DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Banyaknya persoalan kombinasi yang dapat dirumuskan menjadi bentuk

distribusi hipergeometrik. Misalkan kita mempunyai suatu populasi sebanyak N

yang terdiri atas dua jenis yaitu jenis merah sebanyak N1 dan sisanya jenis putih

sebanyak N-N1. Pada populasi itu kita ambil sampel secara acak sebanyak n

tanpa pengembalian. Tentu saja sampel yang diperoleh juga terdiri atas dua jenis

yaitu jenis merah dan jenis putih.

N1= Jenis merah

k

N-N1= Jenis Putih

n-K

Keterangan:

N= Populasi

n= sampel

Misalkan X=k menyatakan banyaknya jenis merah yang terambil, maka dalam

sampel sebanyak n itu akan terdapat sampel jenis merah sebanyak k dan terdapat

sampel jenis putih sebanyak n-k, dimana k= 0,1,2 3,…..n. Dengan demikian

banyaknya sampel yang kita peroleh adalah kombinasi N yang diambil n, yaitu

(Nn ), banyak sampel jenis merah yang terambil adalah kombinasi N1 yang diambil

k, yaitu (N 1k ), dan banyaknya sampel jenis putih yang diperoleh adalah kombinasi

N=N1 yang diambil (n-k), yaitu (N−N 1n−k ). Maka banyaknya kombinasi semua

sampel adalah (N 1k )(N−N 1

n−k ) sehingga probabilitas untuk memperoleh sampel

jenis merah sebanyak X= k adalah:

P(X = k) = kombinasi sampel jenis merah x kombinasi sampel jenis putih

Kombinasi seluruh sampel

Boediono. DR. 2008. Statitika dan Probabilitas.Bandung: PT Remaja

RosdakaryaOffest

Jenis penggunaan hipergeometris sangat mirip dengan jenissebaran

binomial. Kita tertarik pada perhitungan probabilitas untuk jumlah pengamatan

yang jatuh kedalam kategori khusus. Penerapan untuk sebaran hipergeometrik

ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering digunakan dalam penarikan

contoh penerimaan, pengujian elektronika, jaminan mutu. Jelasnya, dalam bidang

ini pengujian dilakukan dengan mengorbankan barang yang sedang diuji. Dengan

kata lain barang tersebut dihancurkan sehingga tidak dapat dikembalikan lagi

dalam contoh itu. Dengan demikian diperlukan penarikan contoh tanpa

pengembalian.

Secara umum, kita tertarik pada probabilitas pemilihan x sukses dari k

barang yang dilabeli sukses dan n – x kegagalan dari N – k barang yang diberi

label gagal bila suatu contoh acak dengan ukuran n dipilih dari N barang. Hal ini

dikenal sebagai percobaan hipergeometri, yaitu percobaan yang mempunyai dua

sifat sebagai berikut:

1. Sebuah contoh acak dengan ukuran n dipilih tanpa pengembalian dari N

barang.

2. k dari N barang diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan

gagal.

Jumlah X sukses dari suatu percobaan hipergeometri disebut peubah acak

hipergeometri. Oleh karena itu, sebaran probabilitas dari peubah hipergeometri

disebut sebaran hipergeometri dan nilai-nilainya akan ditunukan ole h(x;N, n, k),

karena nilai – nilai tersebut tergantung pada jumlah k sukses didalam gugus N

dari mana kita memilih n barang.

Untuk mendapatkan rumus untuk h(x; N, n, k). jumlah total contoh

berukuran n yang dipilih dari N barang adalah (Nn ) . contoh – contoh ini

diasumsikan berkemungkinan sama. Ada (kx ) cara pemilihan sukses dari k yang

ada dan untuk setiap cara ini kita dapat memilih n – x kegagalan dalam (N−xn−x )

cara. Sehingga jumlah total contoh yang dapat diambil dari antara (Nn ) contoh

yang mungkin diberikan oleh (kx )(N−k

n−x ). Sehingga kita mempunyai definisi

sebagai berikut.

Sebaran probabilitas dari peibubah acak hipergeometri X, jumlah sukses

dalam sebuah contoh acak berukuran n yang dipilih dari N barang dimana k diberi

label sukses dan N – k diberi label gagal adalah:

h (x; N, n, k) =(kx )(N−k

n−x )(N

n )(Walpole, Ronald E. 2000)

Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian

tetap atau konstan atau antar-kejadian saling lepas.

Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering

terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak

konstan.

Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda

adalah Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergiometrik Dipergunakan untuk memecahkan masalah

penarikan sampel tanpa pengembalian

• Ada n benda

• k benda diberi nama “sukses”

• Sisanya n-k benda gagal. Dicari peluang memilih x sukses dari sebanyak k

yang tersedia , bila sampel acak ukuran n diambil dari N benda.

Percobaan hipergeometrik memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

sebuah pengambilan acak dengan ukuran n dipilih tanpa pengembalian dari N

obyek k dari N obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k

diklasifikasikan sebagai gagal.

Sebaran probabilitas dari variabel acak hipergeometrik X, jumlah sukses dalam

sebuah pengambilan acak berukuran n yang dipilih dari N obyek dimana k obyek

sebagai sukses dan N – k obyek sebagai gagal diberikan oleh:

h ( x ; N , n , k )=(kx )(N−k

n−x )(N

n ) x = 0,1,2,...,n

( Ronald E. Walpole,dkk. 2000 hal.189)

Suku pembagi (denominator) menyatakan banyak kombinasi yg terjadi jika

dari N obyek diambil n tiap kali.

Faktor pertama suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya

kombinasi dari obyek berjenis “sukses” yang berjumlah k jika tiap kali

diambil sebanyak x buah.

Faktor kedua suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi

dari obyek berjenis “gagal” sebanyak N-k jika tiap kali diambil sebanyak

(n-x) buah.

beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi hipergeometrik

Mean (Nilai Harapan):

Varians

Kemencengan (skewness)

Keruncingan (kurtosis)

Dimana M = k

Contoh soal :

1. Sebuah komisi dengan anggota 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 ahli

kimia dan 5 fisikawan. Carilah sebaran probabilitas untuk jumlah ahli

kimia dalam komisi tersebut

Penyelesaian:

Misalkan peubah acak X sebagai jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut. Kedua

sifat percobaan hipergeometri tersebut terpenuhi. Sehingga :

P ( X=0 )=h (0,8,5,3 )=(30)(55)(85)

=

3 !0 ! (3−0 )!

= 3 !1 (3 ) !

x5 !

5 ! (5−5 )!8!

5 ! (8−5 ) != 8 !

5! (3 )!= 8 x7 x 6 x5 !

5 ! (3 x2 x1 ) !

¿ 156

=0,018

P ( X=0 )=h (0,8,5,3 )=(31)(5

4)(85)

=

3!0 ! (3−1 )!

= 3 !1 (2 ) !

x5 !

5 ! (5−4 )!8 !

5 ! (8−5 )!= 8 !

5 ! (3 ) != 8 x7 x 6 x5 !

5 ! (3 x2 x1 ) !

¿ 1556

=0,27

P ( X=0 )=h (0,8,5,3 )=(32)(5

4)(85)

=

3 !0 ! (3−2 )!

= 3!1 (1 )!

x5 !

5 ! (5−3 ) !8 !

5 ! (8−5 )!= 8 !

5 ! (3 ) != 8 x7 x 6 x5 !

5 ! (3 x2 x1 ) !

¿ 3056

=0,53

( Ronald E. Walpole,dkk. 2000 hal.189 )

2. Tumpukan 40 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila

isinya tidak lebih dari 3 yang cacat. Prosedur penarikan contoh tumpukan

tersebut adalah memilih 5 komponen secara acak dan menolak tumpukan

tersebut bila ditemukan suatu cacat. Berapakah probabilitas bahwa tepat 1

cacat ditemukan dalam contoh itu bila ada 3 cacat dalam keseluruhan

tumpukan itu?

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n = 5, N = 4, k = 3 dan x = 1

kita dapatkan probabilitas perolehan satu cacat menjadi

3. Sebuah pabrik ban mobil melaporkan bahwa diantara pengiriman 5000

ban ke sebuah distributor lokal, 1000 ban sedikit cacat. Bila seseorang

membeli 10 ban ini secara acak dari distributor tersebut, berapakah

probabilitas bahwa tepat 3 diantaranya cacat?

Penyelesaian:

Karena N = 5000 relatif besar terhadap ukuran contoh n = 10, kita akan

memperkirakan probabilitas yang diinginkan dengan menggunakan sebaran

binomial. Probabilitas mendapatkan sebuah ban yang cacat adalah 0,2. Oleh sebab

itu probabilitas mendapatkan ban cacat adalah

Distribusi Hipergeometrik: Mean dan Variansi

Jika h(x;N,n,k) menyatakan distribusi hipergeometrik untuk variabel acak x,

yang menyatakan jumlah item yg “sukses” bilamana dari N item diambil sebanyak

n buah, dan sebenarnya sebanyak k item sukses dari N buah tersebut, maka rata-

rata x diberikan oleh:

Dan variansinya oleh:

Contoh soal :

μ=nkN

σ 2= N−nN−1

⋅n⋅kN

(1− kN

)

Paket yg terdiri dari 40 item, dinyatakan ditolak jikalau paket tsb mengandung

item cacat 3 atau lebih. Prosedur sampling yg diterapkan adalah dengan

mengambil sampel 5 item, dan memeriksanya jikalau ditemui yg cacat, maka

keseluruhan paket ditolak. (a) berapakah probabilitasnya bahwa jika ternyata

paket mengandung 3 item cacat, bisa ketemu 1 cacat di sampel 5 item yg dipilih?

(b) jika X menyatakan banyak item yg cacat, hitunglah mean dan variansi, (c)

pergunakan teorema Chebysev untuk menaksir interval μ ± 2σ.

Jawab :

a) Banyak item cacat terambil x=1, banyak total item N=40, sampel yg diambil

n=5, total item cacat di populasi k=3. Probabilitas 1 item cacat terambil dari 5 yg

diambil:

h(x=1;N=40,n=5,k=3) =

Jadi sampling plan ini tak baik, sebab hanya mampu mendeteksi cacat dengan

probabilitas 30%.

b) Nilai mean x yaitu rata-rata jumlah sampel cacat yg terambil dan variansinya

adalah:

h( x=1 ; N=40 , n=5 , k=2)=(31)(37

4 )(40

5 )=0 . 3011=30 %

σ 2= N−nN−1

n⋅ kN

(1− kN

)=40−540−1

5⋅ 340

(1− 340

)=0 . 3113μ=knN

=3∗ 540

=0 . 375

c) Standard deviasinya σ = 0.558, sehingga interval μ±2σ adalah:

0.375 ± 2(0.558) = -0.741 s/d 1.491. Teorema Chebysev menyatakan

terdapat probabilitas 75% dari sampel 5 yg diambil tersebut akan mengandung

jumlah item yg cacat sebanyak -0.741 dan 1.491. Jadi berarti 3 dari 4 kesempatan,

dari 5 buah sampel item yg diambil mengandung komponen yg cacat kurang dari

2.

Distribusi Hipergeometrik sangat serupa dengan distribusi binomial,

Persamaannya:

Keduanya menyatakan probabilitas sejumlah tertentu percobaan masuk

dalam kategori tertentu.

Perbedaannya:

Binomial mengharuskan ketidakbergantungan dari satu percobaan (trial) ke

percobaan berikutnya.

Jadi sampling harus dilakukan dengan dikembalikan (replaced)

Hipergeometrik tidak mengharuskan ketidakbergantungan, jadi sampling

dilakukan tanpa mengembalikan outcome yg sudah keluar.

Jikalau ukuran sampel diambil n jauh lebih kecil dari ukuran populasinya N (n«N)

maka distribusi hipergeometrik akan sangat mirip dengan distribusi binomial

dengan:

k/N memainkan peranan probabilitas “sukses” binomial p, sehingga mean

dan variansinya mengikuti distribusi binomial yaitu:

Sebagai pedoman praktis, seringkali dipergunakan jikalau n/N < 5% maka

dipergunakan distribusi binomial sebagai pengganti distribusi hipergeometrik.

Setiap percobaan statistik keluaran yang telah dihasilkan obyeknya selalu

dikembalikan, sehingga probabilitas setiap percobaan peluang seluruh obyek

memiliki probabilitas yang sama. Dalam pengujian kualitas suatu produksi, maka

obyek yang diuji tidak akan diikutkan lagi dalam pengujian selanjutnya, dapat

dikatakan obyek tersebut tidak dikembalikan. Probabilitas kejadian suatu obyek

dengan tanpa dikembalikan disebut sebagai distribusi hipergeometik.

Contoh soal :

Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distributor

sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10 ban dari

distributor secara acak saja. Berapa probabilitasnya bahwa ada 3 buah ban yg

warnanya sedikit pudar?

Jawab: Populasinya N=5000, ukuran sampelnya n=10 (n/N < 5%), jadi bisa

dipakai distribusi binomial saja, dengan probabilitas warna sedikit pudar p=k/N =

1000/5000 = 0.2, dan tidak pudar q=1-p=0.8. Jumlah sampel n=10, banyak yg

pudar x=3, berarti probabilitasnya :

P(x=3;n=10,p=0.2)= B(r≤3;n=10,p=0.2)-B(r≤2;n=10,p=0.2)

= 0.8791 -0.6778 = 0.2013 = 20%

μ=knN

=n∗p σ 2=1∗n∗p∗q=nkN

(1− kN

)

Periksalah, jika dipergunkan distribusi hipergeometrik hasilnya=0.2015

DAFTAR PUSTAKA

Boediono. DR. 2008. Statitika dan Probabilitas.Bandung: PT Remaja

RosdakaryaOffest

Walpole, Ronald E, dkk. 2000. Probabilitas dan Statistika. Jakarta:

PT Prenhallindo