MAKALAH MATEMATIKA

FUNGSI TRASENDEN, TEKNIK PENGINTEGRALAN, DAN INTEGRAL TAK WAJAR

Disusun Oleh:

Indah Fajar Yulida (1304310034)

Intan Purnama Sari (1304310016)

PROGRAM STUDI ILMU DAN TEKNOLOGI PANGAN

FAKULTAS PERTANIAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA

2014

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, karena atas berkat dan

limpahan rahmatnyalah maka kami bisa menyelesaikan sebuah karya tulis dengan tepat waktu.

Berikut ini penulis mempersembahkan sebuah makalah dengan judul “Fungsi trasenden,

Teknik Pengintegralan, dan Integral tak Wajar”, yang menurut kami dapat memberikan manfaat

yang besar bagi kita untuk mempelajari matematika.

Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meninta maaf dan memohon pemakluman

bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang kami buat kurang tepat atau

menyinggung perasaan pembaca.

Dengan ini kami mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan

semoga Allah SWT memberkahi makalah ini sehingga dapat memberikan manfaat.

Medan, 11 Maret 2014

Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ........................................................................................................................2

Daftar Isi .................................................................................................................................3

Bab I Pendahuluan ..................................................................................................................4

A. Latar Belakang ............................................................................................................4

B. Rumusan Masalah .......................................................................................................5

C. Tujuan Penelitian.........................................................................................................6

Bab II Pembahasan..................................................................................................................7

A. Menyelesaikan Integral dengan Teknik Subtitusi, Parsial, DAN Fungsi Rasional.....8

B. Cara Lain menyelesaikan Soal Integral.......................................................................11

C. Bentuk Integral Tak Wajar .........................................................................................12

D. Fungsi Trasenden ........................................................................................................20

Bab III Penutup .......................................................................................................................22

A. Kesimpulan..................................................................................................................22

B. Saran ...........................................................................................................................22

Daftar Pustaka ........................................................................................................................23

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Fungsi trasenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Beberapa fungsi trasenden antara lain:

a. Fungsi eksponensial, contohnya : f(x) = 𝑎𝑥 ; dimana a ≠ 0,1

b. Fungsi logaritma, contohnya : f (x) = xloga ; dimana a0,1

c. Fungsi trigonometri, contohnya : f (x) = sin x

d. Fungsi siklometri, merupakan invers dari fungsi trigonometri, contohnya : f (x) = arc sin

x.

e. Fungsi hiperbolik, contohnya : f (x) = sin h x

Integral tak wajaR adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati

bilangan riil tertentu, atau ∞ −∞ atau, pada beberapa kasus, keduanya.

Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk

atau dalam bentuk

dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, §10.23). Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau pada beberapa titik seperti itu.

Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam

arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah tak hingga.

Teknik pengintegralan terdiri dari pegintegralan dengan subtitusi, pengintegralan parsial, dan pengintegralan fungsi rasional.

Untuk dapat menggunakan metode subtitusi dengan hasil yang memuaskan, kita harus

mengetahui integral-integral sebanyak mungkin.

Andaikan Anda menghadapi suatu integral tak tentu. Apabila ini bentuk baku, segera dapatlah ditulis hasilnya. Apabila tidak, carilah sebuah subtitusi yang akan mengubahnya menjadi sutu

bentuk baku. Apabila pada subtitusi yang pertama, kita tidak berhasil memperoleh bentuk baku, kita mencoba dengan cara lain. Apabila kita berlatih cukup lama, kita akan dapat menemukan

penggantian yang tepat. Metode subtitusi ini didasarkan pada:

∫ f (x) dx = ∫ h (u) du = H (u) + C = H (g(x)) + C

Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan ganda, yang lebih dikenal dengan pengintegralan parsial dapat memberikan hasil. Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasilkali du afungsi. Andaikan u= u

(x) dan v = v (x). Maka

𝐷𝑥 [u(x)v(x)] = u(x)v’(x) + v (x)u’(x)

Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasilbagi dua fungsi suku banyak (polinom).

Misalnya:

f(x) = 2

(𝑥+1)3 g(x) =

2𝑥+2

𝑥2−4𝑥+8 h(x) =

𝑥5+2𝑥3−𝑥+1

𝑥3+5𝑥

Fungsi f dan g dinamakan fungsi rasional sejati oleh karena itu derajat pembilang kurang dari derajat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku

banyak dan fungsi rasional sejati.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalahnya yaitu:

a. Bagaimana cara menyelesaikan soal integral dengan teknik subtitusi, parsial, dan fungsi rasional?

b. Apakah ada teknik pengintegralan yang lain yang dapat digunakan? c. Bagaimana bentuk integral tak wajar? d. Penjelasan mengenai fungsi trasenden.

C. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitiannya yaitu:

1. Mengetahui teknik-teknik pengintegralan dalam kalkulus.

2. Mengetahui dan memahami teknik substitusi dalam perhitungan integral tak tentu dan integral

tentu.

3. Mengetahui dan memahami teknik pengintegralan parsial dalam menyelesaikan bentuk-bentuk integral.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Menyelesaikan Soal Integral dengan Teknik Subtitusi, Parsial, dan Fungsi Rasional

a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu

Teorema :

Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka

f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Contoh :

Hitunglah dxx

xsin

.

Jawab : Misalkan u = x = x1/2 sehingga du = 2/1

2

1 x dx maka

dxx

xsin

= 2 dxxx

2/1

2

1sin = 2 udusin = 2cosu + c = 2cos x + c

b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.

Teorema :

Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka

duufdxxgxgfbg

ag

b

a

)(

)(

)()('))((

Contoh :

Hitung

1

02 )62(

1dx

xx

x

Jawab :

Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u =

jika x = 1, jadi

1

02 )62(

1dx

xx

x =

1

02 )62(

)1(2

2

1dx

xx

x

= )6ln9(ln2

1ln

2

1

2

1 96

9

6

uu

du =

2

3ln

2

1

Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik

subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana

dari integral mula-mula.

vduuvudv

Contoh :

1. dxxe x

Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex

dxxe x = dxexe xx

= xex –ex + c

Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

)(

)()(

xQ

xPxF , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0

Fungsi Rasional dibedakan atas :

a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang

lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.

b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada

pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.

Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan

Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi

rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi

rasional sejati yang lebih sederhana

Contoh :

1

3

1

2

1

15

2

xxx

x

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda

Contoh :

Tentukan

dx

xxx

x

32

35

23

Jawab :

31)3)(1(

35

32

35

23

x

C

x

B

x

A

xxx

x

xxx

x

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh

: A = -1 , B = 21 , dan C = 2

3 sehingga

dx

xxx

x

32

35

23 =

dx

xdx

xx

dx

3

23

1

21

= - ln cxxx 3ln2

31ln

2

1

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang

Contoh :

Tentukan

dxx

x

2)3(

Jawab :

22 )3(3)3(

x

B

x

A

x

x maka x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan

diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga

cx

xdxx

dxx

dxx

x

3

33ln

)3(

3

3

1

)3( 22

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor kbax )( dalam penyebut, maka ada sebanyak k

suku penjabarannya, yaitu :

k

k

bax

A

bax

A

bax

A

)(...

)( 2

21

c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda

Contoh :

Tentukan

dx

xx

xx

)1)(14(

136

2

2

Jawab :

114)1)(14(

136

22

2

x

CBx

x

A

xx

xx

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap

sukunya.

B. Cara Lain Menyelesaikan Soal Integral

a. Fungsi Integral yang memuat bentuk n bax

Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n bax

Contoh : Hitung dxxx3 4

Jawab : Misalkan u = dxxx3 4 maka 3u = x – 4 dan 3 2u du = dx

Shg dxxx3 4 = cxxduuuu 34

73

23 )4()4(7

33.)4(

b. Integral yang memuat bentuk 222222 ,, axxaxa

Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.

Contoh :

1. Tentukan

dxx

x

2

24Jawab :

Jawab :

Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan 24 x = 2 cos t , shg

dxx

x

2

24 =

tdtctgdttt

t 2

2)cos2(

sin4

cos2 = - ctg t – t + c

= cx

x

x

2sin

4 12

C. Bentuk Integral tak Wajar

Bentuk b

a

dxxf )( disebut INTEGRAL TIDAK WAJAR jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di

[a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.

Pada kasus ini teorema dasar kalkulus b

a

dxxf )( = F(b) – F(a) tidak berlaku lagi.

Contoh

1)

4

04 x

dx, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)

2)

2

1 1x

dx, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]

3)

4

0 3

2

)2( x

dx, f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2) (2,4]

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1)

0

2 4x

dx, integran f(x) memuat batas atas di x =

2)

0

2 dxe x , integran f(x) memuat batas bawah di x = -

3)

241 x

dx, integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa bawah di

x = -

Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam

batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran

f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ).

Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran

tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu

integran harus ditunjukkan kontinu di x = b - ( 0 ), sehingga

b

a

dxxf0

lim)(

b

a

dxxf )(

Karena batas atas x = b - ( x b ), maka

maka

b

a bt

dxxf lim)( t

a

dxxf )(

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1.

4

00

4

0 4lim

4 x

dx

x

dx, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga

=

4

00

42lim x

= -2 0

lim

)04()4(4

= -2 ( 4lim0

)

= -2(0-2)

= 4

Cara lain

t

t x

dx

x

dx

04

4

0 4lim

4

= tt

x 04

42lim

= 04242lim4

tt

= -2(0)+2(2)

= 4

2.

2

224 x

dx, f(x) =

24

1

x fungsi genap tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, maka

2

224 x

dx2

2

024 x

dx

= 2

2

024 x

dx

= 2

2

00 2

arcsinx

Lim

= 2 ( )02

=

3.

4

0 2

3

)4( x

dx

0Lim

4

04

2

x, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 sehingga diperoleh

4

0 2

3

)4( x

dx

0lim

04

2

)4(4

2

= tidak berarti, karena mempunyai bentuk 0

2

b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu

integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + ( 0 ), sehingga

b

a

dxxf0

lim)(

b

a

dxxf

)(

Karena batas bawah x = a + ( x a ) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

b

a at

dxxf lim)( b

t

dxxf )(

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1.

4

3 3

3

x

dx

4

3 3

3lim

tt x

dx

= 43

3)2(3limt

tx

= 36346lim3

tt

= 6(1) – 6(0)

= 6

1.

1

0

1

00

lim

x

dx

x

dx ,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh:

1

0

1

00

2lim

x

x

dx

=

0212lim0

= 2 – 0

= 2

2. 1

0

0

1

0

lnlimln

xxxxdx , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0

= )0()0ln()0()11ln1(lim0

= (1.0-1) –(0-0)

= -1

c. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c

Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu

integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + dan x = c - ( 0 ), sehingga

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()(

= 0

lim

c

a

dxxf )( +

b

c

xfLim

)(

0

Dapat juga dinyatakan dengan

b

a bt

dxxf lim)( t

a

dxxf )( + at

lim b

t

dxxf )(

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1.

4

0

3 1x

dx, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh

1

0

4

1

33 11 x

dxdx

x

dx, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:

4

1

30

1

0

30 1lim

1lim

x

dx

x

dx

=

4

1

3

2

0

1

0

3

2

0)1(

2

3lim)1(

2

3lim

xx

= 2

3)10()1)1(lim

2

33

2

3

2

0

3

2

3

2

0)1)1(()14(lim

= )91(2

3 3

2.

8

1

3

1

,dxx f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh

dxxdxx

8

0

3

10

1

3

1

= dxxdxx

8

0

3

1

0

0

1

3

1

0limlim

=

8

0

3

2

0

0

1

3

2

0 2

3lim

2

3lim

xx

= - 62

3

= 2

9

3.

1

1

4x

dx, f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:

1

1

4x

dx =

0

1

4x

dx+

1

0

4x

dx

=

1

0

4

0

1

40

limlim

x

dx

x

dx

=

8

0

30

0

1

30 3

1lim

3

1lim

xx

= tidak berarti karena memuat bentuk 0

1

D. Fungsi Trasenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar. Yang termasuk fungsi

transenden adalah fungsi eksponen, fungsi logaritma, trigonometri, fungsi siklometri (fungsi

invers trigonomerti), dan fungsi hiperbolik.

a. Fungsi eksponen

Fungsi eksponen adalah fungsi yang variabel bebasnya menjadi pangkat dari suatu bilangan.

Fungi eksponen dinyatan dalam bentuk umumy = f(x) = ax dengan a≠ 0dan a R sebagai

ilustrasi fungsi y ≡ f(x)=2x,g(x)=10xdan sebagainya.

b. Fungsi logaritme.

Fungsi logaritme dengan bilangan dasar a0 dan a ≠ 1 adalah invers dari fungsi eksponen dari

bilangan dasar a. fungsi eksponen y = g(x) ax dengan ax, inversnya adalah fungsi

logaritmenya y = f(x) = 2log x. g(x) =log x, dan sebagainya.

c. Fungsi trigonometri.

Fungsi trigonometri antara lain meliputi fungsi-fungsiy = sin x, y = cosx,y = tan x,dan

sebagainya, dengan x menyatakan besar suatu sudut (rdian atau derajat) dan ymenyatakan nilai

fungsi.

d. Fungsi siklometri

Fungsai siklometri adalah invers dari fungsi trigonometri, seperti y = arc sin x, y=arc cos x,

y = arc tan x, dan sebagainya.

Catatan:

dapat ditulis = arc sin

e. Fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik antara lain meliputi y =sinh Dan sebagainya.

Catatan:

e= 2,71828

Contoh soal:

Tentukan 𝐷𝑥 ln √𝑥 .

Jawab:

Andaikan u = √𝑥 = 𝑥1/2. Maka:

𝐷𝑥 ln √𝑥= 1

𝑥1/2.1

2𝑥−1/2=

1

2𝑥

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Fungsi trasenden, teknik pengintegralan, dan integral memiliki keterkaitan antar satu sama lain.

Hal ini karena terdapat suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional). Dengan menggunakan teknik pengintegralan, kita dapat

menemukan jawaban soal-soal integral tak wajar.

B. Saran

Untuk memahami ketiga materi matematika tersebut, diperlukan dasar-dasar matematika yang kuat. Karena turunan dan integral yang terdapat dalam materi-materi ini termasuk ke dalam

kalkulus.

DAFTAR PUSTAKA

http://aguskarmana.blogspot.com

Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg.1994.Kalkulus dan Geometri Analitis.Jakarta: Erlangga