makalah numerik
TRANSCRIPT
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR…………………………………………………………. i
DAFTAR ISI…………………………………………………………………… ii
BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………… 1
BAB II PEMBAHASAN………………………………………………………. 2
A. Sistem Persamaan Nirlanjar………………………………………………… 2
B. Metode Lelaran Titik Tetap…………………………………………………. 3
C. Metode Newton Raphson…………………………………………………… 11
BAB III PENUTUP……………………………………………………………. 15
A. Kesimpulan…………………………………………………………………. 15
B. Saran………………………………………………………………………… 16
Daftar Pustaka………………………………………………………………….. 17
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam permasalahan non-linier, terutama permasalahan
yang mempunyai hubungan fungsi eksponensial dalam
pembentukan polanya dapat dianalisis secara eksperimental
maupun teoritis. Salah satu bagian dari analisa teoritis adalah
dengan melakukan komputasi dengan metode numerik. Metode
numerik dalam komputasi akan sangat membatu dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang rumit
diselesaikan secara aritmatika. Metode numerik akan sangat
membantu setiap penyelesaian permasalahan apabila secara
matematis dapat dibentuk suatu pola hubungan antar
variabel/parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola
hubungan yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi.
Ada sejumlah metode numerik yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan non-linear. Dua diantaranya adalah
metode Newton-Raphson dan metode Titik Tetap.
Pendekatan kedua metode yang berbeda ini dalam
menyelesaikan persoalan yang sama, bisa dikomparasikan
terhadap solusi akhir yang diperoleh. Kesesuaian nilai yang didapat
dalam kedua metode ini, menunjukkan bahwa hasil perhitungan
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
yang diperoleh adalah tepat. Secara komputasi, disamping
ketepatan nilai akhir dari suatu metode juga akan
mempertimbangkan kecepatan iterasi dalam perolehan hasil akhir.
Kombinasi antara ketepatan dan kecepatan iterasi dalam metode
numerik merupakan hal yang penting dalam penyelesaian
permasalahan secara komputasi.
BAB II
PEMBAHASAN
A.Sistem Persamaan Tak Linier
Sampai kini, kita telah memutuskan perhatian kita pada
penentuan akar-akar satu persamaan tunggal. Suatu masalah
yang berkaitan adalah melokasikan akar-akar himpunan
persamaan taklinier,
f 1 (x1 , x2 ,….. , xn )=0
f 2 (x1 , x2 ,….. , xn )=0
. .
. .
. .
f n (x1 , x2 ,… .. , xn )=0
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
Penyelesaian sistem ini terdiri dari himpunan nilai-nilai x yang
secara simultat memberikan semua persamaan tersebut nilai
yang sama dengan nol.
Di bagian tiga, kita akan menyajikan metode-metode untuk
kasus dalam hal semua persamaan tersebut linear-yakni dapat
dinyatakan dalam bentuk umum
f ( x )=a1 x1+a2 x2+…+an xn - c = 0
Dengan c koefisien-koefisien a adalah konstanta. Persamaan-
persamaan aljabar dan trasenden yang tidak cocok dengan
bentuk ini disebut persamaan taklinear. Misalnya,
x2+ xy=5
Dan
y+2 xy❑=15
Adalah dua persamaan taklinear simultat dengan dua bilangan
anu, x dan y. Persamaan-persamaan itu dapat dinyatakan dalam
bentuk persamaan sebagai,
u ( x , y )= x2+xy−5=0
v ( x , y )= y+2xy❑−15=0
Jadi, penyelesaian akan berupa nilai-nilai x dan y yang membuat
fungsi u ( x , y ) dan v ( x , y ) sama dengan nol. Kebanyakan
pendekatan untuk penentuan penyelesaian yang demikian
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
merupakan perluasan dari metode-metode terbuka untuk
menyelesaikan persamaan tunggal. Dalam pasal ini kita akan
menyelidiki dua dari metode ini: iterasi satu titik dan Newton-
Raphson.
B.Metode Lelaran Titik Tetap (iterasi satu titik)
Pendekatn iterasi satu titik dapat dimodifikasi untuk
menyelesaikan dua persamaan linear yang simultan. Metode
leleran titik tetap atau iterasi satu titik dengan dua persamaan
memiliki dua prosedur lelaran yang pertama disebut dengan
lelaran jacobi
xr+1=g1 (xr , yr )
yr+1=g2 (xr , yr ) r = 0,1,2,….
kondisi berhentinya adalah |xr+1−xr|<ε dan|yr+1− yr|<ε. Kecepatan
konvergensi leleran titik tetap ini dapat ditingkatkan dengan
menggunakan lelaran seidel. Nilai xr+1 yang baru dihitung
langsung dipakai untuk menghitung yr+1. Jadi,
xr+1=g1 (xr , yr )
yr+1=g2 (xr+1 , yr ) r = 0,1,2,…
Pendekatan ini akan diilustrasikan dalam contoh berikut:
Iterasi satu titik untuk sistem tak linear
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
Pernyataan masalah : Dengan menggunakan satu titik untuk
menentukan akar-akar persamaan
u ( x , y )= x2+xy−5=0
v ( x , y )= y+2xy−15=0
Perhatikan bahwa sepasang akar yang benar adalah x=2 dan
y=3. Awali komputasinya dengan menebak x=1 dan y=2.
Penyelesaian : persamaan tersebut dapat dipecahkan
xr+1=5−xr
2
yr
Dan persamaan dapat dipecahkan untuk
yr+1=15−2xr yr❑
Pehatikan bahwa selanjutnya dalam contoh diatas kita akan
membuang tikalas (subskrip).
Berdasarkan tebakan awal, persamaan dapat dipakai untuk
menentukan nilai x yang baru:
x=5– (1)2
2=2
Hasil ini dan nilai y = 2 dapat disubtitusikan ke dalam persamaan
untuk menentukan nilai y yang baru:
y=15−(2 ) (2 )❑=11
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
Jadi, pendekatan tersebut kelihatannya divergen. Prilaku ini lebih
jelas lagi pada iterasi yang kedua
x=5– (2)2
11=0
y=15−2 (2 )(0)=15
Jelas pendekatannya semakin buruk.
Sekarang kita akan mengulangi komputasinya tetapi dengan
persamaan semula disusun dalam bentuk berbeda. Misalnya,
perumusan lain persamaan adalah:
x=√5−xy
Dan persamaan
y=15− y2x
x=√5−1 (2 )=1,73
y= 15−22(1,73)
=13,27
x=√5− (1,73 )(13,27)=imajiner
Karena pendekatannya semakin buruk maka kita ulang kembali
kumputasinya dengan persamaan yang berbeda. Misalnya
x= 5x+ y
Dan persamaan
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
y= 151+2 x
x= 51+2
=1.667
y= 151+2 (1.667 )
=3.461
x= 51.667+3.461
=0.975
y= 151+2(0.975)
=5.05
Jadi, pendekatan konvergen ke nilai-nilai sejati x = 0 dan y =6.
Contoh sebelum ini menggambarkan kekurangan yang paling
serius dari iterasi satu-titik sederhana yakni bahwa
kekonvergenan karap kali tergantung pada bagaimana
persamaan-persamaan itu dirumuskan. Tambahan pula,
sekalipun dalam situasi dimungkinkannya kekonvergenan, dapat
saja terjadi kedivergenan jika tebakan awal tidak cukup dekat ke
penyelesaian sejati. Dengan penalaran yang serupa seperti
diperagakan bahwa syarat yang perlu untuk kekonvergenan
adalah
|∂u∂ x|+|∂v∂ x|<1
Dan
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
|∂u∂ y|+|∂ v∂ y |<1
Kriteria ini demikian terbatas (restriktif) sehingga iterasi satu-titik
jarang sekali dipakai dalam praktek.
Adapun algoritma dari metode lelaran titik tetap atau iterasi satu
titik
1. Tentukan x0, y0, dan epsilon.
2. Masukkan persamaan x1 dan y1
3. Jika |xr+1−xr|<ε dan|yr+1− yr|<ε maka iterasi berhenti
4. Jika tidak maka kembali ke 2 dengan x1=x0 dan y1=y0;
5. Tarik akar
6. Selesai
Contoh perogramnya dalam matlab
clc;
clear;
x0=1;
y0=2;
epsilon=0.000001;
disp('Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar')
disp('f1(x,y)=x^2 + xy - 5');
disp('f2(x,y)=y + 2xy - 15');
disp('r x y |x(r+1)-x(r)| |y(r+1)-x\y(r)|');
for iterasi=1:100;
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
x=5/(x0+y0);
y=15/(1+2*x0);
fprintf('%3g %12.7f %12.7f %12.7f %12.7f\n', iterasi, x, y, abs(x-
x0),abs(y-y0));
if (abs(x-x0)<epsilon)&((y-y0)<epsilon);
break;
end;
x0=x;
y0=y;
end;
akar1=x;
akar2=y;
fprintf('Akar 1 adalah %10.7f\n',x);
fprintf('Akar 2 adalah %10.7f\n',y);
fprintf('Jumlah iterasi = %3g\n', iterasi);
dan hasilnya
Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar
f1(x,y)=x^2 + xy - 5
f2(x,y)=y + 2xy - 15
r x y |x(r+1)-x(r)| |y(r+1)-x\y(r)|
1 1.6666667 5.0000000 0.6666667 3.0000000
2 0.7500000 3.4615385 0.9166667 1.5384615
3 1.1872146 6.0000000 0.4372146 2.5384615
4 0.6956798 4.4451962 0.4915348 1.5548038
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
5 0.9725969 6.2725824 0.2769171 1.8273861
6 0.6901141 5.0930435 0.2824828 1.1795389
7 0.8645796 6.3019170 0.1744655 1.2088735
8 0.6976910 5.4961983 0.1668886 0.8057188
9 0.8072472 6.2620494 0.1095563 0.7658511
10 0.7072839 5.7372468 0.0999633 0.5248026
11 0.7758517 6.2122917 0.0685677 0.4750449
12 0.7154976 5.8784262 0.0603541 0.3338654
13 0.7582738 6.1703123 0.0427762 0.2918861
14 0.7216479 5.9605467 0.0366259 0.2097656
15 0.7482572 6.1392482 0.0266092 0.1787015
16 0.7259522 6.0083773 0.0223049 0.1308709
17 0.7424644 6.1176934 0.0165122 0.1093161
18 0.7288462 6.0363902 0.0136182 0.0813032
19 0.7390725 6.1032861 0.0102263 0.0668959
20 0.7307422 6.0529147 0.0083303 0.0503714
21 0.7370656 6.0938840 0.0063234 0.0409692
22 0.7319627 6.0627344 0.0051029 0.0311496
23 0.7358680 6.0878469 0.0039053 0.0251125
24 0.7327387 6.0686093 0.0031293 0.0192375
25 0.7351484 6.0840144 0.0024097 0.0154050
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
26 0.7332278 6.0721450 0.0019205 0.0118694
27 0.7347136 6.0816012 0.0014858 0.0094563
28 0.7335342 6.0742831 0.0011794 0.0073181
29 0.7344498 6.0800909 0.0009156 0.0058078
30 0.7337252 6.0755812 0.0007246 0.0045097
31 0.7342892 6.0791497 0.0005640 0.0035685
32 0.7338438 6.0763718 0.0004454 0.0027779
33 0.7341911 6.0785651 0.0003473 0.0021933
34 0.7339173 6.0768545 0.0002738 0.0017106
35 0.7341312 6.0782029 0.0002138 0.0013484
36 0.7339628 6.0771497 0.0001684 0.0010532
37 0.7340945 6.0779789 0.0001316 0.0008291
38 0.7339909 6.0773306 0.0001035 0.0006483
39 0.7340719 6.0778405 0.0000810 0.0005099
40 0.7340083 6.0774415 0.0000637 0.0003990
41 0.7340581 6.0777551 0.0000499 0.0003136
42 0.7340190 6.0775095 0.0000392 0.0002456
43 0.7340496 6.0777024 0.0000307 0.0001929
44 0.7340255 6.0775513 0.0000241 0.0001511
45 0.7340444 6.0776700 0.0000189 0.0001187
46 0.7340296 6.0775770 0.0000148 0.0000930
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
47 0.7340412 6.0776500 0.0000116 0.0000730
48 0.7340321 6.0775928 0.0000091 0.0000572
49 0.7340392 6.0776377 0.0000071 0.0000449
50 0.7340336 6.0776025 0.0000056 0.0000352
51 0.7340380 6.0776301 0.0000044 0.0000276
52 0.7340346 6.0776085 0.0000035 0.0000217
53 0.7340373 6.0776255 0.0000027 0.0000170
54 0.7340352 6.0776121 0.0000021 0.0000133
55 0.7340368 6.0776226 0.0000017 0.0000105
56 0.7340355 6.0776144 0.0000013 0.0000082
57 0.7340366 6.0776208 0.0000010 0.0000064
58 0.7340357 6.0776158 0.0000008 0.0000050
Akar 1 adalah 0.7340357
Akar 2 adalah 6.0776158
Jumlah iterasi = 58
C.Newton Raphson
Mari kembali kita ingat kembali bahwa metode Newton-
Raphson didasarkan pada pemakaian turunan (yakni kemiringan)
suatu fungsi untuk menaksir pemotongan dengan sumbu peubah
bebasnya-yakni akar. Taksiran ini didasarkan pada uraian deret
Taylor
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
f (xr+1 )=f (xr )+(xr+1−xr ) f ' (xr )
Dimana xr adalah tebakan awal pada akarnya dan xr+1 adalah titik
tempat garis singgung memotong sumbu x. pada perpotongan
ini, f (xr+1 ) yang didefinisikan sama dengan nol, dapat disusun
kembali untuk menghasilkan
f (xr+1 )=xr−f (xr )f ' (xr )
Yang merupakan bentuk persamaan tunggal dari Metode Newton
Raphson.
Bentuk persamaan majemuk diturunkan dalam gaya yang
identik. Namun, deret Taylor dengan peubah majemuk harus
dipakai dengan tujuan memperhitungkan kenyataan bahwa lebih
dari satu peubah bebas penyumbang penentuan akar tersebut.
Untuk kasus dua peubah, deret Taylor orde pertama dapat
dituliskan untuk masing-masing persamaan linear sebagai
ur+1=ur+(xr+1−xr )∂ur∂ x
+( yr+1− yr )∂ur∂ y
Dan
vr+1=vr+(xr+1−xr )∂ur∂ x
+( yr+1− yr )∂ur∂ y
Sama halnya seperti untuk versi persamaan tunggal, taksiran
akar berpandangan dengan titik-titik pada mana ur+1 dan vr+1 sama
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
dengan nol. Untuk situasi ini, persamaan dapat disusun ulang
untuk memberikan
∂ur∂xxr+1+
∂ur∂ y
=−ur+xr∂ur∂x
+ yr∂ur∂ y
∂ur∂xxr+1+
∂ur∂ y
=−vr+ xr∂vr∂ x
+ yr∂vr∂ y
Karena hampir semua yang dengan tikalas r diketahui
(berpandangan terhadap tebakan atau hamp[ir yang terakhir),
yang tidak diketahui adalah xr+1 dan yr+1. Jadi, persamaan berupa
himpunan dua persamaan linear dengan dua bilangan anu.
Akibatnya, dapat deterapkan manupukasi aljabar (misalnya
aturan Cramer) untuk memecahkan
xr+1=xr−ur∂vr∂ y
−vr∂ur∂ y
∂ur∂x
∂vr∂ y
−∂ur∂ y
∂ vr∂ x
yr+1= yr+ur∂vr∂ y
−vr∂ur∂ y
∂ur∂x
∂vr∂ y
−∂ur∂ y
∂vr∂x
Penyebut dari masing-masing persamaan ini secara formal diacu
sebagai determinan jacobi dari sistem tersebut.
Contoh pada persamaan
u ( x , y )= x2+xy−5=0
v ( x , y )= y+2xy−15=0
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
Jika persamaan ini dimasukkan dalam matlab maka
clc;
clear;
x0=1;
y0=2;
disp('Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar');
disp('f1(x,y)=x^2 + xy - 5');
disp('f2(x,y)=y + 2xy - 15');
disp('iterasi akar1 akar2');
for iterasi=1:100;
x1=x0-(((x0.^2+x0*y0-5)*(1+2*x0)-(y0+2*x0*y0-15)*(x0))/
((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));
y1=y0+(((x0.^2+x0*y0-5)*(2*y0)-(y0+2*x0*y0-15)*(2*x0+y0))/
((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));
fprintf(' %3g %10.7f %10.7f\n', iterasi, x1, y1);
if (abs(x1-x0)<0.000001)||(abs(y1-y0)<0.000001);
break;
end;
x0=x1;
y0=y1;
end;
akar1=x1;
akar2=y1;
fprintf('Akar akarnya adalah %10.7f dan %10.7f\n',akar1, akar2);
fprintf('Jumlah iterasi = %g\n',iterasi);
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
dan hasilnya
Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar
f1(x,y)=x^2 + xy - 5
f2(x,y)=y + 2xy - 15
iterasi akar1 akar2
1 0.6250000 5.5000000
2 0.7448308 6.0808271
3 0.7340693 6.0774838
4 0.7340361 6.0776180
5 0.7340361 6.0776180
Akar akarnya adalah 0.7340361 dan 6.0776180
Jumlah iterasi = 5
BAB III
PENUTUP
A.Kesimpulan
Metode leleran titik tetap atau iterasi satu titik dengan dua
persamaan memiliki dua prosedur lelaran yang pertama disebut
dengan lelaran jacobi
xr+1=g1 (xr , yr )
yr+1=g2 (xr , yr ) r = 0,1,2,….
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
kondisi berhentinya adalah |xr+1−xr|<ε dan|yr+1− yr|<ε. Kecepatan
konvergensi leleran titik tetap ini dapat ditingkatkan dengan
menggunakan lelaran seidel. Nilai xr+1 yang baru dihitung
langsung dipakai untuk menghitung yr+1. Jadi,
xr+1=g1 (xr , yr )
yr+1=g2 (xr+1 , yr ) r = 0,1,2,…
Metode newton raphson dengan dua persamaan dapat deret
taylor yang pertama dapat dituliskan
ur+1=ur+(xr+1−xr )∂ur∂ x
+( yr+1− yr )∂ur∂ y
Dan
vr+1=vr+(xr+1−xr )∂ur∂ x
+( yr+1− yr )∂ur∂ y
B.Saran
Sebaiknya untuk mata kuliah ini bisa lebih banyak perakteknya.
Karena hal ini sangat penting untuk pehamahan mahasiswa.
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
DAFTAR ISI
Chapra, Steven C. 1988. Metode Numerik jilid 1edisi kedua. Jakarta.
Erlangga.
Munir, Rinaldi. 2008. Metode Numerik revisi kedua. Bandung.
Informatika.
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
KATA PENGANTAR
Sudah merupakan suatu kehormatan untuk memanjatkan puji syukur kehadirat
Allah SWT. karena atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
menyelesaikan makalah ini, namun penulis menyadari bahwa karya yang amat
sederhana ini jauh dari apa yang diharapkan serta memiliki berbagai macam
kekurangan dan kelemahan, tapi hanya karena modal dasar yang dimiliki oleh kami
yaitu keberanian, sehingga makalah yang amat sederhana ini dapat dipersembahkan
keharibaan para pembaca dan ikut melibatkan diri mengembangkan pengetahuan
yang dimiliki serta memberikan sedikit pengetahuan kepada kita walaupun hanya
setitik air dalam lautan yang Maha Luas dalam rangka membangun manusia-manusia
Indonesia seutuhnya.
Kami menyadari bahwa dalam makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh
karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari
pembaca. Dengan masuknya bantuan kritik dan saran tersebut, kami dapat
menjadikan pedoman untuk perbaikan makalah ini yang akan datang.
Akhirnya kepada Allahlah kami berharap semoga seluruh bantuan, arahan dan
bimbingan yang diberikan oleh berbagai pihak menjadi bagian amal ibadah yang akan
menciptakan pahala di sisi Allah. Amin…
Makassar, 08 Mei 2010
Kelompok 18
TUGAS KELOMPOK
METODE NUMERIK
DEWI JUMLIANA MLMATEMATIKA UIN ALAUDDIN
O
L
E
H
NUR ILMI
RINDA RAHMA WARDANI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN
MAKASSAR
2010