manual graph - systimemanual graph manual matematik c side 38 hvis vi blot ønsker at bestemme, om...

Manual Graph

Manual Matematik C Side 1

Graph – brugermanual til matematik C

Forord

Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH.

Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes ved de skriftlige prøver i matematik, hvor eleverne ikke er koblet på nettet.

Grafer mv. kan direkte indsættes i et Worddokument, hvilket er en fordel, idet illustrationerne kan kobles direkte med forklarende tekst og beregninger.

Som navnet indikerer, er der tale om et program, der kan anvendes til funktionsundersøgelse, idet man kan tegne grafer, bestemme ekstremaer, nulpunkter, tangentligninger, integraler etc. Det rummer således ikke direkte faciliteter til finansiel regning samt statistik; men med lidt snilde kan det dog anvendes fx til tegning af trappediagram/sumkurve m.v. Hvis man omskriver de finansielle formler til funktioner, kan programmet ligeledes anvendes til bestemmelse af fx renten, antal terminer og lign.

Efterfølgende indeholder en introduktion til nogle af de elementer, der er relevant på C-niveau.

Juli 2009

Manual Graph


Indhold

Forord ........................................................................................................................................ 1

Downloade programmet ............................................................................................................ 3

Graf for funktion ........................................................................................................................ 4

Justering af akser ....................................................................................................................... 7

Indtegning af gitterlinjer............................................................................................................. 8

Tabelværdier ............................................................................................................................ 10

Angivelse af punkter på en funktion ......................................................................................... 14

Skæringspunkt mellem to funktioner........................................................................................ 17

Skæring med x-aksen ............................................................................................................... 21

Bestemmelse af løsningen til en andengradsligning .................................................................. 23

Bestemmelse af toppunkt (ekstrema) ....................................................................................... 25

Bestemmelse af forskrift for en lineær funktion gennem to givne punkter ................................ 27

Enkeltlogaritmisk papir ............................................................................................................ 30

Bestemmelse af forskrift for eksponentiel funktion ud fra to givne punkter .............................. 32

Bestemmelse af forskrift for en potensfunktion gennem to givne punkter ................................ 34

Pæneste funktion gennem en række givne punkter .................................................................. 37

Graf for funktion med begrænset definitionsmængde .............................................................. 39

Stykkevis lineær funktion ......................................................................................................... 40

Ligningsløsning ......................................................................................................................... 43

Tekst og forklaring til grafer ..................................................................................................... 46

Tekst med formler, brøker og lignende ..................................................................................... 48

Trappediagram ......................................................................................................................... 51

Sumkurve ................................................................................................................................. 55

Bestemmelse af parametre i kapital eller annuitetsformel ........................................................ 56

Manual Graph


Downloade programmet

Søg på nettet efter GRAPH og vælg herefter menupunkt med download programmet

Herefter vælges SetupGraph hvorefter installationen går af sig selv

Manual Graph


Graf for funktion

I programmet vælges enten funktion i menubjælken øverst eller ikonen med en graf, hvorefter dette billede fremkommer:

Man kan herefter indtaste en forskrift for funktionen, idet man skal være opmærksom på, at fx ½ skrives som 0.5 (altså punktum og ikke komma)

Samtidig vælger man farve og tykkelse på grafen

Her er vist grafen for funktionen f(x) = ½x +2

Manual Graph


Her ses grafen for f(x) = x2-4x

Bemærk dette skrives som: f(x) = x^2-4x

Hvis grafen skal indsættes i et andet dokument, vælges nu: rediger – kopier som billede.

Manual Graph


Manual Graph


Justering af akser Grafprogrammet er, når man åbner det, indstillet til at vise et koordinatsystem, der går fra -10 til + 10 på begge akser. Dette kan let ændres, ved man aktiverer menupunktet akser, og herefter indstiller man først x-aksen og dernæst y-aksen. her kan man ligeledes vælge om indstillingen skal være normal eller fx med en logaritmisk skala (aktuel ved eksponentielle og/eller potensfunktioner)

Manual Graph


Indtegning af gitterlinjer Nogle gange kan det være formålstjenligt at vise gitterlinjerne – fx hvis man vil forklare, hvordan man manuelt tegner en graf.

Man kan selv vælge hvor tæt linjerne skal tegnes, hvilket bestemmes af funktionsforskriften og aksernes inddeling.

Hvis man fx ønsker at tegne grafen for funktionen f(x) = 2x – 4 så vil man få følgende

Hvis gitterlinjerne vises, vil man få et billede, hvor man lettere kan forklare, hvordan grafen tegnes manuelt

Manual Graph


Manual Graph


Tabelværdier Hvis man ønsker at få oplyst nogle koordinatsæt til en given funktion, vælges menupunktet tabel, hvor man samtidig vælger hvilket interval der skal være tale om, og hvor store spring, der skal være tale om. man kan aktivere tabellen enten via menupunktet funktion eller ved at vælge tabelikonet

Her vælges en tabel der springer med værdien 1 og går fra x = -2 til x = 6

Manual Graph


Man aktiverer ”Beregn” hvorefter tabellen fremkommer

Det fremgår, at tabellen består af fire kolonner, hvor det på C-niveau kun er de to første, der har interesse.

Hvis man ønsker dokumentation for værdien af disse punkter, kan man nu markere de to første kolonner og kopiere disse

Herefter kan man indsætte værdierne i en tekstboks, hvilket gøres ved at vælge menupunktet A

Manual Graph


Her indsætter man – som i Word - det markerede ved at højreklikke på musen og vælge indsæt

Når man vælger OK, vil tabellen fremkomme sammen med grafen

Manual Graph


Manual Graph


Angivelse af punkter på en funktion Hvis man ønsker at vise punkterne på en funktion kan man fx kopiere tabelværdierne (x,y)

Disse punkter indsættes herefter via menupunktet funktion, hvor man vælger punktserie

Manual Graph


Man skal her være opmærksom på, hvordan man ønsker punkterne skal vises. Hvis man fx tilkendegiver (som i eksemplet ovenfor), at punkterne skal forbindes med en linje, så får man vist en linje mellem punkterne, som ikke er ønsket

Manual Graph


Dette undgås ved at sætte linjetykkelsen til 0

Man kan samtidig afkrydse, at punkterne skal vises i koordinatsystemet (man vælger selv hvor i forhold til punktet)

Manual Graph


Skæringspunkt mellem to funktioner Hvis man skal bestemme skæringspunktet mellem to linjer

f(x) = -4x + 2 og g(x) = 2x – 4 (eller fx skal løse ligningen: -4x + 2 = 2x – 4) kan resultatet findes vha. programmet.

De to funktioner tastes ind

I dette tilfælde kan skæringspunktet aflæses; men programmet kan også angive løsningen

Man aktiverer Beregn og herefter evaluer

Manual Graph


Herefter stiller man cursoren på en af de to funktioner (i venstre side) hvorefter der fremkommer en ny menu nederst til venstre

Manual Graph


Her vælger man så – via rullemenuen – skæring

Herefter kan man stille sig i koordinatsystemet, hvorefter skæringspunktet vises og værdien fremgår af menuen til venstre

Manual Graph


Hvis der var flere skæringspunkter mellem funktionerne (fx hvis den ene funktion var en parabel) stiller man sig bare nærmest det punkt, man ønsker at aflæse – og gentager herefter proceduren

Manual Graph


Skæring med x-aksen Hvis man skal bestemme skæringspunkt eller – punkter med x-aksen gøres det stort set på samme måde, som når man bestemmer skæringspunktet mellem to grafer

Man indtaster den givne funktion og aktiverer beregn og vælger evaluer

Herefter vælger man x-akse i rullemenuen

I menuen til venstre fremgår skæringen med x-aksen

Manual Graph


Manual Graph


Bestemmelse af løsningen til en andengradsligning Hvis man vil finde løsningen til en andengradsligning forgår det på præcis samme måde, som når man bestemmer skæring med x-aksen. Her ses på ligningen: x2-5x+4=0

Funktionens forskrift noteres hvorefter man vælger beregn og evaluer

Man ”hopper” fra det ene punkt til det andet ved at flytte cursoren

Manual Graph


Manual Graph


Bestemmelse af toppunkt (ekstrema) Hvis toppunktet for en parabel skal bestemmes, indtastes funktionen hvorefter man vælger beregn og evaluer.

Her er det ekstrema, der vælges i rullemenuen

Herefter stiller man sig i koordinatsystemet, hvorefter toppunktet kan aflæses

Manual Graph


Manual Graph


Bestemmelse af forskrift for en lineær funktion gennem to givne punkter Hvis man skal bestemme forskriften for en lineær funktion ud fra to givne punkter kan dette gøres ret let i programmet.

Hvis man fx får oplyst punkterne A(3,4) og B(-2,-4), starter man med at vælge funktion og herefter punktserie.

De to givne punkter indtastet herefter i tabellen

Bemærk punkterne er valgt så de markeres med et rødt kryds og linjen gennem punkterne tegnes her med grønt. Hvis det ikke er givet, der skal tegnes en ret linje/lineær funktion, så vælges en tykkelse på 0, så punkterne ikke forbindes

Manual Graph


Hvis det er en lineær funktion gennem de to punkter, der skal bestemmes, stiller man sig på serien (venstre side) og vælger enten funktion tendenslinje eller menuen øverst der viser punkter omkring linjen (tendenslinje)

Man afkrydser Lineær og aktiverer ok

Forskriften for linjen fremgår nu af tekstboksen

Manual Graph


Manual Graph


Enkeltlogaritmisk papir Hvis man ønsker at tegne en eksponentialfunktion i et enkeltlogaritmisk papir (ret linje), kan det gøres ved man ændrer y-aksen. Man sætter her kryds i logaritmisk skala, hvorefter grafprogrammet automatisk tilpasser enhederne

Manual Graph


Man ønsker ofte at se skalaerne, hvilket betyder, man skal markere vis gitter

Dermed ses tydeligt, der er tale om en skala på y-aksen, der ikke er ”almindelig”

Manual Graph


Bestemmelse af forskrift for eksponentiel funktion ud fra to givne punkter Dette gøres på stort set samme måde som bestemmelsen af en lineær funktion gennem to punkter!

Husk y-værdierne ikke må være negative!

Nå man ønsker tendenslinjen, igennem punkterne (-2,1) og (4,3) plottes disse først ind

Herefter aktiveres tendenslinje, hvor det er eksponentiel funktion, der afkrydses

Manual Graph


Herefter vises grafen igennem de to punkter – og forskriften angives i tekstboksen

Manual Graph


Bestemmelse af forskrift for en potensfunktion gennem to givne punkter Her plotter man de to punkter ind under punktserie, hvorefter tendenslinje aktiveres, og man vælger potens funktion. her er punkterne (1,2 og (7,9)

Husk: her må ingen af værdierne være negative!

Når tendenslinjen aktiveres, er det poetens der skal afkrydses

Manual Graph


Herefter vil forskriften fremgå af tekstboksen, når man aktiverer OK

Manual Graph


Ofte vil man ønske grafen vist på et dobbeltlogaritmisk papir. det betyder såvel x- som y-aksen skal inddeles efter en logaritmisk skala (se enten under enkeltlogaritmisk papir eller eksponentialfunktion gennem to punkter)

Man få da følgende:

Manual Graph


Pæneste funktion gennem en række givne punkter Hvis man har givet en række punkter i koordinatsystemet, kan man ved hjælp af programmet fastlægge hvilken funktion der er ”bedst” – dvs. hvilken funktion de givne punkter vil ligge tættest omkring.

Dette gøres på samme måde, som når man bestemmer forskriften gennem to punkter, her bliver værdien af r2 dog forskellig, idet 1 indikerer, modellen er perfekt. Jo tættere på 1 jo bedre model.

Hvis vi fx har punkterne

(1,2), (2,4), (3,7 og (4,11) starter vi med at taste disse ind under punktserie

Manual Graph


Hvis vi blot ønsker at bestemme, om det er en lineær funktion, eksponentiel funktion eller potens funktion, der bedst kan angive dette forløb, stiller man sig blot på punktserien og får grafprogrammet til at fastlægge den bedste tendenslinje. Det kan principielt gøres i samme koordinatsystem

Man aflæser herefter, de givne værdier for r2 og vælger den model, hvor værdien er tættest på 1.

I ovenstående tilfælde er det den eksponentielle funktion (r2 = 0,99). De to andre funktioner har en værdi på 0,98

Man kan vælge at tage hver funktion for sig og evt. lade punkterne ligge i hhv. et almindeligt koordinatsystem, enkeltlogaritmisk eller dobbeltlogaritmisk.

Manual Graph


Graf for funktion med begrænset definitionsmængde Hvis man skal tegne en funktion indenfor et begrænset område (definitionsmængden er afgrænset) kan man angive endepunkterne, når funktionen indtegnes. samtidig kan man angive om et punkt er med eller ej ved at fastlægge om endepunktet skal afsluttes med en åben (punktet ikke med) eller en lukket (punktet med) bolle.

Vi ser på funktionen f(x) = 2x – 4 for -2 < x < 5

Vi taster forskriften ind under funktion og angiver herefter at -2 er med og 5 ikke er med

Grafen ser således ud

Manual Graph


Stykkevis lineær funktion Hvis en funktion består af flere funktioner – fx en såkaldt stykkevis lineær funktion – tegner man blot de enkelte dele hver for sig og husker at tage hensyn til intervallerne.

Det grafiske billede vil derefter vise grafen.

Ex.

2x – 4 for -2 < x < 5

f(x) = 3 for 5 < x < 7

-3x + 16 for x > 7

Først tegnes første del (se under funktion med begrænset definitionsmængde). Herefter ses på funktion nr. 2

Manual Graph


Sidste del tages nu

Manual Graph


Herefter har man funktionens graf

Manual Graph


Ligningsløsning Grafprogrammet kan som sådan ikke løse ligninger; men principielt kan man jo altid opfatte en ligning som to funktioner, der skal være lig med hinanden.

Man kan derfor bestemme løsningen ved at taste venstre side ind som en funktion og højre side som en anden funktion. Dernæst kan man v.h.a. grafprogrammet bestemme, hvor de to grafer skærer hinanden. x koordinaten er løsningen til ligningen.

Man bestemmer således løsningen til ligningen: 2·1,09x = 8 således:

Manual Graph


Hvis de to funktioner ikke skærer hinanden inden for grafvinduet, skal akserne eller koordinatsystemet ændres. Dette kan man enten gøre ved at ændre akserne manuelt – eller man kan zoome ud.

Manual Graph


Det gøres ved at aktivere luppen med et minus i, hvorved man fx får følgende billede

Nu kan ”Beregn” aktiveres, herefter evaluer. I rullemenuen vælges skæring

Løsningen kan nu aflæses til 16,086

Vær opmærksom på, du ved en prøve/aflevering bør dokumentere, at dette resultat er korrekt. det gøres ved at indsætte den fundne værdi på x’ets plads og dermed vise, at venstre og højre side i udtrykket er ens.

Manual Graph


Tekst og forklaring til grafer Det kan være hensigtsmæssigt at skrive tekst (forklaring og/eller beregninger) ved grafen. Dette gøres ved at aktivere tekstboksen med A.

Teksten kan flyttes rundt, justeres i størrelse og farve mm

Manual Graph


Manual Graph


Tekst med formler, brøker og lignende I programmet kan man aktivere formeleditor (kendt fra Windows 2003) og dermed indsætte tekst med formler m.m.

Dette gøres i tekstboksen således:

Først vælges indsæt objekt (nr. 2 ikon i menu bjælken fra venstre)

Nu vælges ”Microsoft Equation”

Manual Graph


Her kan man nu aktivere de ikoner, der er brug for, så som brøker, kvadratrødder og lign.

Manual Graph


Dette indføres herefter i en tekstboks i koordinatsystemet

Manual Graph


Trappediagram

Graph er velegnet til indtegning af trappediagrammer og sumkurver, idet man kan justere koordinatsystemets akser, så de passer med datasættet, samt plotte punkter ind, der forbindes med linjer.

Man tegner ved at indtaste de punkter, der skal forbindes i koordinatsystemet.

Hvis det er et trappediagram, der skal tegnes, skal hver x-koordinat skrives to gange i tabellen, hvorimod x-koordinaterne kun skal skrives en gang, når det er en sumkurve, der skal vises.

Vi antager, der er lavet en beregning af den summerede frekvens fx for skostørrelserne på en HH-årgang.

Følgende data er fremkommet:

Skostørrelse x Summeret frekvens i procent F 37 10 38 32 39 54 40 62 41 78 42 86 43 94 44 98 45 100

Akserne indstilles (x-aksen) så akserne skærer hinanden for fx x = 36

Manual Graph


I Graph vælges nu indsæt tabel, hvor følgende indtastes

Herefter fremkommer trappediagrammet, hvor man eventuelt kan notere kvartilsæt og lignende.

Ved at indsætte tre funktioner f(x) = 25, f(x) = 50 og f(x) = 75 kan man desuden illustrere, hvordan kvartilsættet aflæses. Man kan eventuelt vælge at markere aflæsningen og kun lade den gå i det interval, der er aktuelt.

Manual Graph


På samme måde kan man begrænse den lodrette markering af aflæsningen ved at indsætte en relation og sætte grænser for y. Det gøres således:

Manual Graph


Det endelige trappediagram, ser således ud:

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

y

(37,0)

(37,10) (38,10)

(38,32) (39,32)

(39,54) (40,54)

(40,62) (41,62)

(41,78) (42,78)

(42,86) (43,86)

(43,94) (44,94)(44,98) (45,98)(45,100) (46,100)

1. kvartil: 382. kvartil - median: 393. kvartil: 41

Skostørrelser

Har man først udarbejdet et, er det let at ændre heri, idet et klip på billedet aktiverer programmet, hvorefter man hurtigt kan ændre i tabelværdierne etc.

Manual Graph


Sumkurve

På samme måde udarbejdes en sumkurve. Først indtastes de respektive værdier i en tabel:

Her efter justeres akser eventuel (se hvordan under trappediagram), man markerer evt. kvartilsæt (se hvordan under trappediagram).

Det endelige billede bliver da således:

50 100 150 200 250 300 350 400

10

20

30

40

50

60

70

80

90

00

x

y

(0,0)(50,4.7)

(100,21.7) (150,21.7)

(200,39.1)

(250,60.9)

(300,73.9)

(350,87)

(400,100) (450,

1. kvartil: ca. 1602. kvartil - median: 2253. kvartil: ca. 305

mobiltelefonforbrug!

Manual Graph


Bestemmelse af parametre i kapital eller annuitetsformel

Graphprogrammet er IKKE et finansprogram; men man kan få programmet til at beregne fx antal terminer, renteprocenten og lignende.

Dette gøres ved at indsætte formlen som funktion.

Ex. 1.

Bestemmelse af begyndelseskapital K0

Kn = 5000 renten = 5 % (0,005) Antal terminer = 12

Kn = K0*(1+r)n

I grafprogrammet tastes først funktionen f(x)= 5000

Dernæst tastes funktionen f(x) = x*(1.05)^12

Løsningen fremkommer ved bestemmelse af skæringen

Manual Graph


På samme måde kan fx antal terminer i opsparingsformlen bestemmes

Ex 2

An = y*(1+𝑟𝑟)𝑛𝑛−1

1

An = 4000 y = 500 r = 5 % (0.05)

Vi indtaster venstre side som f1 og højre side som f2, idet vi lader n være x. Dernæst bestemmes skæringspunktet mellem de to linjer

Manual Graph


Herefter bestemmes skæringen mellem linjerne (Beregn/evaluer/skæring)

x aflæses til 6,896.

Vi har dermed, at antallet af terminer er ca. 6,9

De øvrige parametre kan bestemmes på tilsvarende vis

manual graph - systimemanual graph manual matematik c side 38 hvis vi blot ønsker at bestemme, om...

Documents