1, 1)max min2
c
c
n n
n n
F F ó
F F
(1 , 1, 1)max minc n nF F
( , 1, 1)max minc n nF F
Prueba de
proporciones
H0: p =p0 Vs
Ha: p p0 Ha: p > p0
Ha: p < p0
0(1 ) /
p p
c p p n Z 2(1 )c Z z
(1 )c Z z
(1 )c Z z
Prueba de
diferencia de
proporciones
H0: p1 = p2 Vs
Ha: p1 p2
Ha: p1 > p2
Ha: p1 < p2
1 2
1 2
(1 ) (1 )c c c c
p p
c p p p p
n n
Z
1 1 2 2
1 2
c
n p n p p
n n
2(1 )c Z z
(1 )c Z z
(1 )c Z z
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46 ESTADISTICA
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Según el ministerio de educación el ingreso económico promedio de los
profesores que trabajan en instituciones educativas privadas es mayor que 355
dólares. Para contrastar esta hipótesis se analiza una muestra de 60 profesores
elegidos aleatoriamente. Resulto una media muestral de 580 dólares.
Suponiendo normalidad para las mediciones, proporcionan estos datos
suficiente evidencia estadística, al nivel de 95% de confianza, a favor de la
hipótesis planteada por el ministerio de educación. Use 180
Solución:
Formulación de hipótesis.
H0: = 355
Ha: > 355
Nivel de significancia , 5%
Estadística de prueba.
0
/
X c n
Z
180 , (1 ) 1.645 z , 160, 580n x
580 355
180/ 609.68
c Z
Región critica
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 47
Z =1.6450Z =9.68
c
RegiónAceptación
RegiónCrítica
=5%
Conclusión.
Como c o Z Z
Se rechaza la hipótesis nula.
2. Se tienen algunos indicios de que el programa de capacitación dirigida por el
ministerio de educación tiende a mejorar el nivel de solución de problemas
matemáticos de los profesores. Para estudiar esta hipótesis, se selecciono unamuestras de 9 profesores y se evaluó su nivel de solución de problemas
matemáticos antes y después de la capacitación, obteniendo las siguientes
calificaciones en una escala de 0- 100.
Antes 25 25 27 44 30 67 53 53 52
Después 27 29 37 56 46 82 57 80 61
Diferencia 2 4 10 12 16 15 4 27 9
Hay suficiente evidencia estadística al nivel de significación de 0,05 a favor de
la hipótesis de que el programa de capacitación presentan una mejora
significativa en la solución de problemas matemáticos.
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48 ESTADISTICA
Solución:
Formulación de hipótesis.
H0: d = 0
Ha: d 0
Nivel de significancía , 5%
Estadística de prueba.
0
/
X c S n
T
7.76s ,
(1 / 2, 1) 2.262nt
19, 11n x
11 04.25
7.76 / 9c
T
Región critica
t =4.25ct =2.260t =–2.260
R.A. H0R.R. H
0R.R. H
0
Conclusión.
Se rechaza la hipótesis nula.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 49
3. En un estudio sobre las preferencias de un grupo de profesores, sobre el uso de
dos tipos de estrategias cognitivas A y B para el proceso de enseñanza-
aprendizaje. De 600 especialistas encuestados, respondieron: 20% prefiere la
estrategia A, y 15 % la estrategia B. ¿Es posible concluir con 95% de confianza
que las preferencias de las estrategias A y B son similares?
Solución:
Formulación de hipótesis.
H0: p1 =p2
Ha: p1 p2
Nivel de significancia , 5%
Estadística de prueba.
1 2
1 2
(1 ) (1 )c c c c
p pc p p p p
n n
Z
Tratamiento A.
10.2 p , 1
600n
Tratamiento B.
2 0.15 p , 2 600n
1 1 2 2
1 2
600*0.2 600*0.150.175
600 600c
n p n p p
n n
1 2
1 2
0.20 0.152.279
(1 ) (1 ) 0.175(1 0.175) 0.175(1 0.175)
600 600
c c c c
p p
c p p p p
n n
Z
Región critica
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50 ESTADISTICA
Z =1.960Z =2.279c
RegiónAceptación
RegiónCrítica
=5%
Conclusión.
Comoc o
Z Z , se rechaza la hipótesis nula, por tanto p1 p
2.4. La prueba de resistencia física estándar en los alumnos, tiene una media
de 200 puntos y una desviación estándar de 50 puntos. El director de un
colegio sospecha que la resistencia física de los alumnos, esta por debajo
de los parámetros estándares, con tal motivo se sometieron a 100 alumnos
seleccionados al azar a dicha prueba obteniéndose una media de 180
puntos ¿Con 95% cual es su conclusión?
Solución
H0: = 200
H1: < 200
50 , 1 1.645 z
1100, 180n x
180 200
50/ 100
4c
Z
Como 1.645c Z
Se rechaza la hipótesis nula, por tanto la resistencia física de los alumnos del
mencionado colegio es menor que el parámetro estándar.
5. El ministerio de educación, esta implementado un nuevo método de enseñanza,
para analizar si este método es más adecuado que el método tradicional, se ha
experimentado en 14 alumnos, 7 para cada método, registrándose lassiguientes calificaciones.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 51
Método Tradicional 11 13 09 12 10 9 13
Nuevo Método 14 13 16 17 11 12 15
¿En base a la información cual es su conclusión?
Solución.
H0: 1 = 2
H1: 1 2
Supongamos que las varianzas poblacionales son iguales, entonces el
estadístico de prueba es:
1 2
1 1
1 2 p n n
X X
c ST t (n1 + n2 -2)
De la información se tiene:
Método Tradicional2
1 1 111, 3, 1.73 x s s
Nuevo Método2
2 2 214, 4.67 , 2.16 x s s
2 21 1 2 2
1 2
1 1 7 1 *3 7 1 *4.67
2 7 7 22.11n S n S
p n nS
1 2
1 1
1 21 17 7
11 142.65
2.11* p n n
X X c S
T
20 1 2 0.975 0.9751
2 7 7 2 12 2.179T t n n t t
Como 0cT T , entonces se rechaza H0, por tanto el nuevo método con el
método tradicional producen distinto rendimiento.
1 2 o , entonces 1 2 ( El nuevo método propuesto genera mejor
rendimiento).
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52 ESTADISTICA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un gabinete de psicólogos clínicos pretende estudiar la eficiencia de dos
terapias (psicoanalítica y conductista) en el tratamiento de adicción a
drogas. Para ello asigna aleatoriamente, 12 pacientes para cada terapia y
mide las horas que deja de consumir algún tipo de droga, después de
aplicar la terapia.
Los resultados obtenidos son los siguientes.2
1 1
22 2
25, 4
17, 2
Psicoanalitica x s
Conductivista x s
Con 95% de confianza, cual es su conclusión de este estudio.
2. Se afirma que cierta técnica que se prescribe para tratar depresión es
efectiva en más del 80% de los casos. Al parecer esta afirmación es
exagerada, por lo que se les aplica esta terapia a 15 pacientes, resultando
que 13 de ellos han experimentado alivio. Es esta suficiente evidencia para
concluir que realmente la terapia es efectiva en más del 80% de los casos alnivel de significancia del 5%.
3. El director de un colegio realizo un estudio para comparar la efectividad de
dos métodos de enseñanza, para tal efecto se considero 100 estudiantes
con el método A y 100 con B, resultando que los métodos presentaron un
mejor rendimiento en 20 y 18% de los casos respectivamente. Al nivel de
confianza del 95%, cual es su conclusión.
4. Dos métodos de motivación fueron probados en 100 estudiantes, 50 con
método A y 50 con B, en los cuales se les ha medido el nivel de
concentración, las medias fueron de 16 y 18 .Suponga que las poblaciones
son normales con 1 28, 7 . Con un nivel de significancia del 5% , cual
de los métodos es más efectiva.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 53
5. Un grupo de trabajadores fue sometido a una serie de situaciones de
tensión que produjeron una respuesta de temor. Después de cierto periodo
de tiempo bajo estas condiciones los trabajadores fueron comparados con
los de un grupo control que no había sido sometido a tensión y los
resultados fueron los siguientes respecto al tiempo de reacción ( en
segundos) . Suponga normalidad.
Experimental (X): 3.8 6.8 3.6 3.9 4.5 3.9 5.9 6.0 5.7 5.6 4.5
Control (Y): 4.2 4.8 4.8 6.5 4.9 3.6 3.2 4.9 4.0 3.8
Pruebe que las varianzas en ambos grupos es la misma a un nivel de
significación de 5% .
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54 ESTADISTICA
CAPITULO IV
PRUEBA DE CHI-CUADRADO
Las pruebas de hipótesis desarrolladas anteriormente, están
basadas en el supuesto de que la muestra pertenezca a una
población con distribución conocida.
Aquí abordaremos dos problemas muy interesantes dentro de lo
que se conoce con el nombre de estadística no paramétrica . La
prueba de homogeneidad y la prueba de independencia.
La justificación de estos problemas es comparar las frecuenciasesperadas y las observadas.
4.1 Tabla de contingencia.
Es relativamente frecuente encontrarse con información referida a la
observación de dos características de una población, en las que se establecen
modalidades o categorías, mediante las cuales se clasifican los individuos o
elementos que constituyen una muestra de la misma. Este tipo de distribuciónbidimensional de frecuencias suele presentarse en forma de tabla de doble
entrada, también llamada tabla de contingencia.
La información obtenida del estudio generalmente se presenta en una tabla de
contingencias, en esta se tiene un conjunto de n elementos clasificados de
acuerdo a dos criterios, X e Y , cada uno de los cuales tiene una serie de
categorías mutuamente excluyentes:
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 55
1Y 2
Y ...... jY c
Y Total
1 X 11o 12o 1 jo
1co 1.
n
2 X 21
o 22o 2 jo 2co 2.n
... ... ... ... ... ...
i X 1io 2io ijo ico .in
... ... ... ... ... ...
r X 1r o 2r o rjo rco .r n
Total.1
n .2n . jn .c
n ..n n
Donde:
ijo : Representa la frecuencia observada, es decir, el número de individuos que
pertenecen simultáneamente a las categorías i X e jY .
Las frecuencias marginales son:
.
1
r
j iji
n ny .
1
c
i ij j
n n
En esta sección se verán las pruebas de homogeneidad y de independencia.
Si bien ambas pruebas presentan el mismo procedimiento de cálculo, lashipótesis a probar son diferentes y por lo tanto las conclusiones obtenidas
también.
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56 ESTADISTICA
4.2 PRUEBA DE HOMOGENEIDAD.
En ocasiones ocurre que tenemos varias poblaciones clasificadas de acuerdo
con las categorías definidas para una determinada variable. La pregunta que se
sugiere inmediatamente es si la proporción de individuos pertenecientes a cada
una de las clases es la misma en todas las poblaciones. Si, con la información
suministrada por las muestras obtenidas, se puede aceptar que esto es así,
diremos que las poblaciones son homogéneas con respecto a la variable de
clasificación utilizada.
Existen r poblaciones y una muestra aleatoria es extraída desde cada
población. Sea n i. el tamaño de la muestra extraída de la i-ésima
población. Cada observación de cada muestra puede ser clasificada en
una de c categorías diferentes. Los datos son arreglados en la
siguiente tabla de contingencia r c:
Categoría Categoría ... Categoría Total
Población 1 O11 O12 ... O1c n 1•.
Población 2 O21 O 22 …
O 2c n 2•
Población
r Or1 Or2 ... O rc
n r.
Total n.1 n.2 … n.c n..
En la tabla, o ij es el número de observaciones(frecuencias observadas) de la
muestra i clasificadas en la categoría j; n. j es el número total de
observaciones en la categoría j extraídas desde las r poblaciones y n.. es
el total de observaciones extraídas desde las r poblaciones.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 57
Hipótesis:
Sea ij la probabilidad de que una observación seleccionada de la
población i sea clasificada en la categoría j. Entonces las hipótesis son:
Ho: 1j =... = rj para todo j = 1, 2,…c
Ha: Al menos una igualdad no se cumple.
Las hipótesis pueden expresarse equivalentemente de la siguiente manera:
H0: La variable aleatoria tiene la misma distribución de probabilidades en las r
poblaciones.
Ha: La variable aleatoria tiene una distribución de probabilidades diferente
en al menos una de las poblaciones.
La estadística de prueba esta dado por:
2 2
1 1
( )( 1)( 1)
r cij ij
c j j ij
o e x x r ce
Donde, las frecuencias esperadas esta dada por :
. .
..
i jij
n ne
n
Regla de decisión:
La hipótesis nula se rechaza con un nivel de significación si el2
c x resulta
mayor que el valor de tabla
2
(1 ,( 1)( 1))r c x
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58 ESTADISTICA
4.3 PRUEBA DE INDEPENDENCIA
Esta prueba permite analizar si dos variables aleatorias son o no
independientes.
Dado una muestra aleatoria de tamaño n.. es extraída, y cada observación
de la muestra es clasificada de acuerdo a dos criterios (variables X y Y).
Usando el primer criterio cada observación es clasificada en una de r filas
y usando el segundo criterio en una de c columnas. Los datos son arreglados
en la siguiente tabla de contingencia r x c :
Columna 1 Columna 2 ... Columna c Total
Fila 1 0 11 0 12 ... O ic n i .
Fila 2 0 21 0 22 ... 0 2c n 2 .
Fila r O r1 O r2 ... 0 rc n r.
Total n .1 n .2 ... n.c n..
En la tabla, o jj es el número de observaciones clasificadas en la fila i
columna j, n i . es el número total de observaciones en la fila i y n. j es el
número total de observaciones en la columna j .
Hipótesis:
Sea:
ij la probabilidad de que una observación sea clasificada en la fila i
columna j,
.i la probabilidad de que una observación sea clasificada en la fila i
y . j la probabilidad de que una observación sea clasificada en la
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 59
columna j . Entonces las hipótesis son:
Ho: . .ij i j para todo i = 1, ... r, j = 1, ... c.
Ha: Al menos una igualdad no se cumple.
Las hipótesis pueden expresarse, en forma equivalente de la siguiente manera:
Ho: Las variables X y Y son independientes.
HI : Las variables X y Y no son independientes.
Estadístico de prueba:
2 2
1 1
( )( 1)( 1)
r cij ij
c j j ij
o e x x r c
e donde
. .
..
i jij
n ne
n
Regla de decisión:
Se adopta la siguiente regla de decisión:
Si
2 2
( 1)( 1)c r c entonces se acepta la hipotes 0 H
Si2 2
( 1)( 1)c r c entonces se rechaza la hipotes0
H
Como puede observarse el procedimiento es muy similar al de la prueba de
homogeneidad, y a veces suelen confundirse.
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60 ESTADISTICA
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. En una investigación realizada sobre el efecto del clima organizacional en la
gestión educativa en las instituciones educativas de la ciudad del Cusco, se
obtuvo la siguiente información:
Clima
Organizacional
Gestión Educativa
Mala Regular Buena Total
Buena 70 100 150 320
Mala 130 100 50 280
Total 200 200 200 600
¿Podemos concluir con 95% de confianza que el clima organizacional influye
en la gestión educativa ?
Solución:
H0: El clima organizacional no influye la gestión educativa.
Ha: El clima organizacional influye la gestión educativa..
11
320*200106.67
600e , 12
320*200106.67
600e ,
13
320*200106.67
600e , 21
280*20093.33
600e ,
22
280*20093.33
600e , 23
280*20093.33
600e
2 2 2
2
2 2 2
70 106.67 100 106.67 150 106.67
106.67 106.67 106.67
130 93.33 100 93.33 50 93.33
93.33 93.33 93.33
c
2
65.625c
De la tabla de chi-cuadrado ,2
0 5.991
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 61
1
R.A. H0 R.R. H0
2=5.99
o
2=65.625
o
Como2 2
0c , se rechaza la hipótesis nula, Acepta la Ha.
2. En un estudio realizado a 341 estudiantes que participaron en un programa
piloto para evaluar la influencia de la técnica de expertos como estrategia en la
comprensión lectora. Los resultados se presentan en la siguiente tabla:
Técnica de expertos Comprensión lectoraTotal
Mala Regular Buena
Buena 15 25 40 80
Regular 30 100 43 173
Mala 43 27 18 88
Total 118 150 73 341
¿Existe alguna relación significativa entre la aplicación de la técnica de
expertos y el nivel de comprensión lectora? Use un nivel de confiabilidad de
99%
Solución:
Ho : No Existe relación entre la aplicación de la técnica de expertos y el nivel
de comprensión lectora.
Ha : Existe relación entre la aplicación de la técnica de expertos y el nivel de
comprensión lectora.
El nivel de significación es 1% 0.01
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62 ESTADISTICA
El estadístico es:
2
2 2
1 11 1
r cij ij
c r c gli j ij
o e
X X e
Previamente calculamos los valores esperados.
. .
..
i jij
n ne
n
1. .1
11..
80*118
27.68341
n n
e n
2. .1
21..
173*118
59.87341
n n
e n
3. .131
..
88*11830.45
341
n ne
n 1. .2
12
..
80*15035.19
341
n ne
n
2. .222
..
173*15076.10
341
n ne
n 3. .2
32
..
88*15038.71
341
n ne
n
1. .313
..
80*73 17.13341n ne n
2. .323
..
173*73 37.04341
n ne n
3. .333
..
88*7318.84
341
n ne
n
Reemplazando en el estadístico
2
2
1 1
2 2 215 27.68 25 35.19 18 18.84
.... 71.4127.68 35.19 18.84
=
r cij ij
c
i j ij
o e X
e
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 63
Como2
71.41c
X >2
03,747 X , por tanto se rechaza la hipótesis
nula y se acepta la hipótesis alterna, Existe relación entre la aplicación de la
técnica de expertos y el nivel de comprensión lectora
3. En el cuadro siguiente se muestra los resultados del hábito de estudio y
comprensión de lectura de 58 estudiantes.
Habito de estudio Comprensión de lectura Total
Dependiente Independiente
Mala 36 7 43Buena 2 13 15
Total 38 20 58
a) Existe relación entre ambas variables, use un nivel de significancia del
5%.
b) Determine el grado de asociación entre dichas variables.
c) Determine el grado de relación entre dichas variables.
Solución
a) Utilizando la prueba de chi-cuadrado, para tablas de 2x2.
Ho: La comprensión lectora y el hábito de estudios no están relacionados.
Ha: La comprensión lectora y el hábito de estudios no están relacionados.
2
2
1 2 1 2
2
36 *13 7 * 2 * 5824.39
43*15*38*20
.
r r c cc
ad bc n
De la tabla de la distribución2 x con (2-1)x(2-1) = 1 grado de libertad, se
tiene:2
0 3.84 x
Como
2 2
0c , se rechaza Ho, por lo tanto se concluye que lacomprensión lectora no depende el habito de estudios.
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64 ESTADISTICA
b) Para determinar el grado de asociación, utilizamos le coeficiente de
contingencia.
2
2
24.390,544
58 24.39C
n
c) Para determinar el grado de correlación se utiliza el coeficiente
2 24,390,64858n
Presentan una relación de 64,8% entre dichas variables.
5. Un investigador desea evaluar la influencia de la enseñanza directa en la
comprensión criterial, para ello realizo un estudio, obteniendo los
siguientes datos.
Enseñanza
directa
Comprensión Criterial
Malo Regular Bueno Muy Bueno
Regular 2 15 1 0
Bueno 0 2 29 1
Cuál es su conclusión del estudio, al 95% de confianza.
Solución.
2 15 1 0 18
11,1% 83,3% 5,6% ,0% 100,0%
0 2 29 1 32
,0% 6,3% 90,6% 3,1% 100,0%
2 17 30 1 50
4,0% 34,0% 60,0% 2,0% 100,0%
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Enseñanza
Directa
Regular
Bueno
Total
Malo Regular Bueno Muy Bueno
Comprensión Criterial
Total
Chi-cuadrado=38,145 P-valor=0,000
De la prueba de Chi cuadrado, con 95% de confianza (p-valor=0,000<0,05) se concluye
que la enseñanza directa influye en el tipo de comprensión criterial. Si la aplicación de la
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 65
enseñanza directa es regular esta influye de modo regular en el nivel de comprensión
criterial en un 83,3%; y hacia la buena en el 5,6%; en cambio si la enseñanza directa es
buena, genera en un 90,6% un nivel comprensión criterial bueno por parte de los
estudiantes.
Comprensión
criterial
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Regular BuenoEnseñanza directa
P o r c e n t a j e
MaloRegularBuenoMuy Bueno
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66 ESTADISTICA
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Un investigador analiza la influencia del uso de materiales didácticos en el
rendimiento académico de los estudiantes de las I.E de la región Cusco, para
este fin realizo un estudio, en 32 I.E, obteniendo los siguientes datos.
Nivel de uso dematerialesdidácticos
R M B R R M M B B M M B R R M M
Rendimientoacadémico.
M M B R R M R B R R M B R R M M
Nivel de uso de
materialesdidácticos
R R B B R M M B R R B R M R B M
Rendimientoacadémico.
R M R B R R M B R R B R M R M R
Donde M: Mala, R: Regular, B: Buena. Al 95% de confianza.
a) Influye el uso de materiales didácticos en el rendimiento académico.
b) Determine el tipo de influencia, si existe.
2. Se desea analizar la influencia del clima organización en la gestión educativa
de las I.E de la Región Cusco, para este fin se selecciona aleatoriamente 30 I.E
de la región Cusco, obteniendo los siguientes resultados
Clima
organización
R M R R M B M MB R
Gestión
educativa
M R R R M B R B R
Clima
organización
R R M R MB B B MB R
Gestión
educativa
R B M R MB B R MB B
Clima
organización
R M M MB B R M R MB
Gestióneducativa
M R M MB B B M M B
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 67
Al 95% de confianza cual es su conclusión del estudio.
3. Un investigador está analizando la relación que existe entre el habito de lectura
y el tiempo de compresión. En el cuadro siguiente se tiene la información de
150 estudiantes.
Tiempo de
comprensión
Habito de lectura
Poco Regular Bastante Total
Lento 40 20 10 70
Rápido 20 30 90 140
Total 60 50 100 210
¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente con 95% de confianza de que el
habito de lectura esta relacionado con el tiempo de comprensión?
4. De un estudio realizado respecto a la cantidad de ingresantes a una
universidad con respecto al tipo de colegio se obtuvo la siguiente información:
Ingresantes
Colegio
Nacional Particular Convenio Total
Ciencias 85 80 70 235
Letras 70 90 60 220
Total 155 170 130 455
¿Se puede concluir que la cantidad de ingresantes a ciencias y letras es
homogénea para los tres tipos de colegios. Use un nivel del 95% de confianza?
5. Se aplicó una encuesta tipo test a 300 docentes respecto del conocimiento y
uso de dinamitas grupales al respecto se tiene la siguiente información.
Aplicación Conocimiento
TotalSi NoSi 45 35 80
No 37 48 85
Total 82 83 165
¿Existe relación entre conocimiento y aplicación con un 98% de confianza?
6. Un investigador realizó un estudio para determinar si el tamaño de la familia
depende del nivel de educación del padre. La muestra se clasifica de acuerdo
al nivel de educación y número de hijos.
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68 ESTADISTICA
Nivel de
educación
Número de hijos
0 o
1
2 3 4 5 o más
Primaria 20 18 12 14 30
Secundaria 50 25 18 16 24
Superior 12 6 4 8 12
Con estos datos ¿Se puede inferir que el tamaño de la familia es independiente
del nivel de educación del padre , con 95% de confianza?.
7. Se llevó a cabo una encuesta con respecto a la preferencia del consumidor
para determinar si existía alguna predilección por tres editoriales competitivas
(A, B o C) en tres regiones geográficas donde habitan los consumidores.
Basándose en una muestra aleatoria de consumidores por región, se obtuvo
la siguiente información para las tres regiones:
Marca Región
Reg.1 Reg.2 Reg.3A 40 52 25B 52 70 35C 68 78 60
Con base a esta información verifique si las tres regiones son equivalentes
usando un nivel de significación de 5%.
8. Cierta institución particular desea determinar si el ausentismo laboral se
relaciona con la edad. Se toma una muestra de 200 empleados al azar y se
les clasifica según edad y causa de ausentismo y los resultados fueron los
siguientes:
CausaEdad (años)
Menos de 30 30 - 50 Más de 50Enfermedad 40 28 52Otras 40 36 24
¿Está la edad relacionada con el ausentismo laboral?. Use una confiabilidad de
95%.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 69
9. El ministerio de Educación desarrollo un programa de fortalecimiento de la
comprensión lectora en un grupo de docentes, obteniendo los siguientes
resultados.
26 2 28
52,0% 4,0% 28,0%
19 10 29
38,0% 20,0% 29,0%
4 24 28
8,0% 48,0% 28,0%
1 14 15
2,0% 28,0% 15,0%
50 50 100
100,0% 100,0% 100,0%
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
FrecuenciaPorcentaje
Comprensión
Inferencial
Deficiente
Malo
Bueno
Muy Bueno
Total
Pre-Test Post-Test
Etapa
Total
Chi-cuadrado=48,917 P-valor=0,000
Con un nivel de confianza del 95%, que efecto presenta dicho programa en la
comprensión lectora de los profesores.
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70 ESTADISTICA
CAPITULO V
DISEÑO EXPERIMENTAL
5.1 INTRODUCCION.
El diseño de experimentos es en la actualidad una de las herramientas
principales utilizados en la investigación estadística, el objetivo que se tiene es
estudiar el efecto de un factor sobre una variable respuesta.
Diseñar un experimento, simplemente significa planear un experimento de modo
que se reúna la información que sea pertinente al problema bajo investigación.
Muy a menudo se coleccionan datos que pueden tener muy poco o ningún valor,en la solución del problema.
El diseño de un experimento, es entonces, la secuencia completa de pasos
tomados de antemano para asegurar que los datos apropiados se obtendrán de
modo que permitan un análisis objetivo que conduzca a deducciones válidas con
respecto al problema establecido.
FACTOR.Son todas aquellas variables cuyo efecto se desea medir, en algunos casos se
les llama tratamiento.
NIVEL
Es el conjunto de valores que tiene la variable independiente o factor en el
experimento.
UNIDAD EXPERIMENTAL
Es la entidad más pequeña a lo que se aplica el tratamiento, es decir; es el
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 71
elemento donde se realiza la medición.
ERROR EXPERIMENTAL
Es la medida de la variación, existente entre observaciones de las unidades
experimentales.
En un Diseño Experimental se tiene variabilidad inherente a la unidad
experimental y otra variabilidad debida a los tratamientos.
Para reducir el error experimental se siguen algunos pasos:
Repetir el experimento
Adicionar más tratamientos
Introducir variables o bloques
El proceso o sistema bajo estudio puede representarse por medio del modelo:
Podemos pensar que el proceso es una combinación de tratamiento, personas y
otros recursos que transforman alguna entrada, en una salida que tienen una o
más respuestas observadas
5.2 OBJETIVOS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL
Determinar las variables con mayor influencia en la respuesta
Determinar el mejor valor de las variables que influyen en la respuesta de
manera que:
La respuesta se aproxime al valor deseado
La variabilidad de la respuesta sea pequeña
Se minimiza el efecto de las variables incontrolables
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72 ESTADISTICA
5.3 DISEÑO UNIFACTORIAL (Diseño completamente aleatorio)
Es el Diseño Experimental más simple.
En este Diseño los tratamientos (niveles) se distribuyen al azar en todas las
unidades experimentales. Este diseño es muy útil cuando las unidades
experimentales tienen variabilidad uniformemente repartidos
(homogeneidad)
VENTAJAS Y DESVENTAJAS
VENTAJAS
Este Diseño es fácil de planear y es flexible en cuanto al número de
repeticiones y unidades experimentales del tratamiento
DESVENTAJAS
Solo es aplicable, cuando el material experimental es homogéneo.
Los resultados del experimento se pueden agrupar de la siguiente forma:
NIVELES
DEL FACTOR Respuesta
D
C
B
A
A Y C Y B Y D Y
B Y A Y D Y C Y
B Y C Y A Y D Y
A Y D Y C Y B Y
11 31 21 41
22 12 42 32
23 33 13 43
14 44 34 24
Donde yij es el resultado de la medición del i-ésimo tratamiento en la j-
ésima repetición.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 73
En resumen:
Tratam
1 2 i a
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
i a
i a
j j ij aj
n n in an
11 21 1 1
12 22 2 2
1 2
1 2
TOTAL
Totales Y Y Y Y i a1 2. . . . . .Y
Mediasani Y Y Y Y
..2.1 ..Y
Varianzass s s si a1
2
2
2 2 2
. . . . 2
..s
Donde:
n
jiji Y Y
1
. , Total del i-ésimo tratamiento
Y Y Y
n
i ij
j
ni
.
.
1
, Media del i-ésimo tratamiento
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74 ESTADISTICA
a
i
n
jij
a
ii Y Y Y
1 11
... , Total
anY
Y .... , Media total
5.3.1 Análisis de varianza
Es la técnica mediante el cual se mide los efectos de los tratamientos puesto
que descompone la varianza total en diferentes fuentes de variabilidad
definida por el modelo.
Para el cual se siguen los siguientes pasos:
H a0 1 2:
:a i j H , para algún par (i,j)
La fórmula asumida para calcular la suma de los cuadrados es la siguiente:
22
..
..1 1 1 1
,
a n a n
ij iji j i j
y
SCT y y y N an N
2 2
. ..
1
ai
i i
y ySCA N an
n N
SCE SCT SCA
Los cuadrados medios son los estimadores de las varianzas y son obtenidos
de la siguiente forma:
1
SCACMA
a
2
( 1)
SCE CME
a n ó varianza del error.
Por otra parte el cociente de dos variables2
se distribuye mediante la
distribución de Fisher
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 75
( , 1 , 1
1
( 1)
c a a n
SCA
aF SCE
a n
f
1
f (1
R.A. H0 R.R. H0
Análisis de la varianza.
Fuentes de
Varianza
g.l SC CM FC
Tratamiento a-1 SCA CMA CMA
CME
Error a(n-1) SCE CME
Total an-1 STT
Conclusiones:
Si Fc F0 Se rechaza H0 Si Fc F0 Se acepta H0
5.4 DISEÑO EXPERIMENTAL DE DOS FACTORES
El análisis de la varianza de dos factores esta formado como su nombre indica
por dos factores que a su vez tienen la misma importancia en este tipo de
análisis existen “a” niveles del factor A y “b” niveles de factor B.
Este tipo de análisis se determinan según el número de observaciones; si cada
unidad experimental tiene una observación, el modelo del análisis univariado
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76 ESTADISTICA
de la varianza de dos factores se denomina sin replica, en este caso no existe
interacción entre los dos factores. En este tipo de análisis el control local
(unidad experimental) por el factor A, el cual esta constituido por todo los del
factor B o variantes repetidas una sola vez siendo el factor A una repetición con
la condición de que los del factor B están dentro del factor A . de donde se
puede afirmar que cada factor A contiene los elementos del factor B el cual
disminuye el error experimental.
TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA
Fuentes de
Varianza
g.l SC CM FCAL
Factor A a-1 SCA CMACME
CMA
Factor B b-1 SCB CMBCME
CMB
Interacción
AB
(a-1)(b-1) SCAB CMABCME
CMAB
Error ab(n-1) SCE CME
Total abn-1
Donde:
2
2
1 1 1
...a b n
i j k
ijk SCT
abn
Y Y ,
2 2
1
.. ...a
i
iSCA
bn abn
Y Y ,
2 2
1
. . ...b
j
jSCBan abn
Y Y ,
2 2
1 1
. ...a b
i j
ijSCAB SCA SCBn abn
Y Y
SCE = SCT-(SCA+SCB+SCAB)
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 77
El cuadrado medio, se obtiene:
Para el factor A : 1a
SCACMA
Para el factor B :1b
SCBCMB
Para la interacción AB :)1)(1( ba
SCABCMAB
Para el error : ( 1)
SCE
CME ab n
INTERACCIÓN. En estadística, la idea de una interacción, es medir el efecto
de una variable (factor), manteniendo constante los demás.
En términos generales interacción entre dos factores es sinónimo de relación
entre los factores, en este caso los factores actúan en forma conjunta sobre la
variable respuesta.
Figura: Interacción de factores.
De la gráfica anterior se concluye que geométricamente existe interacción
cuando las líneas se intersectan, en cambio no existe interacción, cuando las
líneas son paralelas.
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78 ESTADISTICA
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Se mide el impacto de 4 métodos de enseñanza en el rendimiento académico
en estudiantes de tres especialidades de la facultad de Educación. Los
resultados se muestran a continuación.
Especialidad Método 1 Método 2 Método 3 Método 4
I
18 17 17 13
16 17 14 12
17 19 19 14
II
10 14 12 5
11 15 15 9
10 7 10 2
III
3 8 8 1
7 6 9 2
7 10 9 1
Con un 95% de confianza, cual es su conclusión del estudio.
Solución:
La hipótesis estadística para el factor A, esta dado por:
H0 : El factor Método, no influye en el rendimiento académico.
Ha : El factor Método , influye en el rendimiento académico.
La hipótesis estadística para el factor B, esta dado por:
H0 : El factor Especialidad, no influye en el rendimiento académico.
Ha : El factor Especialidad, influye en el rendimiento académico.
La hipótesis estadística para la interacción, esta dado por:
H0 : El factor método y especialidad, no actúan simultáneamente en el
rendimiento académico , su efecto de cada factor es independiente.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 79
Ha : El factor método y especialidad, actúan simultáneamente en el
rendimiento académico, su efecto de uno de los factores depende del
otro.
Especialidad
Método
1
Método
2
Método
3
Método
4
Total
I
18 17 17 13
193
16 17 14 12
17 19 19 14
sub. total 51 53 50 39
II
10 14 12 5
120
11 15 15 9
10 7 10 2
sub. total 31 36 37 16
III
3 8 8 1
71
7 6 9 2
7 10 9 1
sub. total 17 24 26 4
Total 99 113 113 59 384
Calculo de las sumas de cuadrado.
a= 4 , niveles del método (Factor A)
b=3, niveles de especialidad (Factor B)
n=3, replicas de cada ensayo.
a
i
b
j
n
k ijk abn
SCT Y Y 1 1 1
2
...2
22 2 2 2 2 2 384
18 16 17 ... 1 2 1 9764*3*3
SCT
abnbnSCA Y Y a
i
i2
.. .
1
2
..
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80 ESTADISTICA
2 2 2 2 299 113 113 59 384
217,3333*3 4*3*3
SCA
b
j
j
abnanSCB Y Y
1
2
.. .
2
..
2 2 2 2193 120 71 384
628,1674*3 4*3*3
SCB
b
j
ija
i
SCBSCAabnn
SCAB Y Y 1
2
.. .
2
.
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
51 53 50 39 31 36 37 16 17 24 26 4
3
384217,333 628,167
4*3*3
15,1667
SCAB
SCAB
SCE = SCT-(SCA+SCB+SCAB)= 976-(217,333+628,167+15,1667)
= 115,333
Calculo de los cuadrados medios.
217,33372,4444
1 3
SCACMA
a
628,167314,083
1 2
SCBCMB
b
15,1667 2,52778( 1)( 1) 3*2
SCABCMABa b
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 81
115,3334,80556
( 1) 4*3*(3-1)
SCError CME
ab n
Valores calculados de F.
72,444415,08
4,80556CA
CMAF
CME ; De la tabla 0
2,99 AF
Como 0CA AF F , se rechaza la hipótesis nula del factor A.
314,083 65,364,80556
CB CMBF CME ; De la tabla 0 3,39 BF
Como 0CB BF F , se rechaza la hipótesis nula del factor B.
2,527780,53
4,80556
CAB
CMABF
CME
; De la tabla 0 2,49 ABF
Como 0CAB ABF F , se rechaza la hipótesis nula de la interacción
AxB.
ANOVA
Fuente Suma de
Cuadrados
gl Cuadrado
Medio
Razón-
F
Valor-P
EFECTOS
PRINCIPALES
A: Método 217,333 3 72,4444 15,08 0,0000
B: Especialidad 628,167 2 314,083 65,36 0,0000
INTERACCIONES
AB 15,1667 6 2,52778 0,53 0,7829
Error 115,333 24 4,80556
TOTAL 976,0 35
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82 ESTADISTICA
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Tres programas de entrenamiento deportivo fueron probados en 15 atletas,
asignando al azar 5 de ellos a cada programa. Luego de terminado el
entrenamiento sus respectivas habilidades fueron comparadas por un mismo
entrenador con los resultados indicados:
PROGRAMA
A B C
48 42 68
54 59 71
78 62 87
83 80 98
96 92 101
Pruebe si hay diferencia entre los tres programas usando un nivel de
significación de 5%
2. Los siguientes datos representan los tiempos de reacción (en segundos) a tres
tipos de estímulos:
Estímulo A: 4.9 6.1 4.3 4.6 5.3Estímulo B: 5.5 5.4 6.2 5.8 5.6 5.2 4.8
Estímulo C: 6.4 6.8 5.7 6.5 6.3 6.6
a) Pruebe si el tiempo de reacción al tipo de estímulo B es superior al tipo de
estímulo A. Use 0.05.
b) Pruebe utilizando la prueba adecuada, si el tiempo de reacción es diferente a
los tres tipos de estímulos. Use un nivel de significación de 1%.
3. Un test de personalidad, tiene dos formas de determinar su valoración
suponiendo inicialmente que ambos métodos miden igualmente la extroversión.
Para ello se estudia en 12 personas obteniéndose los siguientes resultados:
Medida de la extraversión
Forma A 12 18 21 10 15 27 31 6 15 13 8 10
Forma B 10 17 20 5 21 24 29 7 11 13 8 11
¿Hay diferencia entre los dos métodos?
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 83
APENDICE
TABLA NORMAL ESTÁNDAR
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0 0.00399 0.00798 0.01197 0.01595 0.01994 0.02392 0.0279 0.03188 0.03586
0.1 0.03983 0.04395 0.04776 0.05172 0.05567 0.05962 0.06356 0.0675 0.07124 0.07534
0.2 0.07926 0.08617 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0.11026 0.11409
0.3 0.11781 0.12172 0.12552 0.1293 0.13307 0.13683 0.14058 0.14431 0.14803 0.15173
0.4 0.15542 0.1591 0.16276 0.1664 0.17003 0.17364 0.17724 0.18082 0.18439 0.18793
0.5 0.19146 0.19497 0.19847 0.20194 0.2054 0.20884 0.21226 0.21566 0.21904 0.2224
0.6 0.22575 0.22907 0.23237 0.23565 0.23891 0.24215 0.24537 0.24857 0.25175 0.2549
0.7 0.25804 0.26115 0.26424 0.2673 0.27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.2823 0.28524
0.8 0.28814 0.29103 0.29389 0.29373 0.29955 0.30234 0.3051 0.30785 0.31057 0.31327
0.90.31594 0.31859 0.32124 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0.33398 0.33646 0.33891
1 0.34134 0.34375 0.34614 0.34849 0.35083 0.35314 0.35543 0.35769 0.35993 0.36214
1.1 0.36433 0.3665 0.36864 0.37076 0.37286 0.37923 0.37698 0.379 0.381 0.38298
1.2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39616 0.39796 0.39973 0.40147
1.3 0.4032 0.4049 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41308 0.41466 0.41621 0.41774
1.4 0.41924 0.42073 0.4222 0.42364 0.42507 0.42647 0.42785 0.42922 0.43056 0.43189
1.5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.44408
1.6 0.4452 0.4463 0.44738 0.44845 0.4495 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.45449
1.7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46079 0.46164 0.46246 0.46327
1.8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46637 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.47062
1.9 0.47128 0.47193 0.47257 0.4732 0.47381 0.47441 0.475 0.47558 0.47615 0.47672 0.47725 0.47778 0.47831 0.47882 0.47932 0.47982 0.4803 0.48077 0.48124 0.48169
2.1 0.48214 0.48257 0.48299 0.48341 0.48382 0.48422 0.48461 0.485 0.48537 0.48574
2.2 0.4861 0.48645 0.48679 0.48713 0.48745 0.48778 0.48809 0.4884 0.4887 0.48899
2.3 0.48928 0.48956 0.48983 0.49001 0.49036 0.49061 0.49086 0.4911 0.49134 0.49158
2.4 0.4918 0.49202 0.49224 0.49245 0.49266 0.49286 0.49305 0.49324 0.49343 0.49361
2.5 0.49379 0.49396 0.49413 0.4943 0.49446 0.49461 0.49477 0.49491 0.49506 0.4952
2.6 0.49534 0.49547 0.4956 0.49573 0.49585 0.49597 0.49609 0.49621 0.49632 0.49643
2.7 0.49653 0.49664 0.49674 0.49683 0.49693 0.49702 0.49711 0.4972 0.49728 0.49736
2.8 0.49744 0.49752 0.4976 0.49767 0.49774 0.49781 0.49788 0.49795 0.49801 0.49807
2.9 0.49813 0.49819 0.49825 0.4983 0.49836 0.49841 0.49846 0.49851 0.49856 0.4986
3 0.49865 0.49869 0.49874 0.49878 0.49882 0.49886 0.49889 0.49893 0.49897 0.499
3.1 0.49903 0.49906 0.4991 0.49913 0.49916 0.49918 0.49921 0.49924 0.49926 0.49929
3.2 0.49931 0.49934 0.49936 0.49938 0.4994 0.49942 0.49944 0.49946 0.49948 0.4995
3.3 0.49952 0.49953 0.49955 0.49957 0.49958 0.4996 0.49961 0.49962 0.49964 0.49965
3.4 0.49956 0.49968 0.49969 0.4997 0.49971 0.49972 0.49973 0.49974 0.49975 0.49976
3.5 0.49977 0.49978 0.49978 0.49979 0.4998 0.49981 0.49981 0.49982 0.49983 0.49983
3.6 0.49984 0.49985 0.49985 0.49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.49988 0.49989
3.7 0.49989 0.4999 0.4999 0.4999 0.49991 0.49991 0.49992 0.49992 0.49992 0.49992
3.8 0.49993 0.49993 0.49993 0.49994 0.49994 0.49994 0.49994 0.49995 0.49995 0.49995
3.9 0.49995 0.49995 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49997 0.49997
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84 ESTADISTICA
TABLA DE LA DISTRIBUCION T -STUDENT
1 p x c
gl 1
0.75 0.80 0.85 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995
1 1 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756
30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704
60 0.679 0.848 1.046 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617
0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 85
TABLA DE LA DISTRIBUCION CHI CUADRADO ( 2 1 p x c )
gl 0.01 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995
1 0 0 0 0 0.02 0.06 0.27 0.71 1.64 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 0.01 0.02 0.05 0.1 0.21 0.45 1.02 1.83 3.22 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6
3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.01 1.87 2.95 4.64 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84
4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 1.65 2.75 4.04 5.99 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86
5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.34 3.66 5.13 7.29 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75
6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.2 3.07 4.57 6.21 8.56 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55
7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 3.82 5.49 7.28 9.8 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 4.59 6.42 8.35 11.03 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95
9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 5.38 7.36 9.41 12.24 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.18 8.3 10.47 13.44 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19
11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 6.99 9.24 11.53 14.63 17.28 19.68 21.92 24.73 26.76
12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 7.81 10.18 12.58 15.81 18.55 21.03 23.34 26.22 28.3
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 8.63 11.13 13.64 16.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 9.47 12.08 14.69 18.15 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32
15 4.6 5.23 6.26 7.26 8.55 10.31 13.03 15.73 19.31 22.31 25 27.49 30.58 32.8
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.15 13.98 16.78 20.47 23.54 26.3 28.85 32 34.27
17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 12 14.94 17.82 21.61 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 12.86 15.89 18.87 22.76 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16
19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 13.72 16.85 19.91 23.9 27.2 30.14 32.85 36.19 38.58
20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 14.58 17.81 20.95 25.04 28.41 31.41 34.17 37.57 40
21 8.03 8.9 10.28 11.59 13.24 15.44 18.77 21.99 26.17 29.62 32.67 35.48 38.93 41.422 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 16.31 19.73 23.03 27.3 30.81 33.92 36.78 40.29 42.8
23 9.26 10.2 11.69 13.09 14.85 17.19 20.69 24.07 28.43 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18
24 9.89 10.9 12.4 13.85 15.66 18.06 21.65 25.11 29.55 33.2 36.42 39.36 42.98 45.56
25 10.5 11.5 13.12 14.61 16.47 18.94 22.62 26.14 30.68 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93
30 13.8 15 16.79 18.49 20.6 23.36 27.44 31.32 36.25 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67
35 17.2 18.5 20.57 22.47 24.8 27.84 32.28 36.47 41.78 46.06 49.8 53.2 57.34 60.27
40 20.7 22.2 24.43 26.51 29.05 32.34 37.13 41.62 47.27 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77
45 24.3 25.9 28.37 30.61 33.35 36.88 42 46.76 52.73 57.51 61.66 65.41 69.96 73.17
50 28 29.7 32.36 34.76 37.69 41.45 46.86 51.89 58.16 63.17 67.5 71.42 76.15 79.49
55 31.7 33.6 36.4 38.96 42.06 46.04 51.74 57.02 63.58 68.8 73.31 77.38 82.29 85.75
60 35.5 37.5 40.48 43.19 46.46 50.64 56.62 62.13 68.97 74.4 79.08 83.3 88.38 91.95
65 39.4 41.4 44.6 47.45 50.88 55.26 61.51 67.25 74.35 79.97 84.82 89.18 94.42 98.1
70 43.3 45.4 48.76 51.74 55.33 59.9 66.4 72.36 79.71 85.53 90.53 95.02 100.4 104.2
75 47.2 49.5 52.94 56.05 59.79 64.55 71.29 77.46 85.07 91.06 96.22 100.8 106.4 110.3
80 51.2 53.5 57.15 60.39 64.28 69.21 76.19 82.57 90.41 96.58 101.88 106.6 112.3 116.3
85 55.2 57.6 61.39 64.75 68.78 73.88 81.09 87.67 95.73 102.1 107.52 112.4 118.2 122.3
90 59.2 61.8 65.65 69.13 73.29 78.56 85.99 92.76 101.05 107.6 113.15 118.1 124.1 128.3
95 63.3 65.9 69.92 73.52 77.82 83.25 90.9 97.85 106.36 113 118.75 123.9 130 134.3
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86 ESTADISTICA
TABLA F 1 p F c
Grados
de
Libertad
f(0.90, v1,v2)Grados de libertad del numerador v1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100
8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,47 9,48 9,48
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,17 5,17 5,16 5,15 5,15 5,15 5,14
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,80 3,79 3,78 3,78
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,15 3,14 3,13 3,13
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,81 2,80 2,78 2,77 2,76 2,75 2,75
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,57 2,56 2,54 2,52 2,51 2,50 2,50
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,34 2,33 2,32
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,22 2,21 2,20 2,19
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,20 2,17 2,16 2,13 2,12 2,11 2,09 2,09
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,95 1,94
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,92 1,89 1,87 1,85 1,83 1,82 1,80 1,7920 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,79 1,76 1,74 1,71 1,69 1,68 1,66 1,65
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,82 1,77 1,72 1,68 1,66 1,63 1,61 1,59 1,58 1,56
30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,67 1,63 1,61 1,57 1,55 1,54 1,52 1,51
40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,48 1,47 1,45 1,43
50 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 1,73 1,68 1,63 1,57 1,53 1,50 1,46 1,44 1,42 1,40 1,39
60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,50 1,48 1,44 1,41 1,40 1,37 1,36
80 2,77 2,37 2,15 2,02 1,92 1,85 1,79 1,75 1,71 1,68 1,63 1,57 1,51 1,47 1,44 1,40 1,38 1,36 1,33 1,32
100 2,76 2,36 2,14 2,00 1,91 1,83 1,78 1,73 1,69 1,66 1,61 1,56 1,49 1,45 1,42 1,38 1,35 1,34 1,31 1,29
120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,60 1,55 1,48 1,44 1,41 1,37 1,34 1,32 1,29 1,28
f( 0.95 ,v1,v2)
g.l v21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,46 19,46 19,47 19,48 19,48 19,48 19,49
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,63 8,62 8,59 8,58 8,57 8,56 8,55
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,70 5,69 5,67 5,66
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,52 4,50 4,46 4,44 4,43 4,41 4,41
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,83 3,81 3,77 3,75 3,74 3,72 3,71
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,40 3,38 3,34 3,32 3,30 3,29 3,27
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,11 3,08 3,04 3,02 3,01 2,99 2,97
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,89 2,86 2,83 2,80 2,79 2,77 2,7610 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,77 2,73 2,70 2,66 2,64 2,62 2,60 2,59
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,50 2,47 2,43 2,40 2,38 2,36 2,35
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,28 2,25 2,20 2,18 2,16 2,14 2,12
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,07 2,04 1,99 1,97 1,95 1,92 1,91
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,84 1,82 1,80 1,78
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,88 1,84 1,79 1,76 1,74 1,71 1,70
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92 1,84 1,78 1,74 1,69 1,66 1,64 1,61 1,59
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,95 1,87 1,78 1,73 1,69 1,63 1,60 1,58 1,54 1,52
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,69 1,65 1,59 1,56 1,53 1,50 1,48
80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,95 1,88 1,79 1,70 1,64 1,60 1,54 1,51 1,48 1,45 1,43
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,85 1,77 1,68 1,62 1,57 1,52 1,48 1,45 1,41 1,39
120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,60 1,55 1,50 1,46 1,43 1,39 1,37
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 87
Grados
de
Libertad
f(0.975, v1,v2)
Grados de libertad del numerador v11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100
2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,48 39,49 39,493 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,34 14,25 14,17 14,12 14,08 14,04 14,01 13,99 13,97 13,96
4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,75 8,66 8,56 8,50 8,46 8,41 8,38 8,36 8,33 8,32
5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,52 6,43 6,33 6,27 6,23 6,18 6,14 6,12 6,10 6,08
6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,37 5,27 5,17 5,11 5,07 5,01 4,98 4,96 4,93 4,92
7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,67 4,57 4,47 4,40 4,36 4,31 4,28 4,25 4,23 4,21
8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,20 4,10 4,00 3,94 3,89 3,84 3,81 3,78 3,76 3,74
9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,87 3,77 3,67 3,60 3,56 3,51 3,47 3,45 3,42 3,40
10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,62 3,52 3,42 3,35 3,31 3,26 3,22 3,20 3,17 3,15
12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,28 3,18 3,07 3,01 2,96 2,91 2,87 2,85 2,82 2,80
15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,96 2,86 2,76 2,69 2,64 2,59 2,55 2,52 2,49 2,47
20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,68 2,57 2,46 2,40 2,35 2,29 2,25 2,22 2,19 2,17
25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 2,61 2,51 2,41 2,30 2,23 2,18 2,12 2,08 2,05 2,02 2,00
30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,41 2,31 2,20 2,12 2,07 2,01 1,97 1,94 1,90 1,88
40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 2,29 2,18 2,07 1,99 1,94 1,88 1,83 1,80 1,76 1,74
50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 2,32 2,22 2,11 1,99 1,92 1,87 1,80 1,75 1,72 1,68 1,66
60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 2,27 2,17 2,06 1,94 1,87 1,82 1,74 1,70 1,67 1,63 1,60
80 5,22 3,86 3,28 2,95 2,73 2,57 2,45 2,35 2,28 2,21 2,11 2,00 1,88 1,81 1,75 1,68 1,63 1,60 1,55 1,53
100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,42 2,32 2,24 2,18 2,08 1,97 1,85 1,77 1,71 1,64 1,59 1,56 1,51 1,48
120 5,15 3,80 3,23 2,89 2,67 2,52 2,39 2,30 2,22 2,16 2,05 1,94 1,82 1,75 1,69 1,61 1,56 1,53 1,48 1,45
f( 0.99 ,v1,v2)g.l v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100
2 98.50 99.00 99.16 99.25 99.30 99.33 99.36 99.38 99.39 99.40 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.48 99.48 99.48 99.48 99.49
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23 27.05 26.87 26.69 26.58 26.50 26.41 26.35 26.32 26.27 26.24
4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02 13.91 13.84 13.75 13.69 13.65 13.61 13.58
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.72 9.55 9.45 9.38 9.29 9.24 9.20 9.16 9.13
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.56 7.40 7.30 7.23 7.14 7.09 7.06 7.01 6.99
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72º 6.62 6.47 6.31 6.16 6.06 5.99 5.91 5.86 5.82 5.78 5.75
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.26 5.20 5.12 5.07 5.03 4.99 4.96
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.71 4.65 4.57 4.52 4.48 4.44 4.41
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.31 4.25 4.17 4.12 4.08 4.04 4.01
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.16 4.01 3.86 3.76 3.70 3.62 3.57 3.54 3.49 3.47
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.52 3.37 3.28 3.21 3.13 3.08 3.05 3.00 2.98
20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.84 2.78 2.69 2.64 2.61 2.56 2.54
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.60 2.54 2.45 2.40 2.36 2.32 2.29
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.45 2.39 2.30 2.25 2.21 2.16 2.13
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.27 2.20 2.11 2.06 2.02 1.97 1.94
50 7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.70 2.56 2.42 2.27 2.17 2.10 2.01 1.95 1.91 1.86 1.82
60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.10 2.03 1.94 1.88 1.84 1.78 1.75
80 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55 2.42 2.27 2.12 2.01 1.94 1.85 1.79 1.75 1.69 1.65
100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 2.37 2.22 2.07 1.97 1.89 1.80 1.74 1.69 1.63 1.60
120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.93 1.86 1.76 1.70 1.66 1.60 1.56
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88 ESTADISTICA
Grados
de
Libertad
v2
f(0.995, v1,v2)
Grados de libertad del numerador v1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 1002 198.5 199.0 199.2 199.2 199.3 199.3 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5
3 55.55 49.80 47.47 46.20 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88 43.68 43.39 43.08 42.78 42.59 42.47 42.31 42.21 42.15 42.07 42.02
4 31.33 26.28 24.26 23.15 22.46 21.98 21.62 21.35 21.14 20.97 20.70 20.44 20.17 20.00 19.89 19.75 19.67 19.61 19.54 19.50
5 22.78 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 14.20 13.96 13.77 13.62 13.38 13.15 12.90 12.76 12.66 12.53 12.45 12.40 12.34 12.30
6 18.63 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.03 9.81 9.59 9.45 9.36 9.24 9.17 9.12 9.06 9.03
7 16.24 12.40 10.88 10.05 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.18 7.97 7.75 7.62 7.53 7.42 7.35 7.31 7.25 7.22
8 14.69 11.04 9.60 8.81 8.30 7.95 7.69 7.50 7.34 7.21 7.01 6.81 6.61 6.48 6.40 6.29 6.22 6.18 6.12 6.09
9 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.23 6.03 5.83 5.71 5.62 5.52 5.45 5.41 5.36 5.32
10 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.30 6.12 5.97 5.85 5.66 5.47 5.27 5.15 5.07 4.97 4.90 4.86 4.80 4.77
12 11.75 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.20 5.09 4.91 4.72 4.53 4.41 4.33 4.23 4.17 4.12 4.07 4.04
15 10.80 7.70 6.48 5.80 5.37 5.07 4.85 4.67 4.54 4.42 4.25 4.07 3.88 3.77 3.69 3.59 3.52 3.48 3.43 3.39
20 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96 3.85 3.68 3.50 3.32 3.20 3.12 3.02 2.96 2.92 2.86 2.83
25 9.48 6.60 5.46 4.84 4.43 4.15 3.94 3.78 3.64 3.54 3.37 3.20 3.01 2.90 2.82 2.72 2.65 2.61 2.55 2.52
30 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45 3.34 3.18 3.01 2.82 2.71 2.63 2.52 2.46 2.42 2.36 2.32
40 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 2.95 2.78 2.60 2.48 2.40 2.30 2.23 2.18 2.12 2.09
50 8.63 5.90 4.83 4.23 3.85 3.58 3.38 3.22 3.09 2.99 2.82 2.65 2.47 2.35 2.27 2.16 2.10 2.05 1.99 1.95
60 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.90 2.74 2.57 2.39 2.27 2.19 2.08 2.01 1.96 1.90 1.86
80 8.33 5.67 4.61 4.03 3.65 3.39 3.19 3.03 2.91 2.80 2.64 2.47 2.29 2.17 2.08 1.97 1.90 1.85 1.79 1.75
100 8.24 5.59 4.54 3.96 3.59 3.33 3.13 2.97 2.85 2.74 2.58 2.41 2.23 2.11 2.02 1.91 1.84 1.79 1.72 1.68
120 8.18 5.54 4.50 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.54 2.37 2.19 2.07 1.98 1.87 1.80 1.75 1.68 1.64
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 89
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Númerode
Grupos
Prueba Z para la media
Prueba T para la media
Prueba del signo para la mediana
Prueba Z para la diferencia de medias
Prueba T para ladiferencia de medias
Prueba T para la diferenciade medias con ajuste derados de libertad.
DistribuciónNormal
n≥20
arianzasiguales
Prueba de Mann Whintney paracomparación de poblaciones
Distribuciónnormal
n≥30 independientes
Prueba Z para la media de la diferencia endatos apareados
Prueba T para la media de ladiferencia en datos apareados
Prueba del signo o de Wilcoxonpara datos apareados
Distribuciónnormal
Distribución normalcon varianzas
semejantes
n≥30
independien
tes
ANOVA – comparación de tratamientos
Prueba de Krusskal – Wallis – comparación de tratamientos.
ANOVA en bloque - comparación detratamientos.
Prueba de Friedman - comparación detratamientos.
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
Distribución normalcon varianzas
semejantes
SI
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
2grupos
3 o másgrupos
1grupo
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90 ESTADISTICA
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
SI
Númerode
Grupos
Prueba Z para la proporción poblacional
Muestra grandenP y n(1-P) > 5
Frecuenciasesperadaspequeñas
independie
ntes
independientes
SI
SI
SI
NO
NO
NO
2grupos
3 o másgrupos
1grupo
Prueba Binomial para la proporción poblacional
Prueba exacta de Fisher – comparación deproporciones
Prueba Z o Ji-Cuadrado para comparación deproporciones
Prueba de McNemanComparación de proporciones
Frecuenciasesperadas
pequeñas
SI
SI
NO
NO
Prueba Ji - Cuadrado (reunir categorías)Para comparación de proporciones
Prueba Ji-Cuadrado para comparación deproporciones
Prueba Q de CockranComparación de proporciones
No
No
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 91
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Escala demedición
paraambas
variables.
ContinuaCoeficiente de correlación lineal de pearson
Coeficiente de correlación por rangos deSpearman
SI
NO
-Prueba de chi-cuadrado (Coeficiente decontingencia)-Riesgos relativos( Estudios Cohorte).
-Odds Ratio( Estudios caso-control)
-Coeficiente de correlación
Prueba de chi-cuadrado paraindependencia de variables (Coeficientede contingencia)
Cada variabletiene doscategorías(Tabla 2x2)
Ordinal y/ocardinal
Nominal
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92 ESTADISTICA
MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE ACUERDO AL TIPO DE VARIABLES.
Tipo de
Descripción
Tipo de variable Método o Técnica Estadística.
Variables
individuales
Cualitativa
(Nominal y Ordinal)
Frecuencias, proporciones, o porcentajes
representados por grafico de barras,
sectores o pictogramas.
Variables
individuales
Cuantitativa
(Intervalo o razón)
-Distribución de frecuencias en clases,
frecuencias acumuladas.
-Medidas de tendencia central, dispersión,
posición y de forma.
Asociación
entre variables
Cualitativa con
Cualitativa
-Tablas de contingencia.
-Calculo de riesgos.
-Pruebas de chi-cuadrado:independencia-Grafico de barras
-Pruebas de Kendall, de Spearman.
Asociación
entre variables
Cualitativa con
Cuantitativa
-Tablas con clasificación categórica, con
promedios, desviaciones, etc.
-Regresión Logística.
-Diseño experimental
Asociaciónentre variables
Cuantitativa conCuantitativa
-Grafico de dispersión.- Análisis de regresión, coeficiente de
correlación.
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CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 93
PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE ACUERDO A LA ESCALA DE MEDICIÓN DE LA
VARIABLE.
Tipo de
Descripción
Escala de la
variable
Método o Técnica Estadística.
Variables
individuales
Nominal -Prueba Z para una proporción
poblacional.
-Prueba de chi-cuadrado para varias
proporciones en una sola población.
-Intervalos de confianza para
proporciones.-Prueba de McNemar,
-Prueba de Mantel Haenzel
Variables
individuales o
más de una
variable
Ordinales -Prueba de signos o binomial para la
media poblacional.
-Pruebas de wilcoxon para rangos.
Prueba de U Mann Whitney( dos o más
poblaciones)-Prueba de Kruskal Wallis.
-Prueba de Friedman.
Variables
individuales
Intercalar o de
razón.
-Prueba de t para una media poblacional.
-intervalos de confianza.
Mas de una
variables
Intercalar o de
razón
-Prueba de hipotes e intervalos de
confianza para diferencia de medias.
-Prueba de varianzas
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94 ESTADISTICA
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