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Marcello Varella Souto Filho
Modelagem Numérica de Reforço Estrutural em Vigas de Concreto Armado
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial paraobtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação do Departamento de Engenharia Civil daPUC-Rio. Área de concentração: Estruturas.
Orientador: Prof. Marta de Souza Lima Velasco
Rio de JaneiroAgosto de 2002
Marcello Varella Souto Filho
Modelagem Numérica de Reforço Estrutural em Vigas de Concreto Armado
Dissertação apresentada como requisito parcial paraobtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Estruturas do Departamento deEngenharia Civil do Centro Técnico Científico daPUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadoraabaixo assinada.
Prof. Marta de Souza Lima Velasco, D.sc.Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Luiz Fernando Martha, D.sc.Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Emil de Souza Sánchez Filho, D.sc.Departamento de Estruturas – UFJF
Eng. Sérgio Brasil FigueredoSbrasil Engenharia Ltda.
Prof. Ney Augusto DumontCoordenador Setorial
do Centro técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 09 de Agosto de 2002
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ouparcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e daorientadora.
Marcello Varella Souto Filho
Formou-se em técnico de programação de computadores em 1995.Monitor da cadeira de hiperestática em 1997 e 1998 na UERJ.Graduou-se em Engenharia Civil na UERJ (Universidade doEstado do Rio de Janeiro ) em 1998. Trabalhou de 1995 a 2000 naempresa de cálculo estrutural Caltec Engenharia Ltda. Prestouserviços na área de Engenharia Estrutural para Empresa SbrasilEngenharia Ltda. Trabalhou como professor da cadeira deResistência dos materiais no Departamento de Estruturas eFundações da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Trabalhaprestando consultoria e elaborando projetos estruturais em concretoarmado e aço para construção civil e indústria naval-offshore.
Ficha CatalográficaSouto Filho, Marcello VarellaModelagem numérica de reforço estrutural em vigas de concretoarmado / Marcello Varella Souto Filho; orientador: Marta de SouzaLima Velasco. – Rio de Janeiro : PUC, Departamento deEngenharia Civil, 2002.
[17],110 f. : il. ; 30 cm
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Riode Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia civil – Teses. 2. Concreto armado. 3. Reforçoestrutural. 4. Compósitos. 5. Fibra de carbono. 6. Método doselementos finitos. 7. Modelos constitutivos. I. Velasco, Marta deSouza Lima. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.Departamento de Engenharia Civil. III. Título
CDD: 624
Agradecimentos
Aos professores Marta de Souza Lima Velasco e Ricardo Einsfeld pela
compreensão, pelos ensinamentos prestados, atenção dedicada e orientação
segura.
Ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não
poderia ter sido realizado.
A todos os professores deste departamento pelos ensinamentos científicos
prestados.
Aos professores da Universidade do Estado do Rio de Janeiro, em especial ao
Departamento de Estruturas e Fundações pelos ensinamentos de graduação e
apoio profissional.
A todos os amigos e familiares que de alguma forma participaram da elaboração
deste trabalho incentivando, apoiando e em algumas vezes até criticando.
A todos os colegas de departamento que dividiram comigo alegrias e angústias.
Às amigas Cristina Travessa Pinto e Ana Carolina Neves de Araújo pelo apoio e
pelo fornecimento de detalhes e experiências obtidas em seus trabalhos
experimentais.
À empresa Sbrasil Engenharia Ltda, todos seus funcionários e em especial ao seu
diretor Eng° Sergio Brasil pelo suporte profissional.
Resumo
Souto Filho, Marcello Varella; Velasco, Marta de Souza Lima.Modelagem Numérica de Reforço Estrutural em Vigas de ConcretoArmado. Rio de Janeiro, 2002. 127pp. Dissertação de Mestrado –Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica doRio de Janeiro.
A necessidade cada vez mais freqüente de reforço em estruturas de
concreto armado, exige um completo conhecimento do comportamento da
estrutura reforçada devido a alterações de rigidez do conjunto, aumento da carga
de ruptura, alterações na distribuição de fissuras, modificação de comportamento
e posição da linha neutra, entre outros. Nos últimos anos diversos estudos
experimentais têm sido conduzidos, fornecendo parâmetros cada vez mais
confiáveis à elaboração de projetos e ao dimensionamento seguro em relação aos
estados limites de utilização e de ruptura. No desenvolvimento deste trabalho,
utiliza-se um programa computacional baseado no método dos elementos finitos,
capaz de descrever o comportamento de elementos estruturais prismáticos em
concreto armado reforçados à flexão. Descreve-se o modelo hipoelástico de Elwi
e Murray (1979) para o concreto simples e um modelo multilinear para simulação
dos reforços. Tais relações resultam de estudos analíticos e experimentais sobre o
concreto armado e estão originalmente implementadas no programa FEPARCS
(Elwi e Murray, 1980), que neste trabalho é modificado e adaptado de acordo com
a realidade da execução de reforços em estruturas em serviço. O programa
FEPACS, capaz de realizar análises numéricas não-lineares, é acoplado a um
programa de pré e pós-processamento gráfico especialmente desenvolvido para
geração, gerenciamento do processo de cálculo e para análise de resultados
obtidos. Os resultados obtidos utilizando o programa proposto são validados
através de uma comparação com resultados experimentais obtidos na literatura.
Palavras-chaveConcreto Armado; Reforço Estrutural; Compósitos; Fibra de Carbono;
Método dos Elementos Finitos; Modelos Constitutivos.
Abstract
Souto Filho, Marcello Varella; Velasco, Marta de Souza Lima. NumericalModeling of Structural Strengthening of Reinforced Concrete Beams .Rio de Janeiro, 2002. 127pp. Master of Science – Civil EngineeringDepartment, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The frequent use of composite materials, in the strengthening of reinforced
concrete structures requires complete knowledge of the structural behavior
because of the changes that such strengthening will cause to the overall stiffness,
the collapse load, the cracks distribution and the behavior and position of the
neutral axis. Over the last few years experimental studies have been performed,
bringing out more trustworthy parameters for ultimate strength design. In this
work, a computational program was implemented based on the finite element
method, which is able to describe the flexural strengthening of reinforced concrete
beams. The model used in this program is that of Elwi & Murray (1979), which
assumes a so-called hypo elastic theory for concrete and a approach to simulate
the reinforcement. These relationships were derived from reinforced concrete
analytical and experimental studies and are originally implemented in the
FEPARCS program (Elwi e Murray, 1980), which has been modified in order to
obtain a more realistic approach to in-service structural strengthening. The
program developed, which is able to perform non-linear numerical analyses, is
coupled to pre and pos-processing graphic programs specially developed for
model generation, management of the calculation sequence and presentation of
final results. The results produced by this program have been validated by
comparison with experimental results available in literature.
KeywordsReinforced Concrete; Strengthening; Composites; composites; Finite
Element Method; Constitutive models.
Sumário
1. Introdução 18
1.1. Considerações Gerais 18
1.2. Objetivo 19
1.3. Organização deste trabalho 21
2. Reforço Externo à Flexão e ao Cisalhamento de Elementos
Estruturais em Concreto Armado 23
2.1. Introdução 23
2.2. Utilização de Reforços Estruturais 23
2.2.1. Problemas Estruturais 23
2.2.2. Mudanças na Utilização Definida em Projeto 24
2.3. Técnicas de Reparo e Reforço 24
2.3.1. Adição de Chapas de Aço 25
2.3.2. Adição de Compósitos de Fibras 27
2.3.3. Técnica de Estribos Externos Pré-tracionados 31
2.3.4. Técnica de Vergalhões Colados 32
2.4. Propriedades de materiais Utilizados em Reforço 32
2.5. Estudos Experimentais sobre Técnicas de Reforço Externo 33
2.5.1. Estudos de Cerqueira (2000) e Pinto (2000) 33
2.5.2. Estudo de Araújo (2002) 39
3. O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Analise Não-
Linear 47
3.1. Introdução 47
3.2. Método dos Elementos Finitos 47
3.2.1. Método dos Elementos Finitos – Modelo da Rigidez 48
3.2.2. Elementos Finitos Bidimensionais Planos 51
3.2.3. Considerações Sobre o MEF e Não Linearidade 56
3.3. Modelos Adotados 56
3.3.1. Modelo Constitutivo Hipoelástico 57
3.3.1.1. Relação Constitutiva Incremental 57
3.3.1.2. Deformação Uniaxial Equivalente 58
3.3.1.3. Coeficiente de Poisson 62
3.3.1.4. Superfície de Ruptura de William-Warnke 62
3.3.2. Modelo Elasto-Plástico Multilinear 67
3.3.3. Modelo Elasto-Plástico Multilinear Modificado 68
3.4. Estratégias de Solução Para Análise Não-Linear 69
3.4.1. O Método de Newton-Raphson 69
3.4.2. O Método do Comprimento de Arco 73
3.4.3. Critérios de Convergência 76
4. Pré e Pós-Processamento de Dados Para Análise por
Elementos Finitos 77
4.1. Introdução 77
4.2. Conceitos de Computação Gráfica Utilizados no Programa
PREPOS 78
4.2.1. Inserção de Reforço e Suas Coordenadas 81
4.3. O Programa PREPOS 83
5. Aplicação Numérica 94
5.1. Introdução 94
5.2. Resultados Experimentais e Análise Numérica 94
5.2.1. Estudo de Pinto (2000) 94
5.2.2. Estudo de Araújo (2002) 105
6. Conclusões e Sugestões 119
6.1. Conclusões 119
6.2. Sugestões para trabalhos futuros 122
Referências Bibliográficas 124
Lista de Figuras
Figura 2. 1 – Uso de chapas coladas para reforço aocisalhamento e à flexão 26
Figura 2. 2 – Diagrama “tensão x deformação” específica dediversos tipos de fibras (Master Builders Tecnologies) 28
Figura 2. 3 – Diagrama “tensão x deformação” específica decompósitos de fibra de carbono comercializados pela Sika epor Master Builders Tecnologies, respectivamente 29
Figura 2. 4 – Esquema de reforço à flexão e aocisalhamento utilizando lâminas de fibras de carbono 30
Figura 2. 5 – Viga reforçada ao cisalhamento com o uso deestribos externos pré-tracionados 31
Figura 2. 6 – Viga reforçada à flexão e cisalhamento com ouso de vergalhões colados 32
Figura 2. 7 – Sistema estrutural, Diagrama de Esforçocortante e Momento Fletor de V1 a V5 34
Figura 2. 8 – Diagrama de “tensão x deformação” daLâmina Sika Carbodur tipo S utilizada 36
Figura 2. 9 – Detalhamento da armadura interna da viga V1 36
Figura 2. 10 – Reforço da viga V1 37
Figura 2. 11 – Posição em que foram medidas deformaçõesnas armaduras internas das vigas 38
Figura 2. 12 – Posição em que foram medidas deformaçõesnas lâminas do reforço das vigas 38
Figura 2. 13 – Sistema estrutural, Diagrama de Esforçocortante e Momento Fletor de VR e V1 a V6 40
Figura 2. 14 – Detalhamento da armadura interna das vigasVR e V1 a V6 42
Figura 2. 15 – Reforço da viga V1 a V3 43
Figura 2. 16 – Reforço das vigas V4 a V6 43
Figura 2. 17 – Posição para medição de deformações nasarmaduras e deslocamentos das vigas VR, V1 e V4 43
Figura 2. 18 – Posição para medição de deformações nasarmaduras e deslocamentos das vigas V2, V3, V5 e V6 43
Figura 3. 1 – Divisão do domínio de integração em pequenas áreasdenominadas Elementos Finitos 46
Figura 3. 2 – Placa de espessura ‘e’, solicitada por forçasexternas atuando em seu plano médio 51
Figura 3. 3 – a) Elemento isoparamétrico Q4 no espaçoξη b) Elemento isoparamétrico Q4 no espaço xy 52
Figura 3. 4 – a) Elemento isoparamétrico Q8 no espaço ξη b) Elemento isoparamétrico Q8 no espaço xy 55
Figura 3. 5 – Relação “tensão x deformação” uniaxial paracompressão do concreto 60
Figura 3. 6 – Relação “tensão x deformação” uniaxial paratração e para o cisalhamento respectivamente 60
Figura 3. 7 – Espaço tridimensional de tensões, eixohidrostático e plano desviador 64
Figura 3. 8 – Superfície de William-Warnke: Seçãodesviadora 65
Figura 3. 9 – Superfície de William-Warnke: Seçãomeridional 66
Figura 3. 10 – Relação “tensão x deformação” que descreveo comportamento do material utilizado nos reforços 67
Figura 3. 11 – Relação “tensão x deformação” que descreveo material dos reforços inseridos durante o cálculo 68
Figura 3. 12 – Representação gráfica do Método deNewton-Raphson standard 70
Figura 3. 13 – Representação gráfica do Método deNewton-Raphson modificado 71
Figura 3. 14 – Representação gráfica do Método deNewton-Raphson rigidez inicial 71
Figura 3. 15 – Típica trajetória de equilíbrio com ponto-limitepara o caso unidimensional 72
Figura 3. 16 – Representação gráfica do Método doComprimento de Arco com processo iterativo do tipoNewton-Raphson modificado para um caso unidimensional 73
Figura 3. 17 – Decomposição do vetor wi segundoWelssels (1977) 75
Figura 3. 18 – Representação gráfica dos sistemas deequações, caso unidimensional, da decomposição deWelssels (1977) 75
Figura 4. 1 – Relação entre os sistemas de coordenadas domodelo e da tela de plotagem 79
Figura 4. 2 – implementação no modelo dos comandos detranslação direcionada e Pan 80
Figura 4. 3 – implementação no modelo de fatores deescala 80
Figura 4. 4 –Introdução de reforço de acordo comcoordenadas do modelo original 81
Figura 4. 5 –Introdução de reforço de acordo comcoordenadas do modelo original 82
Figura 4. 6 – Possíveis intercessões entre funções definidaspelo reforço e as que definem o elemento 82
Figura 4. 7 – Tela inicial do programa PREPOS 83
Figura 4. 8 – Tela para geração da malha de ElementosFinitos 84
Figura 4. 9 – Tela demonstrando as opções de manipulaçãográfica do modelo 84
Figura 4. 10 – Tela demonstrando a introdução derestrições de deslocamento ao modelo 85
Figura 4. 11 – Tela para entrada de dados referente aspropriedades do material que compõe os elementos 86
Figura 4. 12 – Tela para entrada de reforço linear emqualquer direção 87
Figura 4. 13 – Tela para entrada de reforço linear emqualquer direção com possibilidade de cópia do original 87
Figura 4. 14 – Tela para entrada de propriedades referentea novos materiais de reforço 88
Figura 4. 15 – Tela para entrada das cargas nodais queincidem sobre a estrutura 89
Figura 4. 16 – Escolha do procedimento de cálculo a serutilizado 89
Figura 4. 17 – Tela para definição da estratégia de soluçãodo modelo e definição dos “steps” necessários 90
Figura 4. 18 – Tela para análise de resultados e definiçãode novos parâmetros pra reinicio do cálculo 91
Figura 4. 19 – Gráficos para análise resultados nos nós eelementos lineares 91
Figura 4. 20 – Tela para introdução de novos reforços 92
Figura 4. 21 – Visualização dos novos reforços e definiçãode novos parâmetros pra reinicio do cálculo 93
Figura 5. 1 – Discretização adotada para analise numérica:(a) Elementos de concreto; (b) Elementos de armadura; e(c) Elementos de reforço 95
Figura 5. 2 – Diagrama “Carga x Flecha” – Deflectômetro 1 98
Figura 5. 3 – Diagrama “Carga x Flecha” – Deflectômetro 2 98
Figura 5. 4 – Diagrama “Carga x Deformação” da armaduralongitudinal interna no meio do vão - Extensômetro D-1 99
Figura 5. 5 – Diagrama “Carga x Deformação” da armaduralongitudinal interna - Extensômetro D-2 99
Figura 5. 6 – Diagrama “Carga x Deformação” da lâmina defibra de carbono no meio do vão - Extensômetro F-1 100
Figura 5. 7 – Diagrama “Carga x Deformação” da lâmina defibra de carbono Extensômetro F-2 100
Figura 5. 8 – Configuração da viga no início do processo defissuração – Passo de solução 9 101
Figura 5. 9 – Configuração da viga durante o procedimentode reforço – Passo de solução 11 102
Figura 5. 10 – Configuração da viga imediatamente antesao descolamento do compósito – Passo de solução 16 102
Figura 5. 11 – Configuração da viga imediatamente apósdescolamento do compósito – Passo de solução 17 103
Figura 5. 12 – Distribuição de tensões nas armadurasiniciais e de reforço – Passo de solução 17 103
Figura 5. 13 – Configuração da viga na iminência daruptura – Passo de solução 18 104
Figura 5. 14 – Discretização adotada para analisenumérica: (a) Elementos de concreto; (b) Elementos dearmadura; e (c) Elementos de reforço 106
Figura 5. 15 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição doDeflectômetro 1 - Comparação entre o valore teórico daviga reforçada e o experimental 109
Figura 5. 16 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição doDeflectômetro 2 - Comparação entre o valore teórico daviga reforçada e o experimental 109
Figura 5. 17 – Diagrama “Carga x Deformação” na posiçãodo Extensômetro 2 - Comparação entre o valore teórico daviga reforçada e o experimental 110
Figura 5. 18 – Diagrama “Carga x Deformação” na posiçãodo Extensômetro 7 - Comparação entre o valore teórico daviga reforçada e o experimental 111
Figura 5. 19 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição doDeflectômetro 1 - Comparação entre o valore teórico daviga reforçada e o experimental 112
Figura 5. 20 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição doDeflectômetro 2 113
Figura 5. 21 – Diagrama ‘Carga x Deform.’ na posição doExtensômetro 2 113
Figura 5. 22 – Diagrama “Carga x Deform.” na posição doExtensômetro 7 113
Figura 5. 23 – Configuração de tensões atuantes durante oprocesso de fissuração – Passo de solução 8 – Tensões decompressão e tração ao longo das seções transversais 115
Figura 5. 24 – Configuração de tensões atuantes no iniciodo processo de escoamento do aço – Passo de solução 16– Tensões de compressão e tração ao longo das seçõestransversais 115
Figura 5. 25 – Configuração de tensões atuantes ao iniciodo processo de escoamento do aço – Passo de solução 16– Tensões principais de Compressão 116
Figura 5. 26 – Configuração de tensões atuantes naeminência de ruptura do compósito de fibra de carbono –Passo de solução 19 – Tensões de compressão e tração aolongo das seções transversais 116
Figura 5. 27 – Configuração de tensões atuantes naeminência de ruptura do compósito de fibra de carbono –Passo de solução 19 – Tensões principais de Compressão 117
Figura 5. 28 – Configuração de tensões atuantes naeminência de ruptura do compósito de fibra de carbono –Passo de solução 19 – Armação e reforço de flexão 117
Lista de Tabelas
Tabela 2. 1 – Propriedades físicas de compósitos utilizadosem reforço de estruturas 33
Tabela 2. 2 – Resistência média à compressão e à tração doconcreto de acordo com NBR5739 e NBR7222 35
Tabela 2. 3 – Características das barras de aço utilizadas 35
Tabela 2. 4 – Características do adesivo epóxico utilizado 35
Tabela 2. 5 – Características do compósito de fibra decarbono utilizado 36
Tabela 2. 6 – Resistência à flexão teórica das vigas semreforço 36
Tabela 2. 7 – Resistência ao cortante teórica V R 37
Tabela 2. 8 – Reforço utilizado nas vigas 37
Tabela 2. 9 – Resistência à flexão teórica das vigasreforçadas 38
Tabela 2. 10 – Tensão cisalhante longitudinal 38
Tabela 2. 11 – Valores de carga e modo de ruptura dasvigas 39
Tabela 2. 12 – Resistência média à compressão e à traçãodo concreto de acordo com NBR5739 e NBR7222 41
Tabela 2. 13 – Características das barras de aço utilizadas 41
Tabela 2. 14 – Características do compósito de fibra decarbono utilizado 41
Tabela 2. 15 – Resistência teórica à flexão e ao cortante dasvigas sem reforço 42
Tabela 2. 16 – Reforço utilizado nas vigas 42
Tabela 2. 17 – Seqüência para carregamento utilizado nosensaios. 44
Tabela 2. 18 – Resistência à flexão teórica das vigasreforçadas 44
Tabela 2. 19 – Carga de ruptura das vigas e maioresaberturas observadas 45
Tabela 2. 20 – Valores de carga e modo de ruptura dasvigas ensaiadas 45
Tabela 5. 1 – Propriedades do concreto utilizado em V1 95
Tabela 5. 2 – Parâmetros utilizados no modelo constitutivo 95
Tabela 5. 3 – Pontos para traçado da curva “tensão xdeformação” do aço CA50A 96
Tabela 5. 4 – Pontos para traçado da curva “tensão xdeformação” do compósito de fibra de carbono 96
Tabela 5. 5 – Desempenho do programa na obtenção deconvergência para NRs 97
Tabela 5. 6 – Comparação entre valores de carga edeformação na ruptura 101
Tabela 5. 7 – Propriedades do concreto utilizado 107
Tabela 5. 8 – Parâmetros utilizados no modelo constitutivodas vigas V1a V6 107
Tabela 5. 9 – Pontos para traçado da curva “tensão xdeformação” do aço CA50A 107
Tabela 5. 10 – Pontos para traçado da curva “tensão xdeformação” do compósito de fibra de carbono 107
Tabela 5. 11 – Desempenho do programa na obtenção deconvergência para NRs 108
Tabela 5. 12 – Comparação entre valores de carga edeformação na ruptura 109
Tabela 5. 13 – Desempenho do programa na obtenção deconvergência para NRs 109
Tabela 5. 14 – Comparação entre valores de carga edeformação na ruptura. 111
Tabela 5. 15 – Desempenho do programa na obtenção deconvergência para NRs 112
Tabela 5. 16 – Comparação entre valores de carga edeformação na ruptura 114
Lista de Símbolos
Gregos
Πp – Energia potencial total
Ωext – Potencial das forças externas
ε – Vetor de deformações
εο – Vetor de deformações iniciais
σ – Vetor de tensões
σο – Vetor de tensões iniciais
[ ]∂ – Operador diferencial
∆Q- Vetor das forças desbalanceadas
ϕb – Fator de carga associado
dσ – Tensores de incremento de tensão
dε – Tensores de incremento de deformação
γ – Deformações cisalhantes
υ – Coeficiente de Poisson
τ – Tensões cisalhantes
αt – Razão entre resistências uniaxiais de tração e de compressão
εc – Deformação associada a f’c
κt – Deformação associada a f’t
κbc – Deformação associada a f’bc em umas das direções de
carregamento
Romanos
U – Energia de deformação
dV – Volume infinitesimal de material da estrutura
Uo – Densidade de Energia em cada ponto do material
u – Campo de deslocamentos no elemento
Fint – Vetor de forças internas ou equilibrantes
[C] – Matriz constitutiva do material
[N] – Funções de interpolação dos elementos
Ro – Vetor de cargas de referência
Ta – Vetor comprimento de arco
QTOL – Tolerância arbitrada para forças
uL – Deslocamentos nodais do elemento
[B] – Matriz que relaciona deformações e deslocamentos
Rext– Vetor de forças externas nodais
ne - Número de elementos
[K] - Matriz de rigidez global da estrutura
E – Módulo de elasticidade ortotrópico
G – Módulo de cisalhamento
W – Abertura de fissuras
Yi – Tensão normalizada
Xiu – Deformação uniaxial equivalente normalizada
f’t – Resistência à tração normalizada do concreto
Xt,máx – Máxima deformação normalizada
f’c,m – resistência à compressão da matriz de concreto
f’c – Resistência uniaxial à compressão do concreto
1. Introdução 1.1. Considerações Gerais
O desenvolvimento tecnológico das últimas décadas tem influenciado
intensamente a dinâmica de crescimento das cidades, evidenciando novas técnicas
de construção, manutenção e modificação de estruturas em geral.
Dentro deste processo, o desenvolvimento de tecnologias para modificação
das propriedades físicas e mecânicas de estruturas em serviço merece atenção
especial. Este procedimento, chamado de reforço estrutural, visa aumentar a
portabilidade dos elementos estruturais envolvidos, e utiliza do menor número
possível de intervenções. O reforço estrutural pode ser necessário em decorrência
de inúmeros fatores: erros de projeto ou execução, deterioração resultante do
envelhecimento natural, da ação de agentes agressivos ou devido a acidentes
como choques e incêndio, mudança no tipo de utilização original, ou através do
aumento dos carregamentos incidentes ou por alterações na geometria.
Alguns métodos de reforço estrutural estão listados a seguir:
Reforço de concreto armado utilizando-se barras e/ou chapas de
aço com aderência externa;
Reforço de concreto armado utilizando-se compósitos de fibra de
carbono;
Reforço de concreto armado utilizando-se compósitos de fibra de
vidro.
O reforço utilizando-se barras de aço com aderência externa e/ou chapas de
aço coladas com resina epóxi vem sendo muito utilizado e há um razoável
conhecimento de seu comportamento e métodos de dimensionamento.
A utilização de compósitos de polímeros armados com fibras (CFRP e
GFRP) como elemento de reforço é interessante devido às propriedades destes
materiais como leveza, alta resistência mecânica, resistência à corrosão,
neutralidade eletromagnética e facilidade de aplicação e manutenção das
dimensões originais da peça. Dentre os compósitos existentes, o de fibra de
carbono obteve melhor aceitação devido a seu alto módulo de elasticidade e baixo
fator de relaxação. A escolha do uso de compósitos de polímeros armados com
Introdução 19
fibras no lugar de chapas de aço, ou outro sistema de reforço tradicional, depende
da sua viabilidade econômica.
Paralelamente ao avanço nas pesquisas experimentais e teóricas dos
sistemas apresentados, surgiu a necessidade do desenvolvimento de modelos
matemáticos confiáveis, que retratem fielmente as características físicas e
mecânicas atuantes antes e após a aplicação do reforço estrutural. A criação deste
modelo se origina nas teorias do concreto simples trabalhando em conjunto com
barras de aço, modelo próprio para concreto armado. O carregamento é imposto e
surgem as deformações relativas a cargas de trabalho usuais em sistemas
estruturais. Após a introdução de novas barras e/ou compósitos com propriedades
físicas e mecânicas diferentes das do aço existente, as propriedades do elemento
estrutural são alteradas e prossegue-se com a análise.
A motivação deste trabalho deve-se à necessidade de programas
computacionais específicos a este tipo de análise, que permitam durante o
processo introduzir reforços. Outra motivação é a de gerar um software com
recursos gráficos sofisticados e de simples utilização, evitando-se gastos
desnecessários em softwares genéricos e de modelagem complexa.
1.2. Objetivos
Os objetivos principais do presente trabalho são:
Apresentar modelos que simulem o comportamento físico do
concreto armado e compatibilizá-los ao processo de reforço
estrutural pela adição de barras externas e/ou fitas de materiais
compósitos;
Implementar o modelo proposto em um programa de análise por
elementos finitos (módulo central de cálculo);
Criar interface gráfica, em ambiente Windows, para:
o Criação dos modelos em concreto armado, conversão
numérica para análise por elementos finitos e transferência
de execução para o módulo central de cálculo ;
o Leitura de dados e resultados do cálculo executado,
demonstração gráfica dos resultados através de isovalores,
possibilidade de introdução de reforço estrutural no cálculo
Introdução 20
corrente, conversão numérica para análise por elementos
finitos e transferência de execução para o módulo central de
cálculo;
o Início de novos cálculos e recuperação de cálculos
executados anteriormente;
Aplicar o modelo através do programa de análise à simulação do
comportamento de estruturas em concreto armado reforçado com
a adição de compósitos em fibra de carbono;
Validar o programa computacional através de comparação entre
resultados numéricos e experimentais.
O modelo para concreto simples a ser apresentado baseia-se na formulação
hipoelástica ortotrópica proposta por Elwi & Murray (1979). O modelo é definido
através de uma relação tensão-deformação incremental axissimétrica,
incorporando o conceito de deformação axial equivalente de Darwin & Pecknold
(1974) e o critério de Willam & Warnke (1975). O aço do concreto armado e os
reforços são introduzidos obedecendo à formulação elástica não-linear, de acordo
com as características originais dos materiais utilizados. Tais considerações
obrigam que o cálculo seja sempre efetuado por aproximações sucessivas, e a
utilização do método dos elementos finitos exige estratégias de solução
adequadas, tendo em vista as mudanças nas propriedades do material refletidas na
matriz constitutiva [C], ao longo de sua historia de carregamento.
Como base para o módulo central de cálculo, escolheu-se o programa
FEPARCS – Finite Element Program for Analysis of Reinforced Concrete
Structures (Elwi & Murray, 1980), desenvolvido na Universidade de Alberta,
Canadá, próprio a análise linear e não-linear de estruturas em concreto armado e
modificado de acordo com as necessidades deste trabalho. O programa original foi
escrito em Fortran 77, e compreende uma série de modelos constitutivos para
concreto, inclusive o modelo de Elwi & Murray (1979). Sua capacidade de
processamento e adaptação à implementação de novos procedimentos e modelos
já foi comprovada anteriormente em Nascimento (1996) e Simões (1998).
Para o desenvolvimento do pré e do pós-processador gráfico foi escolhida a
ferramenta de desenvolvimento Visual Basic 6.0, onde, através da programação
em Basic, pôde-se manipular objetos gráficos e aplicar todo desenvolvimento
gráfico cabível a este trabalho.
Introdução 21
Visando-se avaliar e validar o desempenho dos programas desenvolvidos
em todos os aspectos, processa-se a análise de vigas em concreto armado
reforçadas através da colagem de compósitos de fibra de carbono (CFRP),
retiradas dos estudos experimentais de Pinto (2002) e Araújo (2002), este último
desenvolvido no Laboratório de Estruturas e Materiais da PUC-Rio. Os resultados
numéricos e experimentais são comparados em termos de curva “carga x flecha”,
desenvolvimento e distribuição de fissuras, progressão das deformações e do
escoamento das armaduras e modo de ruptura.
1.3. Organização Deste Trabalho
O presente trabalho encontra-se organizado em seis capítulos. Dando
seqüência à introdução, no Capitulo 2 são apresentadas técnicas de reforço
estrutural em elementos de concreto armado, que podem ter seu desempenho e
comportamento avaliados através dos programas computacionais desenvolvidos
neste trabalho. Apresentam-se técnicas de reforço através da colagem de chapas
de aço, colagem de materiais compósitos, tais como fibra de carbono e fibra de
vidro, adição de estribos pré-tracionados e colagem de vergalhões. Na seqüência,
são apresentados estudos experimentais do reforço de vigas em concreto armado
através da colagem externa de compósitos em fibra de carbono, sendo estes dados
utilizados na validação dos programas desenvolvidos.
No Capitulo 3 discute-se o método dos elementos finitos aplicado a
problemas de natureza não-linear e toda implementação feita no programa
FEPARCS(Elwi e Murray, 1980). São descritos o modelo constitutivo para o
concreto armado com adição de reforços em qualquer etapa de análise do modelo,
a formulação do modelo hipoelástico de Elwi & Murray (1979) para o concreto
simples, o critério de ruptura de Willam & Warnke (1974) com cinco parâmetros,
e o modelo elasto-plástico de Elwi & Hrudley (1989), que foi modificado para
poder ser utilizado na simulação do reforço inicial, versão original, e no reforço
durante o cálculo. São apresentadas as estratégias empregadas na solução das
equações não-lineares de equilíbrio, o Método de Newton-Raphson e o Método
do Comprimento de Arco e os critérios de convergência associados a elas são
apresentados.
Introdução 22
No Capitulo 4 são discutidos os conceitos de programação e computação
gráfica utilizados no desenvolvimento dos programas de pré e pós-processamento
gráfico desenvolvidos. Por fim, o programa PREPOS é apresentado mostrando-se
o seu funcionamento e todos os procedimentos de geração, cálculo, reforço e
análise do modelo a ser estudado.
No Capitulo 5 algumas vigas estudadas em trabalhos experimentais são
modeladas e analisadas pelo programa desenvolvido. A validação do referido
programa é feita pela comparação entre os resultados numéricos e os resultados
experimentais.
No Capitulo 6 são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos
futuros.
2.Reforço Externo à Flexão deElementos Estruturais em Concreto Armado
2.1. Introdução
Neste capitulo discutem-se diversos aspectos do reforço de elementos
estruturais em concreto armado. São analisados os fatores que geram a
necessidade de reforço, diversas técnicas e materiais que podem ser utilizados, e
são descritos alguns estudos realizados sobre comportamento de vigas reforçadas
à flexão.
2.2. Utilização de Reforços Estruturais
A necessidade de intervenção surge quando determinado elemento estrutural
ou a estrutura como um todo, não é mais capaz de resistir aos esforços provocados
por ações externas, cabendo ao especialista em recuperação de estruturas fazer
uma avaliação econômica para escolher entre abandonar a estrutura, demoli-la ou
recuperá-la. O reforço também pode ser utilizado quando há necessidade de
aumentar a carga atuante devido a modificações em seu regime de utilização, ou
através do aumento de solicitações, ou por alterações em sua geometria.
2.2.1. Problemas Estruturais
Os problemas estruturais podem se manifestar de diversas formas e podem
ser atribuídos a erros de origem humana, à deterioração dos materiais e aos
acidentes.
Os erros humanos podem ser identificados em vários estágios da concepção
de um empreendimento, e geralmente a ruína de elementos estruturais ocorre pela
combinação de falhas nas diversas fases. Estas falhas podem ser devidas à falta
de qualidade técnica na execução, seleção inadequada dos materiais, projetos e
detalhes incompletos, modelos de cálculo incorretos, erro na avaliação do
carregamento e instalações não previstas.
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 24
A deterioração dos materiais pode ser atribuída ao envelhecimento natural,
aos ataques químicos (cloretos, sais, ácidos e sulfatos) e biológicos (raízes, fungos
e esgotos), a má utilização e à falta de manutenção necessária nas estruturas.
Quanto aos acidentes, eles podem ser de origem humana (explosões,
incêndios, choques, aterros, dragagem, etc.) ou natural (cheias, sismos, etc.).
2.2.2. Mudanças na Utilização Definida em Projeto
Atualmente há um acelerado processo de globalização, onde não é muito
difícil observar empresas mudando de sede, alterando o layout de escritórios e
fábricas, adequando empreendimentos já existentes às suas necessidades. Em
paralelo, as cidades crescem em um ritmo acelerado, superando previsões,
aumentando a necessidade de ruas mais largas e conseqüentemente pontes, túneis
e viadutos mais largos.
Dentro das ocorrências mencionadas acima, entre outras, a necessidade de
alterar e reforçar estruturas de concreto armado já faz parte do dia a dia do
engenheiro estrutural.
2.3. Técnicas de Reparo e Reforço
As técnicas de reparo podem ser divididas em reparos superficiais e reparos
estruturais, objetivando-se o restabelecimento das condições originais, físicas e
estruturais, do elemento ou da estrutura. O processo de reforço consiste em
aumentar a capacidade resistente frente a novos esforços atuantes no elemento, ou
estrutura a ser reforçada.
Para a execução de reparos e reforços deve-se seguir alguns procedimentos:
• Diagnosticar o problema e tomar as medidas emergenciais
necessárias;
• Analisar a viabilidade do projeto;
• Investigar o estado da estrutura com o auxílio de ensaios não
destrutivos, considerando sua rigidez e redistribuição de cargas;
• Selecionar o material e a melhor técnica a ser utilizada;
• Elaboração do projeto detalhado;
• Executar o projeto com um rigoroso controle de qualidade.
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 25
Os materiais utilizados devem possuir características especiais, tais como:
• Maior durabilidade;
• Baixa permeabilidade;
• Boa resistência estrutural;
• Boa aderência ao concreto e ao aço;
• Baixa retração;
• Boa trabalhabilidade;
• Fácil aplicação;
• Propriedades compatíveis com o concreto e o aço, com objetivo
de garantir a eficiência do processo de reparo e/ou reforço.
O reforço de elementos de concreto armado pela adição de armaduras
exteriores (chapas de aço coladas com resina de epóxi ou perfis metálicos) é uma
técnica adequada nos casos onde há deficiência nas armaduras existentes, sem
haver deficiência nas dimensões dos elementos estruturais ou na qualidade do
concreto. Outra alternativa a estes sistemas é a adição de compósitos armados com
fibras de carbono (ou de vidro), que são comercializados sob diversas formas,
sendo os mais comuns os laminados pré-fabricados, os tecidos bidirecionais e as
lâminas flexíveis unidirecionais impregnadas.
Estes compósitos são utilizados mais freqüentemente como elementos de
reforço de estruturas de concreto armado, com o objetivo de aumentar a
ductilidade e a resistência de pilares de pontes e viadutos (por confinamento
passivo), e de aumentar a capacidade resistente à flexão e ao cortante de vigas e
lajes. Este processo requer cuidado na escolha do sistema de ancoragem do
compósito, assim como a análise de tensões na ligação entre o compósito e o
substrato de concreto.
A seguir, são apresentadas algumas técnicas de reforço que podem ser
relacionadas ao desenvolvimento deste trabalho.
2.3.1. Adição de Chapas de Aço
Trata-se de uma técnica utilizada no reforço à flexão e/ou ao cisalhamento
de estruturas de concreto armado, consistindo na colagem de chapas metálicas na
superfície de concreto através de um adesivo epóxico. Sua aceitação em grande
parte se deve ao fato de ser um sistema de execução simples, não gerar grandes
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 26
alterações geométricas na estrutura e possibilitar rápida reentrada em serviço da
estrutura.
A superfície de concreto onde a chapa será colada deve ser escareada e
limpa, retirando-se a camada superficial e pedaços soltos de concreto. A superfície
da chapa de aço deve ser esmerilhada, para aumento da aderência e retirada de
escaras e oxidação. Devem também ser removidos os óleos e a gordura. Após o
tratamento das superfícies de contato, é feita a aplicação homogênea do adesivo
na chapa de aço e no concreto.
O adesivo tem como função transmitir os esforços atuantes na estrutura para
a chapa de aço. O sucesso de sua aplicação depende de sua qualidade, da
preparação das superfícies do concreto, da chapa e de sua cura.
Após a colagem e durante a cura da resina, é necessário aplicar uma pressão
leve e constante na chapa contra o concreto, somente desta forma é garantida a
perfeita ligação entre adesivo, chapa e concreto.
Figura 2. 1 – Uso de chapas coladas para reforço ao cisalhamento e à flexão.
O CEB (1983) recomenda alguns cuidados para que se obtenha resultados
confiáveis, como:
• Perfeita aderência entre a superfície de concreto, o adesivo
epóxico e a chapa, com tratamentos superficiais especiais para
o concreto e para a chapa de aço;
• A espessura máxima da camada aplicada do adesivo epóxico
igual a 1,5 mm;
• A espessura da chapa não deve ser maior que 3,0 mm, quando
não se utilizar dispositivos especiais de ancoragem nas
extremidades, tais como chumbadores químicos ou de
expansão;
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 27
• Manter uma pressão leve e uniforme na colagem da chapa de
aço contra a superfície de concreto, de acordo com tempo
especificado pelo fabricante do adesivo para inicio de cura e
aderência inicial (mínimo de 24 horas);
• Proteção do reforço contra mudanças de temperatura e, em
especial contra o fogo.
Quando as chapas forem coladas com o objetivo de reforço à flexão, deve-se
prever uma largura de chapa um pouco menor que a largura da viga, cobrindo as
extremidades com adesivo para evitar a penetração de água. Se a chapa necessitar
de um comprimento de ancoragem superior ao espaço físico disponível na
estrutura, deverá ser previsto o encamisamento do pilar junto à viga com chapas
soldadas, ou utilizar estribos pré-tracionados nas extremidades, estes podendo ser
em barras rosqueadas de aço ASTM A36.
Quando as chapas forem coladas com o objetivo de reforço ao cisalhamento,
para garantir o aproveitamento da chapa de aço, deve-se prever o uso de
chumbadores, pelo menos nas extremidades da chapa, pois há grande tendência de
descolamento nesta região devido à concentração de tensões. Além de evitar o
descolamento por excesso de esforço na cola, os chumbadores servem para a
fixação dos estribos externos de chapa durante o período de cura, e se acontecer a
ruptura, esta se dará de forma mais dúctil.
As principais desvantagens relacionadas a esta técnica de reforço são:
• Baixa resistência da chapa ao fogo. É necessário fazer a
proteção por meio de um revestimento isolante (Vermiculita
por exemplo);
• Impossibilidade de detectar a corrosão na face oculta da chapa
ou de visualizar fissuras na região sob a chapa colada;
• Tendência de descolamento dos bordos da chapa devido à
concentração de tensões.
2.3.2. Adição de Compósitos de Fibras
O reforço de elementos estruturais em concreto armado por colagem de
compósitos armados com fibras constitui um método muito simples e de rápida
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 28
execução, que em decorrência do seu peso reduzido e do processo de aplicação
pode, eventualmente, dispensar a utilização de escoramento.
Para a analise mecânica do compósito é necessário o conhecimento do
arranjo estrutural das fibras, de sua natureza, forma física e da interação entre as
fibras e os componentes da matriz. Independente da concepção física do
compósito, as fibras, com altíssima resistência e elevada rigidez, têm a função de
resistir aos esforços gerados no sistema, cabendo aos componentes da matriz,
geralmente composto por uma resina epóxica, envolver e transmitir esforços
tangenciais entre as fibras. Como materiais utilizados em sua forma fibrosa para
confecção de compósitos de reforço, pode-se citar o carbono, o vidro, o boro, a
sílica, fibras de Kevlar ou aramida e Pet fibras.
Figura 2. 2 – Diagrama “tensão x deformação” de diversos tipos de fibras
(Master Builders Technologies)
A Figura 2.2 mostra que a relação “tensão x deformação” para diversos
tipos de fibra tem um comportamento elástico-linear, apresentando ruptura frágil.
Este comportamento se repete em grande parte dos compósitos que utilizam estas
fibras.
Os compósitos de fibra de carbono combinam filamentos de fibras de
carbono imersos em uma matriz de resina epóxi, possuindo comportamento
elástico-linear e o módulo de elasticidade variando entre 100 GPa e 300 GPa. A
resina epóxica que forma a matriz do compósito tem a função de envolver e
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 29
proteger as fibras de agressões ambientais e aglutiná-las, permitindo a
transferência de forças entre estas. A contribuição da resina à resistência à tração é
muito pequena.
Figura 2. 3 – Diagrama “tensão x deformação” de compósitos de fibra de carbono
comercializados pela Sika e por Master Builders Tecnologies, respectivamente.
As fibras de carbono se destacam das demais fibras (aramida, vidro) devido
à sua resistência à corrosão, resistência a ataques químicos em geral, ótimo
comportamento quanto à fadiga sob atuação de cargas cíclicas, leveza, alta rigidez
e estabilidade térmica e reológica.
Existem atualmente no mercado compósitos de fibra de carbono em três
formas diferentes:
Ø Chapas poliméricas reforçadas com fibra de carbono, que podem
ser coladas para reforço de elementos estruturais em geral;
Ø Tecidos em fibra de carbono, pré-impregnados para colagem em
elementos estruturais através de resinas epoxídicas;
Ø Folhas flexíveis unidirecionais para colagem sobre o concreto,
que podem ser utilizadas como elemento confinante.
Com objetivo de garantir uma aderência compatível do reforço utilizando
compósito de fibra de carbono colado à superfície de elementos estruturais em
concreto, a superfície de colagem na peça de concreto deve ser preparada antes de
receber o compósito, devendo ser escareada e limpa, estando livre de qualquer
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 30
impureza. Sendo o compósito na forma de lâmina, este também deve ser limpo e
só então aplicado o adesivo na superfície do concreto e na lâmina. No caso da
utilização de tecido, o procedimento segue uma seqüência de escareamento e
limpeza da superfície, aplicação de argamassa para reparo quando necessária,
aplicação de resina de imprimação, massa epoxídica e resina epoxídica, sendo esta
última responsável pela aderência da argamassa ao tecido de fibra de carbono. O
tempo de cura e o procedimento de colagem variam de acordo com o fabricante
do adesivo e/ou do sistema utilizado.
Figura 2. 4 – Reforço à flexão e ao cisalhamento utilizando lâminas de fibras de carbono.
A ruptura de vigas reforçadas com compósitos de fibra de carbono, como
mencionado, se dá de maneira frágil, podendo ocorrer por destacamento da
camada de cobrimento do concreto, descolamento do compósito ou ruptura do
compósito. Adicionar sistemas de ancoragem nas extremidades dos elementos de
reforço pode ser útil para evitar a falha do elemento estrutural por destacamento,
contribuindo para o aumento da ductilidade da viga reforçada.
Algumas vantagens do reforço com adição de compósitos de fibras de
carbono são relacionadas abaixo:
• Rapidez na execução, devido ao baixo peso e simplicidade de
aplicação;
• Espessura reduzida e comprimento qualquer;
• Alta resistência química a ácidos e bases;
• Resistente à corrosão;
• O sistema é flexível, adaptando-se com facilidade a diversas
formas.
E como desvantagens:
• Alto custo do compósito;
• Necessidade de superfícies regulares para sua aplicação;
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 31
• Ruptura frágil;
• A impossibilidade de visualizar fissuras sob o reforço;
• Tendência de descolamento dos bordos devido à concentração
de tensões;
• O coeficiente de dilatação térmica não é igual ao do concreto;
• Precisa de proteção contra incêndio e radiação ultravioleta.
De acordo com Pinto (2000), o dimensionamento do reforço com
compósitos de fibra de carbono e fibra de vidro pode ser feito utilizando-se as
mesmas regras aplicadas ao caso das chapas coladas, sendo fundamental a
caracterização mecânica (relação “tensão x deformação”) do compósito
efetivamente aplicado no local, e o estabelecimento do limite de deformação a
considerar, tanto no estado limite último como em serviço.
2.3.3. Técnica de Estribos Externos Pré-Tracionados
A técnica consiste no uso de um sistema mecânico composto por barras de
aço rosqueadas, para os estribos isolados, cantoneiras, arruelas e porcas para
fixação. A aplicação da pré-tração deve ser feita por meio de torquímetro, e serve
para compatibilizar o reforço aos níveis de tensão e deformação atuantes na
estrutura, evitando-se perdas por acomodação e deslocamento inicial das peças
que compõe o reforço. No caso de elementos estruturais em concreto armado
danificados em serviço pela insuficiência de estribos, a aplicação da pré-tração
nas barras coloca o sistema imediatamente em ação, compatibilizando o conjunto
com as ações externas atuantes.
Figura 2. 5 – Viga reforçada ao cisalhamento com o uso de estribos externos pré-tracionados
Por ser uma técnica de fácil execução e manutenção, consistindo-se em um
sistema simples e de baixo custo, é indicada sempre que se busca o aumento de
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 32
resistência ao cisalhamento de peças previamente carregadas ou não, e o controle
de aberturas das fissuras existentes, reduzindo rapidamente as deformações das
armaduras internas das peças reforçadas.
2.3.4 Técnica de Vergalhões Colados
A técnica consiste na execução de sulcos na região a ser reforçada, onde os
estribos e/ou armadura longitudinal são colados com resina epóxica, após uma
adequada limpeza do substrato. Esta técnica é utilizada para o reforço ao
cisalhamento e à flexão de vigas de concreto armado com ou sem carregamento
prévio. Ela é mais eficiente ao cisalhamento quando a colagem é feita utilizando-
se a laje como ancoragem final dos estribos de reforço.
Figura 2. 6 – Viga reforçada à flexão e cisalhamento com o uso de vergalhões colados
Trata-se de uma técnica econômica, na qual os estribos ou armaduras
longitudinais podem ser provenientes de sobras de obras, contudo é trabalhosa e
diretamente dependente da mão-de-obra que vai executá-la.
2.4. Propriedades dos Materiais Utilizados em Reforço
De acordo com as técnicas de reforço apresentadas, foi montado um quadro
onde estão listados alguns materiais utilizados, com suas respectivas
características físicas e mecânicas.
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 33
Tabela 2. 1 – Propriedades físicas de compósitos utilizados em reforço de estruturas.
PesoEspecífico
kN/m3
Limite deEscoamento
fyMPa
Resistência àRuptura
fuMPa
Módulo deElasticidade
GPa
Limite deDeformação
%
Fibra deVidro
(MBT*) GE-30 25,5 - > 1550 > 74 > 0,21
Tipo S 15 - > 2800 > 165 > 1,70
Tipo M 16 - > 2400 > 210 > 1,10
Compósitode FibraCarbono
(Sika)Tipo H 16 - > 1300 > 300 > 0,45
CF130 18,2 - > 3550 > 235 > 1,55Compósito
de FibraCarbono(MBT*) CF530 18,2 - > 3000 > 300 > 0,79
MR240 240 > 370 -
MR250 250 > 400 > 20,00Aço Chapas
AR345
77
345 > 450
205
>18,00
Aço Barras CA-50A 77 500 > 550 210 > 1,00
* - MBT – Master Builders Tecnologies.
2.5. Estudos Experimentais Sobre Técnicas de Reforço Externo
Neste item são apresentados estudos experimentais encontrados na
bibliografia sobre o reforço ao cisalhamento e à flexão de vigas de concreto
armado utilizando-se compósitos de fibras. Estes dados serão utilizados para
validação do programa computacional desenvolvido neste trabalho.
2.5.1. Estudo de Cerqueira (2000) e Pinto (2000)
Cerqueira (2000) estudou reforço ao cisalhamento e Pinto (2000) o reforço
à flexão. Todo o programa experimental foi desenvolvido e executado em
conjunto, e cada pesquisadora coletou e avaliou os dados pertinentes a seu
trabalho.
O programa experimental consistiu na confecção de cinco vigas
(V1,V2,V3,V4 e V5) em concreto armado com seção transversal retangular de 15
cm x 45 cm e vão de 450 cm. Elas foram simplesmente apoiadas, um apoio de 1°
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 34
e outro de 2° gênero, e carregadas com duas cargas concentradas aplicadas a 135
cm destes apoios.
Figura 2. 7 – Sistema estrutural, diagrama de esforço cortante e momento fletor de V1 a V5.
As vigas V1 e V3 possuíam taxas de armadura interna diferentes, mas sua
armadura longitudinal foi dimensionada para que atingisse a tensão de
escoamento antes da armadura de cisalhamento, e foram reforçadas somente à
flexão. As vigas V2 e V4 possuíam taxas de armadura interna idênticas, e sua
armadura transversal foi dimensionada para que atingisse a tensão de escoamento
antes da armadura de flexão, e foram reforçadas somente ao cortante. A viga V5
foi reforçada tanto ao cisalhamento quanto à flexão, sendo confeccionada com a
mesma taxa de armadura transversal interna das demais, porém, com a armadura
longitudinal interna dimensionada para escoar junto com a transversal.
O sistema de reforço foi formado pelo adesivo Sikadur 30 e lâmina Sika
Carbodur S 512. As três vigas foram reforçadas ao cisalhamento com lâminas
inclinadas a 45o e a 90o em relação ao eixo da viga, utilizando-se em algumas
sistema de ancoragem nas suas extremidades. Cada viga ensaiada foi
primeiramente submetida a dois ciclos de carregamento e depois reforçada (sob
carregamento constante), e então carregada até a ruptura. O comportamento das
vigas ensaiadas foi acompanhado por meio do monitoramento das flechas e das
deformações da armadura interna, das lâminas de reforço e do concreto.
1 7 .5 1 2 7 .5 1 3 0 .0 1 2 7 .5 1 7 .5 1 5 .0 1 5 .0
D . E . C
D . M . F .
P
- P
1 3 5 0 P
1 5 .0
4 5 .0
A
A
S e ç ã o A - A
P P
D i m e n s õ e s e m
c m
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 35
A seguir são apresentadas as características dos materiais utilizados no estudo
experimental relativas à análise numérica efetuada no Capítulo 5.
Tabela 2. 2 – Resistência média à compressão e à tração do concreto (NBR5739 e NBR7222).
Vigaft,ind
(MPa)fc
(MPa)
V1 3,63 34,8
As barras de aço utilizadas nas vigas foram de CA-50 ou CA-60. As da
armadura transversal tinham diâmetro de 5,0 mm, 6,3 mm e 8,0 mm, as da
armadura longitudinal de tração 16,0 mm, e as da armadura longitudinal de
compressão 8,0 mm.
Tabela 2. 3 – Características das barras de aço utilizadas.
φ
(mm)
φef
(mm)fy
(MPa)fst
(MPa)εy *(‰)
εy
(‰)Es
GPa
Viga V1e V3
5,0 4,7 688 750 3,6 5,8 191
6,3 6,3 575 730 2,9 4,8 205
8,0 7,9 590 785 3,0 5,0 200
16,0 15,8 630 730 3,3 3,3 191φ e φef - diâmetro nominal e efetivo das barras de açoεy* - deformação de escoamento correspondente ao diagrama tensão-deformação bilinear.** Viga V4.
O adesivo SIKADUR-30 foi utilizado para colagem do reforço de lâminas
Sika Carbodur, e segundo o fabricante apresenta as resistências mecânicas
aproximadas (aos 10 dias e 15oC):mostradas na tabela 2.4.
Tabela 2. 4 – Características do adesivo epóxico utilizado.
TensãoMassaEspecífica Compressão Flexotração Cisalhamento Aderência
Modulo deElasticidade
Kg/l MPa MPa MPa MPa Gpa1.77 95 28 15 4 12,8
Foram utilizadas para o reforço de todas as vigas as lâminas de fibra de
carbono em matriz de epóxi Sika Carbodur S tipo S512. De acordo com o
fabricante elas possuem no máximo 68% de conteúdo de fibras no volume e
resistem à temperatura de no máximo 150oC. As outras propriedades fornecidas
constam da tabela 2.5.
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 36
Tabela 2. 5 – Características do compósito de fibra de carbono utilizado.
PesoEspecífico
Tração mín.Tração méd.na ruptura
DeformaçãoEspecífica
Modulo deElasticidade
Mínimo
Área deSeção
transversal g/cm3 GPa GPa ‰ GPa mm2
1,5 2,4 3,1 >17 165 60
Figura 2. 8 – Diagrama de “tensão x deformação” da Lâmina Sika Carbodur tipo S utilizada.
As vigas foram armadas de acordo com o desenho mostrado na Figura 2.9.
Figura 2. 9 – Detalhamento da armadura interna da viga V1.
De acordo com o estudo apresentado em Pinto e Cerqueira (2000), a
previsão teórica para o comportamento da viga sem reforço é apresentada na
Tabela 2.6.
Tabela 2. 6 – Resistência à flexão teórica das vigas sem reforço.
Vig
a As(mm2)
As’(mm2)
d’(mm)
D(mm)
MR(kN m)
MR*(kN m)
Pu(kN)
Pu*(kN)
NBR-6118/80
V1 603 101 27 420 147 119 108,6 87,9
Software utilizado por Pinto e Cerqueira (2002)V1 603 101 27 420 146 118 108,1 87,4
* Adotando-se valores nominais: εy=2,5‰ e fy=500 MPa.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Deformação (E-3)
Ten
são
(M
Pa)
Fabricante [15]
Ensaio
Módulo de Elasticidade (fabricante) = 165 GPaMódulo de Elasticidade (ensaio) = 164 GPa
1 N 5 Ø 1 6 m m 2 N 6 Ø 1 6 m m
2 N 3 Ø 8 m m
1 2 0
4 2 0 6 0 1 2 0
N 1 - 48
Ø 5 m m - 1 2 0 0 m m
6 0
c o r t e A - A
45 N 4
Ø 8 , 0 m m c . 1 0 0 m m
N 6 - 2 Ø 1 6 m m
- 5 1 5 0 m m
N 7 - 1 - Ø 1 6 m m
- 4 4 7 0 m m
N 3 - 2 Ø 8 m m
- 4 4 7 0 m m
A
A
B
B
A
A
4 3 3 0
3 0 0 3 0 0
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 37
A resistência ao cortante, VR, de uma viga com estribos pode ser
considerada igual à soma do cortante resistido pelo “concreto”, Vc, e o cortante
resistido pelos estribos, Vsw.
Tabela 2. 7 – Resistência ao cortante teórica VR.
VR* VR**VigaVc
1+Vsw Vc2+Vsw Vc
1+Vsw** Vc2+Vsw**
V1 285 308 255 2781 NBR6118/80 *calculado com valores experimentais2 NBR6118/2000 **calculado com valores nominais
A seguir é apresentada a Tabela 2.8. com a quantidade de material de
reforço utilizado e a descrição da colagem deste na viga.
Tabela 2. 8 – Reforço utilizado nas vigas
Viga Material ReforçoV1 Sika Carbodur S-512
Bf=50mm; ef=1.2mmDuas lâminas de fibra de carbono coladas na facetracionada da viga (Figura 2.10)
A seguir são mostrados na Figura 2.10. os desenhos detalhados para
execução do reforço na viga do experimento e analisada no Capitulo 5.
Figura 2. 10 – Reforço da viga V1.
O acompanhamento do comportamento estrutural da viga durante o ensaio
foi feito com auxílio de medições realizadas com extensômetros mecânicos,
elétricos e deflectômetros.
Os deflectômetros foram posicionados na parte inferior da viga, sob o ponto
de aplicação das cargas.
2 7, ,5 1 3 0 ,0 1 3 5 ,0 1 3 5 ,0
3 . 8 0 ,0
P P
2 7 ,5
D i m e n s õ e s e m
c m R e f o r ç o d e f l e x ã o
( 2 l â m i n a s )
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 38
Figura 2. 11 – Posição em que foram medidas deformações nas armaduras internas das vigas.
Figura 2. 12 – Posição em que foram medidas deformações nas lâminas do reforço das vigas.
No primeiro ensaio as vigas foram submetidas a dois ciclos de carregamento
para depois serem reforçadas.
No primeiro ciclo o carregamento variou de 0 kN, com incrementos de 10
kN, até a carga de 70 kN, no segundo ciclo de carregamento a carga variou de 0
kN até 60 kN, com incrementos de 20 kN. No fim deste ciclo de carregamento as
vigas foram atirantadas a uma placa de reação, onde procurou-se atingir uma
carga constante de aproximadamente 40 kN.
De acordo com Pinto (2000) a Tabela 2.9 apresenta os valores de tensão e
deformação nas lâminas de reforço à flexão.
Tabela 2. 9 – Resistência à flexão teórica das vigas reforçadas.
Viga fcMPa
Asmm2
As’mm2
fyMPa
Afmm2
dfmm
EfGPa
ε’s%O
εc,r%O
εs,r%O
εs%O
εf%O
UmKN.m
PukN
V1 34,8 603 100,5 630 120 450,6 165 2,77 2,75 6,20 7,90 6,86 195,5 144,8Os valores desta tabela são baseados na tensão de escoamento experimental do aço (εy e fy dos ensaios do aço)e εc=3,5%O
O valor da tensão máxima de cisalhamento entre a fibra e o concreto deve
ser verificada para previsão de descolamento da fibra.
Tabela 2.10 – Tensão cisalhante longitudinal.
Vigabf
mm
ef
mm
Ef
GPa
εf
%O
σf
MPa
ftm
MPa
τff
MPa
τlim
MPa
V1 50 1,2 165 6,86 1131,9 3,63 1,15 1,14
3 2 1 6 4 5
1 2 3
V 1,V3 e V5
V 2 , V 4 e V 5 V 2 , V 4 e V 5
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 39
Pode-se notar que existiu uma previsão teórica de ruptura simultânea por
flexão e descolamento da fibra para a viga V1.
A Tabela 2.11 apresenta as cargas últimas teóricas calculadas com valores
experimentais de fy e fyw , e as cargas de ruptura alcançadas nos ensaios.
Tabela 2.11 – Valores de carga e modo de ruptura das vigas.
Carga última teórica(kN)
Antes do reforço Depois do reforço
Carga
última exp.
(kN)
CortanteCortante lâminas
verticaislâminas
inclinadas
Vig
a
Flex
ão
(1) (2)
Flex
ão
(1) (2) (1) (2)
Cor
tant
e
Flex
ão
Modo de ruptura
Experimental
V1 109 285 308 145 - - - - - 140 Descolamento e
destacamento da lâmina(1) Vc da NBR6118/80 [20](2) Vc da NBR6118/2000 [22]
2.5.2. Estudo de Araújo (2002)
O programa experimental consistiu na confecção de sete vigas
(VR,V1,V2,V3,V4,V5 e V6) em concreto armado com seção transversal
retangular de 15 cm x 30 cm e comprimento de 400 cm. Elas foram simplesmente
apoiadas, um apoio de 1° e outro de 2° gênero, com um vão em balanço e
carregadas com uma carga no centro do vão bi-apoiado e outra no extremo do
balanço.
Todas as vigas possuem taxas de armadura transversal e longitudinal
idênticas, mas sua armadura longitudinal foi dimensionada para que atingisse a
tensão de escoamento antes da armadura de cisalhamento, e foram reforçadas
somente à flexão. Neste caso, o objetivo do estudo seria avaliar o comportamento
e o desempenho de vigas de concreto armado com vão em balanço e reforçadas à
flexão com tecidos de fibra de carbono, através da medição de flecha, deformação
do concreto, deformação das armaduras internas e de reforço, e obtenção da carga
de ruptura para as vigas reforçadas de modo a avaliar-se a ductilidade das
mesmas.
A programação inicial para execução dos reforços era de que V1, V2 e V3
fossem igualmente reforçadas com a colagem de uma camada de tecido em fibra
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 40
de carbono na face inferior, entre os apoios, e na face superior, na região do
balanço. O tipo de ruptura esperado seria por descolamento das fibras.
Porém, com a realização dos ensaios das vigas V1, V2 e V3 a ruptura na três
vigas aconteceu na região de momento negativo, por flexão e no compósito de
fibra de carbono. Este comportamento, diferente do esperado, alterou a
programação original para as vigas V4, V5 e V6, que seriam reforçadas nas
extremidades para combater o descolamento do compósito.
Desta maneira, julgou-se interessante estudar as vigas V4, V5 e V6,
reforçadas à flexão com uma camada de tecido com as mesmas dimensões que a
utilizada nas vigas V1, V2 e V3 para a região de momento positivo e com o dobro
da largura do tecido para a região de balanço, ou seja, o dobro da armadura de
reforço, e, esperando-se que a ruptura ocorresse na região de momento máximo
positivo ou por descolamento do tecido do substrato.
Figura 2. 13 – Sistema estrutural, diagrama de esforço cortante e momento fletor de V1 a V6.
A primeira viga ensaiada, VR, foi utilizada como viga de referência para
possibilitar as comparações de incremento de resistência e rigidez após o reforço.
A viga rompeu à flexão na região de momento máximo negativo.
O ensaio da viga de referência foi realizado em uma única etapa já que não
seria realizado nenhum tipo de reforço. Para as demais vigas o ensaio foi realizado
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 41
em duas etapas, uma vez que existia uma preocupação em simular uma situação
mais próxima da real. Assim, as vigas foram pré-ensaiadas, reforçadas sob
carregamento teoricamente constante e posteriormente levadas à ruptura.
Desenvolveu-se então um sistema de manutenção de carga com o objetivo de
conservar o carregamento aplicado durante o tempo necessário para aplicação e
cura do reforço.
São apresentadas na Tabela 2.12 as características dos materiais utilizados
no estudo experimental.
Tabela 2. 12 – Resistência média à compressão do concreto de acordo com NBR5739 e NBR7222.
Ensaio da viga Idade(dias)
Quantidade decorpos-de-
prova
fc(MPa)
VR 35 5 26,1V3 94 4 29,0V5 120 4 29,1V7 134 4 29,2
As barras de aço utilizadas nas vigas foram de CA-50 e CA-60. A da
armadura transversal tem diâmetro de 6,3 mm, a armadura longitudinal de tração
12,5 mm, e a da armadura longitudinal de compressão 5,0 mm (Tabela 2.13).
Tabela 2. 13 – Características das barras de aço utilizadas.φ
(mm)
fy(MPa)
fst(MPa)
εy *(‰)
εy(‰)
EsGPa
Viga VR e V1 a V66,3 550 800 5,0 5,0 -
12,5 635 680 7,0 7,0 -φ - diâmetro nominalεy* - deformação de escoamento correspondente ao diagrama tensão-deformação bilinear.
Para o reforço das vigas utilizou-se tecido de fibra de carbono do tipo
CF130 com as propriedades apresentadas na Tabela 2.14.
Tabela 2. 14 – Características do compósito de fibra de carbono utilizado.
Tração min.DeformaçãoEspecífica
Modulo deElasticidade
Mínimo
Área deSeção
transversal
Largura dotecido
Espessura dotecido
Gpa ‰ Gpa mm2 mm mm3,55 >15,5 235 82,5 50 0,165
O comportamento “tensão x deformação” do tecido de fibra de carbono foi
admitido elástico-linear, de acordo com os dados fornecidos pelo fabricante.
As vigas VR e V1 a V6 foram armadas de acordo com o desenho mostradona figura 2.14.
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 42
Figura 2. 14 – Detalhamento da armadura interna das vigas VR e V1 a V6
A previsão teórica para o comportamento das vigas sem reforço é
apresentada na tabela 2.15.
Tabela 2. 15 – Resistência teórica à flexão e ao cortante das vigas sem reforço.
Nos dimensionamentos à flexão e ao cortante, foram utilizados os valores
nominais e os valores reais encontrados nos ensaios dos corpos-de-prova do
concreto e do aço. A armadura longitudinal composta de três barras de 12,5 mm,
armadura transversal com barras de 6,3 mm, e concreto com ckf igual a 20 MPa.
As vigas não foram armadas à compressão, e as barras com diâmetro de 5 mm têm
função de porta estribos.
A quantidade de material de reforço utilizado e a descrição da colagem deste
nas vigas é apresentado na Tabela 2.16.
Tabela 2. 16 – Reforço utilizado nas vigas.Viga Material ReforçoV1 aV3
Sika Carbodur S-512Bf = 50mm; ef = 1,65mm
Uma lâmina de tecido colada em cada face tracionadada viga (Figura 2.15)
V4 aV5
Sika Carbodur S-512Bf = 50mm; ef = 1,65mm
Duas lâminas de tecido coladas em cada facetracionada da viga (Figura 2.16)
As Figuras 2.15 e 2.16 detalham os reforços executados em cada uma das
vigas envolvidas no experimento.
39 φ 6.3 c/10 - 84
Resultados fc fy (φ = 6,3) fy (φ = 12,5) x z Mu P Vu asw
teóricos (MPa) (MPa) (MPa) (mm) (mm) (kN.m) (kN) (kN) (cm2/m)Valor nominal 20,0 500 500 116 91 49,63 152,71 76,36 5,58VR e V1 26,1 568 642 89 77 52,84 162,60 81,30 5,94V2 e V3 29,0 568 642 80 72 53,90 165,84 82,92 6,06V4 e V5 29,1 568 642 80 72 53,93 165,94 82,97 6,07
V6 29,2 568 642 79 72 53,96 166,04 83,02 6,07
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 43
Figura 2. 15 – Reforço da viga V1 a V3.
Figura 2. 16 – Reforço das vigas V4 a V6.
O acompanhamento do comportamento estrutural da viga durante o ensaio
foi feito com auxílio de medições realizadas com extensômetros elétricos e
deflectômetros, posicionados de acordo com as Figuras 2.17 e 2.18.
Os deflectômetros foram posicionados na parte inferior da viga, sob o ponto
de aplicação das cargas. A determinação das cargas aplicadas foi realizada através
de um transdutor com capacidade para 500 kN, e a leitura de aberturas de fissuras
em alguns estágios de carregamento foi obtida com a utilização de um
fissurômetro.
Figura 2. 17 – Posição para medição de deformações e deslocamentos das vigas VR, V1 e V4.
Corte AA' Corte BB' Corte CC'
A'
A
B'
B
C'
C
Corte AA' Corte BB' Corte CC'
A'
A
B'
B
C'
C
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 44
Figura 2. 18 – Posição para medição de deformações e deslocamentos das vigas V2, V3, V5 e V6.
Os ensaios das vigas, com exceção da viga VR, foram divididos em duas
etapas de carregamento:
1) Primeira etapa, consistindo na aplicação de uma carga máxima
entre 90 e 100 kN ou abertura de fissuras na faixa de 0,2 mm,
com travamento do elemento estrutural para aplicação do
reforço ao final da etapa;
2) Segunda etapa, consistindo no procedimento para aplicação do
reforço e retomada do carregamento em incrementos de 10 kN
até a ruptura.
Descreve-se a seqüência de carregamento correspondente a cada viga
ensaiada na Tabela 2.17.
Tabela 2. 17 – Seqüência para carregamento utilizado nos ensaios.
∆P PParada Pretorno Prupt
Viga Incremento decarga( kN )
Carga deparada p/reforço( kN )
Carga deretorno do
reforço( kN )
Carga deruptura( kN )
VR 10 - - 176V1 10 70 32 206V2 10 90 40 220V3 10 90 50 200V4 10 70 30 228V5 10 90 - 207V6 10 90 0,8 216
Nesta fase do experimento as vigas foram reforçadas à flexão, como descrito
anteriormente, e sua resistência teórica calculada para a nova situação de acordo
com metodologia proposta no trabalho.
Tabela 2. 18 – Resistência à flexão teórica das vigas reforçadas.Viga Mu sem reforço
( kN.m )Mu com reforço
( kN.m )Pteórico com reforço
( kN )V1 73.98 85,5 263,22
V2 e V3 75,46 88,26 271,57V4 e V5 75,50 88,34 271,62
V6 75,55 88,43 272,08
Reforço Externo à Flexão de Elementos Estruturais em Concreto Armado 45
De acordo com Araújo (2002), as tabelas a seguir apresentam os valores
teóricos esperados no ensaio, o tipo de ruptura, fissuras máximas constatadas e a
carga real de ruptura verificada no ensaio.
Tabela 2. 19 – Carga de ruptura das vigas e maiores aberturas observadas.
Carga de ruptura (kN)
Reforço Viga Vão Balanço
kmáxw
(mm)kseçaow %
(mm)
Sem reforço VR ----- 176,22 0,80 0,80
vão = fA
balanço = fA
V1V2V3
---------------
206,15219,55200,52
1,201,301,00
1,200,300,50
vão = fA
balanço = 2 fA
V4V5V6
-----207,50216,79
227,97----------
1,101,000,90
1,100,200,20
Sendo kmáxw a abertura de fissura máxima encontrada na viga, e kseçaow % a
abertura de fissura na seção onde ocorreu a ruptura.
Tabela 2. 20 – Valores de carga e modo de ruptura das vigas ensaiadas.
Viga fy fc ff Tipo de Pexp Pteórico Pexp Variação (MPa) (MPa) (MPa) ruptura (kN) (kN) Pteórico (%)
positivo negativo
VR 0,00 0,00 642 26,10 - Flexão no balanço 175,77 162,60 1,081 8,10
V1 8,25 8,25 642 26,10 1788 Flexão no balanço 206,15 179,43 1,149 14,89V2 8,25 8,25 642 29,00 2051 Flexão no balanço 219,55 183,50 1,196 19,65V3 8,25 8,25 642 29,00 2051 Flexão no balanço 200,52 183,50 1,093 9,28
V4 8,25 16,50 642 29,10 2062 Flexão no balanço 227,97 183,68 1,241 24,11V5 8,25 16,50 642 29,10 2062 Flexão no vão 207,50 183,68 1,130 12,97V6 8,25 16,50 642 29,20 2071 Flexão no vão 215,46 183,84 1,172 17,20
Momento
Armadura
de reforço Af (mm2)
3. O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 3.1.
Introdução
Neste capitulo, faz-se uma breve apresentação do Método dos Elementos
Finitos e dos conceitos aplicáveis para elaboração e aplicação em análises não-
lineares. Discute-se a introdução de elementos de interpolação, o tratamento
necessário para consideração das características do concreto armado, estratégias
de solução adequadas a problemas de natureza não-linear e os critérios de
convergência necessários. Todos os conceitos apresentados neste capitulo, mesmo
que resumidamente, fazem parte da modificações implementadas no programa
FEPARCS e são de extrema importância para compreensão do trabalho
desenvolvido nos capítulos 4 e 5.
3.2.
Método dos Elementos Finitos
O método dos Elementos Finitos (MEF) é um processo numérico próprio da
era da informática, sendo muito utilizado para análise de problemas da mecânica e
engenharia em geral. No caso específico de estruturas de concreto armado, desde
a década de sessenta, com o trabalho pioneiro de Ngo & Scordelis (1967), essa
técnica tem sido uma importante ferramenta de análise.
O MEF, baseado no método de Rayleigh-Ritz, prevê a divisão do domínio
de integração, tornando o meio originalmente continuo em discreto através da
divisão em pequenas áreas denominadas Elementos Finitos.
Elemento
Meio
q(x)
Pn(q(x))P1(q(x))
base
altu
ra
Malha de Elementos
Nós
Figura 3. 1 – Divisão do domínio de integração em pequenas áreas denominadas Elementos Finitos.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 47
O número de divisões do domínio é diretamente proporcional à precisão e
aproximação do resultado obtido com a realidade do modelo, sendo esta divisão
do domínio chamada de malha de elementos finitos e as interseções de nós. Neste
caso, ao invés de se procurar uma função admissível para todo o modelo ou
domínio, as funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento
finito.
Para cada elemento i é associado um funcional Πi, que junto aos outros
elementos formam o funcional Π de todo o domínio:
∑=
Π=Πn
1ii , [3.1]
onde para cada elemento i, forma-se uma função aproximadora, v, através de
variáveis, aj referidas aos nós do elemento e por funções de forma φj. Sendo j o
número dos nós que compõe o elemento:
∑=
φ=m
1jjj.av [3.2]
Desta forma, o funcional passa a ser expresso por:
∑=
Π=Πn
1ijij )a()a( [3.3]
A condição de estacionaridade gera um sistema de equações algébricas
lineares, tal como:
∑ ∑∑ =∂
Π∂=Πδ=Πδ 0
a)a(
)a()a(j
jijij [3.4]
A solução do sistema de equações formado pela expressão anterior fornece
os valores dos parâmetros nodais aj, que podem ser deslocamentos, forças
internas, ou ambos, dependendo da formulação que se utiliza.
No caso de descrever-se o campo de deslocamentos por funções
aproximadoras e empregar-se o princípio da mínima energia potencial, as
incógnitas são as componentes dos deslocamentos nodais, e o processo é
denominado de método dos elementos finitos modelo dos deslocamentos, ou
método dos elementos finitos modelo da rigidez. Utilizando-se outra formulação,
pode-se descrever o campo de tensões ou esforços internos nodais por funções
aproximadoras e empregar-se o princípio da mínima energia complementar, as
incógnitas são tensões ou esforços internos nodais, e o método dos elementos
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 48
finitos é denominado de método dos elementos finitos modelo das forças, ou
método dos elementos finitos modelo da flexibilidade.
No presente trabalho e na análise empregada pelo programa FEPARCS, a
formulação do método dos elementos finitos utiliza a composição do campo de
deslocamentos através de funções aproximadoras, onde os deslocamentos são
tomados como variáveis independentes, típico em um problema de análise de
tensões.
3.2.1. Método dos Elementos Finitos – Modelo da Rigidez
Na mecânica, a solução dos sistemas estruturais pode ser baseada nas
parcelas referentes à energia de deformação e ao trabalho realizado, sempre em
função de ações externas implementadas ao sistema. Sendo assim, ao associar-se
um funcional Π a um domínio, na verdade associa-se um funcional, uma função
que depende de outra função, que representa a energia potencial total do sistema
analisado.
O funcional que representa a energia potencial total para uma solução
apropriada ao tipo Rayleigh-Ritz, é representado por:
Ω+=∏ UP , [3.5]
onde:
ΠP – energia potencial total do sistema;
U – energia de deformação da estrutura;
Ω – energia Potencial das ações externas ao sistema.
A energia de deformação da estrutura corresponde ao trabalho realizado em
função de tensão e, conseqüente deformação, no material que compõe os
elementos estruturais. Desta forma, pode-se definir um cubo infinitesimal de
material da estrutura, e obter:
zxzxyzyzxyxyzzyyxxo d.d.d.d.d.d.dU τ+τ+τ+εσ+εσ+εσ= , [3.6]
Que também pode ser representado por:
[ ] [ ] ooo EEU
σ+ε−ε=σ=ε∂
∂ . [3.7]
Sendo Uo a energia de deformação por unidade de volume, ε o vetor de
deformações, εο o vetor de deformações iniciais, [E] a matriz constitutiva e
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 49
σo o vetor de tensões iniciais, através do tratamento matemático adequado das
expressões anteriores, obtém-se:
[ ] [ ] ooTT
o EE21U σε+εε−εε= [3.8]
A energia de deformação da estrutura é calculada através da relação:
∫=V
odVUU [3.9]
onde dV é o volume infinitesimal de material da estrutura.
Substituindo a expressão [3.8] em [3.9], chega-se a expressão final para a
energia de deformação da estrutura:
[ ] [ ] ∫
σε+εε−εε=
Vo
TTT dVEE21U [3.10]
Utilizando-se os conceitos de discretização e interpolação por elementos
finitos para os graus de liberdade, tem-se:
[ ] LuNu = [3.11]
onde:
u - campo de deslocamentos dos nós;
[N] - funções de interpolação de deslocamentos para o tipo de
elemento finito utilizado;
uL - deslocamentos nodais do elemento.
Desta forma:
[ ]
[ ]
uxy
y
x
vu
xy
y0
0x
u
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
γεε
⇒∂=ε
∂
ε
[3.12]
que gera:
[ ]
[ ] u
n
n
1
1
Bx,ny,1x,1y,1
y,ny,1
x,nx,1
xy
y
x
L
vu...vu
NN...NNN0...N0
0N...0NuB
=
γεε
⇒=ε
ε
[3.13]
onde:
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 50
[ ] [ ] NB ∂= é a Matriz que relaciona deformações e deslocamentos, e [ ]∂ é a
matriz de operadores diferenciais, que gera através das expressões de
interpolação do elemento finito utilizado-se ∑=
=nós
1iii u.Nu e ∑
=
=nós
1iii v.Nv ,
demonstradas na seção seguinte.
O potencial correspondente às ações externas Ω, refere-se ao trabalho
realizado pelas forças concentradas e/ou momentos aplicados se a estrutura
recuperasse sua configuração original. Desta forma, tem-se:
extT
yx RuvFuF −=−−=Ω [3.14]
onde:
u – vetor de deslocamentos associados aos graus de liberdade
globais da estrutura;
Rext – vetor de forças externas nodais.
Substituindo-se a expressão [3.13] em [3.10], seu produto em [3.5], e,
também a expressão [3.14] em [3.5] obtém-se:
[ ] ∑=
−=∏nelem
1next
TnLn
TnLP Ruuku
21 [3.15]
onde:
uLn – vetor de deslocamentos nodais do elemento n;
[ ] [ ] [ ] [ ]nnTnn BCBk = – matriz de rigidez do elemento n.
Executando-se o somatório na expressão [3.15], obtém-se:
[ ] extTT
P RuuKu21
−=∏ [3.16]
onde,
[ ] [ ]∑=
=nelem
1nnkK [3.17]
sendo [K] a matriz rigidez global da estrutura.
Aplicando-se o princípio da energia potencial estacionária, mencionado
anteriormente, tem-se:
0P =∏δ que é o princípio da energia potencial estacionária,
utilizado em [3.16]:
[ ] 0RuuKu extTT =δ−δ [3.18]
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 51
De [3.15], obtém-se:
[ ] 0RuK ext =− [3.19]
que também pode ser escrito na forma:
0FRQ intext =−=∆ [3.20]
com [ ] uKFint = , sendo o vetor de forças internas ou equilibrantes, e,
∆Q é o vetor das forças desbalanceadas.
Solucionando-se o sistema representado pela expressão [3.19] obtém-se o
vetor de deslocamentos nodais u, com o qual pode-se calcular:
- As deformações implementadas [ ] LuB=ε ;
- As tensões decorrentes das deformações [ ] ε=σ E .
3.2.2. Elementos Finitos Bidimensionais Planos
Quando se deseja analisar o comportamento mecânico de uma estrutura
utilizando-se o método dos elementos finitos, é de extrema importância a escolha
adequada do campo de deslocamentos a ser empregado para definir o melhor tipo
de elemento finito a ser utilizado. Dentre as possibilidades podem ser citados
elementos bidimensionais com dois graus de liberdade por nó, elementos de casca
possuindo de três a nove graus de liberdade por nó e elementos não planos com
três graus de liberdade por nó.
Ao analisar-se pelo método dos elementos finitos uma placa de espessura
‘e’, composta por um determinado material, solicitada por forças externas Px e Py
atuando em seu plano médio, este pode ser discretizado por elementos de formas e
funções aproximadoras diferentes. Esta variação de elementos e sua adequação,
dependem da forma que se deseja dar a malha composta por estes.
Os elementos mais utilizados são os retangulares com quatro e oito nós e os
triangulares com três e seis nós, onde o sistema de coordenadas cartesianas é
Py
Py
PxP x
x
y
Plano médio
Placa de espessura ‘e’
Figura 3. 2 – Placa de espessura ‘e’ solicitada por forças externas atuando em seu plano médio.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 52
convertido em um sistema de coordenadas naturais. A utilização de funções
baseadas em coordenadas naturais na construção de elementos finitos, compõe a
chamada formulação isoparamétrica.
De acordo com o elemento utilizado por esta versão do programa
FEPARCS, serão analisados apenas os elementos isoparamétricos retangulares
com quatro e oito nós.
Elemento Isoparamétrico Q4
O elemento Q4 é composto por quatro nós, situados nas arestas do
elemento, e define um campo retangular, ou quadrado, de interpolação linear, ou
seja, todos os valores intermediários aos atribuídos aos nós, terão sua posição
definida dentro do elemento através de funções intepoladoras do primeiro grau.
Os valores atribuídos a estes nós podem ser deslocamentos, tensões e
deformações, sendo utilizadas as mesmas funções de interpolação para todos os
casos.
Trabalhando-se com elementos bidimensionais e cada um dos nós possuindo
dois graus de liberdade, tem-se oito possibilidades de valores diferentes, sendo
então os deslocamentos u e v aproximados por polinômios completos do primeiro
grau em x e y:
u(x,y) = d1 + d2x + d3y + d4xy e v(x,y) = d5 + d6x + d7y + d8xy
As expressões acima podem ser colocadas em função de coordenadas
naturais ξ = x / a e η = y / b. Resolvendo as mesmas para: ξ = -1 e η = -1, ξ = +1 e
η = -1, ξ = +1 e η = +1 e ξ = -1 e η = +1, e, explicitando as funções
aproximadoras em relação aos deslocamentos nodais, com objetivo de:
η
ξ 4 3
1 2
ξ=−1 ξ=−1/2 ξ=+1/2 ξ=+1 η
η
η=+1/2
η=+1
η=−1/2
η=−1 1 2
3 4
x,u
y,v
Figura 3. 3 – a) Elem. isoparamétrico Q4 no espaço ξη; b) Elem. isoparamétrico Q4 no espaço xy
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 53
∑=
=4
1iii u.Nu e ∑
=
=4
1iii v.Nv ,
tem-se:
−
−=
hy1
lx1N1 → .coord.transf
−
−=
by1
ax1
41N1 →
=η=ξby;
ax
( )( )η−ξ−= 1141N1
lx
hy1N2
−= → .coord.transf
−
+=
by1
ax1
41N2 →
=η=ξby;
ax
( )( )η−ξ+= 1141N2
lhxyN3 = → .coord.transf
+
+=
by1
ax1
41N3 →
=η=ξby;
ax
( )( )η+ξ+= 1141N3
hy
lx1N4
−= → .coord.transf
+
−=
by1
ax1
41N4 →
=η=ξby;
ax
( )( )η+ξ−= 1141N4
Que compõe a matriz [ ]
=
4321
4321
N0N0N0N00N0N0N0N
N e
de acordo com o exposto no início desta seção:
=
4
4
1
1
4321
4321
vu...vu
N0N0N0N00N0N0N0N
vu
⇒
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
γεε
vu
xy
y0
0x
xy
y
x
⇒
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 54
⇒
=
γεε
4
4
1
1
x,4y,4x,3y,3x,2y,2x,1y,1
y,4y,3y,2x,1
x,4x,3x,2x,1
xy
y
x
vu...vu
NNNNNNNNN0N0N0N0
0N0N0N0N
Onde, introduzindo-se o conceito da matriz do Jacobiano [J]:
[ ]
∂∂∂∂
=
∂∂∂∂
η∂∂
η∂∂
ξ∂∂
ξ∂∂
=
η∂∂ξ∂
∂
y
xJ
y
xyx
yx
Se | J | é o determinante do Jacobiano, tem-se um fator de escala de área
para o mapeamento que leva do espaço paramétrico para o espaço cartesiano.
Utilizando este conceito e de acordo com a expressão [3.15], obtém-se:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]∫∫ ∫ ∫∫− −
ηξ===1
1
1
1
TT
V
T dd|J|.t.BEBdxdy.t.BEBdVBEBk
Onde [k] é a matriz de rigidez do elemento isoparamétrico Q4, e t é a
espessura da placa representada pelo elemento finito.
Elemento Isoparamétrico Q8
O elemento Q8 é composto por oito nós, sendo quatro situados nas arestas
do elemento e mais quatro em seus pontos médios, e define um campo retangular,
ou quadrado, de interpolação quadrática. Todos os valores intermediários aos
atribuídos aos nós, terão sua posição definida, dentro do elemento, através de
funções intepoladoras do segundo grau. Como no elemento Q4, os valores
atribuídos a estes nós podem ser deslocamentos, tensões e deformações, sendo
utilizadas as mesmas funções de interpolação para todos os casos.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 55
η
ξ
4 3
1 2
x
y
5
6
7
8
ξ=−1 ξ=+1 η
η
η=+1
η=−1 1 2
3 4
x,u
y,v 5
6
7
8
Figura 3. 4 – a) Elem. isoparamétrico Q8 no espaço ξη; b) Elem. isoparamétrico Q8 no espaço xy.
Trabalhando-se com elementos bidimensionais e cada um dos nós possuindo
dois graus de liberdade, obtém-se dezesseis possibilidades de valores diferentes,
sendo então os deslocamentos u e v aproximados por polinômios do segundo grau
em x e y.
u(x,y) = d1 + d2x + d3y + d4x2 + d5xy + d6y2 + d7x2y + d8xy2
v(x,y) = d9 + d10x + d11y + d12x2 + d13xy + d14y2 + d15x2y + d16xy2
Fazendo as expressões acima em função de coordenadas naturais ξ = x / a e
η = y / b, resolvendo para: ξ = -1 e η = -1, ξ = +1 e η = -1, ξ = +1 e η = +1, ξ = -1
e η = +1, ξ = 0 e η = -1, ξ = +1 e η = 0, ξ = 0 e η = +1 e ξ = -1 e η = 0, e,
explicitando as funções aproximadoras em relação aos deslocamentos nodais, com
objetivo de:
∑=
=nós
1iii u.Nu e ∑
=
=nós
1iii v.Nv
obtém-se:
( )( ) ( )581 NN2111
41N +−η−ξ−= ( )( )η−ξ−= 11
21N 2
5
( )( ) ( )652 NN2111
41N +−η−ξ+= ( )( )2
6 1121N η−ξ+=
( )( ) ( )763 NN2111
41N +−η−ξ−= ( )( )η+ξ−= 11
21N 2
7
( )( ) ( )874 NN2111
41N ++η−ξ−= ( )( )2
8 1121N η−ξ−=
Sendo a formulação para montagem da matriz rigidez do elemento,
semelhante ao procedimento apresentado para o elemento isoparamétrico Q4.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 56
3.2.3. Considerações Sobre o MEF e Não-Linearidade
A abordagem feita até a seção anterior descreve o Método dos Elementos
Finitos para um modelo de material isotrópico e de comportamento linear.
Contudo, implementando-se uma relação constitutiva não-linear entre as tensões e
as deformações, caso do concreto armado, o vetor das forças internas passa a
depender não linearmente do vetor de deslocamentos u, logo a equação ∆Q(u) =
Rext – Fint = 0, apresentada na seção 3.1.1, será não linear, tornando
necessária a implementação de uma solução incremental e iterativa
(Crisfield,1991).
Analisando estruturas de concreto armado, pode-se observar que as não-
linearidades a serem implementadas no método surgem, principalmente, através
de fissuração, esmagamento, perda de encaixe do agregado e escoamento do aço.
Apresentando um comportamento progressivo e vinculado ao carregamento
implementado na estrutura, é necessário que a solução seja obtida aplicando-se
incrementos de carga, para possibilitar uma boa aproximação do comportamento
real.
De acordo com o exposto anteriormente, constata-se a existência de dois
pontos fundamentais na análise de estruturas de concreto armado pelo método dos
elementos finitos:
1. Um modelo constitutivo capaz de descrever as não-linearidades do
concreto e do aço;
2. Um método eficiente para solução incremental e iterativa das
equações de equilíbrio.
Nas seções seguintes serão apresentados o modelo constitutivo referente ao
concreto armado e os tipos de solução incremental implementados no programa
FEPARCS.
3.3.
Modelos Adotados Originalmente
Na análise não-linear de estruturas em concreto armado por elementos
finitos é fundamental um modelo constitutivo capaz de representar as não-
linearidades do material de forma que o comportamento da formação e
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 57
propagação de fissuras, esmagamento e perda de encaixe de agregados sejam
descritos realisticamente ao longo da história de carregamento da estrutura.
3.3.1. Modelo Constitutivo Hipoelástico Para o Concreto Simples
De acordo com o modelo hipoelástico ortotrópico, originalmente
desenvolvido por Elwi & Murray (1979), define-se um modelo constitutivo para
concreto na forma de uma equação incremental “tensão x deformação”, sendo os
parâmetros dos materiais atualizados através de relações “tensão x deformação
uniaxial equivalente” introduzidas por Darwin & Pecknold (1977). Para simular e
descrever as características de resistência do concreto sob estados multiaxiais de
tensão e deformação, o modelo utiliza o conceito das superfícies de ruptura de
Willam & Warkne (1974) utilizando cinco parâmetros.
As principais características deste modelo são:
- O material é ortotrópico, com os eixos de ortrotopia seguindo os eixos
de deformações principais;
- Desacoplamento entre tensões normais e deformações cisalhantes;
- Dependência das tensões às trajetórias de equilíbrio;
- Reversibilidade incremental dos estados de tensão e de deformação.
3.3.1.1. Relação Constitutiva Incremental
As relações incrementais constitutivas são dadas por:
[ ] ε=σ dCd [3.21]
sendo dσ o vetor de tensões incrementais, dε o vetor de deformações
incrementais e [C] a matriz constitutiva incremental.
De acordo com Darwin & Pecnold (1977), para o estado plano de tensões, a
matriz constitutiva hipoelástica [C] é dada em função de seis constantes
independentes ( E1 , E2 , µ12 , µ13 , µ23 , G12 ), e assume a forma:
[ ]( ) ( ) ( )
( )
φµ−
µ+µµµ−
φ=
12
2132
123213212321
GSimétrico01E0.EE1E
1C [3.22]
onde:
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 58
µ212 = µ2
21 = ν12 ν21
µ223 = µ2
32 = ν23 ν32
µ213 = µ2
31 = ν13 ν31
φ = 1 - µ212 - µ2
23 - µ213 - 2 µ12 µ23 µ13
E1 e E2 são os módulos de elasticidade longitudinal de acordo com os eixos
principais de ortotropia, G12 é o módulo de elasticidade transversal do material
dado em relação aos eixos ortotrópicos 1 e 2, e νij são os coeficientes de Poisson
em relação aos eixos de ortotropia i e j.
3.3.1.2. Deformação Uniaxial Equivalente
Deve-se então incorporar o conceito de deformação uniaxial equivalente de
modo a tornar possível a derivação dos parâmetros correntes dos materiais em
função do nível de tensão corrente. Ou seja:
i
iiu dE
dd σ=ε , i = 1,2,3 [3.23]
sendo que dεie, corresponde fisicamente, ao incremento de deformação que o
material exibiria se submetido a um incremento de tensão dσi, com as outras
tensões iguais a zero.
Integrando a expressão anterior:
∫σ
=εi
iiu E
d , i = 1,2,3 [3.24]
sendo εiu a deformação uniaxial equivalente total, para as direções i, pela
integração da expressão [3.23] ao longo da trajetória de carregamento. O que pode
ser interpretado no modelo utilizado, que para um ponto qualquer do material faz-
se seguir e coincidir os eixos de ortotropia com os eixos das deformações
principais até a fissuração. Desta maneira, εiu não provê a história de deformação
em uma direção fixa i, mas na direção “continuamente modificada” do eixo de
ortotropia i ( Chen & Salleb, 1982 ).
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 59
Relação “Tensão x Deformação” Uniaxial Equivalente Para Compressão
A relação uniaxial “tensão x deformação” para a compressão implementada
no modelo desenvolvido por Elwi & Murray (1979), segue a relação de Saenz
(1964) que interpola os dados do concreto. Esta relação em termos de deformação
uniaxial equivalente assume a seguinte forma:
2
ic
iu
ic
iu
s
o
iuoi
2EE1
.E
εε
+εε
−+
ε=σ [3.25]
Sendo Eo o módulo de elasticidade inicial, Es o módulo de elasticidade
secante dado por:
ic
icsE
εσ
= [3.26]
onde, σic é a tensão máxima, associada a direção i, que ocorre para um estado
corrente de tensões principais, εic é a correspondente deformação uniaxial
equivalente.
O módulo de elasticidade incremental pode ser definido como:
εσ
=ddEi [3.27]
Efetuando-se a derivação, tem-se:
22
ic
iu
ic
iu
s
o
2
ic
iuo
i
2EE1
1E
E
εε
+εε
−+
εε
−
= [3.28]
A curva “tensão x deformação” uniaxial equivalente para a compressão é
descrita em termos de suas componentes no ponto crítico ( σcu , εcu ) que
corresponde a ( σic , εic ) e dos módulos de elasticidade inicial Eo e secante Es. A
análise de comportamento do material implementado no modelo pode se dividida
em três etapas:
Trecho de curva ascendente do gráfico, onde o material resiste
plenamente às ações introduzidas no sistema e deve ser considerado
intacto e praticamente elástico;
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 60
Trecho de curva descendente do gráfico, onde se indica que existe
esmagamento parcial, com o material ainda apresentando uma reserva
de resistência, e módulo de elasticidade representado por seu valor
secante;
Atingida a deformação εcf o material é considerado rompido por
esmagamento, não havendo mais qualquer reserva de resistência em
termos de tensão.
Figura 3. 5 – Relação “tensão x deformação” uniaxial para compressão do concreto
Relação “Tensão x Deformação” Uniaxial Equivalente Para Tração e “Tensão x Distorção”
A relação “tensão x deformação” uniaxial equivalente para tração e
cisalhamento são representados em sua parte ascendente do gráfico pela mesma
expressão da relação para compressão, que é equação de Saenz.
Figura 3. 6 – Relação “tensão x deformação” uniaxial para tração e “tensão x distorção”
respectivamente.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 61
Em sua parte descendente considera-se um modelo simplificado com o
comportamento descrito por seguimentos lineares, onde as curvas são descritas em
termos dos módulos de elasticidade inicial Eo e secante Es, e dos valores
correspondentes a tensão máxima, ( σtu , εtu ) para tração e ( τcu , γcu ) para
cisalhamento. Além destes pontos, há ainda aqueles referentes a ruptura, ( σtf , εtf )
para tração e ( τcf , γcf ) para cisalhamento. Para tração considera-se ainda o valor
σfis correspondente a εtu, sendo σfis um parâmetro de entrada podendo assumir o
valor de 0,20σtu a σtu (Elwi, 1990). Este ponto de descontinuidade é para simular a
perda instantânea de parte da resistência à tração devida a energia consumida
durante a formação brusca da fissura. Incorporando-se no modelo a energia de
fratura Gf, definida como sendo a energia por unidade de área consumida na
formação e propagação das microfissuras. O segmento reto da parte descendente é
descrito em função de Gf, σfis, εtu e εtf, e serve para indicar o grau de redução de
tensão com a propagação das microfissuras.
Assim como na análise da curva de compressão, a análise de
comportamento do material implementado no modelo para tração e cisalhamento
pode se dividida em três etapas:
Trecho de curva ascendente do gráfico, onde o material resiste
plenamente as ações introduzidas no sistema e deve ser considerado
intacto e praticamente elástico;
Trecho onde o material apresenta-se fissurado para tração e com perda
gradual do encaixe do agregado para o cisalhamento;
Por fim o material não apresenta mais resistência mecânica quando
experimenta fissuras largas à tração e perda de encaixe do agregado ao
cisalhamento.
Na parte pós-pico os módulos de elasticidade longitudinal e transversal
também são representados por seus valores secantes.
O fator αDBR para a curva de cisalhamento x distorção é para indicar o grau
de redução gradual do efeito de engrenamento do agregado.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 62
3.3.1.3. Coeficiente de Poisson
Para implementação da relação incremental “tensão x deformação” é
necessário determinar, além dos módulos de elasticidade longitudinais e
transversais, o coeficiente de Poisson.
De acordo com resultados obtidos em ensaios de compressão uniaxial
realizados por Kupfer et al (1969) e após ajustes das curvas experimentais pelo
método dos mínimos quadrados, Elwi & Murray (1979) representam o coeficiente
de Poisson em função da deformação uniaxial equivalente εiu, como segue:
εε
+
εε
−εε
+ν=ν3
ic
iu2
ic
iu
ic
iui0i 586,8360,53763,10,1 [3.29]
onde, ν0i e νi são coeficientes de Poisson inicial e corrente e εic é a deformação
correspondente ao ponto de tensão máxima.
3.3.1.4. Superfície de Ruptura de Willam-Warnke
Para obtenção da relação “tensão x deformação” uniaxial equivalente são
necessários os valores de σic e εic correspondentes ao ponto crítico da curva, sendo
estes parâmetros modificados de acordo com o estado de tensões corrente, o que
gera a necessidade da aplicação de critérios de ruptura convenientes.
Para obtenção dos valores de σic define-se uma superfície de ruptura no
espaço das tensões, da qual possa ser gerada uma superfície análoga no espaço das
deformações uniaxiais para se obter os valores de εic. A superfície de Willam-
Warnke (1974) é descrita no espaço das tensões ou deformações principais em
termos dos invariantes de tensão ou deformação. Trata-se de um critério de
ruptura de cinco parâmetros obtidos através de dados experimentais.
O modelo constitutivo de Elwi & Murray (1979) utiliza a formulação
proposta por Willam-Warnke (1974), tendo, de acordo com Simões (1998), como
principais características:
- Sua construção requer cinco parâmetros envolvendo invariantes de
tensão e deformação do material utilizado. São estes:
Espaço das tensões:
fc’ - Resistência uniaxial à compressão do concreto;
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 63
ft’ - Resistência uniaxial à tração do concreto ;
fcb - Resistência biaxial à compressão para uma razão entre as
tensões principais de 1;
(-ξ1 , ρ1) - Ponto qualquer sobre o meridiano de tração –
normalizado com respeito a f’c – para altos valores de tensão
hidrostática ;
(-ξ2 , ρ2) - Ponto qualquer sobre o meridiano de compressão –
normalizado com respeito a f’c – para altos valores de tensão
hidrostática.
Espaço das deformações:
εc - deformação correspondente a f’c;
κt - deformação correspondente a f’t;
κcb - deformação correspondente à f’bc em uma das direções de
carregamento;
(-β1 , λ1) - Ponto qualquer sobre o meridiano de tração –
normalizado com respeito a εc – para altos valores de
deformação hidrostática;
(-β2 , λ2) - Ponto qualquer sobre o meridiano de tração –
normalizado com respeito a εc – para altos valores de
deformação hidrostática;
Sendo os três primeiros parâmetros utilizados para descrever os
meridianos de compressão e tração, e os outros dois para descrever a seção
transversal da superfície;
- Possui seção desviadora não-circular, composta por trechos de elipse a
cada 120°, e seus meridianos descritos por parábolas do 2° grau;
- É valida para todas as combinações tensão / deformação em
compressão e tração, e possui relatos de boas aproximações com
resultados experimentais;
- É suave, possuindo um único gradiente em cada ponto (derivada
contínua);
- Tem convexidade garantida tanto nos planos desviadores, quanto ao
longo dos meridianos, desde que algumas condições básicas sejam
satisfeitas (Chen,1992).
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 64
De acordo com o mencionado, pode-se definir a superfície de ruptura no
espaço das tensões, empregada neste trabalho, por:
( ) 0,,f mm =θτσ [3.30]
sendo σm e τm as tensões normal e cisalhante médias, θ o ângulo de similaridade,
onde estas grandezas são constituídas através das tensões principais σ1, σ2 e σ3
compondo as funções:
3321
mσ+σ+σ
=σ [3.31]
( ) ( ) ( ) 21
223
21
223
22
222
21m 15
1
σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ , [3.32]
( ) ( ) ( ) 21
231
232
221
321
2
2cos
σ−σ+σ−σ+σ−σ
σ−σ−σ=θ °≤θ≤° 600: [3.33]
sendo σ1 > σ2 > σ3.
Definido um espaço tridimensional de tensões em função das grandezas
adimensionais σ1 / fc’, σ2 / fc’ e σ3 / fc’ para descrever a superfície de ruptura no
espaço das tensões, esta forma-se no entorno do eixo hidrostático.
Perpendicularmente a este eixo, definido por σ1 = σ2 = σ3, tem-se o plano
desviador, definido pelo invariante adimensional ρ, e posicionado ao longo do
eixo hidrostático pelo também invariante adimensional ξ.
Figura 3. 7 – Espaço tridimensional de tensões, eixo hidrostático e plano desviador.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 65
Os invariantes ρ e ξ são definidos a partir das expressões [3.31] e [3.32], e
são expressos por:
c
m
'f3 σ
=ξ [3.34]
2
c
m2
'f5
τ=ρ [3.35]
Nota-se que ao compor as possibilidades para um valor constante de ξ,
contido no plano desviador, se formará em função de ρ um contorno composto
por três trechos de elipse definidos a cada 120°, que é chamado de seção
desviadora, sendo que para análise, esta seção só necessita ser descrita no
intervalo de 0° < θ < 60°. O contorno desta seção é expresso por:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
tc2
t2
c2
ctt22
t2
c2
ctct2
c2
c
2cos445cos42cos2
,ρ−ρ+θρ−ρ
ρρ−ρ+θρ−ρρ−ρρ+θρ−ρρ=θξρ
[3.36]
onde ρc e ρt são os raios máximo para θ = 60° e mínimo para θ = 60° da seção
desviadora, para um determinado valor de ξ.
Figura 3. 8 – Superfície de Willam-Warnke: seção desviadora.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 66
Os parâmetros ρc e ρt variam de acordo a tensão hidrostática, o que gera
alterações na seção desviadora ao longo do eixo hidrostático, produzindo
meridianos de tração e compressão, ou seções meridionais.
Figura 3. 9 – Superfície de Willam-Warnke: Seção meridonal.
Estes meridianos são descritos por parábolas do 2° grau, e são construídos a
partir dos cinco invariantes de tensão e deformação do material utilizado,
mencionados no início da seção, e podem ser expressos por:
( ) 2210t aaa ξ+ξ+=ξρ [3.37]
( ) 2210c bbb ξ+ξ+=ξρ [3.38]
sendo,
bc22
1bc0 152a
94a
32a
bcα+α−α= [3.39]
( )tbc
bct2tbc1 25
6a231a
α+αα−α
+α−α= [3.40]
)92
31
32)(2(
)2(56)(
56
abctt1bc
21tbc
tbc1bctbct1
2αα−ξα+ξα−ξα+α
α+αρ+αα−α−αξ= [3.41]
20100 bbb ξ−ξ−= [3.42]
13
356
b31b
2
2
221 −ξ
ρ−+
+ξ= [3.43]
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 67
( )
( )
+ξ
−ξξ+ξ
ξ+ξ−
+ξρ
=
31
31152
31
b0220
2002
2 [3.44]
os coeficientes da parábola do 2° grau, e
2
20211
0 a2aa4aa −−
=ξ [3.45]
o vértice comum das parábolas ou apex da superfície.
A definição da superfície de Willam-Warnke (1974) em termos das
deformações uniaxiais equivalentes possui expressões análogas.
3.3.2. Modelo Elasto-Plástico Multilinear Para Armadura Inicial
Originalmente foi utilizado para se descrever o comportamento das
armações de reforço transversal e longitudinal o modelo elasto-plástico
multilinear, onde os elementos de armadura podem ser interpolados linearmente
ou de forma quadrática, e podem ficar de forma arbitrária no interior do elemento
de concreto (Elwi & Hrudey, 1989; Pinto, 1982).
Esta curva, Figura 3.10, é descrita em função dos pontos ( σi , εi ), obtidos
através de ensaios do material utilizado nos reforços ou, na ausência destes,
através de curvas correspondentes existentes na literatura.
Figura 3. 10 – Relação “tensão x deformação” que descreve o comportamento do material
utilizado nos reforços.
A relação constitutiva é dada por:
σ = σi-1 + Ei ( ε − εi-1) [3.46]
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 68
onde, σi-1 e εi-1 são os valores prescritos da tensão e da deformação, e Ei é o
módulo de elasticidade secante dado por:
1ii
1iiiE
−
−
ε−εσ−σ
= [3.47]
No caso de descarregamento a relação assume um comportamento linear da
forma:
σ = Ε ( ε − εP ) , [3.48]
onde, σ e ε são a tensão e deformação total e εP é a deformação plástica
acumulada.
Este modelo é bastante flexível, pois permite a descrição de uma grande
variedade de comportamentos, já que os pontos obtidos no ensaio do aço entram
como input para a descrição da curva.
3.3.3. Modelo Elasto-Plástico Multilinear Modificado Para o Reforço
De acordo com o modelo implementado no programa FEPARCS, descreve-
se o comportamento das armações de reforço transversal e longitudinal utilizando
cinco pontos do comportamento “tensão x deformação”, incluindo a origem, para
que seja descrito o comportamento do material utilizado na análise.
Neste trabalho adapta-se a formatação de entrada para dados de reforço
fazendo-se com que o programa administre e introduza reforços no sistema
estrutural, tanto antes do início do cálculo como também após um número
determinado de “steps” do tipo de análise não-linear utilizada.
Figura 3. 11 – Relação “tensão x deformação” que descreve o material dos reforços inseridos
durante o cálculo.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 69
Assim, a curva “tensão x deformação” modificada, Figura 3.11, como a
original, é descrita em função dos pontos ( σi , εi ), sendo o ponto dois
correspondente à origem real do sistema, e de acordo com o estado de tensões
atuante em cada elemento de reforço.
A relação constitutiva é dada por:
σ = σi-1 + Ei ( ε − εi-1) – Einicial εinicial [3.49]
onde, Einicial e εinicial são, respectivamente, o módulo de elasticidade e a
deformação do elemento analisado no momento da ativação do reforço, σi-1 e εi-1
são os valores prescritos da tensão e da deformação e Ei é o módulo de
elasticidade secante dado por:
1ii
1iiiE
−
−
ε−εσ−σ
= [3.50]
No caso de descarregamento a relação assume um comportamento linear da
forma:
σ = Ε2 ( ε − εP − εinicial ) [3.51]
onde, σ e ε são a tensão e deformação total e εP é a deformação plástica
acumulada.
3.4.
Estratégias De Solução Para Análise Não-Linear 3.4.1. O Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson é uma estratégia muito utilizada na solução
de problemas que envolvem equações de equilíbrio não-lineares, sendo o método
implementado através da aproximação da trajetória de equilíbrio da estrutura por
tangentes à mesma, até a obtenção da convergência.
A formulação do método permite dois tipos de abordagens: através de
controle de deslocamentos, e através do controle de carga. O controle de
deslocamentos é feito através da definição de incrementos pelo analista e os
incrementos de carga correspondentes obtidos por processo iterativo, e o controle
de cargas e feito através da definição prévia de incrementos pelo analista e os
deslocamentos correspondentes obtidos por processo iterativo. Neste trabalho e
nos programas desenvolvidos, toda a formulação e comentários sobre o método de
Newton-Raphson dizem respeito à formulação baseada em controle de carga.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 70
O método consiste em obter o incremento de deslocamento ∆ui-1, para
uma iteração típica de um passo de solução a b, através de sucessivas
aproximações da forma,
[ ] 1ii1iT QuK −− ∆=∆ [3.52]
Figura 3. 12 – Representação gráfica do Método de Newton-Raphson standard.
sendo [KT]i-1 a matriz de rigidez tangente na iteração i-1, ∆ui é uma
correção do vetor de deslocamento corrente u, e ∆Qi-1 é o vetor de forças não
equilibradas dada por:
intob1i FRQ −ϕ=∆ − [3.53]
com R0 sendo o vetor das cargas de referência, Finti-1 é o vetor das forças
internas na iteração i-1, e ϕb é o fator de carga associado ao passo de solução a b.
Ao final de cada iteração, calculado o vetor de incrementos de
deslocamento∆ui, o mesmo é utilizado para corrigir o vetor de deslocamento
total ui, ou seja,
i1ii uuu ∆+= − [3.54]
Sendo que, as equações acima estão sujeitas às seguintes condições iniciais:
[ ] [ ]aT
oT KK = [3.55]
aint
oint FF = [3.56]
ao uu = [3.57]
De acordo com a expressão [3.52] e o exposto na Figura 3.12, tem-se que a
matriz de rigidez é atualizada a cada iteração, caracterizando o método de
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 71
Newton-Raphson padrão ou standard. De acordo com o procedimento para
atualização da matriz de rigidez, a técnica de Newton-Raphson admite duas
variações:
Método de Newton-Raphson modificado (MNRm), onde a matriz de
rigidez é atualizada apenas no início de cada passo de carga, reduzindo
a expressão [3.52] à forma:
[ ] 1iiaT QuK −∆=∆ [3.58]
Figura 3. 13 – Representação gráfica do Método de Newton-Raphson modificado.
Método de Newton-Raphson com rigidez inicial(MNRi), onde a matriz
de rigidez, previamente calculada, é utilizada em todos os passos de
carga subseqüentes, reduzindo a expressão [3.52] à forma:
[ ] 1ii0T QuK −∆=∆ [3.59]
Figura 3. 14 – Representação gráfica do Método de Newton-Raphson rigidez inicial.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 72
A vantagem em se utilizar o Método de Newton-Raphson com rigidez
inicial (MNRi) e o Método de Newton-Raphson modificado (MNRm), está no
menor esforço computacional associado a cada iteração executada, não
necessitando-se calcular, reduzir e armazenar a matriz rigidez da estrutura ao final
de cada uma destas etapas. Contudo, o Método de Newton-Raphson standard
conduz a uma convergência mais rápida ao ponto de equilíbrio.
Mesmo sendo amplamente aplicável, o Método de Newton-Raphson possui
limitações e só pode ser aplicado com sucesso enquanto a matriz de rigidez do
sistema permanece positiva e definida, o que, em geral, ocorre no trecho
ascendente da curva “carga x deslocamento“ (Simões, 1998). Sendo assim, a
aplicação da estratégia a problemas que envolvem ponto-limite não permite que a
trajetória de equilíbrio do sistema seja seguida completamente (Napoleão, 1994).
Desta forma, ao aplicar-se o MNRs para problemas de ponto limite, sempre
acontecerá de a matriz de rigidez [K] tender a se singularizar nas proximidades
deste ponto em sua trajetória ascendente. Mesmo ao se aplicar MNRi ou MNRm,
manipulando-se a matriz de rigidez [K] para que não atinja a singularidade, o fato
de os incrementos serem controlados pelo analista gera dificuldade em se situar o
equilíbrio para as forças desequilibradas.
Deve-se portanto, buscar outros métodos de solução, para que associado
com o método de Newton-Raphson seja possível detectar e ultrapassar o ponto
limite.
Figura 3. 15 – Típica trajetória de equilíbrio com ponto-limite para o caso unidimensional.
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 73
3.4.2. O Método do Comprimento de Arco
Esta técnica caracteriza-se por apresentar um controle concomitante de
carga e deslocamento, através do conceito do comprimento de arco (Simões,
1998). Sendo assim, surgem duas incógnitas: o incremento do fator de carga ∆ϕ e
o vetor de incrementos de deslocamento ∆u. Em cada passo de solução, as
trajetórias de iteração são perpendiculares aos arcos, que por sua vez podem ser
aproximados por tangentes à trajetória de equilíbrio, nos pontos iniciais destes
passos, conforme (Ramm, 1981).
Figura 3. 16 – Representação gráfica do Método do Comprimento de Arco com processo iterativo
do tipo Newton-Raphson modificado para um caso unidimensional.
Trata-se de um método muito eficiente, pois ao definir-se um comprimento
de arco finito, na forma de equação de restrição, determina-se a existência de uma
relação única entre o comprimento de arco, o fator de carga e a norma de
incremento de deslocamentos.
O método do comprimento de arco com o processo de iteração tipo Newton-
Raphson modificado (Ramm, 1981) é ilustrado graficamente para um passo de
solução a b, em um problema não-linear, onde, objetiva-se encontrar o ponto de
equilíbrio ‘b’ a partir de ‘a’, sobre a trajetória de equilíbrio, na forma “carga x
deslocamento” de uma estrutura qualquer.
Considerando-se uma iteração típica i →j, o vetor iteração∆wj é ortogonal
ao vetor comprimento de arco AA, sendo que o último tem a direção da matriz
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 74
de rigidez tangente [KT]A da estrutura no ponto ‘a’. Como componentes do vetor
comprimento de arco, tem-se:
( )1ia ;u:T ϕ∆∆ [3.60]
sendo ∆u1 o primeiro vetor de incrementos de deslocamento do passo de
solução a b, e ∆ϕ o primeiro incremento do fator de carga no referido passo.
Como componentes do vetor de iteração, tem-se:
( )iii ;u:w ϕ∆∆∆ [3.61]
sendo ∆ui correspondente aos incrementos de deslocamento associados a
iteração i, e ∆ϕi correspondente ao incremento do fator de carga nesta iteração.
Pode-se impor a condição de ortogonalidade, o que implica o produto escalar
entre o vetor comprimento de arcoTa transposto e o vetor iteração ser nulo, ou
seja:
0w.T ia =∆ [3.62]
portanto,
0uu i1i1 =ϕ∆ϕ∆+∆∆ ; i=2,3,.... [3.63]
As equações de equilíbrio para i-ésima iteração podem ser escritas como:
[ ] 1io
iiaT QRuK −∆+ϕ∆=∆ [3.64]
onde R0 é o vetor de cargas de referência e ∆Qi é o vetor de cargas não
equilibradas ao final da iteração i-1, dado por:
iint
1iext
1i FRQ −=∆ −− [3.65]
sendo, Rexti-1 o vetor das forças externas e Finti-1 o vetor de forças nodais
internas, ao final da iteração i, este último é obtido através da integração das
tensões. O vetor Rext deve ser escrito em função do fator de carga ϕ i-1,
atualizado ao final da iteração anterior, e do vetor cargas de referência R0,
constante, através da relação:
o1i1i
ext RR −− ϕ= [3.66]
Colocando-se em forma matricial as expressões [3.63] e [3.64], que formam
um sistema de ordem n+1, equivalendo n ao numero de graus de liberdade da
estrutura, tem-se:
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 75
[ ] ( )
∆
=
ϕ∆∆
ϕ∆∆− −−
0Qu
uRK 1i
i
1i
11o
aT [3.67]
Pode-se notar que a resolução acima, mesmo que a matriz de rigidez [KT]a
seja singular, gera um sistema de equações com solução não-trivial, o que
representa uma grande vantagem para solução de problemas com ponto limite.
Contudo, existe o problema de a matriz rigidez não ser simétrica, o que
torna desaconselhável, em termos práticos, a resolução do sistema. Afim de
contornar este problema, Welssels (1977) propôs uma alternativa que consistiu em
dividir o vetor de incremento de deslocamentos ∆ui em duas parcelas, ∆uQi e
∆uRi, ou seja:
( ) ( )iR
iiR
i ;u0;uwo
ϕ∆∆ϕ∆+∆=∆ [3.68]
onde, tais parcelas são obtidas pela resolução dos sistemas:
[ ] 1iiQ
aT QuK −∆=∆ [3.69]
[ ] oi
Ra
T RuK =∆
Figura 3. 17 – Decomposição do vetor ∆wi segundo Welssels (1977).
Figura 3. 18 – Representação gráfica dos sistemas de equações,
caso unidimensional, da decomposição de Welssels (1977).
O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear 76
Implementando-se mais uma vez o conceito de ortogonalidade dado pela
expressão [3.62], obtém-se:
0uuuu 1iiR
1i1iQ
1 =ϕ∆ϕ∆+∆∆ϕ∆+∆∆ − , [3.70]
de onde se pode-se obter o incremento do fator de carga, colocando-o em
evidência na expressão acima:
1i
R1
iQ
1i
uu
uu
ϕ∆+∆∆
∆∆−=ϕ∆ [3.71]
3.4.3. Critérios de Convergência
Com objetivo de limitar os processos iterativos descritos neste item, são
estabelecidos dois critérios de convergência: um para deslocamentos e outro para
forças.
O critério de convergência para deslocamentos deve obedecer a relação:
Toli
1j
j
i
u
u
u≤
∆
∆
∑=
[3.72]
onde o numerador é a norma euclidiana do incremento de deslocamento
correspondente a iteração i, ao passo que o denominador é a norma euclidiana do
incremento de deslocamento acumulado, desde a primeira iteração até a i-ésima
iteração. Esta relação deve ser menor ou igual a tolerância arbitrada pelo analista
para deslocamentos uTol.
O critério de convergência para forças deve obedecer a relação:
( ) Tol
oai
i
QR
Q≤
ϕ−ϕ
∆ [3.73]
onde o numerador é a norma euclidiana do incremento da carga não
equilibrada correspondente a iteração i, ao passo que o denominador é a norma
euclidiana do incremento de força do passo de solução. Esta relação deve ser
menor ou igual a tolerância arbitrada pelo analista para forças QTol.
4.Pré e Pós- Processamento de DadosPara Análise Por Elementos Finitos
Neste capitulo faz-se uma apresentação do programa PREPOS, que é o
módulo de processamento gráfico de pré e pós- processamento de dados para
análise por elementos finitos desenvolvido neste trabalho.
4.1. Introdução
O programa FEPARCS (Elwi e Murray, 1980) é uma ferramenta
computacional que implementa o Método dos Elementos Finitos e foi
desenvolvido em FORTRAN77, que é uma linguagem considerada própria para
processamento numérico intenso. Mesmo tendo sido desenvolvido há mais de
vinte anos, o programa FEPARCS vem sofrendo atualizações constantes através
dos tempos, sempre ampliando a sua utilização para análise comportamental de
sistemas estruturais. Como ferramenta de programação para atualização e
adequação do programa FEPARCS às necessidades deste trabalho, foi escolhido o
Visual Fortran 6.1 que possui opções de desenvolvimento de acordo com os
sistemas operacionais atuais. Contudo, para não gerar problemas ou possibilidade
de conflito dentro da programação original, manteve-se a estruturação lógica e o
seqüenciamento original.
O FEPARCS é um programa que agrega apenas rotinas numéricas de
análise por Elementos Finitos, não estando ligado originalmente a rotinas de pré e
pós-processamento gráfico próprias, o que dificulta em muito a geração e análise
de dados. Sendo assim, incluiu-se como um dos objetivos deste trabalho o
desenvolvimento de um programa computacional de interface gráfica para pré e
pós-processamento.
Foi escolhida como ferramenta de programação gráfica, o Visual Basic 6.0,
que une a simplicidade da programação em Basic com todos os recursos gráficos
próprios ao sistema operacional utilizado. Uma das maiores vantagens do Visual
Basic é a programação baseada em eventos e objetos. Neste tipo de ambiente, a
programação pode ser feita associada a eventos realizados pelo usuário, tal como
cliques e movimentos de mouse, e objetos de interface, que introduzidos pelo
programador compõem as telas de trabalho do programa a ser desenvolvido. Neste
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 78
caso, todos os objetos introduzidos (botões, tela de desenho, menus, entre outros)
possuem propriedades de formatação e associação a outros objetos previamente
programados, o que gera um enorme ganho de tempo na elaboração de programas,
já que a programação lógica passa a ter enfoque nos procedimentos a serem
realizados, e, neste caso, no tratamento gráfico associado.
4.2. Conceitos de Computação Gráfica Utilizados no Programa PREPOS
O Método dos Elementos Finitos baseia-se na divisão do domínio continuo
em sub-domínios denominados Elementos Finitos. Uma vez escolhido o tipo de
elemento a ser utilizado, todo o procedimento geométrico relacionado ao método
é realizado em função das coordenadas e propriedades associadas aos nós que
definem estes elementos.
Desta forma, todas as operações realizadas pelo pré e pelo pós-processador
devem seguir este princípio e basear-se nas coordenadas dos nós que definem os
Elementos Finitos empregados no modelo estudado.
Coordenadas e Plotagem do modelo
O pré-processador é composto por módulos para geração de coordenadas e
propriedades do modelo. O layout gráfico contém uma tela para visualização do
modelo, menus e ícones de comando.
Uma das preocupações foi a de se utilizar na montagem do modelo o maior
número possível de eventos associados ao mouse, o que por conseqüência libera o
usuário de ter que associar numericamente os nós aos eventos executados. Este
conceito de trabalho, que é simples para o usuário, é mais complicado de ser
programado, pois todas as coordenadas de movimento e toque do mouse na tela
têm que ser convertidas nas coordenadas reais do modelo. Quer dizer, a janela
onde o modelo é exibido pode ter diversos tamanhos diferentes, maximizado,
reduzido ou a diferença de resolução gráfica entre computadores, o que gera a
necessidade de converter as coordenadas locais da tela para as coordenadas reais
do modelo.
Visando facilitar estas conversões de coordenadas, utiliza-se um tratamento
vetorial para deslocamentos e conversões de escala, e uma forma de
armazenamento matricial para nós e coordenadas, elementos e nós, elementos e
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 79
propriedades, e variáveis de tratamento gráfico. Independente do tipo de exibição
empregado em um instante qualquer, o modelo gráfico é armazenado em uma
matriz de coordenadas gráficas e o modelo mantém-se com suas coordenadas e
propriedades originais à parte.
Quanto à plotagem do modelo, definiu-se como sendo a origem do sistema
de coordenadas na tela o canto inferior esquerdo (Figura 4.1), e como referência
de tratamento gráfico as medidas originais da tela de exibição com o modelo
projetado totalmente enquadrado nesta.
Figura 4. 1 – Relação entre os sistemas de coordenadas do modelo e da tela de plotagem.
Conforme são utilizados os recursos gráficos, fatores de escala e translação
são implementados através de transformações afins das coordenadas correntes e
geram uma nova visualização do modelo de acordo com os itens apresentados a
seguir ( Rogers, 1990 ).
Coordenadas e Translação
A translação do modelo na tela é executada através da soma ou subtração
dos chamados fatores de translação Ftx e Fty às coordenadas correntes, ou seja, é
executada uma soma de vetores cada vez que se executa um destes comandos
(Figura 4.2).
y
x
y’
x’
P1(x1,y1)
Pn(xn,yn)
xo
yo
Janela de visualização
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 80
+
=
y
x
Ft
Ft
y
x
'y
'x
Figura 4. 2 – implementação no modelo dos comandos de translação direcionada e Pan.
A diferença entre os comandos de translação encontra-se na forma como os
fatores de translação são determinados, sendo através de incrementos pré-
determinados ao acionar-se setas de direcionamento (Pan), ou através de
incrementos associados ao toque do mouse na tela.
Coordenadas e Escala do Modelo
Independentemente do acionamento dos comandos de zoom, sempre que um
novo modelo é gerado, ou a tela de exibição modificada, fatores de escala FSx e
FSy são calculados para atualizar o tamanho do modelo de forma proporcional à
alteração realizada.
Para o caso de modificação de tela, os fatores FSx e FSy são calculados de
acordo com a diferença percentual entre medidas de inicio e fim da janela de
visualização, aplicando-se o menor dos dois nas duas direções, estando o ponto
fixo para aplicação dos fatores de escala no centro da tela de exibição (Figura
4.3).
=
y
x.
Fs0
0Fs
'y
'x
y
x
Figura 4. 3 – implementação no modelo de fatores de escala.
Para o caso de aplicação de Zoom In e Zoom Out é aplicado um fator de
escala FSx igual a FSy, de acordo com um valor pré-determinado, diretamente na
matriz de coordenadas gráficas, sendo o ponto fixo para aplicação dos fatores de
escala o centro da tela de exibição.
P(x1,y1)
P(xn,yn)
P’(x1 ,y1)
P’(xn ,yn)
x
y
P(x1,y1)
P(xn,yn)
P’(x1 ,y1)
P’(xn ,yn)
x
y
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 81
Selecionando Pontos Graficamente
Sempre que for solicitada uma seleção gráfica, através de mouse, na verdade
o programa estará fazendo uma verificação entre intervalos de domínio fechado
nas direções x e y. Ao utilizar o mouse para seleção, o programa armazena as
coordenadas de início e fim da janela desenhada, fazendo uma comparação com as
coordenadas de nós existentes e atribuindo flag de seleção aos que se encontrem
dentro do retângulo desenhado.
4.3Inserção de Reforço e suas Coordenadas
As armaduras de reforço são sempre introduzidas dentro de Elementos
Finitos, e são lidas pelo programa FEPARCS através das coordenadas de
interseção com as linhas de contorno destes elementos. Estas interseções formam
os nós destes elementos, chamados de elementos de barra ou elementos finitos
unidimensionais.
Com objetivo de facilitar a introdução destes reforços e o cálculo de todas
estas interceções, foi programada uma rotina onde só é necessário fornecer as
coordenadas de início (x1,y1) e fim (x2,y2) de toda a barra, sem preocupar-se com
interseções. A geração das intersessões é feita através de funções do 1° grau,
determinadas a partir dos valores (x1,y1) e (x2,y2), e validados para os intervalos
entre nós existentes em x e y (Figura 4.4).
Figura 4. 4 – Introdução de reforço de acordo com coordenadas do modelo original.
Desta forma teremos as funções da forma:
abY
)Y(fX
baX)X(fY
−==
+==[4.1]
onde
y
x
y1
y2
x2x1
Ponto 1 de interseção
Ponto 2 de interseção
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 82
12
12
xxyy
xy
a−−=
∆∆= [4.2]
−−
+=+=12
1211 xx
yy1x1yaxyb [4.3]
Substituindo-se as expressões [4.2] e [4.3] em [4.1], chega-se a
)xxyy
xy(Xxxyy
)X(fY12
1211
12
12
−−
++−−
== [4.4]
−−
−−
+−==
12
12
12
1211
xxyy
xxyy
xyY
)Y(fX [4.5]
As expressões [4.4] e [4.5] são as funções que representam o reforço que
está sendo introduzido no modelo e em alguns dos elementos da malha de
Elementos Finitos.
Figura 4. 5 – Introdução de reforço de acordo com coordenadas do modelo original.
A determinação das coordenadas de interseção entre o reforço e as linhas
que definem o elemento é feita substituindo as coordenadas (x, y) dos nós nas
expressões [4.4] e [4.5], e verificando-se a localização para os intervalos
apresentados na Figura 4.5, de acordo com o apresentado na Figura 4.6.
Figura 4. 6 – Interseções entre funções definidas pelo reforço e as que definem o elemento.
P3(x3, y3)
P2(x2, y2)P1(x1, y1)
P4(x4, y4)
f(y) = x1 = x4 f(y) = x2 = x3
f(x) = y1 = y2
f(x) = y3 = y4
P1 P2
P4 P3
P1 P2
P4 P3
P1 P2
P4 P3
P1 P2
P4 P3(x1=x4, y)
(x, y1=y2)
(x1=x4, y)
(x2=x3, y)
(x, y3=y4)
(x1=x4, y)
(x, y3=y4)
(x, y1=y2)
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 83
4.3. O Programa PREPOS
O Programa PREPOS foi desenvolvido com o objetivo de trazer praticidade
e velocidade aos estudantes e pesquisadores interessados na utilização do
programa FEPARCS para análise do comportamento estrutural de peças em
concreto armado, concreto armado reforçado com materiais compósitos, ou outro
tipo de situação que se encaixe na modelagem oferecida pelo programa.
Atualmente, apenas modelos de vigas contínuas retas estão sendo considerados.
Desenvolvido sobre uma plataforma totalmente gráfica, o programa gera o
modelo de acordo com comandos dados pelo usuário, e permite um total
gerenciamento dos incrementos de carga e demais valores necessários a análises
de não-linearidade física e numérica. Tendo o programa FEPARCS como
responsável pela solução do modelo, o PREPOS é responsável pela conversão de
elementos gráficos para o formato de dados utilizado pelo FEPARCS. Assim
como na conversão necessária para processamento do FEPARCS, o mesmo lê os
dados gerados na análise e plota todos os resultados no modelo original abrindo a
opção de continuar o cálculo ou reforçar o modelo existente, caso não tenham se
esgotado as possibilidades de convergência. Sendo assim, o programa PREPOS é
apresentado a seguir.
Figura 4. 7 – Tela inicial do programa PREPOS.
A tela inicial do programa abre a possibilidade de o usuário gerar um novo
arquivo de análise ou abrir um modelo existente e pré-calculado, pois só os
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 84
modelos que passaram por todos os passos de elaboração, e foram efetivamente
calculados, são gravados em disco rígido.
Figura 4. 8 – Tela para geração da malha de Elementos Finitos.
Após dar nome ao arquivo, a única opção de modelagem disponível é de
geração da malha de Elementos Finitos, que neste caso tem disponível para
modelagem elementos Q4 e Q8, como mencionado no item 3.1.2. Abre-se na
mesma tela a possibilidade obter-se mais ou menos elementos para uma mesma
medida, e o número de Pontos de Gauss a se utilizar na integral de solução (Figura
4.8). Definida a malha de Elementos Finitos que corresponde à forma do modelo
original, pode-se optar por um refinamento da malha dividindo-se os elementos
em linha ou colunas (Figura 4.9). Selecionado o elemento a ser dividido, o
programa pede a seqüência de divisão e executa as divisões especificadas em toda
a linha ou coluna, de acordo com a opção escolhida.
Figura 4. 9 – Tela demonstrando as opções de manipulação gráfica do modelo.
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 85
Após gerar a malha com um dos elementos oferecidos e suas propriedades,
deve-se definir as restrições (Figura 4.10), ou apoios, e propriedades do material
(Figura 4.11) que compõe cada elemento. Com o objetivo de facilitar as
visualizações e captura dos pontos, estão disponíveis no programa opções de
manipulação gráfica, tais como: Zoom In, Zoom Out, Pan (translação) e botões de
deslocamento direcionado nos eixos x e y. Além disso, também foi introduzido
um mostrador onde as coordenadas percorridas pelo indicador do mouse são
atualizadas a cada movimento, e fornecem a posição (0,0) como sendo sempre o
“nó 1” do modelo analisado.
Figura 4. 10 – Tela demonstrando a introdução de restrições de deslocamento ao modelo.
A introdução das restrições de deslocamento (Figura 4.10) pode ser feita
graficamente através de seleção por janelas aos nós desejados. Após a seleção dos
nós, que são marcados com indicadores de seleção, definem-se as direções para
introdução das restrições de movimento. No caso de acionar-se o botão Cancelar,
todas as seleções são desfeitas e o modelo permanece como antes de iniciada a
opção.
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 86
Figura 4. 11 – Entrada de dados referente as propriedades do material que compõe os elementos.
Como material de composição para os elementos Q4 e Q8, são oferecidos
dois tipos diferentes, onde o primeiro é um modelo de comportamento isotrópico
elástico linear, e o segundo é um modelo que retrata o comportamento do concreto
simples através de um modelo hipoelástico ortotrópico, originalmente
desenvolvido por Elwi e Murray (1979) e apresentado no item 3.2.1.
Após a escolha do material (Figura 4.11), os parâmetros podem ser inseridos
pelo usuário ou obtidos através do menu - Recomendação dos autores, no caso do
concreto simples. São estes:
E – Módulo de Young ou módulo de elasticidade em toneladas/m²;
ν - Coeficiente de Poisson;
α - Coeficiente de dilatação térmica em 1/°C;
Fcu – Tensão última de compressão em tonelada-força/m²;
Ftu – Tensão última de compressão em tonelada-força/m²;
εcu – Deformação correspondente a Fcu em ‰;
ξ1, ρ1 e ξ2, ρ2 – Parâmetros que definem a superfície de ruptura de Willam-
Warnke;
GFT – Energia de fraturamento à tração do concreto simples em tonelada-
força/m;
GFC – Energia de fraturamento à compressão do concreto simples em
tonelada-força/m;
DBR – Valor que pode variar de 0,2 a 1,0, e corresponde a σfis;
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 87
Definidas todas as propriedades do modelo, pode-se entrar com o reforço
(Figuras 4.12 e 4.13). No caso da Figura 4.12 será introduzido simulando a
armação longitudinal inferior de uma viga em concreto armado.
Figura 4. 12 – Tela para entrada de reforço linear.
Como opção para introdução deste reforço, pode-se optar por introdução de
barras isoladas ou pela opção “Estribos”, onde é possível gerar um reforço que
pode ser copiado de acordo com as medidas definidas pelo usuário (Figura 4.13).
Figura 4. 13 – Tela para entrada de reforço linear com cópias paralelas.
O material a ser utilizado para o reforço pode ser escolhido de acordo com a
biblioteca disponível no programa. A introdução de novos materiais pode ser feita
através da opção “Novo Material”, no menu reforço, onde não necessários cinco
pontos que descrevam a curva “tensão x deformação” correspondente (Figura
4.14).
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 88
Figura 4. 14 – Tela para entrada de propriedades referente a novos materiais de reforço.
Quanto às ações externas que podem atuar sobre o modelo, somente a opção
de introdução de cargas nodais está disponível, e podem ser na direção do eixo x
ou eixo y e carga momento. As cargas podem ser introduzidas através da opção
introduzir no menu cargas, e a seleção dos nós onde será aplicada a carga é feita
através de janela com clique do mouse na área de trabalho do programa (Figura
4.15). Dentro desta opção, as cargas introduzidas anteriormente podem ser
removidas através da opção limpar, ou atribuindo-se o valor de carregamento zero
ao nó que se deseja eliminar a carga.
Uma observação importante a ser feita é a de que como o cálculo a ser
realizado é de natureza não-linear, as cargas originalmente introduzidas nesta
etapa receberão incrementos a cada passo, ou recálculo, definido na etapa seguinte
a esta. Como exemplo, pode-se dizer que um carregamento pontual de valor 10
toneladas-força, após 10 passos de cálculo com um fator de incremento igual a
um, corresponderá a uma ação total de 100 toneladas-força.
Figura 4. 15 – Tela para entrada das cargas nodais que incidem sobre a estrutura.
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 89
Definido o modelo, o programa abre o acesso à configuração dos passos do
cálculo existente, caso de utilização de modelos já calculados, e do novo cálculo a
ser executado. Nesta opção, a opção Limpar o Calc. Existente exclui todos os
passos de cálculo existentes, a opção Formulação abre a possibilidade de escolha
em se utilizar os métodos mencionados no item 3.3, e a opção Livre permite ao
usuário configurar livremente os passos a serem executados (Figura 4.16).
Figura 4. 16 – Escolha do procedimento de cálculo a ser utilizado.
No caso de se carregar, ou abrir, um modelo previamente calculado, pode-se
optar pela análise de resultados selecionando-se a opção Analisar Calc. Existente,
sendo o controle transferido imediatamente ao pós-processador.
Escolhido o método de análise a ser executado, torna-se necessária a
definição de alguns parâmetros responsáveis pela precisão e evolução do cálculo
não-linear (Figura 4.17). São eles:
Ø ITRMX – Número máximo de iterações;
Ø ITRKR – Número de iterações admitido antes de atualizar a matriz de
rigidez;
Ø TU – Tolerância para convergência de deslocamentos;
Ø TP – Tolerância para convergência de carregamentos;
Ø RX – Fator de Relaxação;
Ø NSOLV – Estratégia de solução não-linear a ser utilizada;
Ø DS – Comprimento de arco no caso de utilizar-se o método do
comprimento de arco;
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 90
Ø CCL – Fator para incremento de carga, associado ao passo de solução
corrente, no modelo em questão;
Ø Matriz – Armazena a matriz de rigidez ao final do passo de solução
corrente, sendo que esta pode ser utilizada em passos de solução
subseqüentes fazendo-se ITRKR=0.
Estando estes parâmetros de acordo com as estratégias de análise não-linear
para o Método dos Elementos Finitos apresentadas no item 3.3.
Figura 4. 17 – Tela para definição da estratégia e passos de solução do modelo.
Definidos os parâmetros de cálculo pode-se acionar a opção Gravar
Arquivo, que gera todos os arquivos de cálculo, a opção Gravar Como... que gera
todos os arquivos de cálculo de acordo com um novo nome especificado pelo
operador, e Calcular que gera todos os arquivos, fecha o pré-processador e
transfere a execução para o programa FEPARCS. Concluído o cálculo, o
programa FEPARCS transfere a execução para o pós-processador, que carrega
todos os resultados para análise, com a opção de introduzir elementos de reforço
(Figura 4.18).
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 91
Figura 4. 18 – Tela para análise de resultados.
Figura 4. 19 – Gráficos para análise resultados nos nós e elementos lineares.
Para análise de resultados, o programa permite:
Ø Análise de deslocamentos nas direções principais e em uma resultante
através de curvas de isovalores, clique do mouse no nó desejado para
obtenção de resultados de deslocamento ou plotagem de gráfico
“Fator de Carga x Deslocamento” (Figura 4.19);
Ø Análise de tensões e deformações de todos os elementos lineares de
reforço por isovalores e através de gráficos “Tensão x Deformação”,
“Fator de carga x Deformação” e “Fator de carga x Tensão”
exclusivos do nó selecionado;
Ø Opção de exibir graficamente os dados do modelo original, tais como
malha, reforço inicial, numeração de nós, cargas introduzidas e
restrições;
Ø Todos os resultados referentes a cada passo de solução são analisados
de forma independente e progressiva, com o programa desenhando a
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 92
deformação real e incrementada de acordo com escala definida pelo
usuário;
Ø Todas as opções de Zoom, Pan (translação), deslocamento e
mostrador de coordenadas continuam disponíveis;
Ø Opção de tela independente com todos os dados de convergência
obtidos no cálculo;
Ø Mostrador de coordenadas e Fator de Carga total aplicado no passo de
solução analisado.
Figura 4. 20 – Tela para introdução de reforços.
Após analisar os resultados pode-se optar pela introdução de novas
armaduras de reforço, onde somente é aceito o reinicio de cálculo e a
implementação dos mesmos associados ao último incremento de carga validado
pelo programa (Figura 4.20).
A metodologia para criação dos reforços é igual e com as mesmas opções do
processo descrito para o pré-processador, onde as coordenadas de entrada devem
ser introduzidas como se a estrutura não apresentasse qualquer tipo de
deformação. O programa se encarregará de qualquer conversão e incluirá
graficamente todos os novos reforços introduzidos.
Pré e Pós- Processamento de Dados Para Análise Por Elementos Finitos 93
Figura 4. 21 – Visualização das tensões atuantes no passo de solução selecionado e definição de
novos parâmetros para reinicio do cálculo.
Após análise de resultados e, caso necessária, a introdução dos reforços,
chega-se novamente à fase onde devem ser definidos novos incrementos de carga
e/ou estratégias de solução não-linear, da mesma forma como descrito
anteriormente. Em seguida a estas definições deve-se acionar a opção calcular,
que volta a transferir a execução para o FEPARCS e interrompe a execução do
pós-processador. Ao final do cálculo, o FEPARCS volta a transferir a execução
para o pós-processador, onde todo o processo se reinicia com as atualizações
determinadas e aceitas, ou não.
Uma deficiência do programa PREPOS é a de não possuir implementado em
seu algoritmo o traçado de isovalores para análise de tensões em elementos finitos
planos. Este problema foi contornado com a utilização do programa MVIEW,
desenvolvido pelo Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica da PUC-Rio
(Tecgraf, 1993) e funciona de forma independente ao FEPARCS e ao PREPOS.
Esta operação é possível devido a um módulo previamente programado por
Nascimento (1996), e que gera um arquivo de saída neutro compatível com o
programa MVIEW.
5. Exemplos Numéricos 5.1. Introdução
Neste capítulo, algumas vigas reforçadas à flexão com compósitos de fibra
de carbono, estudadas em trabalhos experimentais, foram analisadas através do
programa desenvolvido e os resultados comparados com os resultados
experimentais. Os trabalhos experimentais escolhidos para esta verificação
encontram-se resumidos no Capítulo 2, com detalhes técnicos pertinentes a este
estudo, e podem ser estudados detalhadamente em Pinto (2000), Cerqueira (2000)
e Araújo (2002).
5.2. Análise Numérica e Comparação de Resultados 5.2.1. Estudo de Pinto (2000)
Na modelagem numérica, elaborada através do pré-processador
desenvolvido neste trabalho, foram utilizados 810 elementos bidimensionais
planos de quatro nós (Q4) para o concreto e 585 elementos de barra para armadura
e reforço, com interpolação quadrática de deslocamentos. A discretização adotada
e as condições de contorno do problema são mostradas na Figura 5.1. Devido ao
tipo de implementação, e sendo esta a primeira avaliação de desempenho
utilizando-se os programas desenvolvidos, optou-se por descrever a aderência
entre armaduras e o concreto adjacente como sendo perfeita.
(a)
(b)
10kN 10kN
10 kN 10 kN
Exemplo Numérico 95
Tabela 5.1 – Propriedades do concreto utilizado em V1.
f’cu – Resistência à compressão 35,0 MPa
εc – Deformação associada a f’cu 3 ‰
f’tu – Resistência à tração 3,6 MPa
Eo – Módulo de elasticidade tangente inicial 18 GPa
υo – Coeficiente de Poisson 0,20
Tabela 5.2 – Parâmetros utilizados no modelo constitutivo.
βbc = fbc / fcu 1,25
βt = ftu / fcu 0,103
(ξ1, ρ1) (22,5;0)
(ξ2, ρ2) (22,5;0)
Energia de fraturamento à tração 80,0 N/m
Energia de fraturamento à compressão 440 N/m
σfis 0,75
Os parâmetros necessários à formulação do modelo computacional estão
resumidos em duas tabelas, sendo as propriedades do concreto, obtidas
experimentalmente, apresentadas na Tabela 5.1 e os parâmetros necessários à
montagem das superfícies de ruptura, item 3.2.1, na Tabela 5.2. Alguns dos
valores apresentados correspondem a valores sugeridos pelos autores da
implementação original do programa FEPARCS (Elwi & Murray, 1980), para o
caso de não existirem informações experimentais suficientes. Nas Tabelas 5.3 e
5.4 são apresentados os pontos para construção da curva “tensão x deformação”,
correspondente ao aço e ao compósito de fibra de carbono utilizados no reforço.
(c)
Figura 5.1 – Discretização adotada para analise numérica: (a) Elementos de concreto; (b) Elementos de
armadura; (c) Elementos de reforço.
10 kN 10 kN
Exemplo Numérico 96
Tabela 5.3 – Pontos para traçado da curva “tensão x deformação” do aço CA50A.
Armação inferior – φ16.0 Estribos e armação superior – φ8.0
Tensão (MPa) Deformação Tensão(MPa) Deformação
0 0,000 0 0,000
630 0,003 590 0,004
640 0,020 600 0,006
700 0,040 700 0,035
725 0,050 720 0,050
Tabela 5.4 – Pontos para traçado da curva “tensão x deformação” do compósito de fibra de carbono.
Tensão (MPa) Deformação
0 0,000
2970 0,018
Analisando-se o estudo experimental desenvolvido para a viga V1, foi
observado que o colapso do sistema estrutural ocorreu devido ao descolamento e
destacamento do compósito de fibra de carbono, e para valores abaixo da
resistência individual de cada material, o que indica a possibilidade do conjunto
resistir a esforços superiores caso este tipo de problema não ocorresse. Esta
observação conduz a análise realizada a valores abaixo do ponto limite, descrito
no item 3.3.
Na análise foi utilizado o método de Newton-Raphson standard até o nível
de carga mais próximo do ponto limite permitido pelo método. Estabelecendo-se
um limite máximo de 200 iterações para obtenção da convergência em cada passo
de solução, atualizando-se a matriz de rigidez a cada uma destas iterações, e
controlando-se os valores de tolerância em termos de carga e deslocamento, foram
obtidos 16 pontos de convergência para análise e comparação de resultados. Os
resultados obtidos em termos de desempenho e fator de multiplicação (CCL) são
apresentados na Tabela 5.5.
Exemplo Numérico 97
As curvas “carga x deslocamento”, obtidas nos trabalhos experimental e
numérico, são mostradas nos Gráficos 5.2 e 5.3. No procedimento experimental, a
viga foi submetida a um ciclo de carga onde primeiro atingiu-se um valor de 70
kN, foi completamente descarregada, recarregada a 60 kN e descarregada até o
valor de 41 kN, para então ser reforçada. Este procedimento gerou um gráfico
“Carga x Deslocamento” onde aparecem deformações residuais. Analisando-se
através do programa e do modelo proposto, constatou-se que o aço apresentou
durante todo este primeiro ciclo um comportamento elástico, sendo a deformação
residual proveniente da acomodação dos apoios e dos pontos de aplicação de
carga. Este comportamento é notado claramente se o ciclo 0-70-0 kN for ignorado
e as deformações igualadas a zero neste ponto.
Observa-se que o modelo foi capaz de representar todos os estágios de
comportamento da curva. O fato de considerar-se a aderência como sendo perfeita
entre aço-concreto e compósito-concreto, leva o modelo a valores superiores aos
experimentais, podendo o colapso ser atingido apenas por excesso de tensão nas
partes. Este fato não causa distorções no modelo teórico, pois o descolamento
ocorre de forma brusca, e nota-se que os valores obtidos na análise estão bem
próximos dos valores experimentais.
Tabela 5.5 – Desempenho do programa na obtenção de convergência para NRs.
Passo N° de Iterações
1 5 0,25 2 2 0,50 3 3 0,75 4 3 1,00 5 4 1,25 6 4 1,50 7 6 1,75 8 5 2,00 9 24 2,25
10 9 2,75 11 16 4,10 12 47 6,80 13 31 9,10 14 26 10,60 15 85 12,45 16 30 13,00 17 42 15,10 18 95 17,35
x Cargas Aplicadas
Exemplo Numérico 98
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Flecha (mm)
Car
ga (k
N)
EXPERIMENTAL PROGRAMA
Figura 5.2 – Diagrama “Carga x Flecha” – deflectômetro 1.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Flecha (mm)
Car
ga (k
N)
EXPERIMENTAL PROGRAMA
Figura 5.3 – Diagrama “Carga x Flecha” – deflectômetro 2.
Analisando-se as Figuras 5.2 e 5.3, observa-se um comportamento
diferenciado entre pontos notáveis do procedimento. Inicialmente as curvas são
aproximadamente lineares com os materiais - concreto e aço - trabalhando sob
baixas tensões e apresentando comportamento linear. No passo de solução 9
observa-se uma mudança na declividade dessas curvas relacionada ao inicio do
processo de fissuração, e a conseqüente perda de rigidez da estrutura, a partir da
qual apresentam uma tendência não linear. No passo de solução 11,
correspondente a um carregamento de 41 kN, é introduzido o reforço, e a estrutura
passa a apresentar um comportamento mais linear, o que pode ser atribuído ao
aumento em torno de 15% da rigidez total à flexão do conjunto. A partir deste
ponto, aço e compósito apresentam praticamente a mesma posição no sistema, e
Exemplo Numérico 99
cada um com seu módulo de elasticidade absorve carga em função das
deformações impostas. O início do processo de escoamento da armadura
longitudinal (passo 14) é marcado por nova mudança de declividade e nova
alteração na rigidez do conjunto à flexão, onde o aço mantém a tensão de
escoamento e o compósito passa a ser responsável por todo esforço excedente. O
comportamento da armadura longitudinal e do compósito pode ser observado nos
Gráficos de 5.4 a 5.7.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 5 10 15 20 25 30
Deformação (‰)
Car
gas (
kN)
EXPERIMENTAL PROGRAMA
Figura 5.4 – Diagrama “Carga x Deformação” da armadura longitudinal interna –
extensômetro D-1.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 5 10 15 20 25
Deformação (‰)
Car
ga (k
N)
EXPERIMENTAL PROGRAMA
Figura 5.5 – Diagrama “Carga x Deformação” da armadura longitudinal interna –
extensômetro D-2.
Exemplo Numérico 100
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 2 4 6 8 10 12 14
Deformação (‰)
Car
ga (k
N)
EXPERIMENTAL PROGRAMA
Figura 5.6 – Diagrama “Carga x Deformação” da lâmina de fibra de carbono – extensômetro F-1.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 2 4 6 8 10 12 14
Deformação (‰)
Car
ga (k
N)
EXPERIMENTAL PROGRAMA
Figura 5.7 – Diagrama “Carga x Deformação” da lâmina de fibra de carbono - extensômetro F-2.
Analisando-se o comportamento da armadura longitudinal e do compósito, é
possível observar que os valores teóricos e experimentais em muito se
aproximam, inclusive descrevendo o limite de deformação para o conjunto
compósito-cola-concreto com pequena e ajustável diferença para o valor
experimental.
Quanto à compatibilidade de deformação entre o aço e o compósito, nota-
se que a distância entre eixos não é superior ao valor do cobrimento e por isso as
deformações devem ser compatíveis por posicionamento. Os Gráficos 5.4 e 5.5
apresentam valores de deformação elevados no escoamento do aço, que em
primeira análise são incompatíveis com a deformação do compósito e da viga.
Contudo, nota-se que a partir de 130 kN não se registra mais a deformação do
compósito em função do inicio do processo de descolamento, e somente após a
Exemplo Numérico 101
perda total da capacidade de resposta deste, a armadura longitudinal deforma-se
livremente sem capacidade de resistir aos esforços. Com isso, recomenda-se como
valor de colapso para o conjunto estrutural o valor de 130 kN, correspondente ao
início de descolamento do compósito, quando se torna inevitável o colapso
estrutural. São apresentados na Tabela 5.6 valores comparativos entre a resposta
experimental e teórica, baseando-se na deformação do compósito e sem corrigir as
diferenças entre os modelos teórico e experimental mencionadas anteriormente.
Tabela 5.6 – Comparação entre valores de carga e deformação na ruptura.
Pmáx
(kN)
∆máx
(mm)
εfmáx
(‰)
Pmáx / Pmáx,
exp
∆máx / ∆máx,
exp
εfmáx / εfmáx,
exp
Teórico 138,0 30,00 5,21 1,06 0,92 1,00
Experimental* 130,0 32,25 5,21 1,00 1,00 1,00
* - Ultimo registro antes do inicio de descolamento do compósito.
Nas Figuras 5.8, 5.9, 5.10, 5.11 e 5.13, são apresentados os campos de
tensões horizontais para todos os passos de solução e pontos notáveis já
mencionados. Na Figura 5.12 é apresentada a distribuição de deformações no aço
e no compósito, no inicio do descolamento e referente ao passo de solução 16.
Figura 5.8 – Configuração da viga no início do processo de fissuração – passo de solução 9.
Exemplo Numérico 102
Figura 5.9 – Configuração da viga durante o procedimento de reforço – passo de solução 11.
Figura 5.10 – Configuração da viga imediatamente antes ao descolamento do compósito – passo de
solução 16.
Exemplo Numérico 103
Figura 5.11– Configuração da viga imediatamente após descolamento do compósito – passo de
solução 17.
Figura 5.12 – Distribuição de tensões nas armaduras iniciais e de reforço – passo de solução 17.
Exemplo Numérico 104
Figura 5.13 – Configuração da viga na iminência da ruptura – passo de solução 18.
Comparando-se os campos de tensão representados nas Figuras 5.8 e 5.9,
pode-se notar uma redução no valor das tensões de tração, parte inferior da viga,
associado ao inicio do processo de fissuração da viga e correspondente
plastificação dos Elementos Finitos. Este processo é descrito através da relação
uniaxial equivalente à tração do concreto, item 3.2.1.2.2, podendo, fisicamente,
ser atribuído à perda gradual do engrenamento dos agregados do concreto e da
conseqüente transferência de resistência para as armaduras longitudinais. Este
comportamento fica evidente ao analisar-se a distribuição de tensões ao longo da
seção transversal B-T, no meio do vão, onde aparecem as tensões de compressão,
ainda com distribuição linear, e o patamar de tensão residual de tração associado a
resultante dos esforços de tração nas armaduras.
Imediatamente após inicio do escoamento da armadura de tração o
compósito torna-se o único a resistir aos esforços excedentes implementados no
sistema, sendo que o aço mantém a tensão de escoamento e o compósito recebe
incrementos de tensão proporcionais a deformação. Neste momento, de acordo
com a Figura 5.10, as tensões de compressão no concreto mantêm uma relação
sem nenhuma indicação de plastificação mantendo-se linear. Ou seja, não fosse
Exemplo Numérico 105
pelo descolamento do compósito o conjunto estrutural continuaria resistindo aos
esforços implementados.
Desconsiderando-se o descolamento e continuando-se a análise, nota-se no
passo 17 o inicio da plastificação dos elementos que representam o concreto à
compressão, ou seja, a distribuição de tensões na seção B-T começa a apresentar
um comportamento não-linear, no que diz respeito à compressão. Nota-se uma
redistribuição nas tensões de compressão máximas na região entre a aplicação das
cargas, com início do processo de fraturamento à compressão. Na Figura 5.12 é
observada a distribuição de tensões atuantes no aço e no compósito, estando o
compósito sob uma tensão máxima de 1175 MPa e deformação equivalente de
7,12‰ na posição correspondente ao extensômetro D-1. No passo 18 a viga
apresenta uma distribuição quase que completamente plastificada, ou danificada,
com processo de fraturamento à compressão na iminência de levar o sistema ao
colapso com o compósito apresentando tensão de 2074 MPa e deformação de
14,18‰.
Analisando-se as tensões atuantes, constata-se a existência de valores de
tensões superiores ao valor de f’c. No passo de solução 16 a viga apresenta uma
distribuição de tensões ainda linear, mas seu valor máximo à compressão é maior
que f’c, sendo o valor de βbc responsável pela tensão atingida neste tipo de
confinamento. Atingido um determinado valor, as tensões principais de tração e
compressão combinam-se levando a região entre cargas a distribuições de tensão
não-lineares e com processo de fraturamento progressivo. Contudo, na região de
aplicação das cargas o confinamento existe em todas as direções, e somado a
existência do aço de compressão consegue-se atingir nestas regiões uma tensão de
aproximadamente 54 MPa.
5.2.2. Estudo de Araújo (2002)
Para esta análise foram utilizados 480 elementos bidimensionais planos de
quatro nós (Q4) para o concreto e 422 elementos de barra para armadura e reforço,
com interpolação quadrática de deslocamentos. A discretização adotada e as
condições de contorno do problema são mostradas na Figura 5.13. De acordo com
o adotado na seção anterior, a aderência entre armaduras e o concreto adjacente é
considerada perfeita para efeito de cálculo do modelo.
Exemplo Numérico 106
(a)
(b)
(c)
Figura 5.14 – Discretização adotada para analise numérica: (a) Elementos de concreto; (b)
Elementos de armadura; (c) Elementos de reforço.
De acordo com o estudo experimental desenvolvido e os resultados obtidos,
apresentados em 2.5.2, foram escolhidas as vigas V1 e V4 como referência para o
desenvolvimento deste estudo. Sua escolha foi baseada na representatividade dos
resultados obtidos, já que possuíam a mesma instrumentação, extensômetros
posicionados nos pontos de esforço máximo à flexão e reforços com seção
transversal diferentes.
Os parâmetros necessários à formulação dos modelos computacionais estão
resumidos em duas tabelas, sendo as propriedades do concreto, obtidas
experimentalmente , apresentadas na Tabela 5.7 e os parâmetros necessários à
montagem das superfícies de ruptura, item 3.2.1, na Tabela 5.8. Alguns dos
valores apresentados correspondem a valores sugeridos pelos autores da
implementação original do programa FEPARCS (Elwi & Murray, 1980). Nas
Tabelas 5.9 e 5.10 são apresentados os pontos para construção da curva “tensão x
deformação”, correspondente ao aço e ao compósito de fibra de carbono utilizado
no reforço.
Exemplo Numérico 107
Tabela 5.7 – Propriedades do concreto utilizado.
V1 a V3 V4 a V6
f’cu – Resistência à compressão 29,0 MPa 29,1 MPa
εc – Deformação associada a f’cu 3 ‰ 3 ‰
f’tu – Resistência à tração 2,9 MPa 2,9 MPa
Eo – Módulo de Elasticidade tangente inicial 20 GPa 20 GPa
υo – Coeficiente de Poisson 0,20 0,20
Tabela 5.8 – Parâmetros utilizados no modelo constitutivo das vigas V1a V6.
βbc = fbc / fcu 1,25
βt = ftu / fcu 0,103
(ξ1, ρ1) (22,5;0)
(ξ2, ρ2) (22,5;0)
Energia de fraturamento à tração 80,0 N/m
Energia de fraturamento à compressão 440 N/m
σfis 0,75
Tabela 5.9 – Pontos para traçado da curva “tensão x deformação” do aço CA50A.
Tensão (MPa) Deformação
0 0,000
500 0,0025
620 0,0055
650 0,024
100 0,040
Tabela 5.10 – Pontos para traçado da curva “tensão x deformação” do compósito de fibra de
carbono.
Tensão (MPa) Deformação
0 0,000
3645 0,015
Analisando-se os resultados experimentais obtidos para as vigas V1 a V6,
foi observado que o colapso do sistema estrutural ocorreu pela ruptura do
compósito de fibra de carbono, imediatamente após a plastificação do aço de
flexão. Não havendo indicativo de ruptura por esmagamento do concreto e como a
Exemplo Numérico 108
ruptura do compósito acontece de forma frágil, a análise será conduzida a valores
abaixo do ponto limite, descrito no item 3.3, sem necessidade analítica e prática
de ir além deste.
Sendo assim, para obtenção dos resultados desejados foi utilizado na análise
o método de Newton-Raphson standard até o nível de carga mais próximo do
ponto limite permitido pelo método e pelos materiais utilizados.
Viga 1:
Estabelecendo-se um limite máximo de 200 iterações para obtenção da
convergência em cada passo de solução, atualizando-se a matriz de rigidez a cada
uma destas iterações, e controlando-se os valores de tolerância em termos de carga
e deslocamento, foram obtidos 19 pontos de convergência para análise e
comparação de resultados. Os resultados obtidos em termos de desempenho e
fator de multiplicação (CCL) são apresentados na Tabela 5.11.
Analisando-se a curva “carga x deslocamento” obtida na análise, mostrada
nos Gráficos 5.14 e 5.15 em conjunto com o resultado experimental, percebe-se a
existência de dois pontos que marcam a perda gradual de rigidez do sistema
estrutural.
Tabela 5.11 – Desempenho do programa na obtenção de convergência para NRs.
Passo N° de Iterações
1 5 0,50 2 3 1,00 3 4 1,50 4 4 2,00 5 6 2,50 6 6 3,00 7 7 4,00 8 8 5,00 9 3 6,00
10 15 8,00 11 16 9,00 12 14 10,00 13 34 14,00 14 29 17,00 15 37 19,00 16 33 20,00 17 26 20,75 18 31 21,50 19 44 22,50
x Cargas Aplicadas
Introdução do reforço
Exemplo Numérico 109
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
Flecha (mm)
Car
ga (k
N)
Experimental Teórico
Figura 5.15 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição do deflectômetro 1 -
Comparação entre o valore teórico da viga reforçada e o experimental.
0255075
100
125
150175
200225250
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
Flecha (mm)
Car
ga (k
N)
Experimental Teórico
Figura 5.16 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição do deflectômetro 2 -
Comparação entre o valore teórico da viga reforçada e o experimental.
O primeiro ponto pode ser notado próximo ao passo de solução que gera um
fator multiplicador igual a cinco e refere-se ao inicio efetivo da propagação das
fissuras de tração. Neste momento o concreto perde capacidade de resistência à
tração nas partes afetadas, e o conjunto aço-compósito atua única e efetivamente
gerando o binário resistente. Vale ressaltar que diferentemente do estudo anterior,
a adição do compósito aconteceu antes de iniciar-se o processo de fissuração.
Após acomodações entre os materiais, o conjunto segue resistindo através
de um comportamento linear até valores próximos de um fator multiplicador igual
a 20. Este comportamento linear se deve ao fato do aço se encontrar em seu
Exemplo Numérico 110
regime elástico, e trabalhar combinado ao compósito de fibra de carbono, sempre
elástico. Ocorre uma nova redução de rigidez do conjunto quando o aço, de
acordo com ensaio próprio, começa a perder rigidez gradualmente, causando
aumento na parcela de contribuição do compósito e sua conseqüente ruptura por
excesso de esforço. Este processo é notado claramente nas deformações que
ocorrem no vão biapoiado, inclusive invertendo a rotação no apoio do balanço e
causando redução na deflexão geral do balanço.
Comparando os resultados dos deslocamentos obtidos na análise numérica,
Gráficos 5.14 e 5.15, notam-se algumas diferenças de desempenho que podem ser
justificadas pela simplicidade do sistema experimental para aplicação de forças e
o do programa que é pré-definido e vetorial. O sistema experimental para
aplicação de forças é mecânico e deve ser desmontado para aplicação dos
reforços, enquanto o sistema do programa é predefinido e vetorial, o que permite a
rotação negativa de apoio já descrita. Os comportamentos do aço de flexão e do
compósito podem ser observado nas Figuras de 5.17 a 5.18.
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0
Deformação (‰)
Car
ga (k
N)
Experimental Teórico
Figura 5.17 – Diagrama “Carga x Deformação” na posição do extensômetro 2 -
Comparação entre o valor teórico da viga reforçada e o experimental.
Exemplo Numérico 111
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0
Deformação (‰)
Car
ga (k
N)
Experimental Teórico
Figura 5.18 – Diagrama “Carga x Deformação” na posição do extensômetro 7 -
Comparação entre o valor teórico da viga reforçada e o experimental.
Analisando-se o comportamento do aço que compõe a armadura
longitudinal, é possível observar que os valores teóricos e experimentais estão de
acordo com as considerações feitas anteriormente. O sistema mecânico
experimental de distribuição de cargas forçou os pontos de contato em suas
direções de deslocamento, causando a perda de rigidez no meio do vão e no
balanço quase ao mesmo tempo, diferente da análise teórica. Nota-se a perda do
“extensômetro 2” durante o ensaio, o que compromete em parte a análise gráfica
efetuada, pois de acordo com seu traçado inicial poderia constatar-se um
alinhamento quase semelhante entre e justificado para o extensômetro 7.
São apresentados na Tabela 5.12 valores comparativos entre a resposta
experimental e teórica. Tabela 5.12 – Comparação entre valores de carga e deformação na ruptura.
Pmáx
(kN)
∆máx
(mm)
εfmáx
(‰) Pmáx / Pmáx, exp
∆máx / ∆máx,
exp
εfmáx / εfmáx,
exp
Teórico 225,00 19,15 - 1,09 | 1,02 | 1,12 - -
Experim. V1 206,15 - - 1,00 - -
Experim. V2 219,55 - - 1,00 - -
Experim. V3 200,52 - - 1,00 - -
Exemplo Numérico 112
Viga 4:
Seguindo-se o mesmo procedimento de modelagem e cálculo da viga V1,
com aumento da seção transversal do compósito no reforço negativo de acordo
com o item 2.5.2, os resultados obtidos em termos de desempenho e fator de
multiplicação são apresentados na Tabela 5.13.
Analisando-se as curvas “Carga x Flecha” é possível notar a
compatibilidade no desempenho entre o modelo teórico e o experimental,
mostrando que houve uma razoável concordância de resultados, o que confirma os
comentários feitos para a análise da viga V1.
025
5075
100125150
175200225250
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0
Flecha (mm)
Car
ga (k
N)
Experimental Teórico
Figura 5.19 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição do deflectômetro 1 -
Comparação entre o valore teórico da viga reforçada e o experimental.
Tabela 5.13 – Desempenho do programa na obtenção de convergência para NRs.
Passo N° de Iterações
1 5 0,50 2 3 1,00 3 4 1,50 4 4 2,00 5 5 2,50 6 5 3,00 7 3 4,00 8 6 5,00 9 20 6,00
10 17 8,00 11 15 9,00 12 12 10,00 13 20 14,00 14 29 17,00 15 27 19,00 16 22 20,00 17 26 20,75 18 27 21,50 19 40 22,60
x Cargas Aplicadas
Introdução do reforço
Exemplo Numérico 113
0255075
100125150175200225250
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0
Flecha (mm)
Car
ga (k
N)
Experimental Teórico
Figura 5.20 – Diagrama “Carga x Flecha” na posição do deflectômetro 2.
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0
Deformação (‰)
Car
ga (k
N)
Experimental Teórico
Figura 5.21 – Diagrama “Carga x Deformação” na posição do extensômetro 2.
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0
Deformação (‰)
Car
ga (k
N)
Experimental Teorico
Figura 5.22 – Diagrama “Carga x Deformação” na posição do extensômetro 7.
Exemplo Numérico 114
O comportamento estrutural das vigas V1 e V4 são semelhantes, sendo
possível verificar que os mesmos pontos marcam a perda gradual de rigidez do
sistema estrutural. A confirmação é obtida analisando-se os gráficos de “Carga x
Flecha” e “Carga x Deformação”, onde o resultados experimentais e teóricos
praticamente se sobrepõem. Analiticamente nota-se que as tensões atuantes nos
pontos de esforço máximo praticamente se equivalem, sendo determinante para a
ruptura do compósito e do sistema uma diferença mínima entre propriedades.
Esta observação está retratada no fato de todos os gráficos de deslocamento e
deformação serem compatíveis entre valores teóricos e experimentais,
diferenciando-se apenas na eminência de ruptura.
São apresentados na Tabela 5.14 valores comparativos entre a resposta
experimental e teórica, baseando-se na deformação do aço-compósito e sem
corrigir os valores para eventuais distorções experimentais, mencionadas
anteriormente.
Tabela 5.14 – Comparação entre valores de carga e deformação na ruptura
Pmáx
(kN)
∆máx
(mm)
∗εfmáx
(‰) Pmáx / Pmáx, exp ∆máx / ∆máx, exp
εfmáx / εfmáx,
exp
Teórico 226,0 19,78 7,623 0,99 | 1,09 | 0,83 0,95 | 0,80 | 1,06 1,00
Experim. V3 227,97 20,89 7,620 1,00 1,00 1,00
Experim. V5 207,50 24,77 - 1,00 1,00 -
Experim. V6 272,08 18,57 - 1,00 1,00 -
* - Leitura correspondente à perda do extensômetro 2 em 180kN.
Devido à semelhança no comportamento estrutural das vigas estudadas, foi
escolhida para representar a analise de tensões no concreto o modelo gerado para
a viga V4. Assim, são apresentados nas Figuras 5.23, 5.24, 5.25, 5.26 e 5.27, os
campos de tensões horizontais para todos os passos de solução e pontos notáveis
mencionados. Na Figura 5.28 é apresentada a distribuição de tensões atuantes no
aço e no compósito de reforço, correspondente ao passo de solução 19 e a
distribuição de tensões horizontais representado na Figura 5.27.
Exemplo Numérico 115
Figura 5.23 – Configuração de tensões atuantes durante o processo de fissuração – passo de
solução 8 – tensões de compressão e tração ao longo das seções transversais.
Figura 5.24 – Configuração de tensões atuantes no inicio do processo de escoamento do aço –
passo de solução 16 – tensões de compressão e tração ao longo das seções transversais.
Exemplo Numérico 116
Figura 5.25 – Configuração de tensões atuantes ao inicio do processo de escoamento do aço –
passo de solução 16 – tensões principais de Compressão.
Figura 5.26 – Configuração de tensões atuantes na eminência de ruptura do compósito de fibra de
carbono – passo de solução 19 – tensões de compressão e tração ao longo das seções transversais.
Exemplo Numérico 117
Figura 5.27 – Configuração de tensões atuantes na eminência de ruptura do compósito de fibra de
carbono – passo de solução 19 – tensões principais de compressão.
Figura 5.28 – Configuração de tensões atuantes na eminência de ruptura do compósito de fibra de
carbono – passo de solução 19 – armação e reforço de flexão
Estudando-se o campo de tensão representado nas Figura 5.23, pode-se
notar um patamar no valor das tensões de tração, parte inferior da viga, associado
ao inicio do processo de fissuração da viga e correspondente a primeira perda de
rigidez mencionada na analise do gráfico “Carga x Deslocamento”. Este
comportamento fica evidente ao analisar-se as distribuições de tensão ao longo
das seções transversais detalhadas, onde aparecem as tensões de compressão,
ainda com distribuição linear, e o patamar de tensão residual de tração associado a
resultante dos esforços de tração nas armaduras.
Exemplo Numérico 118
Analisando-se a distribuição de tensões ao longo da seção transversal após
inicio do escoamento da armadura de tração, passo de solução 16, nota-se uma
distribuição linear das tensões de compressão com valores máximos já
ultrapassando o valor de f’c. Neste ponto, verifica-se que as fissuras, visualizadas
na Figura 5.24, já começam a comprometer as regiões de momento máximo.
Na eminência do colapso a viga apresenta um estado avançado de fissuração
e o concreto na zona comprimida mostra sinais de degradação com distribuição de
tensões não-linear. Entretanto, nota-se na Figura 5.28 que o compósito encontra-se
na eminência de ruptura, apresentando tensões de 3300 MPa, o aço com tensões
máximas entre 503 e 736 MPa, e a clara indicação do colapso do sistema pela de
ruptura destes elementos no vão bi-apoiado.
6. Conclusões e Sugestões 6.1. Conclusões
A alteração das propriedades de elementos estruturais em concreto armado
através da colagem de tecidos ou lâminas de fibra de carbono ou fibra de vidro,
colagem de chapas de aço, adição de estribos pré-tracionados e colagem de barras
de aço, entre outros, representam uma alternativa extremamente interessante na
reestruturação, adaptação e recuperação de estruturas. Seguido a realização de
diversos estudos experimentais utilizando-se materiais compósitos, firmam-se os
conceitos de aplicação e colagem, junto a leveza, dimensões reduzidas e
resistência a altas tensões de tração. Estes materiais não tradicionais, têm através
destes estudos e de sua aplicação em campo definido parâmetros e critérios de
segurança confiáveis a sua aplicação em projetos.
Levando-se em conta esta evolução e a crescente confiabilidade no material,
torna-se cada vez mais presente a necessidade de estudos e ferramentas de análise
estrutural pertinentes. Esta evolução, baseada em dados experimentais e nos
métodos tradicionais de análise, pode levar a situações de análise e
dimensionamento mais elaborados, com melhor aproveitamento do material e a
determinação matemática de esforços e deformações de todo o conjunto.
De acordo com esta filosofia, apresentou-se neste trabalho um modelo
constitutivo de formulação hipoelástica proposto por Elwi & Murray (1979) para
concreto simples. Essa formulação utiliza o conceito de deformação uniaxial
equivalente de Darwin & Pecknold (1974) e o critério de ruptura de Willam &
Warnke (1975). Através da incorporação de relações uniaxiais entre tensões e
deformações, o concreto simples é descrito em seu comportamento à compressão,
à tração e ao cisalhamento. O comportamento à compressão é baseado em tensão
máxima, deformação equivalente, rigidez inicial e energia de fraturamento. O
comportamento à tração é baseado em tensão máxima, deformação equivalente,
rigidez inicial, na perda brusca de rigidez pela energia consumida pela formação
da fissura e pela energia de fraturamento. O comportamento ao cisalhamento é
descrito de forma semelhante ao descrito para compressão e tração até o valor de
tensão máxima, e na parte pós-pico pelo valor secante do módulo de elasticidade
Conclusões e Sugestões 120
transversal e por um fator representativo da perda de engrenamento do agregado.
Junto ao modelo hipoelástico proposto por Elwi & Murray (1979) foi apresentado
o modelo elasto-plástico multilinear, utilizado para descrever o comportamento
das armações longitudinais e transversais dentro da malha de Elementos Finitos.
De acordo com o objetivo deste estudo, adaptou-se o modelo original de forma a
torná-lo capaz de reproduzir o comportamento estrutural de elementos em
concreto armado reforçados em serviço. Ou seja, as propriedades do sistema são
alteradas com a introdução de uma rigidez adicional e correspondente nos
elementos que representam o compósito, durante a atuação das cargas pertinentes.
Para implementação computacional do modelo apresentado foi utilizado o
programa de análise por Elementos Finitos FEPARCS (Elwi & Murray, 1980),
que incorpora estratégias de solução adequadas a problemas de natureza não-
linear, além de dispor de uma série de modelos constitutivos para concreto,
inclusive o modelo de Elwi & Murray, (1979). Sendo o FEPARCS (Elwi &
Murray, 1980) um programa originalmente de processamento numérico, foi
implementado um programa de pré e pós-processamento gráfico. Através deste
programa é possível gerar malha de elementos finitos, restrições, aplicar cargas,
definir propriedades, definir estratégias de cálculo para elementos bidimensionais
planos Q4 e Q8, e transferir automaticamente para a função de cálculo no
FEPARCS (Elwi & Murray, 1980). Efetuado o cálculo, pode-se através do pós-
processador analisar os resultados de esforços, deformações e deslocamentos para
os passos de solução válidos, além de introduzir reforços e reiniciar o cálculo para
novas configurações das estratégias de cálculo e análise não-linear.
A validação do programa desenvolvido foi feita utilizando-se os estudos
experimentais de Pinto (2000) e Cerqueira (2000) e o estudo de Araújo (2002),
onde, os procedimentos experimentais foram analisados, de acordo com o
apresentado no Capítulo 2, e algumas vigas escolhidas para serem modeladas e
analisadas. A validação consistiu na análise comparativa entre valores
experimentais e teóricos de colapso, e dos gráficos: “Carga x Flecha”, “Carga x
Deformação do Aço” e “Carga x Deformação do Compósito”, correspondente a
posições de monitoramento experimental. Para obtenção de resultados foi
utilizada como estratégia de solução não-linear o método de Newton-Raphson, em
sua versão standard, sem necessidade de utilização do método do comprimento de
arco para descrever os pontos pós-pico da curva “Carga x Deslocamento”. Este
Conclusões e Sugestões 121
fato pode ser justificado pelo comportamento dos elementos estruturais reforçados
pela adição de compósitos de fibra de carbono, demonstrando aumento da rigidez
na região reforçada, retardo da entrada do aço em escoamento em relação à
estrutura não reforçada e ruptura frágil do compósito sem comportamento
definido além do ponto limite, exceto em casos de colapso por esmagamento do
concreto.
Analisando-se o estudo experimental desenvolvido por Pinto (2000) e
Cerqueira (2000), e fazendo-se considerações em relação a acomodações do
sistema, pôde-se observar a existência de pontos notáveis sobre a curva “Carga x
Flecha” – inicio da fissuração, inicio de escoamento do aço de flexão,
compatibilização entre as deformações no momento de descolamento do
compósito - , para os quais foram representados os campos de tensões na viga , a
distribuição de tensões no meio do vão e a configuração das deformações atuantes
nas armações (Figuras 5.8 a 5.13). Verificou-se que após um ajuste para
desconsiderar acomodações do sistema e de um ciclo de carga e descarga, o
comportamento entre as curvas referentes à análise numérica e as curvas obtidas
pelo monitoramento do ensaio realizado é praticamente o mesmo, tendo tangentes
e pontos notáveis praticamente iguais. Este comportamento, junto ao demonstrado
pelos gráficos “Carga x Deformação” do aço e do compósito, também
coincidentes até o ponto de descolamento do compósito, mostram a
correspondência de resultados entre a análise numérica e os resultados
experimentais. O estudo experimental desenvolvido por Araújo (2002) também
pode ser verificado e compatibilizado pela análise numérica, apesar de algumas
diferenças existentes entre os resultados experimentais. Constatam-se os mesmos
pontos notáveis descritos no estudo anterior, e foi possível verificar grande
aproximação com o estudo da viga V1, e uma completa concordância com os
resultados experimentais da viga V4, representados por gráficos “Carga x Flecha”,
“Carga x Deformação aço/compósito”, campos de tensões atuantes no concreto,
distribuição de tensões nos pontos de esforço máximo, configuração de
deformações do aço e do compósito e campos de tensões principais com indicação
de fissuras, representados pelas Figuras 5.23 a 5.28.
Assim, baseando-se nos exemplos verificados, pode-se dizer que o
programa desenvolvido foi capaz de descrever com grande aproximação o
comportamento estrutural de vigas em concreto armado reforçadas, em carga,
Conclusões e Sugestões 122
através de compósitos de fibra de carbono. Algumas diferenças encontradas
podem ser justificadas pela diferença entre o procedimento experimental e
numérico, sendo as diferenças e considerações listadas a seguir: Teórico Experimental
Aplicação do reforço Numérico e por coordenadas
Desmontam-se os deflectômetros, é inserido um
pórtico de ancoragem e retoma-se o ensaio c/ carga atuante
diferente da prevista.
Aderência Perfeita
Podendo variar de acordo com zona de má ou boa aderência do
concreto e podendo sofrer acomodações durante o ensaio.
Sistema p/ aplicação de forças Numérico e com direcionamento vetorial
Mecânico, com direcionamento imposto pelo macaco hidráulico
e possibilidade de variação durante o ensaio
Mesmo com os resultados obtidos, deve-se salientar que as implementações
realizadas representam apenas um primeiro passo na obtenção de um modelo
completo e confiável para este sistema estrutural, sendo necessários outros
estudos e novas implementações nos programas desenvolvidos.
Quanto a elaboração de projetos de reforço utilizando-se materiais
compósitos, é válido salientar a importância da relação ( Ef . εf / Af ) / ( ES . εS /
AS ), que para valores muito baixos pode mascarar a iminência de ruptura do
conjunto, inevitável e quase que imediato ao escoamento do aço. Sendo assim, sua
parcela de contribuição no binário resistente é proporcional à relação apresentada,
e praticamente acompanha a deformação imposta pelo escoamento do aço,
apresentando ruptura do compósito e inevitável ruptura do aço. Nestes casos o
compósito não descola, pois mesmo com tensões normais altas, a força de
arrancamento e as tensões tangenciais são relativamente baixas.
6.2. Sugestões Para Trabalhos Futuros
Como sugestões para trabalhos futuros relacionados ao tema, propõe-se:
O estudo experimental da aderência de compósitos ao concreto
através de vigas, obtendo relações entre armadura longitudinal e
quantidade de fibra empregada no reforço;
Conclusões e Sugestões 123
Implementar o controle de aderência nas armações, utilizando-se
inclusive parâmetros para determinação de descolamento ou não do
compósito utilizado na análise numérica;
O estudo numérico e experimental de vigas em concreto armado
com furos executados após a sua moldagem, reforçados através da
adição de compósitos de fibra de carbono;
O estudo numérico e experimental de consolos e ligações viga
coluna reforçados através da adição de compósitos de fibra de
carbono;
Continuar as implementações no programa de pré-processamento,
adicionando-se um módulo para criação de malha com qualquer
forma, introdução de furos, determinação de diferentes
propriedades para partes do concreto que compõe a viga, entre
outros.
Continuar as implementações no programa de pós-processamento,
adicionando-se um módulo para interpolação através de isovalores
para tensões e deformações nos elementos finitos Q4 e Q8, modulo
para elaboração de gráfico que monstre a distribuição de tensões ao
longo de uma seção transversal selecionada, entre outros.
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