SERGIO ALARCONV-23,811,751

ANALISIS NUMERICOPROF. DOMINGO MENDEZ

SAIA B

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD FERMIN TORO ESCUELA DE INGENIERIA CABUDARE-EDO. LARA

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

2.Métodos De Eliminación Gaussiana:

El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial. Destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que resolveremos por remonte. Además la matriz de partida es equivalente a la de llegada es decir que tiene el mismo determinante.

Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar serias dudas sobre la respuesta final.

1. Métodos de Eliminación Gussiana utilizando métodos Numéricos :En esta unidad examinaremos los aspectos numéricos que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones, utilizando matrices que permiten utilizar algoritmos para resolver estos sistemas.

Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos de eliminación

3. Método de Gauss-Jordan:

El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal.

El método de Gauss - Jordán es un método computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán. Un ejemplo en el que se suele usar Gauss - Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N sistemas con la misma matriz.

4. Descomposición LU:

El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz.La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout.

5.Factorización De Cholesky:

Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras palabras, [A] =[A] T. Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que sólo se necesita la mitad de almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para su solución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo.los factores triangulares resultantes son la traspuesta de cada uno. A = L . LT

6.Factorización de QR, Householder:Anteriormente analizamos la factorización LU de una matriz el cual conduce aun método muy eficiente para resolver un sistema lineal. Otro método de factorización de una A, llamada factorización QR de A. En muchas aplicaciones el número de filas (M) de una matriz de coeficientes A mxn puede ser 3 al número de columnas (N). La Factorización QR consiste en descomponer la matriz Amxn en el producto de dos matrices: Una matriz Ortogonal: Qmxn ® QT . Q = INxN Una matriz Triangular Superior: U = RNxN

Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel que genera, a partir de un vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2, . . . xn.. "Un método iterado se dirá que es consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de la sucesión (xn), en caso de existir, es solución del sistema. Se dirá que el método es convergente si la sucesión generada por cualquier vector inicial x0 es convergente a la solución del sistema

1.Método De Gauss Seidel:

El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución.

La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada xi de cero.

Observase que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., x i-1.

Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente.

2.Método de Jacobi:

El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal.

Si A es diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial Xo.Partimos de una aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación: Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x (k) en función de vector anterior x (k-1) en la iteración de Jacobi, en su respectivo algoritmo; donde el a el método de Jacobi más que usar el último valor disponible de , con base en un conjunto de las x anteriores (). De esta forma, como se generan nuevos valores, no se usan en forma inmediata sino que se retienen para la siguiente iteración.