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Makroskopische Quantenzustände• Einleitung: Mikroskopische und makroskopische Quantenzustände• 2. Quantenstatistik, entartete Bose- und Fermigase• 3. Fallen für Atome, Kühlen atomarer Gase ins entartete Regime• 4. Supraleiter: Grundlegende Effekte• 5. Die BCS-Theorie für Supraleiter• 6. Superfluides 4He• 7. Gross-Pitaevskii und Ginzburg-Landau Theorie• 8. Superfluides 3He und verwandte Systeme• 9. Experimente mit Bose-Einstein Kondensaten• 10. Josephsoneffekte in Supraleitern, BECs und
Superfluiden• 11. Fermigase, BEC-BCS-Übergang• (….)
Superfluides 4He4He: 2 Protonen, 2 Neutronen, Gesamtspin 0 ⇒ Boson
Im Vergleich: 3He: 2 Protonen, 1 Neutron, Gesamtspin 1/2 ⇒ Fermion
Phasendiagramm von 4He
Quelle: http://www.fluidmech.net/msc/super/super-f.htm
Superfluides 4HeBeachte: 4He flüssig für p < 25 b bis T → 0
Gründe: 1.) schwache (van der Waals-) Wechselwirkung (Edelgas!)2.) leichtes Atom → große Nullpunktsschwingungen im gebundenen Zustand3) Superfluid trägt keine Entropie → kein Entropiegewinn durch Bildung Festkörper
Phasenübergang in den superfluiden Zustand
Spezifische Wärme divergiert bei Tλ→ Phasenübergang 1. OrdnungFreie Energie: KnickEntropie (∝ dF/dT): SprungSpez. Wärme (∝ d2F/dT2):Divergenz
Vgl: für BEC → Phasenübergang 2. Ordnung erwartet
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Einige Eigenschaften der Supraflüssigkeit
Quelle: Tilley&Tilley, Superfluidity and Superconductivity
1) 4He fließt durch Mikroporen, einige 10 nm ∅Konsequenz: „Superlecks“ in Kryostaten
2) Dauerströme in superfluidem Ring:Reppy & Depatie, Phys. Rev. Lett. 12, 187 (1964)
Supraflüssigkeit fließt ohne Abklingen durch Hohlring;Beobachtungszeit bis 12 Stunden
⇒ Viskosität η = 0
3) dagegen: η> 0 für in 4He rotierende Scheiben:
Das Zweiflüssigkeitsmodell
sv nv
η=0 für Ringströme, η>0 für rotierende/oszillierende Scheiben
→ Verstehbar im Zweiflüssigkeitsmodell
He II Anteil ρs an „Supraflüssigkeit“, Anteil ρn an „Normalflüssigkeit“, ρs+ ρs = ρ
Jede Komponente hat eigene Geschwindigkeit bzw.
Suprastromdichte: nnssns vvjjj ρρ +=+=
Das Zweiflüssigkeitsmodell
Quelle: Tilley&Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Test durch oszillierenden Stapel aus Scheiben (Andronikashvili, 1946):-Scheibenabstand so eng, dass Normalkomponente mitgeführt wird- Oszillationsfrequenz abhängig
von ρn/ ρ
Superfluides He im Reagenzglas
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Superfluides He im Reagenzglas
Begründung:
1) Reagenzglas benetzt im 4He-Dampf (nicht ungewöhnlich, höchstens Filmdicke von ca. 30 nm ≈ 100 Atomlagen
recht hoch)2) Superfluid kann reibungsfrei durch Film fließen3) Film agiert wie Siphon (vgl. kommunizierende Gefäße)
aus Auslaufgeschwindigkeit ⇒ vs≈ 20 cm/s bei tiefen Temperaturen
Superfluides He und Wärmeleitung
T>2.17 K T<2.17 K
T>Tλ: Blasenbildung; hier: Dampfdruck = Außendruckund: kleine Temperaturfluktuationen in der Flüssigkeit
T<Tλ: keine Blasen mehr ⇒ T überall gleich ⇒ beliebig hohe Wärmeleitfähigkeit λW
Wärmestrom ∝ λW gradT
S. Balibar, cond-mat/0303561
Superfluides He und Wärmeleitung
T>2.17 K T<2.17 K
Mechanismus für Homogenisieren der Temperatur:Betrachte Gebiet mit Temperatur T+∆T⇒ ρs sinkt⇒ Nachfluss d. Suprakomponente aus kälteren GebietenSuprakomponente trägt keine Entropie⇒ Nachfluss „verdünnt“ Entropie in warmem Gebiet⇒ ∆T → 0
S. Balibar, cond-mat/0303561
Thermomechanische Effekte
Betrachte 2 Gefäße, verbunden durch Superleck; Heizer erwärmt Gefäß B auf T+∆T
Beobachtung: Flüssigkeitsspiegel auf unterschiedlichem Niveau ∆h
Typische Zahlenwerte: ∆h ≈ 1 cm für ∆T = 10-3 K
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Thermomechanische Effekte
gTh σ=
∆∆
Erklärung (qualitativ):-Heizer erwärmt B ⇒ ρs sinkt in B⇒ Suprastrom A → B (Konzentrationsgradient in ρs!) ⇒ Volumen in B steigt, Vol. in A sinkt⇒ Suprastrom muss gegen Druckdifferenz ∆p =ρg ∆h fließen⇒ stationäres Gleichgewicht für gewisses ∆h
Im Gleichgewicht gilt:
mit: σ: Entropie pro kg; g: Erdbeschleunigung
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Thermomechanische Effekte
Begründung:
Energieaufwand für Strom A → B: V∆pEnergiegewinn durch Wärmefluss: B → A: S ∆T
hp
hT
∆∆
=∆∆
ρσ 1
Im Gleichgewicht: V∆p= S ∆TVS
Tp=
∆∆
⇒
VS
Thg=
∆∆
⇒ρ
ggVS
Th σ
ρ==
∆∆
⇒
Konsequenz…..
Springbrunneneffekt
http://particle.physics.ucdavis.edu/bios/Allen.html
Röhrchen ragt aus 4He-GefäßRöhrchen nach unten durch Superleck für Normalflüssigkeit verschlossenErwärmung durch z. B. Licht aus Taschenlampe⇒ Aufbau Druckdifferenz durch Nachfluss d. Suprakomponente⇒ Normalkomponente schießt fontänenartig nach oben
(einige 10 cm für ∆T einige mK)
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Anregungen im/aus dem Kondensat
- Schallwellen (1., 2. und 3. Schall)
Quantisiert: „Phononen“ und „Rotonen“ als „Quasiteilchen“
- Wirbel (Quantisiert in Einheiten h/m)
Schallwellen: 1., 2. und 3. Schall
1. Schall: Dichtewellen, ρ variiert (wie in gewöhnlichen Gasen/Flüssigkeiten)
Für He-II: c ≈ 238 m/s2. Schall:
Betrachte 2 Volumina, linkes Vol. werde auf T+∆T geheiztVerbindung zwischen Volumina soll Strömung von Normal- und Supraanteil erlauben
Statische Heizung: Gegenströmung von Normal- und Supraanteil
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Schallwellen: 1., 2. und 3. Schall2. Schall:
Periodische Heizung:
- Normal- und Supraanteil oszillieren gegeneinander- Gesamtdichte bleibt konstant= 2. Schall
Schallgeschwindigkeit ≈c/√3 ≈ 140 m/s
Nur Normalkomponente trägt Entropie ⇒ 2. Schall entspricht auch Entropiewelle
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Schallwellen: 1., 2. und 3. Schall3. Schall:
- tritt an Oberflächen auf- (viskose) Normalkomponente an Oberfläche fixiert- Supraanteil oszilliert parallel zur Oberfläche⇒ Wellenberge und Täler
Berg: Überschuss Supraanteil → KaltTal: Defizit Supraanteil → „Warm“
Schallgeschwindigkeit 10..100 cm/s
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Quasiteilchen-Anregungen
Anregung mit Energie E, Impuls p
bzw. Frequenz ω, Wellenvektor k
⇒ Quanten ω mit Dispersionsrelation )(k
ω
Messung (Neutronen-Streuexperimente):
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Quasiteilchen-Anregungen
Linearer Anteil, kleine k bzw. p: „Phononen“
Minimum bei ca 20/nm: „Rotonenminimum“
Anschauliche Darstellung:
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Quelle: J. F. Annett, Superconductivity, Superfluids and Condensates
Quasiteilchen-Anregungen und reibungsfreie Bewegung
Betrachte Körper, (große) Masse M, der sich durch ruhende Supraflssigkeit bewegt
Ab welcher Geschwindigkeit kann Körper Quasiteilchen anregen?
Anregung soll Geschwindigkeit des Körpers von nach ändern1v 2v
Energieerhaltung: )(21
21 2
221 pMvMv ε+=
)( pε
Impulserhaltung: pvMvM += 21
Hieraus: 02
)(2
1 =+−Mpvpp ε
Masse M groß ⇒ vernachlässige letzten TermEs sei ϕ Winkel zwischen p und 1v
⇒ )(cos1 ppv εϕ =
Quasiteilchen-Anregungen und reibungsfreie Bewegung
)(cos1 ppv εϕ =
Mit cosϕ ≤ 1 ⇒ v1≥ ε(p)/p
⇒ Maximale Geschwindigkeit vmax = (ε(p)/p)min
Minima von ε(p)/p für: dε(p)/dp = ε(p)/p
Graphisch: Gerade durch 0 berührt ε(p)
⇒ Ok bei p→ 0 (Phononen)und bei Rotonenminimum (hier v kleiner!)
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Quasiteilchen-Anregungen und reibungsfreie Bewegung
ergibt vmax ≈ 58 m/s
Anmerkung 1: für freie Teilchen, ε ∝ p2: vmax=0!
Anmerkung 2: Ändere Bezugssystem: ruhender Körper, bewege Supralüssigkeit⇒ vmin ist „kritische Geschwindigkeit“ des Superfluids
Anmerkung 3: vkrit i. allg. viel niedriger; Ursache: Ausbildung von Vortices
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Vortices in 4HeWie bei Supraleitern, BECs: Auftreten quantisierter Wirbel möglich
Φ+=+=+=⋅⋅= ∫∫∫∫∫∫ ssss
s
Fss
ss
sss
ss
s qldjnq
mfdBqldjnq
mldAqldjnq
mnk
π2
Bei Supraleitern galt Fluxoidquantisierung:
Setze Ladung q=0, benutze j=qnv
ldvmldvnnmnk ssss
s
s
∫∫∫ ==⋅⋅= π2
Oder: ldvnmh
ss
∫=⋅
⇒ Zirkulation quantisiert in Einheiten h/ms=:κ (Vortizität)
Vortices in 4He
Für rotationssymmetrischen Wirbel: ϕπ ,2 ss
rvnmh
=⋅
rvs
1, ∝ϕ⇒
Erzeugung von Wirbeln: z. B. durch rotierenden Kryostaten
Beachte: Drehung Ω
äquivalent zu Magnetfeld B
vgl. Coriolis vs. Lorentz
Ω×=vmFcor 2 BvqFLor
×=.
⇒ Entsprechung Ω
m2 Bq
↔
Vortices in 4He
Rotierender Kryostat, Helsinkihttp://boojum.hut.fi/research/applied/rotating3he.html
http://ltl.tkk.fi/research/theory/heliumtheory.html
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
Vortices in 4HeAbbildung von Vortices:-Elektronen (Ionen) sammeln sich bevorzugt im Vortexkern- „Aufladen durch Tritium-Quelle (ca. 10 sec.)- „Abfluss“ auf Phosphorschirm“- Filmsequenzen (6 Bilder/sec.) möglich
E. J. Yarmchuk, M. J. V. Gordon, R. E. Backard, Phys. Rev. Lett. 214, 215 (1979)
Vortexgitter bei verschiedenen Rotationsgeschwindigkeiten
Vortices in 4He
Wie groß ist die Wirbeldichte n im Behälter?
Zirkulation außen am Behälter (Radius R): 2πRv(R)= 2πR ΩR=2πR2Ω
Muss gleich sein: nκπR2 (Zahl Wirbel/Fläche x Vortizität eines Wirbels) x( Fläche)
⇒h
mn sΩ=Ω
=22
κ(~ 20/mm2 x Ω [Hz])
Quellen: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity
http://ltl.tkk.fi/research/theory/heliumtheory.html
Zur theoretischen Beschreibung von 4He
Hydrodynamische Beschreibung:
Navier-Stokes-Gleichung für Normalkomponente
Eulerartige Gleichungen für Suprakomponente (falls keine Vortices)
Suprakomponente inkl. Vortices ⇒ Gross-Pitaevskii, s. nächstes Kapitel
Mikroskopische Theorie: schwierig für (Supra-)Flüssigkeiten!
2)(2 sn
nss
sss vvTp
DtvD
−∇+∇+∇−=ρρρσρ
ρρρ
nnsnns
snn
n vvvTpDtvD
∆+−∇−∇−∇−= ηρρρσρ
ρρρ 2)(
2
Mit: vvtv
DtvD
)( ∇⋅+∂∂
= σ: Entropie pro kg
Literatur
J. F. Annett, Superconductivity, Superfluids and CondensatesJ. F. Annett, Supraleitung, Superfluidität, Kondensate
D. R. Tilley & J. Tilley, Superfluidity and Superconductivity