makalah geometri non euclid
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
1/38
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha
Penyayang, Saya mengucapkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang
telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada saya, sehingga
saya dapat menyelesaikan makalah ilmiah ini.
Makalah ilmiah ini telah saya susun dengan maksimal dan mendapatkan
bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah
ini. ntuk itu saya menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak
yang telah berk!ntribusi dalam pembuatan makalah ini.
Terlepas dari semua itu, Saya menyadari sepenuhnya bah"a masih ada
kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. #leh karena
itu dengan tangan terbuka saya menerima segala saran dan kritik dari pembaca
agar saya dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.
Akhir kata saya berharap sem!ga makalah ilmiah tentang $e!metri N!n %uclid
ini dapat memberikan man&aat maupun inspirasi terhadap pembaca.
Medan, '( N!)ember '*+
Penyusun
N!)a Angreini arahap
%kstensi A '*+(
DAFTAR ISI
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
2/38
ata Pengantar////////////////////////.+
Da&tar 0si//////////////////////////..'
BAB I
Pendahuluan/////////////////////////.1
BAB II
Pembahasan/////////////////////////..2
BAB III
Penutup//////////////////////////...13
Da&tar Pustaka///////////////////////....12
BAB I
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
3/38
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
$e!metri berasal dari kata 4atin 5Geometria” Geo yang artinya tanah
dan metria yang artinya pengukuran. 6erdasarkan sejarah $e!metri tumbuh
jauh sebelum Masehi karena keperluan pengukuran tanah, di sekitar ka"asan
sungai Nil setelah terjadi banjir, dalam bahasa 0nd!nesia $e!metri dapat
diartikan sebagai 0lmu kur 7M!eharti, +893: +.';. $e!metri dide&inisikan juga
sebagai cabang Matematika yang mempelajari titik, garis, bidang dan benda-
benda ruang serta si&at-si&atnya, ukuran-ukurannya dan hubungannya satu sama
lain.
$e!metri dapat dipandang sebagai sistem dedukti& yaitu suatu sistem
yang harus ada pengertian-pengertian pangkal, yaitu unsur-unsur dan relasi-
relasi yang tidak dide&inisikan, kemudian de&inisi, selain de&inisi juga harus ada
relasi-relasi lain yang dapat dibuktikan dengan menggunakan de&inisi atau
p!stulat-p!stulat itu yang disebut dalil atau te!rema. Pr!ses untuk mendapatkan
atau menurunkan suatu dalil dari himpunan pangkal, de&inisi, dan p!stulat
inilah yang disebut deduksi. Dalam $e!metri sebagai suatu sistem dedukti&
himpunan p!stulat itu dapat dipandang sebagai aturan permainan 7M!eharti,
+893: +.1 < +.(;.
$e!metri yang pertama-tama muncul sebagai suatu sistem dedukti&
adalah $e!metri dari %uclides. ira-kira tahun 11* SM, %uclides menulis buku
sebanyak +1 buah. Dalam bukunya yang pertama %uclid menjelaskan mengenai
de&inisi, p!stulat, aksi!ma dan dalil 7M!eharti, +893: +.8;. Namun $e!merti
%uclid ini memiliki kelemahan, salah satu kelemahanya ada pada p!stulat
kelima dari %uclid yang terkenal dengan P!stulat Parallel atau P!stulat
esejajaran yang terlalu panjang sehingga merisaukan para matematika"an.
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
4/38
Sehingga beberapa matematika"an menganggap bah"a p!stulat kelima %uclid
bukan p!stulat dan dapat dibuktikan dengan keempat p!stulat yang lain. saha
untuk membuktikan p!stulat kelima ini berlangsung sejak %uclid masih hidup
sampai kira-kira tahun +9'*. T!k!h yang berusaha membuktikan ini antara lain
Pr!clus dari Aleksandria 7(+* - (9; $ir!lam! Saccheri dari 0talia 7+3*2 -
+211;, arl =riedrich $auss dari >erman 7+222 - +9;, W!l&gang 7=arkas;
6!lyai dari !ngaria 7+22 - +93;, dan anaknya ?an!s 6!lyai 7+9*' - +9*3*;
dan juga Nic!lai 0)an!)iteh 4!bache)sky 7+281 - +93; 7M!eharti, +893: +.+1;.
Menurut M!eharti 7+893: +.+';, p!stulat kesejajaran kelima %uclid adalah
sebagai berikut:
“ Jika suatu garis lurus e!t!ng "ua garis lurus "an e#uat su"ut$su"ut "ala se%i&ak kurang "ari "ua su"ut siku$siku' ke"ua garis itu (ika"i%er%an(ang tak ter#atas' akan #erteu "i%i&ak te%at ke"ua su"ut"ala se%i&ak kurang "ari su"ut siku$siku”
ac
p
1b q 2
Ga#ar ). 0lustrasi p!stulat ke lima %uclid
Pada gambar + garis c mem!t!ng garis a dan garis b yang
mengakibatkan sudut + dan sudut ' kurang dari +9*@, garis a dan garis b akan
bep!t!ngan pada pihak sudut yang kurang dari +9*@, yang pada gambar adalah
perpanjangan yang ke kanan.
P!stulat kelima ini masih sukar diterima dan dipahami maka beberapa
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
5/38
matematika"an berusaha untuk membuktikan dan menggantikannya dengan
p!stulat yang ekui)alen. Salah satu p!stulat yang paling terkenal dan sederhana
adalah Aksi!ma Play&air !leh >!hn Play&air yang bunyinya 7Pren!"it, +83:';
“Han*a a"a satu garis se(a(ar + parallel , %a"a garis *ang elalui titik #ukan
%a"a garis terse#ut-
Matematika"an lain, yaitu Pr!clus yang menulis k!mentar dari The
Elements yang menyebutkan usaha pembuktian untuk menyimpulkan dari p!stulat
kelima. Pr!clus kemudian memberikan bukti sendiri, dan memberikan p!stulat
yang ekui)alen dengan p!stulat kesejajaran 5>ika suatu garis lurus mem!t!ng salah
satu dari dua garis parallel ia juga akan mem!t!ng yang lain, dan garis-garis lurus
yang parallel dengan suatu garis lurus yang sama, adalah parallel satu sama lainB.
Sedangkan >!hn Wallis menggantikan p!stulat kesejajaran %uclid dengan p!stulat
Wallis. >!hn Wallis menyerah menc!ba membuktikan dalil paralel dalam $e!metri
Netral. Sebaliknya, ia mengusulkan sebuah p!stulat baru, yang ia merasa lebih
masuk akal daripada p!stulat kelima %uclid 7Pren!"it, +83:'9;.
$e!metri N!n %uclid timbul karena para matematika"an berusaha untuk
membuktikan p!stulat kelima dari %uclides. Sehingga $e!metri N!n %uclid masih
berdasarkan empat p!stulat pertama dari %uclides dan hanya berbeda pada
p!stulat kelimanya. Ada dua macam $e!metri N!n %uclid yang pertama adalah
ditemukan hampir bersamaan !leh 1 t!k!h berlainan dan masing-masing bekerja
sendiri-sendiri. T!k!h-t!k!h tersebut adalah arl =riedrich $auss dari >erman,
?!n!s 6!lyai dari !ngaria, dan Nic!lai 0)an!)itch 4!bache)sky dari Cusia,
$e!metri ini disebut $e!metri 4!bache)sky. $e!metri N!n %uclid yang kedua
adalah $e!metri yang diketemukan !leh $.=.6. 6ernhard Ciemann dari >erman,
$e!metri ini disebut $e!metri %lliptik atau $e!metri Ciemann 7M!eharti, +893:
+.'*;.
Suatu ge!metri yang dilengkapi dengan sistem aksi!ma-aksi!ma
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
6/38
keterjadian, sistem aksi!ma-aksi!ma urutan, sistem aksi!ma kek!ngruenan 7ruas
garis, sudut, segitiga; dan sistem aksi!ma-aksi!ma Archiemedes disebut dengan
$e!metri Netral. Didalam ge!metri ini ada k!nsep kesejajaran dua garis di dalam
ge!metri Netral ini, tidak disebut banyaknya garis yang melalui sebuah titik T
diluar sebuah garis lain yang dapat sejajar dengan garis ini. alau banyaknya garis
itu hanya satu, $e!metri Netral itu dinamakan $e!metri %uclide. >ika ada lebih
dari satu garis, $e!metri Netral ini disebut $e!metri 4!bache)sky. $e!metri
4!bache)sky adalah salah satu $e!metri N!n %uclide. Dari $e!metri %uclid dapat
diambil sarinya berupa dua $e!metri yang berlainan dalam dasar l!gikanya,
pengertian pangkalnya dan aksi!manya. edua $e!metri itu adalah $e!metri
A&&ine dan $e!metri Abs!lut atau $e!metri Netral. $e!metri A&&in yang
dikenalkan !leh 4e!nhard %uler dari >erman, $e!metri ini didasarkan pada p!stulat
0, 00,dan E, sedangkan $e!metri Abs!lute pertama kali diperkenalkan
!leh ?. 6!lyai dari !ngaria. $e!metri ini mendasarkan pada empat p!stulat
pertama dari %uclid dan meninggalkan p!stulat ke lima.
BAB II
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
7/38
PEBAHASAN
A. Geometri Lobachevsky
Sekarang, diperkenalkan ge!metri n!n-%uclides dari 6!lyai, dan
4!bache)sky, sebagai te!ri &!rmal y ang mendasarkan pada beberapa p!stulat.
Te!ri ini dinamakan Geometri Lobachevsky untuk memudahkan dan menandai
karya 4!bache)sky. $e!metri 4!bache)sky dapat dig!l!ngkan pada ge!metri
netral dengan memandang bah"a setiap segitiga jumlah besar sudutnya kurang dari
+9**. Meskipun demikian, kita lebih suka mengikuti sejarah perkembangannya dan
mempelajarinya secara langsung dalam hubungannya dengan p!stulat kesejajaran
%uclides. >adi, untuk mengg!l!ngkan pada ge!metri 4!bache)sky hanyalah dengan
menerima semua p!stulat ge!metri %uclides dengan membuang p!stulat
kesejajarannya dan mengganti dengan p!stulat berikut ini :
P!stulat Kese(a(aran L!#a/&e0sk*
Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu
titik di luar garis tersebut.
>elaslah, ge!metri 4!bache)sky merupakan jenis dari ge!metri netral.
Sebagai akibatnya, kita lanjutkan pelajaran ge!metri netral dengan memberikan
suatu batasan tambahan. >adi, te!rema-te!rema pada ge!metri netral juga berlaku
pada ge!metri 4!bache)sky dan juga dapat dipakai pada pembuktian-pembuktian
kita.
B. Te!rea n!n$etri/al
Te!rema pertama ge!metri 4!bache)sky merupakan te!rema dasar yang
tidak melibatkan ide-ide metrical 7sistim perhitungan dengan dasar angka +*;
seperti jarak, ketegak-lurusan, atau luas. Te!rema tersebut mengenai kedudukan
atau si&at garis.
Te!rea 1.)
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
8/38
Sebarang garis seluruhnya berada di dalam sudut tertentu.
Bukti 2
Misalkan diketahui garis l. tentukan titik P di luar l. tentukan titik P diluar l.
Menurut p!stulat kesejajaran ge!metri 4!bache)sky ada garis m dan n yang
melalui P dan sejajar l.
$aris m dan n membagi bidang itu menjadi ( daerah, masing-masing
merupakan bagian dalam suatu sudut, yakni bagian dalam F AP6 ,‟ F A P6.‟
F A P6 , dengan P terletak diantara A dan A pada garis m dan diantara 6 dan‟ ‟ ‟
6 pada garis n.‟
Misalkan G adalah titik pada l. arena l tidak mem!t!ng m atau n, berarti G
tidak terletak pada m atau n.
>adi G berada pada salah satu dari ( bagian dalam sudut di atas, misalnya F
A P6‟ .
Sekarang, dimana letak l H
arena salah satu titiknya yaitu titik G berada pada bagian dalam F A P6 dan l‟
tidak mem!t!ng sisi-sisi sudutnya, yakni PA dan P6. >adi jelaslah bah"a l‟
berada di dalam F A P6 yang berarti garis l seluruhnya termuat di dalam F‟
A P6.‟
Te!rea aki#at
Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di
luar garis itu.
Bukti 2
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
9/38
Misalkan diketahui garis l dan titik P.
$unakan te!rema l dan misalkan C sebarang titik yang terletak di dalam daerah
F AP6 7$ambar (.+;. Maka garis PC 7kecuali titik P; seluruhnya termuat dalam
daerah F AP6 dan F A P6 dan tidak ‟ ‟ mem!t!ng garis l yang termuat dalam F
A P6. >adi‟ PC I I l.
arena terdapat tak berhingga garis yang seperti PC, berarti te!rema akibat
terbukti.
Sungguh menarik kalau kita bandingkan Te!rema 3.+ di atas dengan situasi
dalam ge!metri %uclides 7yang hanya sebagian garis dapat termuat dalamdaerah suatu sudut;. arena dalam ge!metri bidang %uclides sebuah garis yang
melalui titik dalam daerah sudut akan mem!t!ng sudut di dua titik atau satu
titik. >adi hanya sebuah segmen garis saja yang bisa termuat dalam daerah
sudut, atau hanya sebuah sinar garis saja.
Te!rema di atas menunjukkan perbedaan yang jelas antara ge!metri %uclides
dan ge!metri 4!bache)sky jika dipandang dari si&at-si&at n!nmetrik. al ini
seharusnya tidaklah terlalu mengherankan, karena p!stulat kesejajaran %uclides
7dalam bentuk p!stulat Play&air; dan p!stulat kesejajaran 4!bache)sky memang
berbeda si&at khusus gra&iknya. Perhatikan, hasil yang tak terhindarkan pasti terjadi,
jika kita mengasumsikan p!stulat 4!bache)sky.
3. Sangga&an
Anda mungkin keberatan bah"a Te!rema 3.+ ternyata )alid secara abstrak,
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
10/38
tetapi tidak sesuai dengan kenyataan &isiknya. >adi, k!nklusi di atas memang secara
l!gis diper!leh dari p!stulat kesejajaran 4!bache)sky, tetapi asumsi itu secara &isik
keliru. >ika anda membuat pernyataan demikian, berarti anda mulai mengikuti jejak
para ahli ge!metri n!n-%uclides. arena jika mereka mulai mengembangkan te!ri
mereka, mereka pasti telah meragukan )aliditas empirik dari p!stulat kesejajaran
yang baru itu. ?ang diperlukan bagi sese!rang untuk berpikir secara matematis
adalah asumsi-asumsi 7p!stulat-p!stulat; yang secara l!gis dapat menghasilkan
k!nklusi 7te!rema;. Ealiditas argumen matematis tidak bergantung pada benar atau
salahnya asumsi dasar yang digunakannya.
Meskipun demikian, "ajarlah kita memilih asumsi yang akan menimbulkan
kekeliruan jika diterapkan pada dunia nyataH >a"abnya sudah jelas, tetapi
kenyataannya hal ini merupakan pertanyaan yang sulit dan rumit yang tidak mungkin dija"ab dengan 5yaB atau 5tidakB saja. arus ada beberapa penjelasan.
Pertama, ahli matematika seharusnya bebas memilih p!stulat dan
mempelajari k!nsekuensinya, bebas dari pertimbangan kegunaan praktisnya
maupun )aliditas empirisnya.
edua, pr!p!rsi matematika itu abstrak untuk mengujinya secara empiris
kita harus mena&sirkan istilah-istilah dasarnya. Meskipun tampaknya salah dalam
suatu interpretasi 7pena&siran;, mungkin menjadi benar dalam intepretasi yang lain.
Sebagai c!nt!h, suatu p!stulat menjadi salah jika 5garisB diinterpretasikan sebagai
5tali yang tegangB, mungkin jadi benar jika diinterpretasikan sebagai 5sinar lampuB.
Akhirnya, janganlah kita lupa bah"a penentuan kebenaran empiris dari pernyataan
ge!metris bukanlah urusan kita sebagai ahli matematika < sebab hal itu bukanlah
merupakan perc!baan mental yang dapat disimpulkan secara santai. al itu
termasuk dalam bidang pengetahuan tentang perc!baan dan penelitian yang
dilaksanakan !leh ahli &isika, astr!n!m dan para peneliti, diketahui garis 7secara
&isik; l dan titik P 7secara &isik; di luar l, maka ada garis m 7secara &isik; yang tidak
mem!t!ng l tetapi melalui P yang tidak terletak pada lH 6agaimana kita menguji
hal ituH
ntuk menentukan kebenaran pernyataan secara empiris, seringkali
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
11/38
merupakan masalah yang sulit, dan seringkali hanya memper!leh pendekatannya
saja atau kebenarannya secara statistik saja. Sebagai c!nt!h yang klasik, perhatikan
p!stulat kesejajaran %uclides : p!stulat itu telah digunakan turun-temurun !leh para
ilmu"an dan insinyur p!stulat tersebut telah mengalami pengujian "aktu itu. ita
merasa yakin bah"a itu merupakan &akta empiris.
Dengan pr!ses berpikir yang sama kita yakin bah"a p!stulat kesejajaran
4!bache)sky secara empiris adalah salah. Marilah kita renungkan masalah ini
sebentar < apa saja yang terlibat dalam pernyataan-pernyataan ini H Adakah kita
menyatakan bah"a, jika diketahui garis 7secara &isik; l dan titik P 7secara &isik; di
luar l, maka ada garis m 7secara &isik; yang tidak mem!t!ng l tetapi melalui P yang
tidak terletak pada lH 6agaimana kita menguji hal ituH
Akankah kita gunakan tali, garis-garis di papan tulis, atau sinar lampuH 0ngat,
betapa lebih sulit lagi membuktikan secara empiris bah"a hanya ada satu garis
yang demikianH Misalkan ada satu garis yang memenuhi, yaitu garis m.
m
P
l
mJ
Apakah kita benar-benar tahu si&at-si&at &isiknya sehingga dapat menunjukkan
hanya ada satu garis seperti itu H
Misalkan m a dalah garis 7secara &isik; yang melalui P dan membentuk sudut yang‟
sangat kecil dengan m dapatkah kita nyatakan bah"a secara fisik m pasti‟
mem!t!ng lH
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
12/38
Pernyataan tentang kebenaran empiris p!stulat kita memang sulit di ja"ab
dan akan dibahas lebih lanjut pada bab 9. Saat ini kita puas jika kita telah dapat
menghilangkan keraguan dan mempunyai secara empiris. P!stulat kesejajaran
%uclides pasti benar dan p!stulat kesejajaran 4!bache)sky pasti salah. ita
harapkan hal ini cukup dengan menghilangkan perasaan bah"a ge!metri
l!bache)sky hanyalah abstrak yang jauh dari dunia nyata.
D Jula& su"ut segitiga "ala ge!etri L!#a/&e0sk*
Te!rema + menunjukkan bagaimana kedudukan atau si&at-si&at n!n metrical dalam
ge!metri n!n-%uclides tentu berbeda dengan ge!metri %uclides. Akan ditunjukkan
dalam Te!rema 2.' bagaimana si&at metrical, jumlah besar sudut dalam segitiga,
tentu berubah jika kita mengubah p!stulat kesejajarannya.
ita a"ali dengan dua 5lemmaB yang )alid dalam ge!metri netral. ita
tangguhkan pengenalannya karena kedua lemma tersebut hanya digunakan untuk
menetapkan Te!rema 2.'. 4emma 2.+ merupakan pengulangan kembali Te!rema
Saccheri 4egendre
Lea 4.).
Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang atau sama dengan besar
sudut luar yang tida bersisian dengan sudut tersebut.
Bukti 2
Perhatikan D A6K. Menurut Te!rema Sacheri-4egendre :
F A L F 6 L F K +9**.
>ika kedua ruas ketidaksamaan dikurangi dengan F K diper!leh :F A F 6 L
+9** - F K. 4emma tersebut berlaku karena sudut luar K sama dengan +9* * - F
K.
Lea 4.5
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
13/38
Misalkan diketahui garis l titik P di luar l titik ! "ada l.
Misalkan diberikan sisi P!. Maka ada titik # di l yang terletak satu "ihak dengan
P! sehingga $ P!# sekecil yang kita inginkan.
P
l G C
Bukti 2
Misalkan a adalah sudut yang kecil.
Akan kita tunjukkan bah"a ada titik C pada l yang terletak di sebelah kanan PG
sedemikian hingga F PCG a.
Pertama, kita bentuk barisan sudut-sudut :
F PC+G, F PC'G, //..,
yang setiap suku tidak lebih besar dari suku sebelumnya.
Perhatikan gambar berikut ini :
Misalkan C+ titik pada l dan berada di sebelah kanan sisi PG sedemikian hingga
GC+ PG 7$ambar (.;.
Tarik PC+. Maka ∆ PGC+ adalah sama kaki dan ∠ QPR1 = ∠ PR1Q =
b+.
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
14/38
Misal besar sudut luar ∆ PQR1 di Q = b. Menurut 4emma 2.+
b1 + b1 = 2b1 < b,
berarti :
b1 <1
2 b ………….(1)
Sekarang dibentuk segitiga baru dan diulang lagi argumen di atas. Perpanjang
GC+ melalui C+ ke C', sedemikian hingga C+C' PC+.
Tarik PC'. Maka ∆ PR1R2 adalah samakaki dan ∠ R1PR2 = ∠ PR2R1
= ∠ PR2Q = b2
>adi, sesuai dengan 4emma 3.+ b2 + b2 = 2b2 < b1
berari !
b2 <1
2 b1
sesuai dengan persamaan 7+; diper!leh !
+ b2 < ' ' b
Dengan melanjutkan pr!ses di atas sebanyak n kali, maka akan diper!leh titik
Cn pada l dan di sebelah kanan sisi PG sedemikian hingga :
b" = ∠ PR"Q <1
2n b
Dengan memilih n cukup besar maka bisa diper!leh b1
2n < a. Dengan
demikian ∠ PR"Q < a. >adi te!rema berlaku untuk C Cn.
Teorema 7.2
Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari +9**.
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
15/38
Bukti :
Misalkan l suatu garis dan P di luar l. ita buat garis m melalui P sejajar l
dengan cara biasa sebagai berikut :
Misal PQ ⊥ # di Q, da" $ ⊥ PQ di P.
Menurut p!stulat kesejajaran 4!bache)sky ada garis lain yaitu garis n yang
melalui P dan sejajar l. Salah satu sudut yang dibentuk n dengan PG adalah
lancip.
Misalkan : O titik pada n sedemikian hingga ∠ QP% lancip
? titik pada m dan n di sebelah kanan sisi PG seperti O.
a = ∠ %P&. 'aa ∠ QP% = 900 a
Sekarang gunakan 4emma 2.'. Misalkan C pada l dan berada di sebelah kanan
sisi PG yang memuat O, sedemikian hingga ∠ PRQ < a.
Perhatikan ∆ PQR. ita punya !
∠ PQR = 900
∠ QRP < a
∠ RPQ < ∠ %PQ = 900 a
>ika dijumlahkan diper!leh :
∠ PQR + ∠ QRP + ∠ RPQ < 900
+ a + 900
a = 1800
>adi ∆ PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang dari +9** dan te!rema
terbukti.
Pm
l
G C
rutan pembuktian di atas sungguh sangat sederhana. ntuk mengetahui lebih
dalam, perhatikan dulu situasi yang sama dalam ge!metri %uclides.
Misal : l dan m tegak lurus pada PG di G dan P.
C sebarang titik pada l, di sebelah kanan sisi PG >ika C menjauhi PG
sampai tak terhingga, maka ∠ QRP mendekati ** dan ∠ QPR mendekati 8**.
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
16/38
Dalam ge!metri 4!bache)sky agak sedikit berbeda. ita masih punya garis l
dan m tegak lurus pada PG di G dan P sedemikian hingga m I I l. Tetapi
sekarang 7seperti pada pembuktian Te!rema '; ada garis lain PO yang sejajar l,
sedemikian hingga :
∠QP% < 900. Misalkan C sebarang titik pada l di sebelah kanan PG seperti
O.
>ika C menjauhi PG sampai tak terhingga, maka ∠QRP $e"deai
00 seperti pada ge!metri %uclides. Tetapi ∠QPR tidak mendekati 8**, karena
∠QPR selalu kurang dari ∠QP%.
>adi, jika C cukup jauh, ∠PGC akan memiliki jumla besar sudut kurang dari
+9**. Sebagai c!nt!h, jika ∠QP% = 890 kita hanya perlu menempatkan C
sedemikian hingga ∠QRP < 10.
P m
. O
lG C
Akhirnya, Anda mungkin men!lak bah"a kita tidak akan dapat mendapatkan
∠GPC ∠GPO, yakni sinar PC terletak dalam ∠GPO.
Perhatikan bah"a sinar PC dan sinar PO adalah berbeda dan keduanya
berada di dalam sudut yang dibentuk !leh sinar PG dengan sinar yang lain.
Misalkan sinar PO terletak di dalam ∠ GPC, maka sinar PO akan mem!t!ng
GC dan sudah tentu mem!t!ng l. arena hal ini tidak mungkin terjadi, berarti
sinar PC harus berada di dalam ∠ GPO.
Te!rema berikut merupakan te!rema yang penting, dan merupakan
k!nsekuensi langsung dari Te!rema 2.'.
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
17/38
Te!rea 4. 6
>umlah besar sudut setiap segitiga kurang dari +9**.
Bukti 2
Menurut akibat ' te!rema 3.3 7ge!metri netral; : >ika ada sebuah segitiga
yang jumlah besar sudutnya kurang dari +9**, maka setiap segitiga jumlah besar
sudutnya juga kurang dari +9**///// 7+;
Menurut Te!rema 2.' 7ge!metri 4!bache)sky; :
Ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya kurang dari +9**/////.
7';
6erdasarkan 7+; dan 7'; maka jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari
+9**.
Aki#at ) Te!rea 4.6
>umlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 13**.
Aki#at 5 Te!rea 4.6
Tidak ada persegipanjang.
Meskipun Te!rema 2.1 tersebut berbeda dengan te!rema serupa pada
ge!metri %uclides, mungkin anda masih tetap berasumsi bah"a jumlah besar
sudut suatu segitiga itu k!nstan, seperti pada ge!metri %uclides. al ini tidak
mungkin pada ge!metri 4!bache)sky, di mana jumlah besar sudut suatu
segitiga ber)ariasi antara ** dan +9**.
E. A"aka& segitiga$segitiga *ang se#angun "ala ge!etri L!#a/&e0sk*7
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
18/38
6erikut ini akan ditunjukkan bah"a segitiga-
segitiga yang sebangun tidak ada dalam ge!metri 4!bache)sky, tetapi yang ada
hanyalah segitiga-segitiga yang k!ngruen. al ini sesuai dengan te!rema berikut
ini.
Te!rea 4.8
Dua segitiga dikatakan k!ngruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama.
A
AJ
„ 6JJ KJJ
6J KJ
6 K
Bukti :
Andaikan te!rema ( salah. 6erarti ada dua segitiga, misal A6K dan A 6 K‟ ‟ ‟
sedemikian hingga : ∠A ∠ A ,‟ ∠ 6 ∠ 6 ,‟ ∠ K tetapi kedua segitiga tersebut‟
tidak k!ngruen. >adi A6 ∠ A 6 7>ika A6 A 6 tentu kedua segitiga tersebut‟ ‟ ‟ ‟
k!ngruen dengan sd-ss-sd;.
Demikian pula jika AK ∠ A K dan 6K‟ ‟ ∠ 6 K .‟ ‟
Perhatikan tripel segmen A6, AK, 6K dan A 6 , A K , 6 K . Salah satu‟ ‟ ‟ ‟ ‟ ‟
dari tripel segmen tersebut pasti terdiri atas dua segmen yang lebih besar dari dua
segmen yang bersesuaian dari tripel yang lain.
Akibatnya, kita dapat memisalkan A6 Q A 6 dan AK Q A K . Selanjutnya‟ ‟ ‟ ‟
tentukan titik 6B pada A6 dan KB pada AK sedemikian hingga A 6 A6B dan‟ ‟
A 6 AKB‟ ‟
>adi ∠ A6BKB k!ngruen ∠ A 6 6 .‟ ‟ ‟
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
19/38
Akibatnya : ∠ 66BKB ∠ 6 ‟ ∠ 6.
6erarti ∠ 66BKB adalah suplemen ∠ 6 dan ∠ 6BKBK adalah suplemen ∠ K,
dengan demikian segiempat
66BKBK mempunyai jumlah besar sudut sama dengan 13** 7bertentangan dengan
akibat + te!rema 2.1;.
Di sini telah kita lihat perbedaannya dengan ge!metri %uclides. Sesuai
dengan Te!rema 2.(, dalam ge!metri 4!bache)sky tidak ada te!ri tentang gambar-
gambar sebangun yang didasarkan pada de&inisi biasa, karena jika dua segitiga
sebangun maka sudut-sudut yang bersesuaian sama, dan !leh karena itu kedua
segitiga pasti k!ngruen. Secara umum, dua gambar yang sebangun pasti k!ngruen,
dan juga mempunyai ukuran yang sama.
F. Te!ri Luas L!#a/&e0sk*
kuran luas dalam ge!metri 4!bache)sky berbeda dengan ge!metri %uclides yang
menggunakan satuan luas persegi, karena persegi tidak ada dalam ge!metri4!bache)sky. ntuk perhitungan besarnya luas dapat digunakan met!de
perhitungan besarnya luas dapat digunakan met!de perhitungan integral dan
met!de pendekatan tertentu. ntuk penyederhanaan, kita batasi dengan luas
segitiga saja.
Tanpa memperhatikan bagaimana luas dide&inisikan yang pasti luas
memiliki si&at-si&at berikut :
a; ke"ositifan%
Setiap segitiga ditentukan secara tunggal !leh bilangan p!siti& yang dinamakan
luasnya.
b; invariansi terhada" kongruensi %
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
20/38
segitiga-segitiga yang k!ngruen memiliki luas yang sama.
c; sifat aditif &"enambahan' %
>ika segitiga T dibelah menjadi segitiga T+ dan T', maka luas T adalah jumlah
luas T+ dan T'.
Akibatnya, setiap pengukuran luas menentukan &ungsi bernilai real yang
dide&inisikan pada semua segitiga yang memenuhi si&at a;, b;, dan c;. al ini
menunjukkan bah"a kita de&inisikan k!nsep pengukuran luas atau &ungsi luas pada
segitiga yang mempunyai ketiga si&at tersebut, lepas dari pr!ses pengukurannya.
>adi kita tentuan de&inisi berikut.
De9inisi 4.)
Perhatikan suatu &ungsi yang memasangkan setiap segitiga dengan bilangan real
tertentu sedemikian hingga si&at a;, b; dan c; terpenuhi. =ungsi tersebut dinamakan
fungsi luas atau ukuran luas 7untuk segitiga;. >ika R adalah &ungsi semacam itu dan
A6K adalah segitiga, maka R7A6K; menyatakan suatu nilai yang dipasangkan !leh
R dengan segitiga A6K, dan disebut luas atau ukuran segitiga A6K yang ditetapkan
!leh R.
Sudah tentu de&inisi di atas tidak terbatas pada ge!metri 4!bache)sky saja
tapi juga berlaku untuk sebarang ge!metri netral. Dalam ge!metri %uclides telah
kita kenal rumus luas segitiga 71
2a . t
; yang menghasilkan sebuah &ungsi luas,
dengan memasangkan setiap segitiga dengan bilangan1
2 alas tingginya.
ita lanjutkan dengan mengamati si&at aditi& c; dari &ungsi luas, yang dapat
dikembangkan sampai sejumlah suku-suku yang berhingga.
Te!rea 4.: +Pen(ula&an #er&ingga,
Misalkan sebuah segitiga ∆ dipecah menjadi suatu himpunan berhingga segitiga-
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
21/38
segitiga yang tidak saling menutupi ∆1, ∆2, ……, ∆". Maka &ungsi luas µ nya !
µ(∆) = µ(∆1) + µ(∆2) + ………. + µ(∆").
asilnya akan sama pentingnya baik pada ge!metri %uclides maupun
ge!metri 4!bache)sky. ita kenalkan idea &ungsi luas dalam ge!metri
4!bache)sky tanpa memberikan suatu c!nt!h tertentu. Ada suatu c!nt!h yang
hanya penting dan dikenal pada ge!metri %uclides, tetapi umumnya dinyatakan
dalam sudut-sudut segitiga. Secara &!rmal kita nyatakan de&inisi berikut.
Defnisi 7.2:
De&ect ∆ * adalah +9*
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
22/38
kita dapatkan jumlah de&ect kedua segitiga tersebut adalah
+9* - 7∠ 6AD L ∠ KAD L ∠ 6 L ∠ K;. +9* - 7∠ 6AK L ∠6 L ∠K;.
yang merupakan de&ect ∠ A6K.
Te!rema di atas menunjukkan bah"a &ungsi luas ada. ita tentunya heran jika ada
&ungsi luas yang lain, dan seberapa banyak )ariasinya. Met!de pembuatan &ungsi
luas yang baru akan diberikan pada te!rema berikut, yang merupakan akibat
langsung dari de&inisi &ungsi luas.
Te!rea 4.4
Perkalian &ungsi luas dengan bilangan p!siti& juga menghasilkan &ungsi luas.
Perkalian &ungsi luas dengan bilangan p!siti& mengakibatkan perubahan
satuan ukurannya 7yakni : sebarang segitiga mempunyai ukuran +;, tetapi tidak
mengubah rati! ukuran segitiganya. >ika kita memakai satuan yang berbeda untuk
ukuran sudut dan mende&inisikan 5de&ecB dengan cara alami, kita akan memper!leh
perkalian suatu de&ect dengan k!nstanta seperti yang kita de&inisikan semula.
Sebagai c!nt!h, misalkan kita ubah satuan sudut dari derajat ke menit.Maka hal tersebut akan menyebabkan dua macam peruahan :
7+; setiap ukuran sudut harus dikalikan dengan 3*.
7'; angka kunci +9* harus diganti dengan 3* kali +9* atau +*9**.
>adi de&inisi yang tepat untuk 5de&ectB adalah 3* kali de&ect yang kita de&inisikan
semula.
Sayangnya te!rema terakhir tidak menja"ab pertanyaan kita tentang
macam-macam &ungsi luas yang mungkin. ita bahas kemungkinan &ungsi luas
yang bukan merupakan perkalian de&ect dengan suatu k!nstanta.
ita mungkin merasa bah"a de&ect akan dibuang dan bukan merupakan &ungsi luas
tertentu, sementara &ungsi luas yang lain mungkin diper!leh secara tidak
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
23/38
pr!p!rsi!nal terhadap de&ect. >ika hal itu yang terjadi, maka akan ada dua segitiga
yang mempunyai luas yang sama karena ditentukan !leh suatu &ungsi luas tertentu,
dan mempunyai luas yang tidak sama !leh &ungsi luas yang lain. Dalam praktiknya,
hal ini mungkin meresahkan : harga sebuah rumah yang bergantung pada sistem
ukuran yang digunakannya. ntungnya, hal seperti itu tidak pernah terjadi dalam
ge!metri 4!bache)sky.
Contoh 7.1
>ika diketahui /* dan /PQR di dalam /*, buktikan bah"a de&ect /*
deec /PQR
6ukti : 6uat Segitiga A6K
b"a" ii * pada /* de"a" ii Ppada /PQR.
C b"a" ii * pada /*
de"a" ii Q pada /PQR
R
b"a" ii pada /*
de"a" ii Q pada /PQR
P
b"a" ii pada /*
Q
de"a" ii R pada /PQR
A Bb"a" ii pada /*
de"a" ii R pada /PQR
b"a" ii pada /*
de"a" ii P pada /PQR
erdaara" ere$a7.3
/* ! ∠*3 +∠
1
+ ∠
Q2 < 180 /QR ! ∠2 +∠ Q3
+ ∠ R1 < 180
/R ! ∠3 +∠ R2 + ∠
1 < 180
/PR ! ∠2+∠ P4 + ∠ R3 < 180
/P* ! ∠3 +∠ *1 + ∠ P1 < 180
/*PQ ! ∠ * 2 +∠ P 2 + ∠ Q1 < 180
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
24/38
∠*123 +∠ 123 +∠ 123 + ∠ Q123 +∠ R123+∠ P124 <
6.180
∠* +∠ +∠ +∠ P124+ ∠ Q123 +∠ R123 <
6.180
∠* +∠ +∠ < 6.180 (∠ P124+ ∠ Q123 +∠ R123) ∠* +∠
+∠ < 3.360 (360∠ P3)+(360 ∠ Q4) +(360 ∠ R4)
∠* +∠ +∠ < 3.360 3.360+ ∠P3 + ∠ Q4 +∠ R4
∠* +∠ +∠ < ∠P3 + ∠ Q4 +∠ R4
(∠* +∠ +∠ ) 180 (∠P3 + ∠ Q4 +∠ R4)
∴ -eec / * deec / PQR ………. erbi
Te!rea 4.;
Sebarang dua &ungsi luas adalah pr!p!rsi!nal. 6uktinya tidak dibahas, karena
agak sulit dan memang merupakan bagian dari mata kuliah Analisis Ceal.
>ika kita lihat te!rema 2.3 dan 2.9, sangat mungkin mende&inisikan luas segitiga
dengan menggunakan de&ectnya dengan mengabaikan &akt!r pr!p!rsi!nalnya.
Menarik untuk diperhatikan bah"a dalam ge!metri %uclides tiga-dimensi, jumlah
sudut segitiga b!la adalah lebih besar dari +9* *, dan luas segitiga b!la dide&inisikan
sebagai 5kelebihannyaB, yakni jumlah derajat ukuran sudut-sudutnya dikurang +9*.
ita dapat menyimpulkan bah"a te!rema 2.9 juga benar untuk ge!metri %uclides
dan diperlukan untuk mem)alidasikan te!ri luas %uclides yang sudah kita kenal itu.
G. Garis$Garis
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
25/38
lJAJ 6J KJ
Bukti:
Akan kita tunjukkan bah"a untuk sebarang dua garis l dan l , maka tidak ada‟
tiga titik di l yang jaraknya sama dari titik di l . Misalkan A, 6, dan K adalah‟
tiga titik berbeda pada l, dengan 6 di antara A dan K.
Dari A, 6, dan K tarik garis tegaklurus ke l , yang masing-masing mem!t!ng l‟ ‟
di A , 6 dan K . Misalkan AA 66 KK .‟ ‟ ‟ ‟ ‟ ‟
Dari AA 66 ,‟ ‟ ∠ AA 6 ‟ ‟ ∠ 66 A dan A 6 6 A >adi :‟ ‟ ‟ ‟ ‟ ‟ ∆ AA 6‟ ‟
≅ ∆ 66 A.‟ Akibatnya A6 6A‟ ‟
arena 66 AA dan 6A A6 maka‟ ‟ ∆ AB B‟ ≅ ∆ BA A.‟
Akibatnya :
∠ A AB =‟ ∠ B BA ……(1)‟
yang berarti sudut-sudut atas 7summit; segiempat AA 6 6 adalah sama.‟ ‟
Dengan cara dan alasan yang sama, dapat pula diterapkan pada segiempat
KK 6 6, yang mengakibatkan :‟ ‟
∠ C CB =‟ ∠ B BC ……(2)‟
dengan menjumlahkan 7+; dan 7'; diper!leh :
∠ A AB +‟ ∠ C CB =‟ ∠ B BA +‟ ∠ B BC =‟
180
0
.>adi jumlah besar sudut dalam segiempat AA K K adalah 13*‟ ‟ * yang
bertentangan dengan akibat + Te!rema 3.1.
Dengan demikian pemisalan salah, dan yang benar adalah Te!rema 2.8.
ita simpulkan bagian ini dengan diskusi tentang jenis-jenis pasangan
garis-garis sejajar. Sesuai bukti te!rema di atas: jika dua garis sejajar, maka
hanya ada dua hal yang mungkin :
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
26/38
7+; ada dua titik pada garis yang satu yang jaraknya sama
dari garis yang lain.
7'; tidak ada dua titik pada garis yang satu yang
jaraknya sama dari garis yang lain.
Masalah 7+; terjadi jika dan hanya jika kedua garis itu punya garis
tegaklurus persekutuan. Dalam hal ini kedua garis tersebut memencar
7di)ergen; sampai tak berhingga baik di sebelah kiri maupun di sebelah kanan
garis tegaklurus persekuruannya.
:eda"a" (2) er;adi ;ia a#a aari ereb
$erpaa" asimptot dari ari a" #ai".
Teorema 7.10
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi
si&at kesejajaran %uclides, maka ada sebuah persegipanjang.
Misalkan diketahui garis l dan titik P. PG tegaklurus dengan l di G. Pilih titik C
7yang berbeda dengan G; yang terletak di l. 6uatlah garis m yang tegaklurus
dengan l di C. 6uatlah garis melalui P yang tegaklurus m di S. Maka kita
dapatkan segiempat PGCS dengan sudut G, C, S yang masing-masing siku-siku.
Akan dibuktikan PGCS persegi panjang.
Bukti 2
arena PS dan l keduanya tegaklurus terhadap m, maka PS sejajar l 7akibat +
te!rema ' ge!metri netral;.
arena PS dan l memenuhi si&at kesejajaran %uclides, maka PS satu-satunya
garis yang melalui P yang sejajar l 7akibat 1 te!rema ' ge!metri netral;. PGtegaklurus l di G dan PS sejajar l, maka PG tegaklurus PS di P. >adi segiempat
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
27/38
PGCS adalah persegipanjang.
Aki#at Te!rea 4.)>
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at
kesejajaran %uclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah +9**
.
Bukti 2
Menurut Te!rema 2.+*: jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi
si&at kesejajaran %uclides maka ada sebuah persegipanjang. Sedangkan menurut
Te!rema 2.: jika ada sebuah persegipanjang maka setiap segitiga jumlah
sudutnya adalah +9**.
Dengan menggunakan prinsip sil!gisma dapat disimpulkan bah"a :
>ika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran
%uclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah +9**.
Sekarang, perhatikan implikasi dari si&at kesejajaran 4!bache)sky berikut.
Te!rea 4.))
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at
kesejajaran 4!bache)sky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari
+9**.
Bukti 2
Te!rema ini sesungguhnya sesuai dengan te!rema ' yang telah dibuktikan. >adi
bukti te!rema ini juga bisa menggunakan bukti te!rema tersebut.
Aki#at te!rea 4.))
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at
kesejajaran 4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9**.
6ukti :
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
28/38
Menurut Te!rema 2.++: Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan
sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka ada segitiga
yang jumlah sudutnya kurang dari +9**.
Menurut akibat ' Te!rema 2.3 : >ika ada sebuah segitiga yang jumlahnya
kurang dari +9** maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9**.
6erdasarkan prinsip sil!gisme dapat disimpulkan bah"a :
>ika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran
4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9**.
Te!rea 4.)5
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at
kesejajaran 4!bache)sky maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi
si&at kesejajaran 4!bache)sky, yang berarti ge!metrinya adalah ge!metri %uclides.
6ukti :
Andaikan Te!rema 2.+' salah. 6erarti ada satu garis dan satu titik yang
memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky.
Menurut akibat Te!rema 2.++, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang
memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya
kurang dari +9**.
Tetapi menurut akibat Te!rema 2.+*, jika ada sebuah garis dan sebuah titik
yang memenuhi si&at kesejajaran %uclides maka setiap segitiga jumlah
sudutnya adalah +9**.
Terjadi k!ntradiksi, maka pengandaian salah, berati te!rema 2.+' benar.
Aki#at ) te!rea 4.)5
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
29/38
Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at
kesejajaran 4!bache)sky maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi
si&at kesejajaran 4!bache)sky, yang berarti ge!metrinya adalah ge!metri
4!bache)sky.
Bukti 2
Misal diketahui garis l dan titik P memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky.
Misalkan l sebarang garis dan P sebarang titik yang tidak dapat memenuhi‟ ‟
si&at kesejajaran 4!bache)sky. 6erarti hal ini k!ntradiksi dengan te!rema 2.+'.
Aki#at 5 te!rea 4.)5
Setiap ge!metri netral tentu merupakan ge!metri %uclides atau ge!metri
4!bache)sky.
Aki#at 6 te!rea 4.)5
Suatu ge!metri netral merupakan ge!metri %uclides atau ge!metri 4!bache)sky,
yang berarti jumlah sudut segitiganya adalah sama dengan atau kurang dari +9**.
Bukti 2
Dalam ge!metri netral, misalkan ada sebuah seigita yang memiliki jumlah
sudut +9**. Maka ge!metri tersebut tidak mungkin merupakan ge!metri
4!bache)sky, dan !leh karena itu tentu merupakan ge!metri %uclides 7menurut
akibat ' te!rema 2.+';. 6egitu pula dalam kasus yang lain.
Aki#at 8 te!rea 4.)5
Suatu ge!metri netral yang memuat persegi panjang, tentu merupakan ge!metri
%uclides.
H. Pengenalan Ge!etri Elli%tik
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
30/38
$e!metri N!n-%uclides memuat $e!metri iperb!lik dan $e!metri
elliptik. Anda telah mempelajari $e!metri iperb!lik dari $auss, 6!lyai dan
4!bache)sky yang sering disebut dengan $e!metri 4!bache)sky, sedang $e!metri
%lliptik yang akan Anda pelajari terkenal dengan $e!metri Cieman..
6ernhard Ciemann 7+9'3 < +933; dari >erman dalam tahun +9(
membacakan disertasinya tentang penemuannya yang baru di =akultas =ilsa&at
$!ttingen. 0a mulai dengan asumsi : $aris-garis %uclides maupun dari $e!metri
iperb!lik. P!stulat esejajaran dari Ciemann ialah : Tidak ada garis(garis yang
sejajar dengan garis lain.
>adi dua garis selalu berp!t!ngan dan tidak ada dua garis sejajar. ntuk
mencari letak perbedaan utama te!ri Ciemann dengan te!ri %uclides, maka kitaingatkan bah"a garis tidak berhingga biasanya dipakai untuk membuktikan adanya
dua garis sejajar, yaitu suatu te!rema dalam ge!metri %uclides sebagai berikut.
Te!rea 4.)6
Dua garis tegaklurus pada satu garis yang sama adalah sejajar.
Diketahui : garis itu l dan m yang tegaklurus pada n
Akan dibutikan l dan m sejajar.
Bukti 2
l m
n
a b
c
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
31/38
n a b
cJ
Andaikan l dan m tidak sejajar, maka garis l dan m berp!t!ngan di K
Per"aaa" *#aa"
*diperpa";a" a e$e" b#e
dengan AC = CA‟
diperpa";a" daa#i.
Dilukis C B‟
da ii $e"e"a"1
ari
∆ * ≅ ∆ *, d,
∠ * = ∠ ABC‟ "r a"
berrep"de"i
>adi, ∠ ABC = 90‟0
= ∠ ABC, BC dan BC‟
ea#r pada *.
BC dan BC berimpi‟
$e#a#3
i # ii pada
a ari a"aada #aria" ea#r
ari i
>adi, AK dan 6K atau garis l dan m mempunyai titik K dan K yang berimpit.‟
Terdapat pertentangan dengan ketentuan, bah"a l dan m berlainan. >adi
pengandaian salah, berarti l dan m sejajar.
>ika p!stulat Ciemann harus berlaku, maka tentu ada yang salah dalam bukti
di atas yang menyebabkan hasil yang berbeda. iranya langkah ke-3 yang
menyebabkan itu. Dalam bukti ini %uclides secara diam-diam menggunakan prinsip
pemisahan
75separati!n principleB;, yaitu bah"a setiap garis membagi bidang dalam '
setengah bidang 7' daerah;, yang tidak mempunyai titik persekutuan. >adi dalam
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
32/38
langkah pertama telah dianggap, bah"a K dan K berlainan.‟
>ika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka K dan K dapat berimpit dan bukti‟
te!rema di atas kurang benar. >ika prinsip pemisahan tetap digunakan, K dan K‟
harus berlainan. !ntradiksi dalam langkah 3 dapat dihilangkan, jika kita
meninggalkan prinsip, bah"a dua titik menentukan l garis dan memungkinkan dua
garis berp!t!ngan pada dua titik. al ini menghasilkan te!ri baru.
Maka timbul ' kemungkinan :
+; setiap ' garis berp!t!ngan pada + titik dan tidak ada garis yang
memisahkan suatu bidang 7tidak menggunakan prinsip pemisahan;
'; setiap ' garis berp!t!ngan pada ' titik dan setiap garis memisahkan bidang
7menggunakan prinsip pemisahan;.
%uclides telah menggunakan prinsip, bah"a setiap ' garis berp!t!ngan pada +
titik dan setiap garis memisahkan suatu bidang 7menggunakan prinsip pemisahan;.
Maka kemungkinan pertama menghasilkan $e!metri 5Single ellipticB dan
kemungkinan kedua menghasilkan $e!metri 5d!uble ellipticB.
ata elliptik dididasarkan atas lasi&ikasi $e!metri Pr!yekti&. $e!metri
4!bache)sky disebut $e!metri iperb!lik, mengingat bah"a melalui + titik diluar
suatu garis dapat dibuat ' garis yang sejajar garis tersebut. $e!metri %uclides
disebut $e!metri Parab!lik, mengingat bah"a hanya ada + garis yang sejajar garis
tersebut dan $e!metri Ciemann disebut %lliptik karena tidak ada garis yang dapat
dibuat sejajar garis tersebut.
$e!metri Ciemann berguna sekali dalam Matematika dan =isika
Terapan 75applied Mathematics and PhysicsB; dan merupakan dasar matematik
dari te!ri relati)itas dari %instein.
ntuk dapat mudah memahami te!rema-te!rema berikut, maka sebagai m!del
dari ge!metri 5d!uble ellipticB ialah b!la dan dari $e!metri 5single ellipticB suatu
setengah b!la.
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
33/38
+. Dua garis berp!t!ngan pada ' titik setiap garis memisahkan bidang
menjadi ' setengah bidang.
'. Dua garis berp!t!ngan pada + titik garis tidak memisahkan bidang menjadi
' setengah bidang ' titik yang diametral dianggap sebagai + titik
enya!ian Geometri "#oub$e e$$i%tic& %a#a bo$a
'uc$i#es
ii ii pada b#a :
ari #i"ara" bear b#a :
bida" b#a :
e$e" br dari a #i"ara"
bear :
>ara a"ara2
pa";a" br erpe"dedari
ii#i"ara" bear : a"$e#a#i
eda ii i
Dapat dipahami, bah"a
urutan tidak berlaku
pada
$e!metri 5d!uble ellipticB, artinya A6KU dapat sama dengan 6KAU.
:da"ara 2 d pada
b#a(a"
aridibe"3
( #e da #i"ara"
bear)
?ra" d ra" d pada b#a
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
34/38
Dalam $e!metri %lliptic tetap berlaku, bah"a melalui satu titik pada suatu
garis hanya dapat dibuat + garis yang tegaklurus garis tersebut. Tetapi hal ini tidak
berlaku, jika titiknya di luar garis tersebut.
ntuk setiap garis l ada katub sedemikian, hingga semua garis melalui
tegaklurus pada + 7gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegaklurus
pada ekuat!r atau khatulisti"a;.
Si&at kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada suatu titik , yang disebut
kutup dari l sedemikian, hingga :
a; setiap segmen yang menghubungkan dengan suatu titik pada l tegak lurus
pada l.
b; berjarak sama dari setiap titik pada l
>arak sampai sebarang titik pada l disebut jarak p!lar. >arak p!lar suatu
kutub sampai garisnya adalah k!nstan, demikian pula panjang suatu garis.
Te!rea$te!rea "asar *ang #erlaku untuk Ge!etri Elli%ti/
Te!rea 4.)8
Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik.
Te!rea 4.):
Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berp!t!ngan pada titik yang disebut
kutup dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus
pada garis itu.
Te!rea 4.)1
Dalam sebarang segitiga A6K dengan ∠ K 8**, sudut A kurang dari sama dengan
atau lebih besar dari 8**, tergantung dari segmen 6K kurang dari, sama dengan atau
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
35/38
lebih besar dari jarak p!lar V.
Te!rea 4.)4
>umlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari +9**.
Te!rea 4.);
>umlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 13**.
Te!rea 4.)=
Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul.
Te!rea 4.5>
Dalam segiempat 4ambert A6KD dengan ∠ A ∠ 6 ∠ K 8**, maka sudut
keempat D tumpul.
Te!rea 4.5)
Tidak ada persegi dalam $e!metri %lliptic.
Te!rea 4.55
Dua segitiga yang sebangun adalah k!ngruen. Te!rema-te!rema, di atas tidak
ita buktikan disini, tetapi dapat kita yakini dengan menggunakan m!del.
Dalam ge!metri iperb!lik luas suatu segitiga adalah kelipatan dari
de&eknya. Maka dalam $e!metri %lliptik luas suatu segitiga adalah kelipatan
k!nstan dari ekses 75ecessB; nyata, yaitu :
∆ = µ (* + + 180) atau
∆ = µ (* + + π)
tergantung dari satuan-satuan yang dipakai.
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
36/38
BAB III
PENUTUP
Kesi%ulan
+. @e$eri AbaceB dapa di#"a" pada e$eri
"era# de"a" $e$a"da" baCa eiap eiia ;$#a
bear d"a ra" dari 1800.
'. Pada e$eri AbaceB a"a#a de"a" $e"eri$a
e$a p#a e$eri Dc#ide de"a" $e$ba"p#a ee;a;ara""a da" $e"a"i de"a" p#a
beri i"i !
ostu$at (ese!a!aran Lobachevsky
‘’Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut’’
1. ?" dapa $da $e$aa$i ere$aere$a beri,
$aa ebaai $de# dari e$eri Edb#e e##ipicF ia#a
b#a da" dari @e$eri Ei"#e e##ipicF a ee"a b#a.• -a ari berp"a" pada 2 iiG eiap ari
$e$iaa" bida" $e";adi 2 ee"a bida".
• -a ari berp"a" pada 1 ii ari ida
$e$iaa" bida" $e";adi 2 ee"a bida"G 2ii a" dia$era# dia"ap ebaai 1 ii
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
37/38
DAFTAR PUSTAKA
K!eter, . S. M. +889. )on(Euclidean Geometry. Washingt!n, D.K. TheMathematical Ass!ciati!n #& America.
$reeberg, Mar)in >ay. +881. Euclidean and )on(Euclidean Geometries. Ne"?!rk: W.. =reeman and K!mpany.
eedy, Mer)in 4. dkk.+832. %pl!ring $e!metri. Ne" ?!rk: !lt, Cinchart andWinst!n, 0nc.
M!eharti W. +893. Materi Pokok *istem(*istem Geometri. >akarta: anika
>akarta, ni)ersitas Terbuka.
Pren!"it, W. >!rdan, M. +83. +asic ,once"ts of Geometry. 6laisdell PublishingK!mpany: Waltham, Manssachusetts. T!r!nt!. 4!nd!n.
Cich, 6arnett. '**. Geometri. 7Terjemah 0ram armein, S.T.;: >akarta:
%rlangga
S!)a, Da"n 6. +888. -o to *olve /ord Problems in Geometry. Ne" ?!rk:Mc$ra"-ill.
-
8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid
38/38