1. LGICA lgica. (Del lat. logca, y este del gr. ). 1. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento cientfico. formal, o ~ matemtica. 1. f. La que opera utilizando un lenguaje simblico artificial y haciendo abstraccin de los contenidos. Tomado de: http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=logica La lgica es una ciencia formal y una rama de la filosofa que estudia los principios de la demostracin e inferencia vlida. La palabra deriva del griego antiguo (logike), que significa "dotado de razn, intelectual, dialctico, argumentativo", que a su vez viene de (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razn o principio". Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica La lgica matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias fsica y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad. Tomado de: http://www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones Una Proposicin es una expresin u oracin declarativa con sentido completo que no depende de la persona, ni del espacio ni del tiempo. Toda proposicin tiene un valor de verdad que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la vez, esto es una ley denominada ley del tercer excluido. La proposicin es el elemento fundamental de la lgica matemtica. Una proposicin se expresa generalmente con letra minscula, dos puntos y a continuacin la oracin. Algunos ejemplo de proposiciones validas o no validas son: p: La tierra es plana. q: 17 + 15 = 2 r: x > y-9 s: El Junior ser el prximo campen de Colombia. t: Buenos das w: Hoy es lunes v: Hace Calor x: Santa Marta es ms bonita que Valledupar Manual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 1

2. Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las proposiciones simples estn formadas por una sola oracin y las compuestas por ms de una oracin y enlazadas por conectivos lgicos a saber: la negacin, disyuncin, conjuncin, condicional y bicondicional. La Negacin Si a una proposicin simple se le antepone la expresin no es cierto o se le interpone el adverbio no se forma una proposicin compuesta llamada la negacin de la proposicin principal. Se simboliza con p. Si p es una proposicin simple, la negacin de p se representa p y se lee no p. Tabla de verdad Utilizaremos los nmeros 1 y 0 para indicar que las proposiciones son verdaderas o falsas respectivamente p 1 0p 0 1Ntese que si la proposicin es verdadera su negacin es falsa y viceversa Ejercicio. Niegue cada una de las siguientes proposiciones a: La matemtica es la madre de todas las ciencias b, Colombia con la mejor democracia en Amrica Latina c. El hombre no es el nico animal racional d. No es cierto que todas las aves vuelan e. No hay nadie en casa La Disyuncin Inclusiva es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo v se lee o. Si p y q son proposiciones simples la disyuncin de p y q se representa p v q se lee p o q. Tabla de verdad p 1 1 0 0q pvq 1 1 0 1 1 1 0 0Manual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 2 3. Ntese que la disyuncin solamente es falsa si las dos proposiciones son falsas Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad a. Si r: Simn Bolvar era venezolano s: Simn Bolvar era colombiano. Entonces: r v s b. Si p: La tierra es redonda q: La tierra es ovalada Entonces: p v q c. Si p: La ballena es un mamfero s: La ballena no tiene branquias Entonces: p v s d. Si p: El calentamiento global es consecuencia de que la tierra se acerca al sol s: El calentamiento global es consecuencia del nmero de habitantes de la tierra Entonces: p v s e. Si p: La evolucin tecnolgica ha retrasado la evolucin del hombre s: La evolucin tecnolgica no aporta a la inteligencia del hombre Entonces: p v s La Disyuncin Exclusiva Es un caso especial de disyuncin cuyo smbolo es v, que se diferencia del anterior en que solo es verdadera cuando una y solamente una de las proposiciones es verdadera.Manual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 3 4. La Conjuncin es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee y. Si p y q son proposiciones simples la conjuncin de p y q se representa p q se lee p y q. Tabla de verdad p 1 1 0 0q pq 1 1 0 0 1 0 0 0Ntese que la conjuncin es verdadera solo cuando las dos proposiciones son verdaderas. Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad a. Si r: Simn Bolvar era venezolano s: Simn Bolvar lidero la libertad de las chilenos. Entonces: r s b. Si p: La tierra es redonda q: La tierra es achatada en los polos Entonces: p q c. Si p: La ballena tiene branquias s: La ballena es un mamfero Entonces: p s d. Si p: La Sierra nevada de Santa Marta pertenece al Cesar s: La sierra nevada de Santa Marta no esta afectada por el calentamiento global Entonces: p s e. Si p: La evolucin tecnolgica ha retrasado la evolucin del hombre s: La evolucin tecnolgica no aporta a la inteligencia del hombre Entonces: p sManual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 4 5. La Condicional es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee Si..entonces. Si p y q son proposiciones simples el condicional de p y q se representa p q se lee Si p entonces q. Tabla de verdad p 1 1 0 0q p q 1 1 0 0 1 1 0 1Ntese el condicional solo es falso cuando la primera proposicin es verdadera y la segunda es falsa. Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad a. Si r: Todos los peces son ovparos s: La ballena no es pez Entonces: r s b. Si p: Colombia es el tercer pas ms rico en agua q: En Colombia no hay problemas con el consumo de agua Entonces: p q c. Si p: Colombia instalar bases militares de EEUU s: Venezuela rompe relaciones con Colombia Entonces: p s d. Si p: Los paramilitares devuelven las tierras s: No hay desplazados en Colombia Entonces: p s e. Si p: La evolucin tecnolgica ha mejorado el nivel de vida del hombre s: El hombre ha aprovechado la evolucin tecnolgica Entonces: p sManual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 5 6. Tipos de Condicionales Dado la condicional p q denominada condicional directa entonces se denomina: Contraria: la condicional p q Reciproca: la condicional q p Contrareciproca: la condicional q p Ejercicio: Escriba la contraria, la reciproca y la contrareciproca de cada proposicin 1. Si las fiestas del mar fueron un xito entonces deben continuar realizndola 2. Si los pases vecinos a Colombia colaboran con los grupos insurgentes entonces no son pases amigos 3. Si el Unin Magdalena no juega bien entonces el estadio estar siempre vacio 4. Si las religiones son utilizadas para alabar un Dios entonces porque explotan a los feligreses La Bi-condicional es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee Si..solo si. Si p y q son proposiciones simples la bicondicional de p y q se representa p q se lee p si solo si q. Tabla de verdad p 1 1 0 0q p q 1 1 0 0 1 0 0 1Ntese la bi-condicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son iguales. Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si a. r: En Colombia hay paz s: En Colombia todos los gobernantes son honestos Entonces: r s b. p: x + 5 = 7 q: x = 2 Entonces: p q Manual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 6 7. c. p: Las clulas vegetales poseen cloropastos s: Las clulas vegetales poseen clorofila Entonces: p s d. p: Los paramilitares devuelven las tierras s: Los paramilitares tienen garantizado el reintegro a la sociedad Entonces: p s e. p: El Unin Magdalena volver a la primera categora s: El unin Magdalena es vendido Entonces: p s Interpretacin oracional Idiomtica Se denomina interpretacin idiomtica, a cualquier enunciado cuya estructura coincida con una proposicin dad: Ejercicio. Interprete oracionalmente cada enunciado, identifique las proposiciones simples y represente en forma simblica Si el hombre fuera racional entonces no construyera armas lesivas para la humanidad Es falso, que las rosas son rojas y las violetas son azules Si las polticas de estado son buenas entonces el pas no estara en guerra Si Radamel Garca y Johan Volanten son samarios entonces son buenos jugadores de futbol o se formaron en otro pas Si Colombia es el pas que ms abastece a Venezuela y Venezuela es el principal comprador de los productos colombianos entonces las diferencias en sus presidentes no convienen a ninguno de los dos pases Los residentes cancelarn la administracin si solo si la la junta directiva cambio al administrador o abren una cuenta bancara donde se pague la administracin Si el calentamiento global es producto de la contaminacin ambiental o de la tala indiscriminada de rboles, entonces no, a la contaminacin ambiental y a la tala indiscriminada de arboles Manual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 7 8. La inversin social se mejora si solo si se implementan polticas de fortalecimiento tributario y no hay corrupcin administrativa Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas Los diagramas de verdad nos permiten conocer el valor de verdad de un enunciado compuesto Ejercicio. Hallar el valor de cada proposicin si: a (1), b(0), c(0) y d(1) 1. 2. 3. 4. 5.(a b) c (b v c) d (b v d) b v d [(d a) v c] [(d v c) (a v c)] c (a c)Tablas de Verdad Una tabla de verdad es un diagrama que permite determinar claramente cuando una proposicin compuesta es verdadera, falsa o variada. Si todos los valores de verdad de una proposicin compuesta son verdaderos se denomina una tautologa, si son falsos una contradiccin de lo contrario se llama indeterminada. El proceso de construccin de una tabla de verdad inicia por determinar el nmero de combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples constituyentes. Si la proposicin consta de n proposiciones simples diferentes, puesto que cada una de ellas tiene dos valores posibles (verdadero o falso) habr 2n combinaciones posibles de valores. Ejercicio. Construir la tabla de verdad de cada proposicin compuesta e indique su tipo 1. ( p q) 2. (p v q) p 3. p (p q) 4. (p v q) (p q) 5. [ (p p ) q] 6. p (p q) 7. (p q) (p v q) 8. [(p q) q] p 9. (p q) v r 10. (p q) (p r) (p q) rManual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 8 9. Equivalencia Lgica: Algebra de proposiciones Se dice que dos proposiciones P(p, q, ) y Q(p, q, ) son lgicamente equivalentes si tienen idnticas tablas de verdad, se denota P(p, q, ) Q(p, q, ). Por ejemplo. Consideremos las tablas de verdad de las proposiciones (p q) y p v q P 1 1 0 0q 1 0 1 0pq 1 0 0 0(p q) 0 1 1 1p 1 1 0 0q 1 0 1 0p 0 0 1 1q 0 1 0 1p v q 0 1 1 1Como los resultados finales de las tablas de verdad son iguales, las proposiciones son equivalentes es decir (p q) ( p v q) Ejercicio. Verifique la equivalencia de la siguiente proposicin 1. (p v q) p q) 2. p q (p v q) (p q)Las proposiciones satisfacen muchas equivalencias lgicas, o leyes, a continuacin enunciamos unas de las ms importantes, t denota tautologa y f contradiccin Leyes del Algebra de Proposiciones LeyesProposiciones ppIdempotenciapvpAsociativas(p v q) v rConmutativas(p v q)Distributivasp v (q r)Leyes de identidadPvfLeyes de complementospv pLeyes de involucinpp p v (q v r)(p q) r(q v p)p(p q)(p v q) (p v r) Pttpp p(q p)p (q v r)pPvt fpManual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 9tt fp (q r)(p q) v(p r) Pf ff t 10. Morgan(p v q)p (p q)p vp qImplicacin y disyuncinpqNegacin de la implicacin(p q)p ^ qCuantificacin de Enunciados Aristteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma S es P donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso sera un enunciado conceptual o general. En los Analticos Anteriores slo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos. El enunciado es una oracin que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular o indefinido. Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad Cuantificador Universal: se representa con el smbolo que se lee para todo. Contiene una expresin lingstica como todos o para todo, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el sujeto. Simblicamente / P(x)}. La expresin afirmativa es todo S es P y la expresin negativa ningn S es P Cuantificador Existencial Se simboliza con se lee existe. Contiene una expresin lingstica como algn o hay o para algn y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir es decir solo afirma que el concepto que el concepto del predicado es aplicable a algunos casos a las que tambin se aplica el concepto sujeto. Simblicamente la expresin negativa algn S no es P. La expresin afirmativa es Algn S es P,Negacin de los Cuantificadores Manual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 10 11. SimblicamenteEjercicio. Identifique el cuantificador que aplica y niegue cada una de las siguientes proposiciones 1. Todos los polticos son corruptos 2. Algunos futbolistas son profesionales 3. Ningn hombre es racional 4. Existen buenas polticas de estado 5. Todos los jvenes siente atraccin hacia la tecnologa 6. Algunos guerrilleros no son delincuentes 7. Ningn programa de televisin ensea 8. Existen profesores malos 9. Todo el que se educa es culto 10. Algunos mototaxistas son delincuentesManual de Lgica Lic. Jos F. Barros Troncoso 11