Margita VajsáblováVajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 18

Perspektívna afinita roviny Perspektívna afinita roviny na rovinu na rovinu ''

s

Definícia 1: Nech a ´ sú dve rôzne roviny a s je priamka, ktorá nie je rovnobežná so žiadnou z rovín a ´. Zobrazenie, ktoré každému bodu A priradí bod A´ ´, kde AA ´ ∥ s, nazývame perspektívna afinita roviny na rovinu ´.

´o

a

A´

´ = o – os afinity (silne samodružná priamka), každý jej bod sa zobrazuje sám na seba, B ≡ B´.

s – smer afinity A

a´

Poznámky: - Afinne združené priamky, t. j. a, a´ sa pretínajú na osi afinity:

a a ´ o - Perspektívna afinita ´ je bijekcia.

B ≡ B´

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 19

Perspektívna afinita roviny Perspektívna afinita roviny na seba na seba

Definícia 2: Perspektívna afinita roviny na seba je bijekcia s vlastnosťami:

´o

a

A´

A

a´

Poznámka: Rovnobežným priemetom perspektívnej afinity roviny na rovinu ´ do roviny je perspektívna afinita roviny na seba vtedy, ak priemetom žiadnej z rovín a ´ nie je priamka.

s

o

a

A ´

A

a´B ≡ B´

B ≡ B´

s

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 20

1. bodu A priradí bod A´ , kde AA´ ∥ s – smerom afinity,

2. ak 3 body ležia na jednej priamke, potom aj ich obrazy ležia na jednej priamke,

3. existuje jedna silne samodružná priamka – os afinity.

Vlastnosti pVlastnosti perspektívnerspektívnejej afinit afinityy

Veta 1: Perspektívna afinita roviny na seba (perspektívna afinita roviny α na rovinu α´) zachováva:

1. kolinearitu 3 bodov na priamke,

´

o

a

A´

A

a´

Poznámka: Veta je dôsledkom vlastností rovnobežného premietania.

B

C

B´C´

≡≡

2. deliaci pomer 3 bodov na priamke,

3. rovnobežnosť dvoch priamok.

o

a

A´

A

a´

B

C

B´C´

≡≡

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 21

CharakteristikaCharakteristika p perspektívnerspektívnejej afinit afinityy

Veta 2: Majme perspektívnu afinitu roviny na seba, ktorej osou je priamka o a bod AA´, teda smer afinity je AA´. Nech AA´ o = A0, potom platí, že deliaci pomer k = (A´, A; A0) je konštantný pre všetky body A , Ao a nazývame ho charakteristika perspektívnej afinity.

Dôkaz: žB je ľubovoľný bod roviny , ktorý neleží na osi o,

A

A´

o

a

a´

B

B´

A0

B0

P

0

0

0

0

PA

PB

AA

BB

0

0

0

0

'

'

PA

PB

AA

BB

0

0

0

0

'

'

AA

BB

AA

BB k

BB

BB

AA

AA

0

0

0

0 ''

PB0B PA0A

PB0B´ PA0A´

teda

nech P = AB o.

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 22

Zobrazovacie rovniceZobrazovacie rovnice p perspektívnerspektívnejej afinit afinityy

Veta 3: V súradnicovej sústave [O, x, y] majme perspektívnu afinitu roviny na seba, ktorej osou je o x a bod A[0, 1] A´[, ], 0, potom obrazom ľubovoľného bodu B[x, y] je B´[x´, y´] a platí:

o xP

,´

,´

yy

yxx

čo sú zobrazovacie rovnice perspektívnej afinity roviny na seba.

A[0, 1]

A´[, ]

B[x, y]

B´[x´, y´]

y

O

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 23