majorer, minorer, encadrer
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Majorer, minorer, encadrer
Dedou
Fevrier 2012
Encadrer un nombre par deux nombres
Face a un nombre qu’on ne connaıt pas super bien, comme π, onl’encadre :
3.14 ≤ π ≤ 3.15
Cet encadrement se decompose en
π ≤ 3.15
dont on dit que c’est une majoration (de π) et
3.14 ≤ π
dont on dit que c’est une minoration (de π).
Le majorant et le majore
Dans l’inegalite π ≤ 3.15
3.15 est le majorant et π est le majore. On dit aussi que 3.15majore π.
Il y a aussi le point de vue symetrique
3.15 est le minore et π est le minorant. On dit alors que π minore3.15.
Le majore ou le minore est le nombre auquel on s’interesse, selon lepoint de vue.
Encadrer une fonction par deux nombres
On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne connaıt passuper bien, comme e.On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction. Dans cecas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deuxfonctions.
Exemple
La fonction x 7→ 1x2+1
est comprise entre 0 et 1.
Exo corrige
Encadrer la fonction sinus (par deux nombres).
Encadrer une expression par deux nombres : exemple
Parfois, on veut encadrer (majorer, minorer) une expressiondependant d’une variable (par des nombres ne dependant pas decette variable).Encadrer l’expression f (x) pour x ∈ I , c’est pareil qu’encadrer lafonction f (restreinte a I ).
Exemple
Pour x ∈ [1, π], sin x est compris entre 0 et 1.
Encadrer une expression par deux nombres : exo
Exo 1
Encadrer x2 + 1 pour x ∈ [−2, 3].
Encadrer une fonction par deux fonctions
Parfois, on veut encadrer une fonction par deux autres.
Exemple
La fonction x 7→ x3 + sin x est encadree par les deux fonctionscroissantes x 7→ x3 − 1 et x 7→ x3 + 1.
Exo corrige
Encadrer x 7→ ex sin x par deux fonctions monotones.
Encadrer= majorer + minorer
Majorer et minorer, c’est pareil, au sens des inegalites pres.
Majorer et minorer, c’est pareil
y’a que le sens de l’inegalite qui change.
Si on sait majorer, on sait minorer,
et comme ”encadrer” c’est ”majorer” plus ”minorer”, on sait aussiencadrer.
On va donc surtout parler de ”majorer”, mais il faudra savoiradapter a ”minorer”.
Majorer versus comparer
La difference entre majorer et comparer, c’est qu’on a deuxnombres (ou fonctions) dans le second cas, et un seul dans lepremier.
Majorer A, c’est
d’abord trouver/choisir M puis prouver A ≤ M.
Majorer une fonction
Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder sontableau de variations et eventuellement conclure.
Exemple
Une fonction f ayant le TV suivant est majoree par 70.
x −∞ −7 3 4 +∞4 66
f (x) ↗ ↘ ↗ ↘2 −7 1
Exo corrige
Minorer la fonction precedente au vu de son TV.
Plus petit majorant
x −∞ −7 3 4 +∞4 66
f (x) ↗ ↘ ↗ ↘2 −7 1
Au vu du TV ci-dessus
dire que la fonction est majoree par 70 c’est juste mais debile.
La bonne info, c’est que son plus petit majorant est 66.
Exo corrige
Quel est le plus grand minorant de cette fonction ?
Majorants et operations
Proposition
Si M est un majorant de f et N un majorant de g , alorsM + N est un majorant de f + g .
Si M est un majorant de f et N un majorant de g , avec f etg positives, alors MN est un majorant de fg .
Si M est un majorant de f et N un minorant strictementpositif de g , avec f et g strictement positives, alors M
N est
un majorant de fg .
Si M est un majorant de f , alors −M est un minorant de −f .
Majorer une somme
Pour majorer f + g ,
on majore f et g , puis on ajoute les majorants.
Exemple
Pour majorer x2 + sin x avec x ∈ [−3, 2], je majore x2 par 9 etsin x par 1, et je conclus que la somme est majoree par 10.
Exo corrige
Majorer x2 + x3 avec x ∈ [−4, 1].
Majorer un produit de positifs
Pour majorer fg , avec f et g positives,
on majore f et g , et on multiple les majorants.
Exemple
Pour majorer x2ex avec x ∈ [−3, 2], je majore x2 par 9 et ex par32 = 9, et je conclus que le produit est majore par 81.
Exo corrige
Majorer (x + sin x)(7− x) avec x ∈ [2, 4].
Majorer un produit quelconque
Pour majorer fg , avec f et g quelconques,
on utilise que fg est majore par sa valeur absolue |fg | qui est aussile produit de positifs |f |.|g |.
Exemple
Pour majorer x2 sin x avec x ∈ [−3, 2], je majore x2 (qui est positifdonc egal a sa valeur absolue) par 9 et | sin x | par 1, et je conclusque le produit x2 sin x est majore par 9.
Exo corrige
Majorer ex cos x avec x ∈ [−3, 2].
Majorer une valeur absolue
Il faut donc savoir majorer une valeur absolue, et en particulier lavaleur absolue d’une somme ou d’une difference.
Pour majorer |f + g | ou |f − g |,on majore |f | et |g | , puis on ajoute les majorants (meme chosepour |f − g |).
Exemple
Pour majorer x2 sin x avec x ∈ [−3, 2], je majore x2 (qui est positifdonc egal a sa valeur absolue) par 9 et | sin x | par 1, et je conclusque le produit x2 sin x est majore par 9.
Exo corrige
Majorer ex cos x avec x ∈ [−3, 2].
Majorer une difference
Pour majorer f − g ,
on majore f , on minore g , puis on retranche le minorant de g aumajorant de f .
Exemple
Pour majorer x3 − sin x avec x ∈ [2, 3], je majore x3 par 27 et jeminore sin x par −1, et je conclus que la difference est majoree par28.
Exo corrige
Majorer 7 cos 5x − 5 sin 7X avec x ∈ [−100, 100].
Majorer un quotient de positifs
Pour majorer fg , avec f et g positives,
on majore f ; on minore g , et on divise le majorant de f par leminorant de g .
Exemple
Pour majorer 7+x5+cos x avec x ∈ [2, 5], je majore 7 + x par 12 et je
minore 5 + cos x par 4, et je conclus que le quotient est majore par3.
Majorer un quotient de positifs
Exo 2
Majorer 3+2 sin x4−2 cos x avec x ∈ [2, 4].
Minorer
Pour minorer fg par un nombre strictement positif, avec f et gstrictement positives,
on minore f et g par des nombres strictement positifs, et onmultiplie les deux minorants trouves.
Exo corrige
Donner la recette pour minorer une difference.
Les accroissements finis
Pour finir, on donne la formule des accroissements finis, qui estune sorte d’encadrement universel.
Theoreme
Soit f derivable sur I := [a, b] avec a < b et m et M deux nombresreels. On suppose
m ≤ f ′ ≤ M sur I .
Alors on a l’encadrement suivant de f (b) :
f (a) + m(b − a) ≤ f (b) ≤ f (a) + M(b − a).
Ca se dessine grave et on va y revenir.