MAGNETNO SPREGNUTA KOLAZadatak broj 1. U mrei predstavljenoj na slici kapacitet kondenzatora C , induktivitet zavojnica L i koeficijent magnetne sprege zavojnica k , su poznate veliine. Mrea se nalazi u prostoperiodinom reimu. Prostoperiodini napon generatora je:t ug (t ) = 2U sin LCL (k)

C

Odrediti efektivnu vrijednost napona na kondenzatoru. Rjeenje: Uz usvojene smjerove i oznake fazora struja u granama mree, te uz izvrenu transformaciju mree koristei se T emom, analizirana mrea dobija oblik kao na sljedeoj slici, a za koju se prema KZN mogu postaviti kompleksne jednaine ( I = I 1 + I 2 ):L (k)

I

(1-k)L

kL

I Ug

I2C

I2C

U g = jk L(I 1 + I 2 ) + j (1 k )LI 1 1 j (1 k )LI 1 = j (1 k )L I C 2

odnosno, u sreenom obliku kao:U g = j LI 1 + jk LI 2 1 j (1 k )LI 1 = j (1 k )L I C 2 (1) (2)

Iz jednaine (2) slijedi relacija:2 1 I = (1 k ) LC 1 I I 1 = 1 2 (1 k )2LC 2 (1 k )2LC

(3)

ijim se uvrtavanjem u relaciju (1) dobija se izraz za struju I 2 oblika:I2 = j (1 k )C 1 (1 k 2 )2LC Ug (4)

Uvrtavajui relaciju (4) u relaciju (3), dobija izraz za struju I 1 oblika:I 1 = j 1 (1 k )2LC U g 1 (1 k 2 )2LC L (5)1 , to je 2LC = 1 , pa relacije (4) i (5) postaju: LC1

Poto je uestanost prostoperiodinog reima =

~

~

I1

L

I1

(1-k)L

Ug

~+

L

+

Ug

+

I 1 = j

Ug k L

,

I2 = j

1k

k2

CU g

Fazor napona na kondenzatoru odreen je prema relaciji:UC = j1 1k I2 = 2 Ug C k

a njegova efektivna vrijednost kao:UC =1k

k2

U

Zadatak broj 2. Analizira se mrea sa magnetno spregnutim zavojnicama. Aktivne otpornosti zavojnica su R1 i R2 , a fazor napona naponskog generatora je U . Uestanost generatora je podeena tako da zadovoljava uslov:1 = L1C 1 1 = L2C 2R2

Odrediti fazore struja I 1 i I 2 .I1

C1

R1(k)

I2

U

Rjeenje: Pod uslovom datim u formulaciji zadatka:1 = L1C 1 1 = L2C 2

slijedi da su reaktanse oba kola (primarnog i sekundarnog) jednake nuli, odnosno:X1 = L1 X2 = L2 1 2L1C1 1 = =0 C 1 C 1 2L2C 2 1 1 = =0 C 2 C 2

Iz kompleksnih jednaina kola:U = R1 I 1 + jX1 I 1 + jX12 I 2 = R1 I 1 + jX12 I 2 0 = jX2 I 2 + jX12 I 1 + R2 I 2 = jX12 I 1 + R2 I 2

odreuju se fazori struja u obliku:I1 = U 2 R1R2 + X12 X12 I 2 = j U 2 R1R2 + X12 R2

pri emu je X12 = k L1L2 .2

~

+

L1

L2

C2

Zadatak broj 3. U mrei poznatih parametara L , C i k djeluje prostoperiodini generator fazora napona U g . Pri kojoj je uestanosti generatora ulazna admitansa mree jednaka nuli? Poznate vrijednosti: k = 0, 5 , L = 20 (mH ) , C = 300 (F ) .

C L (k) L

C

Rjeenje: Analizirana mrea moe se predstaviti u ekvivalentnoj formi kao to je to ilustrovano na sljedeoj slici, pri emu je:YL = 1 1 ; = j 2(1 + k )L j L + j L + j 2k L Y C = j 2 C

YC YL

Ulazna admitansa mree jednaka je zbiru admitansi grana:+

1 Y ul = Y L + Y C = j + j 2C 2(1 + k )L

i da bi ona bila jednaka nuli potrebno je ispuniti uslov:2C = 1 2(1 + k )L

odakle se moe odrediti traena uestanost generatora:= 1 500 = (rad /s ) 3 2 (1 + k )LC

Zadatak broj 4. Za mreu sa magnetno spregnutim zavojnicama odrediti vrijednost koeficijenta sprege k tako da ulazna impedansa Z ab ima samo realni dio. Kolika je u tom sluaju vrijednost Z ab ? U mrei je postignut uslov 2LC = 1 .2Ra

(k) 4L 4L

C

U

L

b

Rjeenje: Uz usvojene smjerove i oznake fazora struja u granama mree kao na slici, jednaine napisane prema KZN imaju oblik:

~

~

+

Ug

Ug

~

+

3

2R

I2(k) 4L 4LC

U

(2R + j 4L)I 1 j M I 2 = U

j M I 1 + j (5L

1 )I = 0 C 2

gdje je M = k 4L 4L = 4kL . Iz jednaine (2) slijedi izraz:I2 = 2MC 52LC 1 I1

pa njegovim uvrtavanjem u jednainu (1) ona postaje: 3M 2C 2R + j 4L 2 I 1 = U 5 LC 1

odakle je:Z ab = U 2M 2C = 2R + j 4L 2 I1 5 LC 1

Da bi ulazna impedansa imala samo realni dio, potrebno je ispuniti uslov:Im {Z ab } = 0 4L 2M 2C 52LC 1 =0

odakle je:M = 4kL = 4L(52LC 1) 2C

; k=

Uz uslov dat u formulaciji zadatka, 2LC = 1 , to je:k = 1 (savreni transformator !);

Z ab = 2R

Zadatak broj 5. U mrei sa slike djeluje prostoperiodini naponski generator iji je fazor napona U g . Parametri mree R , L i C su poznati. Odrediti koeficijent sprege k pri kojem e odnos napona U g i U predstavljati realan broj. Uestanost naponskog izvora iznosi:= 1 2 LC

~+b

I1

a

L

(1) (2)

52LC 1 42LC

4

R+

L (k) C L+

Ug

Rjeenje: Uz usvojene smjerove i oznake fazora struja u granama mree kao na slici, jednaine napisane prema KZN imaju oblik:R+

I1 Ug

I1-I2C

(k) L

+

U g = RI 1 + U C = RI 1 + 2U

U = j (L + M )I 2I 1 I 2 = j CU C = j 2CU I 1 = j 2CU + I 2

Ug U

1 = 2 1 + jR(C ) = 2(L + M ) 1 2 C2

M =

L

M =

1 22C

L = kLk = 1 (savreni transformator !)

Prema uslovu zadatka: =Ug U =2

1 , 2 LC

fazori napona U g i U su u fazi.

Zadatak broj 6. U mrei sa induktivno spregnutim zavojnicama postignut je uslov:R = L = 1 C

Odrediti ulaznu impedansu mree. Da li se pogodnim izborom koeficijenta sprege k moe obezbijediti da ulazna impedansa mree bude isto aktivna?I1+

U

~ ~( R)R

U

L

I2

U

C

1 =0 2(L + M )

R (k) L L C

~

I2

5

Rjeenje: Kompleksne jednaine za analiziranu mreu napisane prema KZN imaju oblik:U = RI 1 + j LI 1 + jk LI 2 0 = jk LI 1 + RI 2 + j LI 2 jU = (R + j L)I 1 + jk LI 2 1 0 = jk LI 1 + R + j (L ) I C 2

odnosno: 1 I2 C(1) (2)

Iz jednaine (2) slijedi:I 2 = j k L R + j (L I1 1 ) C (3)

pa uvrtavanjem relacije (3) u relaciju (1) ona poprima oblik:U = (R + j L)I 1 + k 2 2L2 R + j (L I 1 odakle je: 1 ) C

Z ul =

U k 2 2L2 = R + j L + 1 I1 ) R + j (L C

Koristei uslov dat u formulaciji zadatka:R = L = 1 C

tada se za ulaznu impedansu mree dobija pojednostavljen izraz:Z ul = (1 + k 2 )R + jR

Za bilo koju vrijednost parametra k , 0 k 1 , ne moe se ispuniti zahtjev da ulazna impedansa mree bude isto aktivna. Zadatak broj 7. Za mreu sa induktivno spregnutim zavojnicama odrediti fazore struja I 1 i I 2 , te fazore napona na kondenzatorima. Poznate vrijednosti: R1 = 25 () , R2 = 55 () , L1 = L2 = 40 () , C 1 = 0, 2 (S ) , C 2 = 0, 05 (S ) , k = 0, 5 , E = 80 + j 40 (V ) .R1 R2

I1

(k)L1 L2

I2 C2

E

+

~I1-I2 C1

6

Rjeenje: Jednaine ravnotee napona napisane prema KZN imaju oblik:E = R1 I 1 + j L1 I 1 j 1 (I I 2 ) jk L1L2 I 2 C 1 1 odnosno, u sreenoj formi: 1 1 0 = jk L1L2 I 1 + R2 I 2 + j (L2 )I + j (I I 2 ) C 2 2 C 1 1

1 1 k L L ) I 1 + j E = R1 + j (L1 1 2 I2 C1 C 1 1 1 1 k L1L2 I 1 + R2 + j (L2 ) I 0=j C 1 C 2 2 C 1

Uz brojne vrijednosti date u formulaciji zadatka, gornji sistem jednaina poprima oblik:(80 + j 40) = (25 + j 35)I 1 j 15I 2 0 = j 15I 1 + (55 + j 15)I 2

ije je rjeenje:I 1 = 1, 847 j 0, 7889 (A) , I 2 = 0, 3281 + j 0, 4142 (A)

Na osnovu dobijenih vrijednosti za fazore struja I 1 i I 2 , fazori napona na kondenzaorima mogu se odrediti prema relacijama: 1 UC = j V (I I 2 ) = 6, 0157 j 7, 9543 ( ) 1 C 1 1UC = j2

1 I = 8, 2847 j 6, 5626 ( ) V C 2 2

7