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MANEJO CARTA SMITH

LUZ ADRIANA CARDONA FLOREZ C.C. 39452126

CIRCUITOS ELECTRÓNICA III Y LABORATORIO

LUKAS TAMAYO

INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES UDE@

ABRIL 23 DE 2011 RIONEGRO

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MANEJO CARTA SMITH La carta Smith es una herramienta que ayuda al cálculo de impedancias (la impedancia de entrada a la línea), el coeficiente de reflexión, admitancias, distancia, para líneas de transmisión sin necesidad de realizar todas las operaciones matemáticas con números complejos. Es un tipo de nomograma, usado en ingeniería eléctrica, que muestra cómo varía la impedancia compleja de una línea de transmisión a lo largo de su longitud. Se usa frecuentemente para simplificar la adaptación de la impedancia de una línea de transmisión con su carga. La carta de Smith contiene círculos de resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de ROE (relación de onda estacionaria) constante y curvas radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante Origen Debido a los problemas que tenía Smith para calcular la adaptación de las antenas a causa de su gran tamaño, decidió crear una carta para simplificar el trabajo. De la ecuación de Fleming, y en un esfuerzo por simplificar la solución del problema de la línea de transmisión, desarrolló su primera solución gráfica en la forma de un diagrama rectangular. Phillip persistió en su trabajo y el diagrama fue desarrollado gradualmente con una serie de pasos. En 1936 desarrolló un nuevo diagrama que eliminó la mayoría de las dificultades. La nueva carta era una forma coordinada polar especial en la cual todos los valores de los componentes de la impedancia podrían ser acomodados. (http://es.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Smith)

Se puede ver en la grafica una serie de circunferencias cada vez mayores donde cada una de ellas representa la Resistencia o la Conductancia. A su vez, estas circunferencias están cruzadas por otros arcos de circunferencia que representan la Reactancia o la Susceptancia. (http://www.jespinosal.8m.com/descripcion_de_smith.htm)

Carta Smith Es una solución gráfica de las ecuaciones y para realizar transformaciones en ambos sentidos entre el coeficiente de reflexión Γ y la impedancia Z. Ecuación que representa una familia de círculos que describen el lugar geométrico de resistencia constante

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Ecuación que representa una familia de círculos que describen el lugar geométrico de reactancia constante

La superposición de estas dos familias de círculos da origen a la carta de Smith

La familia de arcos que intersecan el borde externo de la carta y el punto del extremo derecho, consta de curvas de reactancia constante. Si trabajamos con Impedancias, los arcos de la mitad superior de la carta representan la reactancia inductiva (positiva), y los de la mitad inferior la reactancia capacitiva (negativa).

Grafica de círculos de resistencia constante en el plano complejo para distintos radios

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Si trabajamos con Admitancias, las parte superior será la componente capacitiva y la inferior la inductiva. El centro del diagrama es el punto en donde la circunferencia de radio=1 corta a la horizontal x=0.

En la parte exterior de la carta hay varias escalas.

• Una escala llamada “ángulo del coeficiente de reflexión en grados”, a partir de ésta se puede obtener directamente el valor de θΓ .

• Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud de la línea de transmisión en λ´s el inicio de estas dos escalas está en el lado izquierdo de la carta de Smith y una de ellas corre en el sentido de las manecillas del reloj, ésta se denomina “wavelengths toward generator” (longitudes de onda hacia el generador), esto indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la línea, en unidades de λ . La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina “wavelenghts toward load” (longitudes de onda hacia la carga), esto indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia la carga, hacia el final de la línea, en unidades de λ.

• Una denominada “Reflection coeff. Vol” (Coeficiente de reflexión del voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puede utilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje, Γ.

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Todos los círculos y los arcos dentro de la carta de Smith representan coordenadas para la lectura de del valor correspondiente de Z. Todas las impedancias de la carta son en realidad impedancias normalizadas Zn que se relacionan con las impedancias reales Z por medio de:

En donde Z0 es la impedancia característica de la línea de transmisión utilizada para definir Γ. El diámetro horizontal de la carta de Smith reposa también sobre

el diámetro horizontal de una familia completa de circunferencias que representan valores constantes de la resistencia normalizada Rn. Representación de impedancias normalizadas La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representa una impedancia normalizada: R+jX, un cortocircuito Z=0 se representa en el punto (-1, 0) y un circuito abierto Z=∞ en el punto (1, 0). La clave para entender la carta de Smith (lo cual es importante para su efectivo y adecuado uso), radica en el hecho de que la carta de Smith relaciona, gráficamente, la impedancia de entrada Zin(Z), algún punto de la línea y el coeficiente del voltaje de reflexión Γ en ese mismo punto. Lo primero que se debe hacer es determinar la impedancia de entrada normalizada a la impedancia de la línea Z0. Para normalizar se realiza lo siguiente: Se divide la impedancia de entrada Zin(Z) o ZL(Z), por el de la impedancia característica de la línea de transmisión (Z0). La adaptación de impedancias se puede hacer:

• Mediante Líneas de distinta Impedancia Característica • Utilizando un único Stub • Utilizando Doble Stub • Transformador λ/4

Ejemplo 1 Encontrar la impedancia de entrada teniendo la longitud de la línea: Una línea de transmisión de 10m de largo, con impedancia característica de 50Ω, trabajando a una frecuencia, cuya longitud de onda es de 5.882m en la línea, termina en una carga de (50+j100)Ω. Determinar la impedancia de entrada Zin.

1. Normalizamos la impedancia ZL. ( )50 100

1 250LN

jZ j

+ Ω= = +

Ω

2. Una vez obtenida la impedancia normalizada, se representa en la carta de Smith siguiendo los círculos de resistencia (parte real) y de reactancia (parte imaginaria) constantes. La impedancia esta en la intersección de la línea R=1 y j=2, Punto rojo. Se traza una línea entre estos dos puntos y se prolonga hasta interceptar el circulo r=0 punto azul. 3. Ahora dibujamos una circunferencia con radio (distancia entre R=1 y j=2) flecha roja y el centro se toma en el punto real (R=1)

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1+j2

Los circuitos equivalentes resultantes serán dos dependiendo de la posición del punto obtenido en la carta de Smith: * Si queda fuera del círculo de parte real 1, tendremos una susceptancia (-jx2) en paralelo con una reactancia (jX1), la cual a su vez está en serie con la impedancia (ZL). * Si queda dentro del círculo de parte real 1, tendremos una reactancia (jx2) en paralelo con una susceptancia ((-jx1), la cual a su vez está en paralelo con la impedancia (ZL).

3. Expresamos la distancia en longitudes de onda: d=10m/=5.882m =1.70λ Ahora recorremos desde el punto azul la distancia en λ’s (1.7λ), en el sentido del generador (sentido horario). Tener en cuenta que una vuelta completa es 0.5 λ. Esto quiere decir que necesitamos movernos 3 vueltas completas (1.5λ) más 0.2λ. Punto amarillo 4. Trazamos una línea desde el centro (circunferencia que contiene a ZLN) hasta el circulo =0 y esto nos da el valor de –xj, punto amarillo, en este

caso –j0.82, y el valor real se toma en la intersección de la línea y la circunferencia trazada, este arco tiene un valor real. Punto verde. Y así obtenemos la impedancia de entrada ZIN=0.29-j0.82

0

LL L L

Zz r j x

Z= = +

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5. El valor de la impedancia de entrada es la impedancia de entrada normalizada multiplicada por la impedancia característica. Zin= ZIN* Z0= (0.29-j0.82)*50 Entonces, Zin= (14.5 - j41) ΩΩΩΩ Ejemplo 2. Encontrar el coeficiente de reflexión dada la impedancia normalizada. Dada una carga de valor ZLN=2.4-j0.6, encontrar el coeficiente de reflexión. 1. Localizamos el punto de impedancia dada en la C.S. siguiendo los círculos de resistencia (parte real) y de reactancia (parte imaginaria) constantes. La impedancia esta en la intersección de la línea R=2.4 y j=-0.6, Punto rojo. Trazamos una recta del origen al punto de intersección (impedancia)

• La Distancia del origen al punto de intersección = módulo escalado (flecha roja) de Γ. Para ver valor verdadero: Llevar esa distancia sobre la escala que aparece debajo de la carta o hacer una regla de tres.

• Se prolonga la recta hasta la escala de ángulos, este punto (azul)= ángulo de Γ.

Obtenemos Γ =0.44 y ángulo = -14°

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S = 1 + Γ1 − Γ

y, puesto que la impedancia normalizada es:

WEBGRAFIA HTTP://WWW.JESPINOSAL.8M.COM/DESCRIPCION_DE_SMITH.HTM http://es.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Smith http://www.fimee.ugto.mx/profesores/ramartinez/documentos/Antenas%20y%20l%C3%ADneas%20de%20transmisi%C3%B3n/SmithCHART1.ppt

Angulo de Γ=-14°

Magnitud de Γ=0.44