magneto static a

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F.BloisiFisica II

CC

FISICA GENERALE II

CORRENTE ELETTRICA edelementi di

CIRCUITI ELETTRICI

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

CC

X Corrente elettrica e resistenza elettricaX Circuiti e leggi di Kirchhoff

Rev. 1.2

FISICA GENERALE IICORRENTE / CIRCUITI


F.BloisiFisica II

CC

CORRENTE / CIRCUITICorrente elettrica e resistenza elettrica

X GeneratoreX Definizione di corrente elettricaX Conservazione della caricaX Legge di OhmX Effetto JouleX Resistenze in parallelo o in serieX Esempi ed applicazioni

1. Rev. 1.2


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CC

Corrente elettrica e resistenza elettricaRiepilogo

X DefinizioniX Forza elettromotrice (f.e.m.)X Corrente elettricaX Densit di corrente elettrica (vettore)X Resistenza elettricaX Resistivit elettricaX Conducibilit elettrica

X Enunciato e DimostrazioneX Resistenza equivalenteX Resistenze in serie ed in parallelo

X Importanti fenomeni fisiciX Legge di OhmX Effetto Joule

X EserciziX Resistivit e resistenza elettricaX Resistenzae in paralleloX Resistenza e potenza dissipataX Resistenze in configurazione serie/paralleloX Potenza dissipata e resistenza interna

MNV2 Cap.5:Corrente elettrica

X Par.5.1: Conduzione elettricaX Par.5.2: Corrente elettrica. Corrente elettrica

stazionaria.X Par.5.3: Legge di Ohm della conduzione elettricaX Par.5.5: Resistori in serie e in parallelo

1.0Rev. 1.2


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CC

Corrente elettrica e resistenza elettricaGeneratore 1.1

Rev. 1.2

conduttori non equipotenziali

12

V1 V2situ

azio

nest

atic

a

12

V1 V2trans

ient

e

12

V1 = V2situ

azio

nest

atic

a

+f1 2

V1 V2

situ

azio

nest

azio

nari

a

Nota: Allinterno del generatore il moto delle cariche

dovuto ad azioni meccaniche, chimiche, etc.(dinamo, batteria, pila, etc.)

Nel semplice circuito a sinistra le cariche(positive) si muovono

nel verso del potenziale crescente (da c versod), allinterno del generatore

nel verso del potenziale decrescente (dadversoc), allesterno del generatore

Generatore dif.e.m costante

+f1 2

E*

f V V= = 2 1 r rE l* d1

2


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CC

Corrente elettrica e resistenza elettricaDefinizione di corrente elettrica

vdt

dh

ds

quantit di carica cheattraversa la superficie ds

nel tempo dt

carica contenutanel volume d

d d d d d d

d d d d

q s h sv t

t t

= = = =

= =

cos

r r r rv s J s= =

Densit di corrente:

Corrente elettrica:

d d d d (sezione d )

d d d (sezione )

r r

r )r )

J v

J n

J n

=

= =

= =

I q t s s

I q t s SS

Definizioni:

Note: se vi sono cariche con velocit (medie) diverse: si pu avere in un conduttore contribuiscono alla corrente solo gli elettroni di conduzione in un fluido contribuiscono alla corrente anche gli ioni (positivi o negativi) in alcuni casi un oggetto carico in moto pu essere visto come una corrente elettrica:

(anello o disco o cilindro che ruota, filo o cilindro che trasla)

r r r LJ v v= + + 1 1 2 2 = 0 0,

rJ

Unit di misura:

A ampere [ I ]

A = C/sC = As

1.2Rev. 1.2


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CC

Corrente elettrica e resistenza elettricaConservazione della carica 1.3

Nota:Anche se gli elettronidi conduzione hannocarica negativa, perconvenzione, il versodella corrente indicato come se sitrattasse di carichepositive.conservazione della carica:

somma delle cariche entranti == somma delle cariche uscenti(in un intervallo di tempo dt)

somma delle correnti entranti == somma delle correnti uscenti

(in un istante t)

dq2 + dq3 = dq1

I2 dt + I3 dt = I1 dt

I2 + I3 = I1

I1

I2

I3

dq1 = I1 dt (uscente)

dq3 = I3 dt (entrante)

dq2 = I2 dt(entrante)

Rev. 1.2

Equazionedi continuit

Jx

Jy

Jz t t

x y z+ + = = divrJ

Formulazionedifferenziale


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CC

Corrente elettrica e resistenza elettricaLegge di Ohm 1.4

I conduttori nei quali la corrente proporzionale alla differenza di potenziale sono detticonduttori ohmici

Per i conduttori ohmici vale la Legge di Ohm: VR = IR dove R detta resistenzaelettrica

Dal punto di vista microscopico la legge di Ohm si scrive E = J o J = E : resistivit elettrica; =1/: conducibilit elettrica; R = l / s)

resistenza elettricaUnit di misura: ohm [] = [V/A]Dimensioni: [] = [L2 M1 T-3 I-2]

l

s E = J = J R s / l = I R / lVR = E l = I R

V

IResistenzao resistore

Rev. 1.2

resistivit elettricaUnit di misura: [ . m]Dimensioni: [ . m] = [L3 M1 T-3 I-2]

conducibilit elettricaUnit di misura: [-1 . m-1]Dimensioni: [-1 . m-1] = [L-3 M-1 T3 I2]


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CC

Corrente elettrica e resistenza elettricaEffetto Joule 1.5

Dalla Legge di Ohm, tenendo conto del versodella corrente e del segno della d.d.p. (V1 > V2):VR = V2 V1 = I R

Il lavoro da fare per portare una carica dq,senza accelerarla, dal punto 1 al punto 2 :dL = dq VR

La potenza (dissipata) per effetto Joule :WJ = dL/dt = (dq VR)/dt = I2 R

Note: A livello qualitativo si pu dire che, gli elettroni di conduzione

non accelerano a causa di una forza di attrito causata dagliurti contro gli atomi .

W sempre negativa (dissipata).

Rev. 1.2

1

2

I

E

V1 > V2

R

I

1 2


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CC

Corrente elettrica e resistenza elettricaResistenze in parallelo o in serie

Resistenze in parallelo seO la differenza di potenziale

la stessa per entrambe

1.6

Resistenze in serie seO la corrente

la stessa in entrambe

V V VI I I

p

p

1 2

1 2

= =

+ =

V I RI V R

V I RI V R

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

=

=

=

=

( )V I R I R

R R I

R VI

R R

s

s

ss

s

= +

= +

= = +

1 1 2 2

1 2

1 2

I I IV V V

s

s

1 2

1 2

= =

+ =

V I R

V I R

1 1 1

2 2 2

=

=

( )I V R V R

R R V

RIV R R

p

p

p

p

p

= +

= +

= = +

1 1 2 2

1 2

1 2

1 1

1 1 1

R Rs ii

= Resistenza equiv. (serie):Resistenza equiv. (parallelo): 1 1R Rp ii=

Rev. 1.2


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CC

Esempi ed applicazioniResistivit e resistenza elettrica 1.7

Una resistenza elettrica realizzata con un di filo di platino (resistivit = 10.6.10-8 ..m)di lunghezza L = 1.25 m e spessore (diametro) d = 0.500 mm ed percorsa da una correnteI = 0.750 A. Si determini:a) la resistena elettrica complessiva Rtot;b) la potenza dissipata per unit di lunghezza w = Wtot/Ltot.

Rtot

I

S D= 22

L ( )

R LS

LD

LD

tot =

=

=

2

4

2

2

a) W I R I LD

L L

w WL

ID

tot

tot

tot

tot

= =

=

= =

2 22

2

2

4

4

b)

R LD

w ID

tot = =

= =

4675

4304

2

2

2

m

mW / m

Nota:R = 675 m = 675.10-3 = 0.675 = 10.6.10-8 ..md = 0.500 mm = 0.500.10-3 mw = 304 mW/m = 0.304 W/m

Rev. 1.2


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CC

Esempi ed applicazioniResistenze in parallelo 1.8

Una resistenza elettrica realizzata con due fili collegati in parallelo (ciascun filo halunghezza L = 2.50 m, resistivit = 10.6.10-8 ..m, diametro d = 0.500 mm) ed percorsada una corrente I = 0.750 A. Si determini:a) la resistena elettrica complessiva Rtot;b) la potenza dissipata per unit di lunghezza w = Wtot/Ltot.

R1

IR2

W I R I LD

L L

w WL

ID

tot tot

tot

tot

tot

= =

=

= =

2 22

2

2

2

2

( )R R RLS

LD

LD

R R R RR R L

Dtottot

1 2 2 2

1 22

2

4

1 1 12

12

2

= = = = =

= + = = =

Nota:Si confrontino i risultati con quelli dellesempio precedente.

R LD

w ID

tot = =

= =

2675

759

2

2

2

m

mW / m

.

Rev. 1.2


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CC

Esempi ed applicazioni Resitenza e potenza dissipata 1.9

Una resistenza elettrica dissipa, per effetto Joule, una potenza W = 1.20 kW quando ad essa applicata una d.d.p. costante V = 220 V.Si determini il valore della sua resistenza elettrica R.

V I R RVI

W I V I WV

R VW

= =

= =

=

2

R

V

Nota:W = I V = I2R fissato il valore della corrente

la potenza dissipata proporzionale alla resistenza

W = I V = V2/R fissato il valore della correntela potenza dissipata inversamente proporzionale alla resistenza

R VW

= =

240 3.

Rev. 1.2


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CC

Esempi ed applicazioniResistenze in configurazione serie/parallelo 1.10

Rev. 1.2

Quattro resistori, due di resistenza R1 e due di resistenza R2, sono collegati come illustratoin figura. Determinare il valore della resistenza equivalente tra A e C.

R2

R1

R1 R2

A B

D C

Note: Nella sostituzione R1,R2 Rs si perdono le informazioni relative

al potenziale in B (ed in D). Se si vuole calcolare la resistenza equivalente tra B e D il risultato

, ovviamente, diverso: Req = 2 R1 R2 / (R1 + R2)

Rs=R1+R2

A

C

Rs=R1+R2

R1 ed R2 sono in serie,per cui:

Req=(R1+R2)/2

A

C

Le due resistenze cosottenute sono inparallelo, per cui:

Req=(R1+R2)/2


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CC

Esempi ed applicazioniPotenza dissipata e resistenza interna (1/2) 1.11

Rev. 1.2

Passo 1:Possiamo innanzi tutto semplificare la configurazione delle resistenza con successivesostituzioni di serie/parallelo (attenzione: non si deve includere r nella resistenzaequivalente!):

R = 3 RR = R R / (R + R) = (3/4) R

R

r

R

C

B

A

R

C

B

rA

Req

B

A

Sei resistori sono collegati come illustrato in figura ad un generatore che fornisce una f.e.m.f. Determinare il rapporto tra la potenza dissipata, per effetto Joule, da r e quella dissipatada tutte le resistenze.(Nota: r pu essere vista come la resistenza interna del generatore)

R

R

R R

C D

B E

rA

+f


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CC

Esempi ed applicazioni Potenza dissipata e resistenza interna (1/2) 1.12

Rev. 1.2

Passo2:La potenza dissipata dissipata per effetto Joule (il segno negativo ricorda che si tratta dipotenza dissipata)

Wr = Ir2 r WR = IR2 Red il rapporto richiesto vale, tenendo conto che per la conservazione della carica in Cdeve essere Ir = IR ,

Wr / Wtot = Wr / (Wr + WR ) = ( Ir2 r) / ( Ir2 r IR2 R) = 1 + (r / R)e, sostituendo il valore di R ricavato in precedenza

Wr / Wtot = 1 + (4/3) (r/R)

R

C

B

r

A

+f

Ir

IR

Nota: questo esercizio stato volutamente risolto senzautilizzare le leggi di Kirchhoff, (vedi lezione seguente).

WW

rR

r

tot

= +14

3


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CC

CORRENTE / CIRCUITICircuiti e leggi di Kirchhoff

X Nodi / Rami / MaglieX Leggi di KirchhoffX Generatore / Condensatore / ResistenzaX Strumenti di misuraX Altri componentiX Circuito RCX Esempi ed applicazioni

2. Rev. 1.2


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CC

Circuiti e leggi di KirchhoffRiepilogo

X Principali componenti circuitaliX Generatore di f.e.m. costanteX generatore di corrente costanteX ResistenzaX CondensatoreX VoltmetroX AmperometroX Wattmetro

X Enunciato e dimostrazioneX 1a legge di Kirchhoff (o dei nodi)X 2a legge di Kirchhoff (o delle maglie)

X Importanti fenomeni fisiciX Circuito RCX Carica e scarica di un condensatore

X EserciziX Resistenza interna e caricoX Circuito RC (carica)X Circuito RC (scarica)X Circuito RC (bilancio energetico)

MNV2 Cap.6:Campo magnetico. Forza magnetica.

X Par.6.1: Interazione magnetica. Campo magneticoX Par.6.2: Elettricit e magnetismoX Par.6.3: Forza magnetica su una carica in motoX Par.6.4: Forza magnetica su un conduttore

percorso da correnteX Par.6.7: Moto di una particella carica in un

campo magnetico BX Par.6.8: Esempi di moti di particelle cariche in

campo magnetico uniforme

2.0Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

CC

Circuiti e leggi di KirchhoffNodi / Rami / Maglie 2.1

Nodo

MagliaRamo

Componente Componenti in serie

Componenti in parallelo

Circuito o rete

nodo: un punto nel qualeconvergono almeno treconduttori

maglia: cammino chiuso cheparte da un nodo e vi ritornaattraversando due o pi rami

ramo: parte di circuito checollega due nodi adiacenti

Rev. 1.2


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CC

Circuiti e leggi di KirchhoffLeggi di Kirchhoff 2.2

1a legge di Kirchhoff (legge dei nodi)La somma algebrica delle correnti checonfluiscono in un nodo nulla

Ikk

= 0

2a legge di Kirchhoff (legge delle maglie)La somma algebrica dele f.e.m. presentinei rami della maglia uguale alla sommaalgebrica dei prodoti R I per tutteresistenze presenti nei rami della maglia

o pi in generalela somma algebrica delle f.e.m. o d.d.p. aicapi di tutti i componenti presenti lungouna maglia nulla

f R Ikk

k kk

=

Vkk

= 0

Rev. 1.2


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CC

Circuiti e leggi di Kirchhoff Generatore / Condensatore / Resistore 2.3

+f1 2

IG

Generatore di f.e.m. costanteDifferenza di potenziale:VG = V2 V1 = f = cost.IG = IG(t)

Potenza:WG(t) = IG(t) f

Note: WG pu essere >0 o 0

(immagazzinata). Serie Cs-1=C1-1+C2-1 Parallelo Cp = C1 + C2

+C

1 2

IC

Nota: Talvlta si usa la notazine V , invece di V, per indicare una d.d.p.

Resistore/ResisitenzaDifferenza di potenziale:VR(t) = V2 V1 = IR(t) R

Potenza dissipata:WR(t) = dq V/dt = I(t) VR(t) = IR2(t) R

Note: WR sempre


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CC

Circuiti e leggi di KirchhoffAltri componenti 2.5

Un tratto di conduttore tra duenodi fa s che la d.d.p. tra i

nodi sia nulla: V1 = V2

Si dice che i due nodi sonocortocircuitati

o in corto circuito

Conduttore

1 2

Interruttore

Un interruttore chiuso equivalente ad un

corto circuito

1 2Interruttore

aperto1 2

Interruttorechiuso

Deviatore

Posizione A

12

3

A

B

Posizione B

12

3

A

B

Condensatore variabile

+C

1 2

ICResistenza variabileo potenziometro

R

1 2

IR

Rev. 1.2


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CC

Circuiti e leggi di KirchhoffCircuito RC 2.6

R

C

+f

A

B

S

Carica del condensatoe: il generatorefornisce energia che viene in parteimmagazzinata nel condensatore edin parte dissipata dalla resistenza

Scarica del condensatore: lenergiaprecedentemente immagazzinata nelcondensatore viene dissipata dallaresistenza

R

C

+f +

-I

Carica del condensatore

R

I

C

+

-

Scarica del condensatore

Con il deviatorenella posizione A si

ha la carica delcondensatore

Con il deviatorenella posizione B si

ha la scarica delcondensatore

Uno studio pi approfondito del circuito RC svolto negli Esercizi ed applicazioni

Rev. 1.2


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CC

Esempi ed applicazioniResistenza interna e carico 2.7

Nel circuito illustrato in figura il generatore di f.e.m. costante (d.d.p. V0, resistenzainterna rg) collegato ad una resistenza costante R (carico).Determinare che relazione deve sussistere tra la resistenza interna rg ed il carico Raffinch almeno il 95% della potenza fornita dal generatore sia dissipata da R.

V0 rg

R

I

La potenza fornita dal generatore Wg = V0 I

La potenza dissipata dalla resistenza R WR = I2 R

Tenendo conto che dalla 2a legge di KirchhoffV0 I rg I R = 0

si ricavaI = V0 / (rg + R)

e quindiWg = V02 / (rg + R)

WR = V02 R / (rg + R)2WR / Wg = R / (rg + R)

R / (rg + R)

PoniamoWR / Wg = 0.95 = 95% rg / R (1 ) /

rg / R 0.053 = 5.3%

Rev. 1.2


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CC

Esempi ed applicazioniCircuito RC (carica) 2.8

dd

dd

Qt

qt

I= =

( )

( )

V V V

f QC

IR

ft C

Qt

R It

It RC

I

I t fR

V f IR f

G C R

t RC

Ct RC

+ + =

=

=

=

=

= =

0

0

10

1

1

dd

dd

dd

dd

e

e

Nel circuito illustrato in figura il condensatore C inizialmente scarico (Q(0)=0) edallistante tDeterminare la differenza di potenziale VC(t) ai capi del condensatore.

( )

( )

t fQC

IR

QI f

R

t fQC

IR

Q IQ fC

= =

=

=

=

= =

=

00

0 0

0

0

0

cost.( ) ( )V t f

RC

Ct

C

C=

=

1 e

R

I

C

+f +

-

A

B

S

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

CC

Esempi ed applicazioniCircuito RC (scarica) 2.9

Nel circuito illustrato in figura il condensatore C inizialmente carico (VC(0)=f) edallistante tDeterminare la differenza di potenziale VC(t) ai capi del condensatore.

( )

( )

tV IRV f

I fR

tV IR

Q IV

C

C

CC

= =

=

=

=

= =

=

00

0

0

00

0

cost.

d

d

d

d

Qt

qt

I= =

( )( ) ( ) ( )

V V

QC

IR

CQt

R It

It RC

I

I t I

V t V t I t R f

C R

t RC

C Rt RC

+ =

=

=

=

=

= = =

0

0

10

1

0

dd

dd

dd

e

e

( )V t fRC

Ct

C

C=

=

e

R

I

C

+f +

-

A

B

S

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

CC

Esempi ed applicazioniCircuito RC (bilancio energetico) 2.10

Nel circuito illustrato in figura il condensatore C inizialmente scarico (Q (0)=0). Ildeviatore S viene prima portato nella posizione A; dopo un intervallo di temposufficientemente lungo (t>>C=RC) il deviatore S viene portato nella posizione B.Verificare che lenergia immagazzinata nel condensatore durante la fase di carica uguale

E EC R f C= =1

22

R

C

+f +

-

A

B

S

La potenza dissipata dalla resistenzadurante la scarica del condensatore (Sin B) :

( ) ( ) ( )W t I t R f RR t RC= = 2 2 2e( )E R R t RC

t RC

W t tfR

t

fR

RC fR

RC f C

= =

=

=

=

d e de ( )

0

22

0

22

0

2 2

2 20 1

2

Lenergia accumulata nel condensatoredurante la carica (S in A) :

EC = UC = C f 2 0Nota: durante la carica WG(t) WR(t).

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

MS

FISICA GENERALE II

MAGNETOSTATICA


F.BloisiFisica II

MS

X Le basi della magnetostaticaX Propriet di BX Circuiti e campo magneticoX Materiali magnetici

Rev. 1.2

FISICA GENERALE IIMAGNETOSTATICA


F.BloisiFisica II

MS

MAGNETOSTATICALe basi della magnetosttica

X I primi esperimentiX Interazioni tra correnti e magnetiX Definizione del campo di induzione magneticaX Prima formula di LaplaceX Seconda formula di LaplaceX Forza di LorentzX Esempi ed applicazioni

1. Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Le basi della magnetostaticaRiepilogo

X DefinizioniX Campo di induzione magnetica

X EnunciatoX Prima formula di LaplaceX Seconda formula di LaplaceX Forza di Lorentz

X Importanti fenomeni fisiciX Forze tra fili percorsi da correntiX Forze su cariche elettriche in moto

X EserciziX Spira circolare percorsa da correnteX Filo infinito percorso da correnteX Disco carico che ruotaX Moto di una carica in campo magneticoX Forza tra due fili percorsi da correnteX Campo B generato da un circuito


X Par.6.1: Interazione magnetica. Campo magnetico.X Par.6.2: Elettricit e magnetismo.X Par.6.3: Forza magnetica su una carica in moto.X Par.6.4: Forza magnetica su un conduttore.

percorso da corrente.X Par.6.7: Moto di una particella carica in un

campo magnetico B.X Par.6.8: Esempi di moti di particelle cariche in

campo magnetico uniforme.

MNV2 Cap.7:Sorgenti del campo magnetico.Legge di Ampere.Propriet magnetiche della materia.

X Par.7.1: Campo magnetico prodottpo dauna corrente.

X Par.7.2: Calcoli di campi magnetici prodotti dacircuiti particolari.

X Par.7.3: Azioni elettrodinamiche tra fili percorsida correnti.

1.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Le basi della magnetostaticaI primi esperimenti 1.1

Limatura di ferroattorno ad un

magnete permanente(calamita)

X Barrette magnetizzate si comportano in maniera analogaa dipoli elettrici:X poli uguali si respingono, poli opposti si attraggonoX la forza (attrattiva o repulsiva) inversamente

proporzionale al quadrato della distanzaX Tuttavia vi una fondamentale differenza:

X impossibile isolare un singolo polo (monopolo)magnetico

X La Terra si comporta nel suo complesso come un dipolomagnetico orientato approssimativamente come lasse dirotazione.X da cui i nomi N (Nord) e S (Sud) per i poli magnetici

X Per visualizzare qualitativamente landamento delcampo magnetico si pu usareX della limatura di ferroX un piccolo dipolo magnetico libero di ruotare (come

lago di una bussola)

Nota storica:

Fin dall 800 a.C. igreci sapevano chealcuni minerali (Fe3O4magnetite) sono ingrado di attirarepiccoli pezzi di ferro.


F.BloisiFisica II

MS

Le basi della magnetostaticaInterazioni tra correnti e magneti

Interazioni tra fili percorsi da corrente

=0I0

0I=0

correnticoncordi

forzaattrattiva

=0I0

=0I0

F

correntidiscordi

forzarepulsiva

=0I0

=0I0

F

1.2

Effetti magnetici di una corrente(cariche elettriche in moto)

Fili paralleli percorsi da correnticostanti concordi (discordi) siattraggono (si respingono)

Un filo percorso da corrente ingrado di deflettere lago di unabussola

Un filo percorso da corrente ingrado di allineare la limaturadi ferro (su circonferenzeconcentriche centrate sul filo)

Un solenoide percorso dacorrente costante produce glistessi effetti magnetici di unabarretta magnetizzata

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Le basi della magnetostaticaDefinizione del campo di induzione magnetica

Osservazioni(con un piccolo circuito di prova)

XLa forza che agisce sul segmento lX proporzionale allintensit dellacorrente

Xdipende dalla direzione della corrente

Xcambia verso se si inverte il versodella corrente

X sempre ortogonale alla direzionedella corrente

XLe sorgenti sono

Xcorrenti elettriche (cariche in moto)

Xmagneti permanenti (calamite)

1.3

Definizione operativa delvettore di induzione magnetica B

XRuotare il circuito di prova fino ad avereF = 0X la direzione del filo da la direzionedel vettore B

X ruotare la spira in modo che l siaortogonale a BX il modulo di B dato da B = F/I l

Xguardando la spira dal lato in cui lacorrente circola in verso antiorario

XB entrante se la spira si contraeXB uscente se la spira si dilata

Unit SI: T tesla [ M T-2 I-1 ]T = N/Am


F.BloisiFisica II

MS

Le basi della magnetostaticaPrima formula di Laplace 1.4

Campo B generato da una corrente(Prima formula di Laplace)

Attenzione:in condizioni stazionarie un singoloelemento di circuito dl percorso dacorrente non pu fisicamente esistere(conservazione della carica)

B

r

r

dl

r = r-r

Rev. 1.1

( ) ( )d dr rr r rr rB r

l r rr r

=

0

34I

( ) ( )r r rr r rr rB r B

l r rr r

= =

d d

0

34I

Nota: dB ortogonale alpiano che contiene r e dl C

onfr

onto

Campo E generato da una carica elettricadistribuita uniformemente su di un filo

( ) ( )d d dr r rr rr r

r rr rE r r

r rr r

r rr r

=

=

1

4

1

403

03

q l

Nota: dE ha la direzione di r

( ) ( )r r rr rr r

rE r E r rr r

r= =

d d

3 l


F.BloisiFisica II

MS

Le basi della magnetostaticaSeconda formula di Laplace 1.5

Azione di B su una corrente(Seconda formula di Laplace)

d dr r rF l BB I=

Rev. 1.1

B

dFB

dl

I

Nota: dFB ortogonale a Bed a dl

r r r r r rF F l B B lB B I I= = = d d d

Attenzione:la forza agisce fisicamente suciascun elementino e pu deformareil circuito, se questo non rigido

Azione di E su di una carica elettricadistribuita uniformemente su di un filo

d dr rF EE l=

Nota: dFE ha la direzione di E

r r rF F EE E l= = d d

Con

fron

to


F.BloisiFisica II

MS

Le basi della magnetostaticaForza di Lorentz 1.6

B

FB

v

q

r r rF v BB q=

Azione di B su una carica in moto(Forza di Lorentz)

d d d dr r r r r r rF v B v B l BB q I t I= = =

Osservazione:Il lavoro compiuto da FB sempre nullo:

( ) ( )d d dL q tB B= = =r r r r rF s v B v 0

Rev. 1.1

Nota: FB sempre ortogonale a B ed a v

Con

fron

to Azione di E su una carica ferma(Forza di Coulomb)r r

F EE q=

Nota: FB ha la direzione di E

Forza elettromagnetica su di una carica elettrica(Forza di Lorentz)

( )r r r rF E v Bem q= + Nota: considerando due sistemi di riferimentoinerziale, i contributi dovuti al campoelettrico ed al campo magnetico cambiano.


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniSpira circolare percorsa da corrente 1.7

Data una spira circolare (raggio R) percorsa da una corrente costante I, determinare il vettorecampo di induzione magnetica B in un punto P (0,0,z) sullasse di simmetria della spira.

Nel un punto P, appartenente allasse della spira,per simmetria, il vettore B diretto lungo taleasse.

R

P

drB

I

z

P

drB

II

drB

d ||rB

rrrr

r rr r

d rl

r r

rr r

r r

rr r

= +

=

=

+

R z

RR z

2 2

2 2sin

( )

( )

dd

d d sind

sin

d

|| ||

r r r rr r

r rr r

B l r rr r

B Br r

=

= =

=

+

03

02

0

2 2 3 2

4

4

4

I

I l

I R

R zl

( ) ( )rB kz I R

R z=

+

0 22 2 3 22

$( ) ( )

r rB B= =

+ =

+ d d||

circonf.

02 2 3 2

0

20

2

2 2 3 24 2I R

R zl I R

R z

R

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniFilo infinito percorso da corrente 1.8

Determinare il campo di induzione magnetica prodotto da un filo infinito (L >> r; L >> zP)percorso da una corrente costante I.

Ciascun contributo dB, equindi B, ortogonale alpiano del disegno, converso entrante.

( )( )( )

= =

2

0 0

0 0

0 0

d , , d

, ,

, ,

r

r

r

l

r

r

z

z

r

( )d

d

dd sin cos d

r r r rr r

rr r

Bl r r

r r

Br r

=

=

=

03

02

0

4

4 4

I

I l Ir

r r

r

r r

r

=

= = = =

= =

r

z r l z r d

cos

tg d dcos

sin sin cos

2

Le linee di forza di B sono circonferenze con il centro sul filoe verso antiorario se osservate dal verso della corrente.

( )r rB r t= 0

2Ir$r rB B= = =

=

=

d cos d

2

2

0

2

2

0

4 2

Ir

Ir

O

P

I

z

d rl

rr

rr

r rr r drB

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniDisco carico che ruota 1.9

Lintero disco di raggio R equivalente ad uninsieme di spire circolari concentriche di raggi dar=0 ad r=R, percorse da corrente dI(r)=rdr.

( )( ) ( )

( )

d dd d

d

||

r rB B= =

+=

+

=

+

02

2 2 3 20

2

2 2 3 2

03

2 2 3 2

2 2

2

I r r

r z

r r r

r z

r r

r z

Nel centro C del disco (z=0):

d d d

d

||

||

r r

r r

B B

B B

= =

= = =

0

0

0

0

2

2 2

r

rRR ( )r

rB C =

02 R

Dato un disco carico con densit uniforme , che ruota intorno al proprio asse di simmetriacon velocit angolare costante , determinare il vettore campo di induzione magnetica B inun punto P (0,0,z) appartenente allasse di rotazione del disco.

C

R

z

Cd

d d d d d d

ddd

d dd

ddd

d

q S l r r r

I qt

r rt

r rt

r r

= = =

= = =

=


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniMoto di una carica in campo magnetico 1.10

Determinare il tempo che impiega un elettrone (carica elettrica e, massa me, velocitiniziale vinduzione magnetica B costante ed uniforme, perpendicolare entrante nel piano del disegno.

ev

v

B

a

Dal secondo principio della dinamica, tenendo contoche sullelettrone agisce la forza di Lorentz:r r

r r rr r rF a

F v Ba v B

=

=

=

= =

=

m

ee

ma evB ma

e

e

n e

t

cost

0

quindi il moto circolare uniforme.

t meB

e=

quindi il raggio ed il periodo sono rispettivamente:

a vRn

=

2

R m veB

T Rv

meB

e e= = =

2 2

Dalla cinematica sappiamo che in un moto circolareuniforme laccelerazione (centripeta) vale


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniForza tra due fili percorsi da corrente 1.11

Determinare la forza che si esercita tra due fili (lunghezza L) percorsi da corrente costante I(versi concordi) posti a distanza h tra loro (L >> h).

d dr r rF l BB I=

I I

h

drlr

BdrF

r( ) ( ) ( )d d $ d $ d $rF r r rB I B h l I Ih l

I lh

= = =

0 02

2 2

r rF F r rB B

Ih

l I Lh

= = = d $ d $filo 2 ilo 2

02

02

2 2

rF rB

I Lh

=

02

2$


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniCampo B generato da un circuito 1.12

I

A

B

C

D

C

Il circuito illustrato in figura costituito da due semicirconferenze (AB di raggio R1 e CDdi raggio R2) aventi lo stesso centro C, unite da due tratti rettilinei ( BC e DA).Determinare il campo di induzione magnetica nel centro C quando il circuito percorso dacorrente costante I (nel verso illustrato).

Nota: indichiamo con il versore normaleuscente dal piano del disegno.

r r r rr

r rr

r rr

r rr

r rr

B B l rr

l rr

l rr

l rr

l rr

n n

= =

=

=

+

+

+

= + + +

= = +

dd

d d d d

d $ d $

03

03 3 3 3

0 1

13

2

23

0 12

13

22

23

4

4

40 0

4

I

I

I R lR

R lR

I RR

RR

arco segmento arco segmento

arco arco

AB BC CD DA

AB CD

n

rB n= +

01 24

1 1IR R

$


F.BloisiFisica II

MS

MAGNETOSTATICAPropriet di B

X Flusso di BX Flusso di B concatenato con una linea chiusaX Circuitazione di B: filo infinitoX Teorema della circuitazione di AmpereX Corrente concatenata con una curvaX Formulazione differenzialeX Esempi ed applicazioni

2. Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Propriet di BRiepilogo

X DefinizioniX Flusso di B attraverso una superficieX Flusso di B concatenato con

una linea chiusaX Corrente concatenata con una linea chiusa

X Enunciato e DimostrazioneX Teorema della circuitazione di AmpereX Propriet di B in forma integrale ed

in forma differenziale

X Importanti fenomeni fisiciX Linee di campo di B sempre chiuseX Assenza dei monopoli! magneticiX Uso del teorema della circuitazione di

Ampere per il calcolo del campo B

X EserciziX Filo infinito percorso da correnteX Solenoide infinitoX Solenoide toroidaleX Flusso di B

MNV2 Cap.7:Sorgenti del campo magnetico.Legge di Ampere.

X Par.7.4: Legge di Ampere.X Par.7.7: La legge di Gauss per il campo magnetico.

2.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Propriet di BFlusso di B 2.1

Unit di misura delflusso del campo diinduzione magnetica:

Wb weber[ L2 M1 T-2 I-1 ]

Wb = Tm2

Dal punto di vista fisico: le linee di campo del vettore B sono

sempre linee chiuse non esistono le cariche magnetiche(monopoli magnetici)

possibile parlare di flusso di Bconcatenato con una linea chiusa

rB n = $ d s

Schiusa

0in forma integrale:

divrB = 0in forma differenziale:

Importante:Il flusso del vettore B

attraverso una superficie chiusa sempre nullo.

Rev. 1.1

Dal punto di vista matematico:Si dimostra che

da cui

( )div div

d

$ d

r r r rr r

cr

Bl r rr r

B n

=

=

=

034

0

0

I

sSchiusaA

ppro

fond

imen

to


F.BloisiFisica II

MS

Propriet di BFlusso di B concatenato con una linea chiusa

1

1

1= rB n$ d s

2

2

2= rB n$ d s

= = +

= +

= +

r r r

r r

B n B n B n

B n B n

$ d $ d $ d

$ d $ d

s s s

s s

1 2

1 2

1 2

1 2

= = =0 2 1

Def: si dice flusso del vettore B concatenato con una curva il flusso di Battraverso qualunque superficie che abbia tale curva come bordo.

2.2


F.BloisiFisica II

MS

Propriet di BCircuitazione di B: filo infinito

il campo B prodotto da un filo infinito percorso da corrente la curva in un piano perpendicolare al filo infinito

r rB l = = =

= =

d d cos d d

d d

B l B s B r

Ir

r I

0 0

2 2

r rB l = = d d

0 02I I

r rB l = = d d

0

20

I

I

drl

drs

d

rB

I

drl

drs

d

rB

I

I

2.3


F.BloisiFisica II

MS

Propriet di BTeorema della circuitazione di Ampere

I sS

= rJ n$ d S una superficie che ha la curva come bordo i versi della curva e della normale alla superficie S devono essere

concordi Nota: dallequazione di continuit in condizioni stazionarie segue che tutte

le superfici che hanno la curva come bordo danno lo stesso valore di I

I n Ii i = le correnti Ii devono essere prese con il segno positivo o negativo aseconda del loro verso rispetto al verso della curva

ni il numero di volte che la corrente Ii concatenata con la curva

I, la corrente concatenata con la curva , definita come:

2.4

Teorema della circuitazione di AmpereLa circuitazione del vettore induzione magnetica lungouna linea chiusa pari alla corrente concatenata con lalinea chiusa moltiplicata per la costante 0

r rB l = d

0 I

r r rB l J n = d $ d

0 sS

in forma integrale

rotr rB J= 0

in forma differenziale

1I1 I2 I3

Nellesempio:I= I1 + I2

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Propriet di BCorrente concatenata con una curva

Nota: la corrente concatenata con una curva puessere definita solo in condizioni stazionarie

I1

I2

S1

I1

I2

S2

S1 ed S1 costituiscono, nellinsieme, unasuperficie chiusa S

r r r

r r

J n J n J n

J n J n

= +

= +

$ d $ d $ d

$ d $ d

s s s

s s

s S S

S S

1 2

1 2

1 2

div $ dr rJ J n= =0 0s

s

In condizioni stazionarie

r rJ n J n = $ d $ d1 2

1 2

s sS S

quindi la corrente concatenata non dipendedalla scelta della uperficie

2.5A

ppro

fond

imen

to

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Propriet di BFormulazione differenziale 2.6

Nota: Utilizzando il potenziale vettore possibile scrivere il flusso del campo diinduzione magnetica concatenato conuna curva come la circuitazione delpotenziale vettore lungo tale curva:

= = = r r r rB n A n A l$ d rot $ d ds sS S

sempre possibile definire unpotenziale vettore tale che

r rB A= rot

Unit SI delpotenziale vettore:

Wb/m = Tm[ L1 M1 T-2 I-1 ]

Equazioni di Maxwellper il campo magneticoin condizioni stazionarie

in formaintegrale

in formadifferenziale

non possibile, in genere, definire unpotenziale scalare tale che

rB = gradVB

App

rofo

ndim

ento

r r r r

r r

B l B J

B n B

= =

= =

d rot

$ d div

0 0

0 0

I

sS

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioni Filo infinito percorso da corrente (1/2)

Determinare il campo di induzione magnetica prodotto da un filo infinito (L >> r; L >> zP)percorso da una corrente costante I.

Attenzione:il versore t orientato in verso antiorariose visto dal verso positivo della corrente.

2.7

( )r rB B tr z Ir

, , $

= =0

2

Da considerazioni di simmetria si deduce che

dalla prima formula di Laplace si ricava chedB, e quindi B, ortogonale al piano deldisegno

dal teorema della circuitazione di Ampere siricava il modulo di B

( ) ( ) ( ) ( )rB r k tr z B r B r B rr z t, , $ $ $ = + +

r rB l = = = d

0 002

2I rB I B I

rt t

r rB B t t t= = =

= d d $ d $ $filo filo filoB B Bt t t

OP

z

rrBz

BrBt

I

drl

rr

dd

d d $r r

rr

Blr

B t =

Bt

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioni Filo infinito percorso da corrente (2/2)

Come in precedenza, applicando il teorema dellacircuitazione di Ampere ad una circonferenza diraggio r, con centro sullasse del solenoide siricava il modulo di B

( )r rB B tr z Ir

, , $

= =0

2

2.8

OP

I

z

rr

BzBr

Bt

Nota: possibile evitare luso della primaformula di Laplace

dal teorema del flusso applicato ad uncilindro di raggio r coassiale con il filo siricava

dal teorema della circuitazione di Ampereapplicato ad un rettangolo come quelloillustrato, dovendo essere B = 0 allinfinito,si ricava

( ) ( ) ( ) ( )B r B r r z B rr z t= = =0 0 rB t, , $( )B rz = 0

( )B rr = 0

Come in precedenza, daconsiderazioni di simmetria siricava che B dipende solo da r

( ) ( ) ( ) ( )rB r k tr z B r B r B rr z t, , $ $ $ = + +

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioni Solenoide infinito (1/2)

Determinare il campo di induzione magnetica prodotto da un solenoide infinito (L >> R;L >> r; L >> zP), con n spire per unit di lunghezza, percorso da una corrente costante I.

Da considerazioni di simmetria si deduceche ( ) ( ) ( ) ( )rB r k tr z B r B r B rr z t, , $ $ $ = + +

Prr

Bz

Br

Bt

R

Applicando il teorema del flusso ad un cilindrodi raggio r, coassiale con il solenoide si ricavache ( )B rr = 0Applicando il teorema della circuitazione ad unacirconferenza di raggio r, con centro sullassedel solenoide si ricava che ( )B rt = 0

Per r > R

Applicando il teorema della circuitazione ad unrettangolo come quello illustrato, e dovendoessere B = 0 allinfinito, si ricava che ( )B rz = 0

( )rB r z r R, , = >0 per

2.9


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioni Solenoide infinito (2/2)

Determinare il campo di induzione magnetica prodotto da un solenoide infinito (L >> R;L >> r; L >> zP), con n spire per unit di lunghezza, percorso da una corrente costante I.

Da considerazioni di simmetria si deduceche ( ) ( ) ( ) ( )rB r k tr z B r B r B rr z t, , $ $ $ = + +

Prr

Bz

Br

Bt

R

dc

Per r < R

Anche per r < R si ricava che ( ) ( )B r B rr t= =0 0Applicando il teorema della circuitazione ad unrettangolo come quello indicato con c, si ricavache ( )B rz = costApplicando il teorema della circuitazione ad unrettangolo come quello indicato con d, poichB = 0 allesterno, si ricava che ( )B r nIz = 0

( )rB kr z nI r Rr R

, ,$

=

0

0

Attenzione:il versore k orientato in modo da vedercircolare la corrente in verso antiorario.

2.10


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioni Solenoide toroidale

Determinare il campo di induzione magnetica sulla circonferenza mediana di un solenoidetoroidale (raggi R ed r, N spire) percorso da una corrente costante I.

Applicando il teorema della circuitazione allacirconferenza mediana del solenoide toroidale(una circonferenza di raggio R) , si ricava che

Nota:nel solenoide toroidaleB non uniforme.

2.11

Ricordando che le linee di campo di B devono essere chiuse devono concatenare delle correnti

Tenendo conto della simmetria del problemasi pu affermare che le linee di campo di B sonodelle circonferenze aventi centro sullasse disimmetria (a in figura).

R

2r

a

$t

rB t=

0 2

NIR

$

t orientato comein figura.

r rB l =

= =

d

0

0 02 2

I

B R NI B NIR

conc


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioni Flusso di B 2.12

Un filo infinito percorso da una corrente costante I. Si determini il flusso di B concatenatocon un quadrato di lato L posto a distanza L dal filo, orientata come illustrato in figura.

O

I

z

rr

dr

L

LL

$n

Il campo di induzione magnetica prodotto da unfilo infinito r

B t= 0

2

Ir$

Il flusso attraverso un elemento ds = Ldr

d $ d d = = rB n s I

rL r

0

2

ed il flusso attraverso la superficie del quadratovale

= = = = d d d lnquadrato

02

02

0

2 2 22

Ir

L r I L rr

I L

L

L

L

L

=

0

22

I Lln


F.BloisiFisica II

MS

MAGNETOSTATICACircuiti e campo magnetico

X Dipolo magneticoX Approssimazione di dipoloX Effetto HallX Auto/mutua induzioneX Campo B ed energiaX Esempi ed applicazioni

3. Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Circuiti e campo magneticoRiepilogo

X DefinizioniX Dipolo magneticoX Coefficienti di auto/mutua induzione

X Calcolo diX Energia associata al campo magneticoX Energia immagazzinata in uninduttanza

X Importanti fenomeni fisiciX Approssimazione di dipoloX Scomposizione di una spiraX Effetto Hall

X EserciziX Momento meccanico su di una spiraX Lavoro per spostare una spiraX Coefficiente di mutua induzioneX Coefficiente di autoinduzione di un solenoideX Energia immagazzinata in un solenoide

3.0Rev. 1.1


X Par.6.5: Momenti meccanici su circuiti piani.X Par.6.6: Effetto Hall.

MNV2 Cap.7:Sorgenti del campo magnetico.Legge di Ampere.Propriet magnetiche della materia.

X Par.7.2: Calcoli di campi magnetici prodotti dacircuiti particoilari.

MNV2 Cap.8:Campi elettrici e magneticivariabili nel tempo.

X Par.8.4: Autoinduzione.X Par.8.5: Energia magnetica.X Par.8.6: Induzione mutua.


F.BloisiFisica II

MS

Circuiti e campo magneticoDipolo magnetico 3.1

Nota: Lenergia potenziale di una spirapercorsa da corrente costante I, in uncampo di induzione magnetica B si puscrivere dove il flusso di Bconcatenato con il circuito .

Em I=

Poich non esistono le cariche magnetiche la sorgente di campo magneticopi semplice una piccola spire percorsa da corrente o dipolo magnetico.

d $ drm n= I sDef.: momento di dipolo magneticoUnit di misura:

A m2 [ L2 I ]Le interazioni tra dipolo magnetico e campoB si esprimono, come per il dipolo elettrico incampo elettrico:

forza ( )r r rF B mm = gradmomento meccanico

r r rMMm = B menergia potenziale Em =

r rB m

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Circuiti e campo magneticoApprossimazione di dipolo 3.2

Rev. 1.1

Linee di campo diun dipolo

(elettrico o magnetico)

Linee di campo (E) didue cariche elettriche

opposte

Linee di campo (B) diuna spira

percorsa da corrente


F.BloisiFisica II

MS

Circuiti e campo magneticoEffetto Hall 3.3

Un conduttore (densit di cariche di conduzione n) a forma di nastro (sezione a, b),percorso da una corrente costante I, viene posto in un campo B costante ed uniforme.

(ortogonalmente alla direzione della corrente) dipende dal segno della carica elementare qe.

Rev. 1.1

b

a

+qe vd

BI

FB+ + + + + ++ + + + + +

FEHEH

V2

V1qe>0 V=>0

b

a

qevd

BI

FB

+ + + + + ++ + + + + +FEH

EH

V2

V1qe


F.BloisiFisica II

MS

Circuiti e campo magneticoAuto/mutua induzione (2/2) 3.5

Def.: Si chiama coefficiente di mutua induzione tra i circuiti 1 e 2 il rapporto trail flusso 21 (del campo B1 concatenato con la curva 2) e la corrente I1 checircola nel circuito 1 (e che genera il campo B1)

MI21

21

1

0 1 2

2 112

4= =

d dr rr rl l

r r

Scambiando i ruoli di 1 e 2 si trova cheM12 = M21, anche se 12 21

Il flusso concatenato con il circuito 1 1 11 12 1 1 2 21= + = +I L I M

Unit di misura:

H henry[ L2 M1 T-2 I-2 ]

H = Wb/AH = Tm2/A

Def.: Si chiama coefficiente di auto induzione del circuito 1 il rapporto trail flusso 11 (del campo B1 concatenato con la curva 1) e la corrente I1 checircola nel medesimo circuito

L MI1 11

11

1

= =


F.BloisiFisica II

MS

Circuiti e campo magneticoCampo B ed energia 3.6

Si trova che, come per il campo elettrico, anche al campo di induzionemagnetica, possibile associare una densit di energia :

( ) ( )w BB rr

rr

=

12

2

0

Em = =

w BBV V

d d

12

2

0

Si trova anche che, se L il coefficiente di autoinduzione di un circuito,lenergia immagazzinata nel campo di induzione magnetica pu essere anchescritta come:

EL LI=12

2


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniMomento meccanico su di una spira 3.7

1

2

3

4

B

nI

4

F2

n

B

F1

MMma

a sin

dallalto

1

bB

F4

F2

di fronte

r r

r rF F

F F

1 3

2 4

= =

= =

I b B

I a B cos

( )( )

r r r r

r r r r r r rMM

MM

m

m

a I b B a I a b I S

I S I S

= = = =

= = = =

F n B n B

n B n B m B B m

1 sin sin $ $

$ $

Calcolare il momento meccanico che un campo di induzione magnetica uniforme esercitasu di una spira rettangolare percorsa da corrente.


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniLavoro per spostare una spira 3.8

Una spira quadrata di lato L, percorsa da una corrente costante I2, posta a distanza L daun filo infinito percorso da una corrente costante I1. Calcolare il lavoro per ruotare la spiradi 180 attorno ad una sua diagonale.

I1

L

LL

$n

posizione inizialedella spira ABCD

DA

B C

I2I1

L

LL

$n

posizione finaledella spira ABCD

BA

D CI2

210 1

21 210 1

22

22

fin

iniz fin

=

= =

I L

I L

ln

ln

( )L I I Lest = 2 0 12 2 2

ln ( )L I I Lest =

0 1 2 2ln

( )

( ) ( )( )

L

I I

I

estm=

=

=

E

2 21 2 21

2 21 21

fin iniz

fin iniz


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniCoefficiente di mutua induzione 3.9

Calcolare il coefficiente di mutua induzione tra un filo infinito ed una spira quadrata dilato L posto a distanza L dal filo.

I

L

LL

$n

M L= 0

22ln

Supponiamo che nel filo circoli una corrente costante I1.

quindi dalla definizione di coefficiente di mutuainduzione

Il flusso concatenato con la spira quadrata gistato calcolato

21 0 122=

I Lln

MI I

L= = =

122

21

1

0

22

ln

Nota:il segno di M dipende dalla scelta deiversi di percorrenza dei due circuiti


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniCoefficiente di autoinduzione di un solenoide 3.10

Calcolare il coefficiente di autoinduzione di un solenoide (raggio R e lunghezza h >> R),con n spire per unit di lunghezza.

LI

=

Per definizione, il coefficiente di autoinduzione

Supponiamo che nel solenoide circoli una corrente costante I.

= = = = rB n$ d s nh B R nI R nI Rcerchio

raggio R

2 0 2 0 2Il flusso concatenato con una singola spira

= = =N nh nI R n I R h 0 2 0 2 2Il flusso concatenato con lintero solenoide (N spire)

L n R h= 0 2 2

h

R

B

B nI= 0


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniEnergia immagazzinata in un solenoide (1/2) 3.11

Calcolare lenergia immagazzinata in un solenoide (raggio R e lunghezza h >> R), con nspire per unit di lunghezza.

h

R

B

B nI= 0

Il campo di induzione magnetica gi stato calcolato e vale, in modulo:

( )w B nI n IB = = =1212

12

2

0

02

00

2 2

E = = =

w n I n I R hBV V

d d 12

1

202 2

02 2 2

ELR h n I=

2

02 2

2

Metodo 1)

B nI= 0quindi la densit di energia del campo B

e lenergia totale immagazzinata nel solenoide


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniEnergia immagazzinata in un solenoide (2/2) 3.12

Calcolare lenergia immagazzinata in un solenoide (raggio R e lunghezza h >> R), con nspire per unit di lunghezza.

h

R

B

B nI= 0

Metodo 2)

L n R h= 0 2 2

Il coefficiente di autoinduzione gistato calcolato e vale

E = =12

1

22

02 2 2LI n R hI

ELR h n I=

2

02 2

2

quindi lenergia immagazzinatanellinduttanza


F.BloisiFisica II

MS

MAGNETOSTATICAMateriali magnetici

X Alcuni fatti sperimentaliX Descrizione microscopicaX Descrizione macroscopicaX Ciclo di iteresiX Condizioni di raccordoX Deflesione delle linee di campoX Esempi ed applicazioni

4. Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Materiali magneticiRiepilogo

X DefinizioniX Intensit di magnetizzazioneX Correnti atomiche microscopicheX Vettore campo magneticoX Suscettivit magneticaX Permeabilit magnetica relativa

X Enunciato (senza dimostrazione)X Condizioni di raccordo di BX Condizioni di raccordo di H

X Importanti fenomeni fisiciX Diamagnetismo/paramagnetismoX Ferromagnetismo

4.0Rev. 1.1

X EserciziX Solenoide rettilineoX Solenoide toroidaleX Solenoide toroidale con traferroX Solenoide toroidale (confronto)X Magnete permanenteX Mutua induzione

MNV2 Cap.7:Sorgenti del campo magnetico.Legge di Ampere.

X Par.7.5: Propriet magnetiche della materia.X Par.7.6: Meccanismi di magnetizzazione e

correnti amperiane.X Par.7.8: Equazioni generali della magnetostatica

in presenza di mezzi magnetizzati.


F.BloisiFisica II

MS

Materiali magneticiAlcuni fatti sperimentali 4.1

F F F

Debole forzaattrattiva

alluminioplatinocromo

etc.

paramagnetismo

Debole forzarepulsiva

ramepiombocarbonio

etc.

diamagnetismo

Notevole forzaattrattiva

ferrocobaltonichel

etc.

ferromagnetismo


F.BloisiFisica II

MS

Materiali magneticiDescrizione microscopica 4.2

+e

e

v

Im

Modello atomicodi Rutherford

Atomo di idrogeno

Materiali diamagnetici le molecole non hanno un momento di dipolo magnetico proprio il momento di dipolo magnetico indotto opposto al campo il materiale viene (debolmente) respinto dalle zone in cui il

campo pi intenso

Materiali paramagnetici le molecole hanno un momento di dipolo magnetico proprio il momento di dipolo magnetico indotto concorde al campo il materiale viene (debolmente) attratto verso le zone in cui il

campo pi intenso

Materiali ferromagnetici le molecole hanno un momento di dipolo magnetico proprio allinterno di ciascun volumetto (domni di Weiss) i momenti di

dipolo sono allineati tra loro e si muovono assieme il momento di dipolo magnetico indotto (ottenuto allineando i

domni) concorde al campo ed molto intenso il materiale viene (fortemente) attratto verso le zone in cui il

campo pi intenso

periodo di rotazione:10-16 s

nucleo:carica elettrica +Ze

Z elettroni:carica elettrica -e

raggio dellorbita:10-10 m


F.BloisiFisica II

MS

Materiali magneticiDescrizione macroscopica 4.3

Correnti atomiche microscopiche

di superficie:r rJ M nmsup = $r rJ Mm = rot di volume:

Vettore intensit di magnetizzazione:r r

Mm

=

lim

0ii

N( )r r rM M B=

r r rH B M=

0Vettore campo magnetico:

r rM H= mSuscettivit magnetica, m:

( )r r rB H H= + = 0 01m rPermeabilit magnetica relativa, r:Equazioni di Maxwell nella materia(per il campo magnetico):

r rB s = dsup. chiusa

0r rH l = d

linea chiusa

conc

Irot

r rH J= cond

divrB = 0

Condizioni di raccordo:H Ht t1 2=

r n r nH H1 1 2 2=B Bt r t r1 1 2 1 =

B Bn n1 2=

Nota:mat. paramagnetici

mat. diamagnetici

mat. ferromagnetici

:

:

:

m rm

m rm

m rm

> >

+

< <

>> >>

+ +

+ +

0 1

10

0 1

10

0 1

10 10

6

6

3 5


F.BloisiFisica II

MS

Materiali magneticiCiclo di isteresi 4.4

Il valore della permeabilit magneticarelativa , r, dipende, in genere, sia dallecondizioni di lavoro che dalla storia.

r

BH

=

0

Hs: Campo di saturazioneMs: Magnetizzazione

di saturazioneBr: Campo residuoMr: Magnetizzazione residuaHc: Campo coercitivo

Rev. 1.1

H

B

BrHc

Hs

ciclo di isteresi

H

MMs

HcHs

Mr

Nota:per T>Tc (temperatura di Curie)diventa paramagnetico


F.BloisiFisica II

MS

Materiali magneticiMateriali ferromagnetici 4.4

Ciclo di isteresi stretto.Permeabilit magnetica relativaelevata, ma praticamente costante.Campo residuo molto basso.Materiale adatto per elettromagneti.

Rev. 1.1

H

B

materiale ferromagnetico dolce

materiale ferromagnetico duro

H

BCiclo di isteresi lago.Magnetizzazione residua elevata eprossima al valore di saturazione.Materiale adatto per mahnetipermanenti (calamite).


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MS

Materiali magneticiDeflessione delle linee di campo 4.6

Allinterno di un materiale ferromagnetico: le linee di campo sono molto pi fitte (il

campo B molto pi intenso) che allesterno le linee di campo tendono a seguire la forma

del materiale ferromagnetico

1

2

1

2

B1n

B2nB1t

B2t2

1 B BB B

BBBB

B BB B

n n

t r t r

t

n

t

n

t n

n t

r

r

1 2

1 1 2 2

2

1

2

2

1

1

2 1

2 1

2

1

=

=

= = =

tantan

r r2 1>>1

2

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniSolenoide rettilineo 4.7

B

h

Calcolare il campo di induzione magnetica allinterno di un solenoide infinito (raggio R, nspire per unit di lunghezza) riempito con un materiale magnetico (permeabilit magneticarelativa r) percorso da una corrente costante I.

r rH l =

=

=

= =

d

I

Hh nhI

H nI

B H nIr r

conc

0 0

Applichiamo il teorema dellacircuitazione di Ampere scrittoper il campo magnetico H:

rB k= 0 rnI $

Nota: il versore k orientato inmodo da veder circolare lacorrente in verso antiorario.

Rev. 1.1

B

h

Solenoide infinito,nel vuoto

rB k= 0nI $

Con

fron

to


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MS

Esempi ed applicazioniSolenoide toroidale 4.8

r rH l =

=

=

= =

d

I

H R NI

H NIR

B H NIRr r

conc

2

2

20 0

Determinare il campo di induzione magnetica sulla circonferenza mediana di un solenoidetoroidale (raggi R ed r, N spire) percorso da una corrente costante I.

R

2r

a

$t

t orientato come in figura.

rB t=

0 2r

NIR

$

Applichiamo il teorema dellacircuitazione di Ampere scrittoper il campo magnetico H:

Rev. 1.1

Solenoide toroidale,nel vuoto

rB t=

0 2

NIR

$

Con

fron

to


F.BloisiFisica II

MS

Esempi ed applicazioniSolenoide toroidale con traferro 4.9

Determinare il campo di induzione magnetica sulla circonferenza mediana di un solenoidetoroidale (raggi R ed r, N spire, traferro di spessore


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MS

Materiali magneticiMagnete permanente 4.11

Rev. 1.1

toroidale (raggi R ed r


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MS

MagnetostaticaRiepilogo (1/6) R.1

Rev. 1.1

Corrente elettricaDensit di corrente

r r rJ v v= = n qc e d

I sS

= rJ n$d

I q t= d d

Conservazione della caricaEquazione di continuit

in condizioni stazionarie

in un nodo

Ii = =0 0div rJin condizioni non stazionarie

divrJ =

t

Legge di OhmResistenza/resisitivit elettrica

V I R=r rJ E= 1

R l S=


F.BloisiFisica II

MS


Rev. 1.1

Resistenza elettrica (ohmica)rappresentazione grafica

resistenzao resistore

R

1 2

IRInduttanza (autoinduzione) elettricarappresentazione grafica

induttanzao induttore

L

1 2

IL

Serie

R Rii

eq serie = 1 1L Li

ieq serie =

Parallelo

1 1R Rii

eq parallelo = L Li

ieq parallelo =

Potenza dissipata(effetto Joule)

W I R V RJ = = 2 2

Energiaimmagazzinata

EL LI=1

22


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MS


Elettrostatica Magnetostatica

d dr r r

r rEr r

r r=

1

4 03

q

r rF EE q=

( )d

drr r rr rB

l r r

r r=

0

34I

r r rF v BB q= d d

r r rF l BB I=

r rE s = d

sup. chiusa

int

Q

0

r rE l = d

linea chiusa

0

divrE =

0

rotrE = 0

r rB s = d

sup. chiusa

0

r rB l = d

linea chiusa

conc

0I

divrB = 0

rotr rB J= 0

rE = gradV d dV q=

14

1

0r rr r

( ) ( )[ ]L q V B V AAB = w EE =

12

02

( )d

d, , , ,A Jx y z x y z=

0

34

r r rr r

l r r

r r

r rB A= rot

( )L Iest =

wB

B =1

2

2

0

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS


Elettrostatica Magnetostaticar rp = q

r r rMM p = E p

Ep = r rp E

( )r r rF p Ep = gradrm n= I S $r r rMMm = B m

Em = r rm B

( )r r rF m Bm = grad

w EE r= =12

12 0

2r rD E

r rP

p=

lim

0ii

N p = div

rP p =

rP n$

( )r r rP P E= r rP E= 0 er r rD E P= + 0 ( )r r rD E E= + = 0 01e rE Et t1 2=

D Dn n1 2=

r n r nE E1 1 2 2=

D Dt r t r1 1 2 2 =

wB

Br

= =

12

12

2

0

r rH B

r rM

m=

lim

0ii

N

r rJ Mm = rot

r rJ M nmsup = $

( )r r rM M B= r rM H= mr r rH

BM=

0( )r r rB H H= + = 0 01m r

H Ht t1 2= r n r nH H1 1 2 2=

B Bt r t r1 1 2 1 =B Bn n1 2=

Rev. 1.1


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MS



mat. dielettrici: e r> >0 1

mat. paramagnetici

mat. diamagnetici

mat. ferromagnetici

:

:

:

m r

m r

m r

> >

< <

> > > >

0 1

0 1

0 1

r rD s = d

sup. chiusa

lib int

Q 0

r rE l = d

linea chiusa

0

divvD = lib

rotrE = 0

r rB s = d

sup. chiusa

0

r rH l = d

linea chiusa

conc

I rotr rH J= cond

divrB = 0

CQ

V=

C C Cparallelo = +1 21 1 1

1 2C C Cserie= +

EC CVQ

CQV= = =

12

12

12

22

LI

=

L L Lserie = +1 21 1 1

1 2L C Cparallelo= +

EL LI LI= = =

12

12

12

22

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

MS



Equazioni di Maxwell in condizioni stazionarie, nel vuoto

divrE =

0

rotrE = 0 div

rB = 0 rot

r rB J= 0

r rE l = d

linea chiusa

0r rE s = d d

sup. chiusa vol. internoa

1

0

r rB s = d

sup. chiusa

0r r rB l J n = d $ d

linea chiusa suo. di bordo

0 s

Equazioni di Maxwell in condizioni stazionarie, nella materia

r rE l = d

linea chiusa

0r rD s = d d

sup. chiusa

lib

vol. internoa

r rB s = d

sup. chiusa

0r r rH l J n = d $ d

linea chiusa

cond

suo. di bordo

s

rotrE = 0div

rD = lib div

rB = 0 rot

r rH J= cond

( )r r r rD E P E= +0 ( )r r r rH B M B= 10

Rev. 1.1

magneto static a

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