makalah bukti tak langsung
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
1/10
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Matematika adalah sebuah studi mengenai keterkaitan antar objek. Matematika juga
dikenal sebagai ilmu yang mempunyai kerangka berpikir deduktif, tidak induktif. Artinya, dari
suatu hal yang bersifat umum menuju khusus. Akibatnya, dalam matematika tidak diperkenankan
untuk melakukan generalisasi. Contohnya, perhatikan beberapa data di bawah.
1+3=
3+=!+"=1#
"+$=1%
$+11=#&
'ari data di atas, kita lihat bahwa jika bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil, akan
menghasilkan bilangan genap. (amun dalam matematika tidak diperbolehkan mengatakan
penjumlahan dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap hanya berdasarkan data di atas.
)atu*satunya ara adalah dengan pembuktian.
Apa itu pembuktian 'alam matematika, pembuktian adalah kegiatan seseorang
untukmeyakinkan sesuatu itu benar melalui langkah*langkah logis. -ntuk menunjukkan
sesuatu itu salah, ukup menunjukkan ountre eample, yaitu menunjukkan bahwa ada satu
keadaan dimana suatu pernyataan tidak berlaku.
Ada berbagai maam teknik pembuktian dalam matematika. 'itinjau dari aranya, ada dua
jenis pembuktian, yaitu pembuktian langsung dan pembuktian tak langsung. -ntuk pembuktian
tidak langsung sendiri ada dua ara, yaitu dengan kontradiksi dan kontrapositif.
1.2. Rumusan Masalah• Apakah yang dimaksud dengan pembuktian tak langsung
• /agaimanakah pembuktian tak langsung dengan ara kontradiksi dan kontrapositif
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
2/10
1.3. TUJUAN PENULIAN• -ntuk menambah pengetahuan mengenai pembuktian tak langsung.
• Membantu kita dalam menyelesaikan soal mengenai bukti tak langsung baik seara
kontardiksi maupun kontrapositif.
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
3/10
BAB 2
PEMBAHAAN
2.1. PEMBU!TIAN TA! LAN"UN"
-ntuk membuktikan dengan menggunakan bukti tidak langsung, digunakan ara
dengan membuat pernyataan pengingkaran dari yang harus dibuktikan. 0ika dari pernyataan
yang diingkari tersebut diperoleh suatu kontradiksi bertentangan dengan ketentuan yang
diberikan2 atau kemustahilan, berarti pernyataan yang harus dibuktikan adalah benar. -ntuk
membuktikan p benar, kita harus membuktikan jika p salah.
A. PEMBU!TIAN TA! LAN"UN" DEN"AN !#NTRAP#ITI$
)alah satu metode pembuktian dalam matematika adalah pembuktian dengan
kontrapositif. 4embuktian dengan kontrapositif adalah salah satu metode pembuktian tidak
langsung selain pembuktian dengan kontradiksi. 4embuktian dengan kontrapositif ini didasarkan
pada nilai kebenaran pernyataan 5jika 4 maka 67 eki8alen dengan 5jika bukan 6 maka bukan 47.
0adi, yang perlu kita lakukan untuk membuktikan suatu implikasi dengan kontrapositif adalah
dengan menegasikan konklusinya, kemudian tunjukkan bahwa negasi dari konklusi
mengakibatkan negasi dari antisedennya.
%&nt&h '
1. /uktikan bahwa untuk bilangan*bilangan bulat m dan n 9 jika m+n ≥ "3, maka m ≥ 3"
atau n
≥
3".0awab 9
- 0ika p adalah pernyataan m+n ≥ "3
: adalah pernyataan m ≥ 3",
r adalah pernyataan n ≥ 3"
maka dalam symbol kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai p;: 8 r2
http://erankyas.blogspot.com/2010/08/pembuktian-tak-langsung-dengan.htmlhttp://erankyas.blogspot.com/2010/08/pembuktian-tak-langsung-dengan.html
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
4/10
- kontrapositifnya adalah ∼ : 8 r2; ∼ p atau ∼ : ∧ ∼ r2; ∼ p,
dengan demikian dibuktikan kebenaran pernyataan jika m < 3" dan n < 3" maka m+n <
"3
-
untuk m < 3" berarti m
≤
3% dan n < 3" berarti n
≤
3%, sehingga
m+n ≤ 3%+3%
m+n ≤ "#
m+n < "3- erbukti bahwa jika m < 3" dan n < 3" maka m+n < "3.
- dengan terbuktinya kontrapositif, maka berate kebenaran pernyataan awal, yaitu jika m+n
≥ "3, maka m
≥ 3" atau n
≥ 3".
#. 'iberikan , jika adalah genap mak ganjil
Ja(a)' Andai tidak ganjil, dengan kata genap, itu berati untuk suatu bilangan
bulat . 'iperoleh
)ubtitusi
diperoleh
0elas adalah ganjil. >tu berarti adalah genap, tidak ganjil
3. /uktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah
bilangan ganjil?
0awab 9
-ntuk membuktikan pernyataan diatas dapat dilakukan dengan pembuktian tak langsung
dengan kontraposisi.
Misalnya p 9 n# adalah bilangan ganjil
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
5/10
: 9 n adalah bilangan ganjil
kemudian misalnya @: benar yang berarti n adalah bilangan genap, yaitu n = #k
sehingga n# = #k2#
= k #
= ##k #2
= #m dengan m = #k#
Bang berarti n# adalah bilangan genap.
'engan demikian, *p 9 n# adalah bilangan genap
*: 9 n adalah bilangan genap
'an karena @: = *p adalah benar dan p = : D *: = *p
Maka terbukti p = : adalah benar.
0adi, terbukti bahwa jika n# adalah bilangan ganjil, makan adalah bilangan ganjil.
B. PEMBU!TIAN TA! LAN"UN" DEN"AN %ARA !#NTRADI!I
4embuktian dengan kontradiksi Reductio de Absordum2 dilakukan dengan ara
mengandaikan bahwa ingkaran kalimat yang akan dibuktikan bernilai benar. 0adi, jika ingin
membuktikan kebenaran p, langkah yang dilakukan adalah dengan mengandaikan bahwa p
benar.
Contoh 9
1. /uktikan bahwa 7jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil7 dengan bukti
tak langsung?
0awab 9
Misalnya n adalah bilangan genap, yaitu n = #k, k E /.
Farena n = #k
Maka n# = #k2# = k # =##k#2
= #m dengan m = #k #
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
6/10
)ehingga n# adalah bilangan genap, kontradiksi dengan n# adalh bilangan ganjil.
0adi, terbukti bahwa jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil.
#. /uktikan kebenaran pernyataan berikut 9
0ika bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka # * y adalah bilangan irrasional
0awab 9
'engan /ukti Fontradiksi p = :2 ekui8alen dengan p dan :
Andaikan :2 benar
Andaikan # * y adalah bilangan rasional, maka # * y dapat dinyatakan dengan aGb dengan
a,b elemen H H = bilangan bulat2 , dan b tidak sama dengan nol b = & 2
'iasumsikan p benar, diperoleh
bilangan rasional dan y bilangan irrasional
)ehingga ketika bilangan rasional, haruslah y bilangan irrasional
Farena tidak ada identifikasi y bilangan irrasional
Iunakan permisalan adalah bilangan rasional
bilangan rasional, dapat dinyatakan dalam pG: dengan p,: elemen H dan : tidak sama
dengan nol : ?= & 2
)ehingga,
# * y = aGb dengan = pG:
#pG:2 * y = aGb
*y = aGb2 * #pG:2
y = #pG:2 * aGb2
y = #bp*a:2Gb:2
dengan a,b,p,: elemen H dan b ?= & dan : ?=& sehingga b: juga tidak sama dengan nol
Maka, menurut sifat sebelumnya, y teridentifikasi sebagai bilangan rasional
y bilangan rasional, bertentangan FJ(KA'>F)>2 dengan pernyataan awal bahwa y adalah
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
7/10
bilangan rasional
)ehingga pengandaian diingkar p dan : terbukti salah2 dan sebaliknya p = : sebagai
negasinya2 /ernilai /L(AK
)ehingga erbukti bahwa 0ika bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka # * y
adalah bilangan irrasional
A>NA( ???
1. /uktikan pada segitiga sama kaki dua sudut pada kakinya sama besar.
Petun*uk Ja(a) Lat+han
1. Anda ermati kembali teori tentang pembuktian tidak langsung. -ntuk membuktikan
soal nomor 1, perhatikan gambar berikut
A
B D %
'iketahui segitiga A/C sama kaki, panjang sisi A/ =panjang sisi AC, harus dibuktikan
besar
µ ∠
A/C =
µ ∠
AC/.
'ibuat garis bagi A' di mana ' pada /C.
An,a+kan
µ ∠
ABC
≠ µ ∠
ACB
4erhatikan∆
A/' dan∆
AC'
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
8/10
4anjang sisi A/ = AC ∆
A/C samakaki 2 µ
∠
/A' =
µ ∠
CA' A' garis bagi2
A' = A' berimpit2
Fesimpulan
∆
A/' dan
∆
AC' kongruen.
/erarti
µ ∠
A/C =
µ
∠
AC/. 4adahal pengandaian
µ ∠
ABC
≠ µ ∠
ACB. erjadi
kontradiksi. Apa yang dapat anda simpulkan
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
9/10
BAB 3
PENUTUP
3.1. !EIMPULAN
/elajar matematika dengan ara memahami bukti tidaklah mudah. 'ibutuhkan waktu
untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. 0uga, dibutuhkan wawasan matematika
yang luas untuk belajar membuktikan fakta*fakta yang lebih rumit. 'i dalam bukti termuat nilai*
nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir seara logis. Feindahan matematika juga banyak
terdapat pada harmonisasi penalaran*penalaran dalam bukti. 'engan memahami bukti kita dapat
mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya, yang berdampak padakekaguman terhadap para in8entor matematika dan pada akhirnya menyenangi matematika itu
sendiri. /erlatih memahami bukti merupakan langkah awal yang baik untuk menjadi peneliti di
bidang matematika.
-
8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung
10/10
DA$TAR PUTA!A
http9GGariaturns.wordpress.omG#&11G&3G&"Gpembuktian*dengan*kontrapositifG
http9GGyntiae8er*yntia.blogspot.omG#&1#G&3Gpembuktian*matematika.html
http://ariaturns.wordpress.com/2011/03/07/pembuktian-dengan-kontrapositif/http://cyntia4ever-cyntia.blogspot.com/2012/03/pembuktian-matematika.htmlhttp://ariaturns.wordpress.com/2011/03/07/pembuktian-dengan-kontrapositif/http://cyntia4ever-cyntia.blogspot.com/2012/03/pembuktian-matematika.html