makalah metode secant

14
METODE KOMPUTASI NUMERIK “METODE SECANT” Disusun Oleh : Mohammad Muchlis Prawira D42113008 TEKNIK INFORMATIKA JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS HASANUDDIN 2014/2015

Upload: dstreet-mohammad-muchlis-prawira

Post on 26-Sep-2015

1.756 views

Category:

Documents


430 download

DESCRIPTION

Mohammad Muchlis Prawira

TRANSCRIPT

  • METODE KOMPUTASI NUMERIK

    METODE SECANT

    Disusun Oleh :

    Mohammad Muchlis Prawira

    D42113008

    TEKNIK INFORMATIKA

    JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

    FAKULTAS TEKNIK

    UNIVERSITAS HASANUDDIN

    2014/2015

  • KATA PENGANTAR

    Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah mencurahkan rahmat dan

    karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah Metode Secant

    sesuai dengan batas waktu yang telah ditetapkan.

    Tidak lupa kami mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah

    membantu dan membimbing kami, terutama Dosen Pembimbing Mata Kuliah Metode

    Komputasi Numerik, Orang tua, serta teman-teman yang selalu memberikan dukungan moril

    maupun material dalam menyelesaikan penyusunan Makalah ini. Penyusunan Makalah ini

    tidak akan berjalan dengan lancar dan tidak terlaksana dengan baik, tanpa bantuan dan

    bimbingan dari semua pihak. Kami menyadari bahwa di dalam penyusunan Makalah ini masih

    banyak kekurangannya, oleh sebab itu kami mohon kritik dan saran dari pembaca yang bersifat

    membangun.

    Demikianlah yang dapat kami sampaikan, atas perhatiannya kami ucapkan terima

    kasih.

    Sungguminasa, 19 Februari 2015

    Penulis

  • DAFTAR ISI

    KATA PENGANTAR

    DAFTAR ISI

    BAB I PENDAHULUAN

    1.1.Latar Belakang

    1.2.Tujuan

    1.3.Manfaat

    BAB II PEMBAHASAN

    2.1. Pengertian

    2.2. Algoritma Metode Secant

    2.3. Contoh Soal dan Pembahasan

    2.4. Implementasi Program dalam Bahasa C ++

    BAB III PENUTUP

    3.1. Kesimpulan

    3.2. Saran

    DAFTAR PUSTAKA

  • BAB I

    PENDAHULUAN

    1.1.Latar Belakang

    Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah

    matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani

    masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk

    memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar,

    dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial. Masalah yang sering sulit

    atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan

    metode numerik.

    Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x)

    harus memiliki turunan f'(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak

    semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari

    yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih

    dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien

    garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)).

    1.2.Tujuan

    Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah

    1. Untuk mengetahui tentang metode secant

    2. Untuk mengetahui algoritma metode secant

    3. Untuk mengetahui implementasi metode secant dalam bahasa pemrograman

    1.3.Manfaat

    Dengan adanya makalah ini dapat menambah wawasan mahasiswa mengenai metode

    secant, serta menambah referensi mahasiswa / pelajar tentang metode secant.

    BAB II

    PEMBAHASAN

  • 2.1. Pengertian

    Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson

    dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus

    yang melalui satu titik.

    Dimana m diperoleh dari:

    Bila y = F(x), ny dan xn diketahui maka titik ke n+1 adalah :

    Bila titik xn+1 dianggap akar persamaan maka :

    yn+1 = 0

    sehingga diperoleh :

    atau :

    Persamaan ini yang menjadi dasar pada proses pendekatan dimana nilai pendekatannya

    adalah :

    Sehingga untuk menggunakan metode secant ini diperlukan dua titik pendekatan x1. Kedua

    titik pendekatan ini diambil pada titik-titik yang dekat agar konvergensinya dapat dijamin.

    Prosedur Metode Secant :

    Ambil dua titik awal, misal x0 dan x1. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan

    alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x2 menggunakan rumus diatas. Kemudian

    pada iterasi selanjutnya ambil x1 dan x2 sebagai titik awal dan hitung x3. Kemudian ambil x2

    dan x3 sebagai titik awal dan hitung x4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau

    sampai mencapai error yang cukup kecil.

  • 2.2. Algoritma Metode Secant :

    1. Definisikan fungsi F(x)

    2. Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)

    3. Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1,

    sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya

    adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.

    4. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1

    5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)| e

    hitung yi+1 = F(xi+1)

    6. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

    2.3. Contoh Soal dan Pembahasan

    Contoh Soal 1 :

    Selesaikan persamaan : x2 (x + 1)e-x = 0

    Untuk dapat menyelesaikan persamaan ini terlebih dahulu digambarkan grafik atau

    digunakan metode tabel untuk mengetahui range atau 2 nilai pendekatan awal yang baik.

    Gambar 3.9. Fungsi y=x2 - (x+1).e-x untuk range [-1,1]

  • ambil x0 = 0,8 dan x1 = 0,9 maka dapat dihitung

    Iterasi Metode Secant adalah sebagai berikut :

    Iterasi Metode Secant adalah sebagai berikut :

    Iterasi 1 : = 881815,0

    y2 = 00153,0

    Iterasi 2 : =882528,0

    y3 = 1,3.10-5

    Iterasi 3 : = 882534,0

    y4 = 4,91.10-9

    Diperoleh akar x = 0,882534

    Contoh Soal 2:

    Tentukan salah satu akar dari 4x3 15x2 + 17x 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai

    9 iterasi, Diana diketahui x0 = -1 dan x1 = 3.

    Penyelesaian :

    f(x) = 4x3 15x2 + 17x 6

    iterasi 1 :

    ambil x0 = -1 dan x1 = 3

    f(-1) = 4(-1)3 15(-1)2 + 17(-1) 6 = -42

    f(3) = 4(3)3 15(3)2 + 17(3) 6 = 18

  • x2 = (3) = 1.8

    iterasi 2 :

    ambil x1 = 3 dan x2 = 1.8

    f(1.8) = 4(1.8)3 15(1.8)2 + 17(1.8) 6 = -0.672

    x3 = (1.8) = 1.84319

    iterasi 3 :

    ambil x2 = 1.8 dan x3 = 1.84319

    f(1.84319) = 4(1.84319)3 15(1.84319)2 + 17(1.84319) 6 = -0.57817

    x4 = (1.84319) = 2.10932

    iterasi 4 :

    ambil x3 = 1.84319 dan x4 = 2.10932

    f(2.10932) = 4(2.10932)3 15(2.10932)2 + 17(2.10932) 6 = 0.65939

    x5 = (2.10932) = 1.96752

    iterasi 5 :

    ambil x4 = 2.10932 dan x5 = 1.96752

    f(1.96752) = 4(1.96752)3 15(1.96752)2 + 17(1.96752) 6 = -0.15303

    x6 = (1.96752) = 1.99423

    iterasi 6 :

  • ambil x5 = 1.96752 dan x6 = 1.99423

    f(1.99423) = 4(1.99423)3 15(1.99423)2 + 17(1.99423) 6 = -0.02854

    x7 = (1.99423) = 2.00036

    iterasi 7 :

    ambil x6 = 1.99423 dan x7 = 2.00036

    f(2.00036) = 4(2.00036)3 15(2.00036)2 + 17(2.00036) 6 = 0.00178

    x8 = (2.00036) = 2.00000

    iterasi 8 :

    ambil x7 = 2.00036 dan x8 = 1.999996

    f(1.999996) = 4(1.999996)3 15(1.999996)2 + 17(1.999996) 6 = -0.0002

    x9 = (1.999996) = 2.0000

    iterasi 9 :

    ambil x8 = 1.999996 dan x9 = 2.00000

    f(2.00000) = 4(2.00000)3 15(2.00000)2 + 17(2.00000) 6 = 0.00000

    x10 = (2.00000) = 0.00000

    n xn-1 xn xn+1 f(xn-1) f(xn) f(xn+1)

    1

    2

    -1

    3

    3

    1.8

    1.8

    1.84319

    -42

    18

    18

    -0.672

    -0.672

    -0.57817

  • 3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    1.8

    1.84319

    2.10932

    1.96752

    1.99423

    2.00036

    2.00000

    1.84319

    2.10932

    1.96752

    1.99423

    2.00036

    2.00000

    2.00000

    2.10932

    1.96752

    1.99423

    2.00036

    2.00000

    2.00000

    2.00000

    -0.672

    -0.57817

    0.65939

    -0.15303

    -0.02854

    0.00178

    -0.00002

    -0.57817

    0.65939

    -0.15303

    -0.02854

    0.00178

    -0.00002

    0.00000

    0.65939

    -0.15303

    -0.02854

    0.00178

    -0.00002

    0.00000

    0.00000

    Jadi salah satu akar dari 4x3 15x2 + 17x 6 = 0 adalah 2

    2.4. Implementasi Program dalam bahasa C++

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    main()

    {

    int n, k, p, a, b, z;

    float koefisien[15];

    int pangkat[15];

    float x0, x1, x2, fx0, fx1, fx2;

    char lagi;

    atas:

    clrscr();

    cout

  • {cout

  • x2=x1-(fx1*(x1-x0)/(fx1-fx0));

    fx2=0;

    for (b=0; b

  • BAB III

    PENUTUP

    3.1. Kesimpulan

    Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari makalah ini adalah :

    1. Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana

    kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang

    melalui satu titik.

    2. Rumus umum yang digunakan dalam metode secant :

    3.2. Saran

    Penulis meminta kritik dan saran guna perbaikan dari makalah ini kedepannya.

  • DAFTAR PUSTAKA

    http://cttnkuliah117.wordpress.com/2010/04/01/metode-secant-sekan/

    http://aimprof08.wordpress.com/2012/09/01/metode-secant-secant-method/

    http://hs32tiuntan.blogspot.com/2013/01/metode-secant-dengan-c.html

    http://cttnkuliah117.wordpress.com/2010/04/01/metode-secant-sekan/http://aimprof08.wordpress.com/2012/09/01/metode-secant-secant-method/http://hs32tiuntan.blogspot.com/2013/01/metode-secant-dengan-c.html