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OPTIMIZACIÓN
María Jesús de la Fuente Aparicio
Alberto Herrreros López
Optimización• Problemas de optimización:
– Como tomar la mejor opción entre varias posibles– Problemas de naturaleza muy diversa
• Diseño (p.e. dimensionamiento de un equipo con costo mínimo)
• Operación (p.e. punto de operación mas rentable)• Logística (p.e. ruta mas corta de distribución de un producto)
• Planificación (p.e. mejor lugar para construir una planta)• Control (p.e. acción de control que genera menos varianza en la variable controlada)
• Etc.
Optimización
• Se presentan en campos muy diversos– Procesos– Economía– Biología– Electrónica,….
• Pero todos tienen rasgos comunes:– Un objetivo u criterio a optimizar– Unas variables de decisión– Un conjunto de ligaduras y restricciones sobre las variables de decisión
Optimización
• ¿Cómo tomar decisiones óptimas?
¿Por experiencia?
¿Experimentando todas las opciones?
Analizando el problema y formulándolo como un problema matemático
Optimización• Metodología de trabajo.
0)y,x(g0)y,x(h
)y,x(Jminx
≤=
1 Analizar el problema
2 Formularlo en términos matemáticos
3 Resolverlo con los algoritmos y software adecuados
4 Interpretar y aplicar la solución
Optimización• Análisis / formulación (Modelado)
0)y,x(g0)y,x(h
)y,x(Jminx
≤=
1 Analizar el problema
2 Formularlo en términos matemáticos
1. Conocer el proceso, listar todas las variables de interés
2. Determinar el criterio de optimización y especificar el criterio de optimización en términos de las variables del problema
3. Especificar las relaciones entre las variables impuestas por balances de masa y energía, leyes físicas, etc.
4. Determinar el rango admisible de las variables
5. Identificar los grados de libertad respecto a los cuales optimizar
Optimización• Resolución y aplicación (Optimización)
0)y,x(g0)y,x(h
)y,x(Jminx
≤=
3 Resolverlo con los algoritmos y software adecuados
4 Interpretar y aplicar la solución
6. Formular el problema en términos de uno de los tipos de optimización conocidos
7. Estudiar la formulación y simplificarla / adecuarla
8. Aplicar un algoritmo adecuado usando un software de optimización
9. Analizar la solución, estudiar la sensibilidad de la solución a cambios en las hipótesis y los parámetros del problema
EJEMPLOS
Diseño
1h
Encontrar las dimensiones de un tanque cilíndrico abierto de modo que tenga un volumen de 6 m3 y área mínima
d
h
Variables:
V volumen
d diámetro
h altura
A area
Función a minimizar:
A = πdh+¼πd^2
Relaciones entre variables:
V = ¼ πd^2h = 6
Límites:
d ≥ 0 , h ≥ 0 0h,0dV4hd
:a sujeto
d41dhmin
2
2
h,d
≥≥=π
π+π
Formulación:
Grados de libertad: número de variables – numero de ecuaciones independientes: 2‐1=1
Datos : V
Ejemplo de Planificación (I)
NORMAL
SUPER
Ventas por contrato
Ventas por contrato
Ventas en el mercado
Ventas en el mercado
Venta directa
Venta directa
Venta directa
Venta directa
Venta directa
1
2
3
4
5
Gasolina intermedia
Ejemplo de Planificación (II)• Función de coste: beneficio neto en el tiempo planificado.
• Variables independientes:– Para cada gasolina intermedia i:
• xi = cantidad usada para producir fuel normal• yi = cantidad usada para producir fuel super• zi = cantidad usada para vender en el mercado
– Para cada producto j:• uj = cantidad vendida por contrato• vj = cantidad vendida en el mercado
• Modelo: balances de materia para asegurar cantidad y calidad de los productos finales:– Balance de cada gasolina intermedia: xi + yi + zi≤ αi
Ejemplo de Planificación (III)
– Balance de materia para cada producto
∑ +=i
i vux 11 ∑ +=i
i vuy 22
– Restricciones para la calidad del producto
∑ +≥i
ii vux )( 111γβ ∑ +≥i
ii vuy )( 222γβ
– Restricciones para la cantidad de producto
jju δ≥
Función de coste: beneficio neto .
)()( )()()()()(iiiiiiiiijjjj yxczyxczcvcuc +−++−++ ∑∑∑∑∑ 54321
Ejemplo de Planificación (IV)Gasolinas Intermedias
Disponiblidadαi
Calidadβi
PrecioCi(3)
CosteCi(4)
MezclaCi(5)
1 2 x 105 70 30 24 1
2 4 x 105 80 35 27 1
3 4 x 105 85 36 28.5 1
4 5 x 105 90 42 34.5 1
5 5 x 105 99 60 40 1.5
Producto Contratoδi
Calidadγi
Precio Contr.Cj(1)
Precio Merc.Cj(2)
1 5 x 105 85 40 46
2 4 x 105 95 55 60
Ejemplo de Planificación (V)
0,,,,,...,,,...,,,...,10.4
10.5
)(959990858070)(859990858070
10.5
10.5
10.4
10.4
10.2..
)(5.41)(5.35)(5.29)(28)(25205.75.78660465540max
2121515151
52
51
2254321
1154321
2254321
1154321
55515
5444
5333
5222
5111
5544332211
543212121
≥≥
≥
+≥+++++≥++++
+=+++++=++++
≤++
≤++
≤++
≤++
≤++
+−+−+−+−+−++++++++=
vvuuzzyyxxu
u
vuyyyyyvuxxxxx
vuyyyyyvuxxxxx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxas
yxyxyxyxyxzzzzzvvuuf
CONSIDERACIONESFINALES
Optimización
• Estructura de un problema de optimización genérico:
( )
( )( )
Nixxx
JjxgKkxh
asxf
Uii
Li
j
k
,,1
,,10,,10
..min
K
K
K
=≤≤
=≥==
Optimización• Tipos de problemas de optimización:Si K=J=0 Optimización sin restricciones
Si K=J=0; i=1 Optimización escalar
K=J=0; i>1 Optimización vectorial
K≠ 0 y J ≠ 0 Problema de programación no lineal (NLP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y f, g y h son lineales (f (x) =ax+b; g(x)=cx+d; h(x)=ex+f) Problema de programación lineal (LP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y f es cuadrática y g y h son lineales Problema de programación cuadrática (QP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y x son enteras y reales Problema de programación mixta‐entera
Optimización
• Formas de resolver los problemas de optimización:– Métodos de resolución teóricos– Métodos de resolución estocásticos:
• Método de Monte Carlo• Algoritmos genéticos• Tabu Search• Simulated Annealing• Etc.