Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό ΄Ιδρυμα Θεσσαλονίκης

Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων

Διάλεξη 3η

Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας∗

17 Μαρτίου 2017

1 Βασικά μεγέθη Μηχανικών συστημάτων

Η μοντελοποίηση των μηχανικών συστημάτων γίνεται με τη βοήθεια της Νευ-

τώνιας Μηχανικής.

Τα μηχανικά συστήματα μπορούν επίσης να μοντελοποιηθούν με ανάλογο

τρόπο με αυτόν των ηλεκτρικών συστημάτων δίνοντας έναν εύκολο τρόπο μο-

ντελοποίησης του συστήματος.

Παρακάτω εισάγουμε τα ανάλογα μεγέθη των μηχανικών συστημάτων.

1.1 Μηχανική αντίσταση Rm

Μηχανική αντίσταση (mechanical resistance) ονομάζουμε την ιδιότητα ενός

μηχανικού στοιχείου ή συστήματος να αντιστέκεται στην κίνηση του. Ορίζουμε

την μηχανική αντίσταση ως την ποσότητα της δύναμης που πρέπει να αυξήσουμε

στα άκρα ενός στοιχείου ώστε να μεταβληθεί η ταχύτητα του κατά 1m/s.

Η μονάδα μέτρησης της μηχανικής αντίστασης στο SI είναι το Nsm.

∗email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com

1

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

1.2 Μηχανική χωρητικότητα

Μηχανική χωρητικότητα ονομάζουμε την αντίστροφη ποσότητα της σταθεράς

του ελατηρίου. Δηλαδή μηχανική χωρητικότητα ονομάζουμε την απαιτούμενη

αύξηση της συμπίεσης ενός ελατηρίου ώστε να προκληθεί μοναδιαία αύξηση της

δύναμης.

Η μονάδα μέτρησης της μηχανικής χωρητικότητας στο SI είναι το Nm.

1.3 Μηχανική αδράνεια (mechanical inertia)

Μηχανική αδράνεια ονομάζουμε την μάζα ενός σώματος και ορίζεται ως η απαι-

τούμενη δύναμη που πρέπει να ασκηθεί σε ένα σώμα ώστε να έχουμε μοναδιαία

αύξηση της επιτάχυνσης του.

Η μονάδα μέτρησης της μηχανικής αδράνειας στο SI είναι το Kg.

2 Μοντελοποίηση Μηχανικών συστημάτων

2.1 Βρείτε την συνάρτηση μεταφοράςX(s)F (s) συστή-

ματος γραμμικού ταλαντωτή μάζας m με από-

σβεση (σχήμα 1).

Σχήμα 1: Γραμμικός ταλαντωτής με απόσβεση

2

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

Με τη βοήθεια του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα έχουμε:

∑F = M

d2x(t)

dt2

⇒Md2x(t)

dt2+ fν

dx(t)

dt+Kx(t) = f(t), (1)

όπου M η μάζα, fν ο συντελεστής τριβής, K η σταθερά ελατηρίου και f(t) η

εξωτερική δύναμη που ασκείται στον ταλαντωτή.

Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Laplace τις παραπάνω Διαφορικής Εξίσω-

σης (1) έχουμε

Ms2X(s) + fνsX(s) +KX(s) = F (S)

⇒ (Ms2 + fνs+K)X(s) = F (S), (2)

από όπου βρίσκουμε τη συνάρτηση μεταφοράς

G(s) =X(s)

F (s)=

1

Ms2 + fνs+K. (3)

2.1.1 Με την βοήθεια της ανάλογης μεθοδολογίας που χρη-

σιμοποιήσαμε στην μοντελοποίηση των ηλεκτρικών συ-

στημάτων:

Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace έχουμε ότι η δύναμη του ελατη-

ρίου δίνεται από τη σχέση:

F (s) = KX(s), (4)

η δύναμη του αποσβεστήρα δίνεται από τη σχέση:

F (s) = fνsX(s), (5)

και η δύναμη που ασκείται στη μάζα δίνεται από τη σχέση:

F (s) =Ms2X(s). (6)

3

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

Ορίζουμε την μηχανική εμπέδηση (αντίσταση) ως το λόγο:

ZM(s) =F (s)

X(s), (7)

και άρα από τις εξισώσεις (4-6) ότι οι εμπεδήσεις των παραπάνω στοιχείων

δίνονται από τις σχέσεις:

Zspring = K,

Zdamper = fνs,

Zmass = Ms2. (8)

Επίσης από την εξίσωση (7) και αντικαθιστώντας το άθροισμα των εμπεδή-

σεων των στοιχείων βρίσκουμε την εξίσωση (2) χωρίς να χρειάζεται να βρούμε

την αρχική Διαφορική Εξίσωση (1).

2.2 Βρείτε την συνάρτηση μεταφοράςX2(s)F (s) του πα-

ρακάτω συστήματος (σχήμα 2).

Σχήμα 2: Σύστημα δύο συζευγμένων γραμμικών ταλαντωτών

Το σύστημα που μελετάμε είναι ένα σύστημα δύο βαθμών ελευθερίας, δη-

λαδή είναι ένα σύστημα που κάνει δύο γραμμικά ανεξάρτητες κινήσεις.

Σε αυτά τα συστήματα ο αριθμός των εξισώσεων που χρειαζόμαστε ώστε να

μπορούμε να μοντελοποιήσουμε το σύστημα ισούται με τον αριθμό των βαθμών

ελευθερίας.

Η γενική μεθοδολογία που ακολουθούμε είναι να μελετάμε τις δυνάμεις που

επιδρούν σε κάθε σώμα του προβλήματος μας και με τη βοήθεια του νόμου του

4

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

Νεύτωνα να βρούμε της εξίσωση για κάθε σώμα ή να χρησιμοποιήσουμε το

ανάλογο των ηλεκτρικών κυκλωμάτων δηλαδή:

(Το άθροισμα των εμπεδήσεων στο x1)X1(s)

− (το άθροισμα των εμπεδήσεων μεταξύ των x1 − x2)X2(s)

= (το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο x1), (9)

και

− (το άθροισμα των εμπεδήσεων μεταξύ των x1 − x2)X1(s)

+ (Το άθροισμα των εμπεδήσεων στο x2)X2(s)

= (το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο x2). (10)

΄Ετσι για την επίλυση του προβλήματος βρίσκουμε τις δυνάμεις που επιδρούν

σε κάθε μάζα (σχήματα 3-4) και από τον νόμο του Νεύτωνα έχουμε:

Σχήμα 3: Οι δυνάμεις που επιδρούν στην μάζα M1.

Σχήμα 4: Οι δυνάμεις που επιδρούν στην μάζα M2.

5

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

για το σώμα μάζας M1

[M1s2(fν1 + fν3)s+K1 +K2]X1(s)− (fν3s+K2)X2(s) = F (s), (11)

και για το σώμα μάζας M2

−(fν3s+K2)X1(s) + [M2s2(fν2 + fν3)s+K1 +K2]X2(s) = 0. (12)

Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων βρίσκουμε ταX1(s), X2(s) και τελικά

τη ζητούμενη συνάρτηση μεταφοράς.

3 Συναρτήσεις μεταφοράς περιστροφικών μη-

χανικών συστημάτων

Στα περιστροφικά μηχανικά συστήματα δουλεύουμε όπως ακριβώς στα προη-

γούμενα παραδείγματα όπου είχαμε μετατόπιση, με τη διαφορά ότι στα περι-

στροφικά συστήματα αντικαθιστούμε τη δύναμη με τη ροπή και την ταχύτητα

μετατόπισης με την γωνιακή ταχύτητα.

΄Ετσι τα αντίστοιχα μεγέθη της δύναμης ελατηρίου, της δύναμης του απο-

σβεστήρα και της δύναμης της μάζας γίνονται:

ροπή ελατηρίου: T (t) = Kθ(t), με εμπέδηση: K,

ροπή αποσβεστήρα: T (t) = Ddθ(t)

dt, με εμπέδηση: Ds,

ροπή μάζας: T (t) = Jd2θ(t)

dt2, με εμπέδηση: Js2, (13)

όπου K είναι η σταθερά ελατηρίου, D είναι η σταθερά απόσβεσης και J η ροπή

αδράνειας.

Και σε αυτά τα συστήματα ο αριθμός των εξισώσεων που χρειαζόμαστε

ώστε να μπορούμε να μοντελοποιήσουμε το σύστημα ισούται με τον αριθμό των

βαθμών ελευθερίας, δηλαδή τον αριθμό των σημείων που μπορούν να κάνουν

περιστροφική κίνηση.

Η γενική μεθοδολογία που ακολουθούμε είναι να μελετάμε τις ροπές των

6

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

δυνάμεων που επιδρούν σε κάθε σώμα του προβλήματος μας και με τη βοήθεια

του νόμου του Νεύτωνα να βρούμε της εξίσωση για κάθε σώμα ή να χρησιμο-

ποιήσουμε το ανάλογο των ηλεκτρικών κυκλωμάτων δηλαδή:

(Το άθροισμα των εμπεδήσεων στο θ1)θ1(s)

− (το άθροισμα των εμπεδήσεων μεταξύ των θ1 − θ2)θ2(s)

= (το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο θ1), (14)

και

− (το άθροισμα των εμπεδήσεων μεταξύ των θ1 − θ2)θ1(s)

+ (Το άθροισμα των εμπεδήσεων στο θ2)θ2(s)

= (το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο θ2). (15)

3.1 Βρείτε την συνάρτηση μεταφοράςθ2(s)T (s) του πα-

ρακάτω συστήματος (σχήμα 5).

Σχήμα 5: Περιστροφικό σύστημα

΄Οπως βλέπουμε στο σχήμα το σύστημα αποτελείται από μία ράβδο που

στηρίζεται με ρουλεμάν και στις δύο άκρες και στρέφεται. Στη ράβδο ασκείται

ροπή T (t) στα αριστερά και μετράμε την περιστροφή θ2(t) στα δεξιά.

Προσεγγίζουμε το πρόβλημα θεωρόντας ότι η στρέψη συμπεριφέρεται ως

ένα ελατήριο στερεωμένο σε κάποιο σημείο της ράβδου με ροπή αδράνειας J1

από την μία πλευρά και J2 από την άλλη χωρίς να έχουμε τριβές (σχήμα 6).

7

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

Σχήμα 6: Σχηματική προσέγγιση

Κάθε μάζα μπορεί να περιστραφεί θεωρόντας την άλλη σταθερή. ΄Ετσι το

σύστημα μας έχει δύο βαθμούς ελευθερίας και χρειαζόμαστε δύο Διαφορικές

Εξισώσεις για να επιλύσουμε το πρόβλημα.

Αναλύοντας την κίνηση και τις ροπές σε κάθε μάζα βρίσκουμε τις Διαφορι-

κές Εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Συγκεκρι-

μένα: Για την μάζα με ροπή αδράνειας J1 (σχήμα 7) έχουμε:

(J1s2 +D1s+K)θ1(s)−Kθ2(s) = T (s). (16)

Σχήμα 7: οι ροπές στη μάζα με ροπή αδράνειας J1 a) θεωρόντας την άκρη τουJ2 σταθερή, b) θεωρόντας την άκρη του J1 σταθερή και c) υπέρθεση των δύοπεριπτώσεων.

Αντίστοιχα για την μάζα με ροπή αδράνειας J2 (σχήμα 8) έχουμε:

−Kθ1(s) + (J2s2 +D2s+K)θ2(s) = 0. (17)

Με απλές μεθόδους άλγεβρας επιλυουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων

8

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

Σχήμα 8: οι ροπές στη μάζα με ροπή αδράνειας J2 a)θεωρόντας την άκρη τουJ2 σταθερή, b)θεωρόντας την άκρη του J1 σταθερή και c) υπέρθεση των δύοπεριπτώσεων

και βρίσκουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς του παραπάνω συστήματος δίνεται

από τη σχέση:

θ2(s)

T (s)=

K

(J1s2 +D1s+K)(J2s2 +D2s+K)−K2. (18)

4 Ασκήσεις

1. Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράςX3(s)F (s)

για το παρακάτω σύστημα:

Σχήμα 9: άσκηση 1

2. Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράςX1(s)F (s)

για το παρακάτω σύστημα:

9

Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη 3η

Σχήμα 10: άσκηση 2

3. Γράψτε τον μετασχηματισμό Laplace για τις εξισώσεις κίνησης του παρα-

κάτω συστήματος:

Σχήμα 11: άσκηση 3

4. Γράψτε τον μετασχηματισμό Laplace για τις εξισώσεις κίνησης του παρα-

κάτω συστήματος:

Σχήμα 12: άσκηση 4

10