mariani geovana evangelista eliane scheid gazire - … · relações entre os polígonos regulares,...
TRANSCRIPT
MARIANI GEOVANA EVANGELISTA
ELIANE SCHEID GAZIRE
2
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 4
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA NA
PERSPECTIVA DESTE TRABALHO .................................................................................. 5
O desenvolvimento de habilidades matemáticas.................................................................... 5
A sala de aula como ambiente de manipulação, experimentação e investigação ................ 7
A sequência de tarefas ............................................................................................................ 10
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ..................................................................................... 13
TAREFA 1: ............................................................................................................................. 14
CLASSIFICANDO FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS ................................................... 14
TAREFA 2: ............................................................................................................................. 16
INVESTIGANDO POLÍGONOS E SUAS CARACTERÍSTICAS. .................................. 16
TAREFA 3: ............................................................................................................................. 18
INVESTIGANDO OS ÂNGULOS DE UM POLÍGONO................................................... 18
TAREFA 4: ............................................................................................................................. 21
INVESTIGANDO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO
QUALQUER ........................................................................................................................... 21
TAREFA 5: ............................................................................................................................. 23
INVESTIGANDO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM QUADRILÁTERO
QUALQUER ........................................................................................................................... 23
TAREFA 6: ............................................................................................................................. 27
CONSTRUINDO POLÍGONOS REGULARES POR DOBRADURAS .......................... 27
TAREFA 7: ............................................................................................................................. 30
INVESTIGANDO DIFERENTES PAVIMENTAÇÕES DE POLÍGONOS
REGULARES NO PLANO ................................................................................................... 30
TAREFA 8: ............................................................................................................................. 32
CLASSIFICANDO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EM POLIEDROS OU CORPOS
REDONDOS............................................................................................................................ 32
TAREFA 9: ............................................................................................................................. 33
INVESTIGANDO A RELAÇÃO ENTRE PAVIMENTAÇÃO E ÂNGULO
POLIÉDRICO ........................................................................................................................ 33
TAREFA 10: ........................................................................................................................... 37
3
CONSTRUINDO POLIEDROS REGULARES ......................................................... 37
ANEXOS......................................................................................................................... 40
Folhas de registros dos alunos ...................................................................................... 40
Material para montagem do kit ................................................................................... 40
Atividade: Montagem do “Kit” .................................................................................... 58
REFERÊNCIAS............................................................................................................. 64
4
APRESENTAÇÃO
Este caderno de tarefas é fruto da dissertação de Mestrado “Construindo o conceito de ângulo
poliédrico a partir dos elementos dos polígonos”. O objetivo é que este material sirva de
apoio ao professor no desenvolvimento de conceitos geométricos sistematizados para a busca,
através da investigação e experimentação, do entendimento do ângulo poliédrico. Para
desenvolvê-lo, foi realizada uma pesquisa com alunos da 1ª série do Ensino Médio de uma
escola privada de Belo Horizonte.
Apresentamos, inicialmente, uma síntese das ideias que fundamentaram a nossa proposta de
trabalho.
A seguir são apresentadas orientações ao professor, com o objetivo de auxiliar o seu fazer
pedagógico e 10 tarefas que compõem uma sequência didática, as quais tem, como referências,
os trabalhos de alguns pesquisadores do Ensino da Matemática, entre eles: Fiorentini e Miorim
(1990), Gazire (2000), Lorenzato (2006), Pais (1996), Passos (2000), Ponte, Brocardo e
Oliveira (2005), Nacarato e Passos (2003) e Van de Walle (2009).
Por fim, anexamos sugestões de folhas de registros a serem feitas pelos alunos no decorrer das
aplicações das tarefas, que, por sua vez, podem ser modificadas e/ou adaptadas de acordo com
as particularidades de cada turma.
Nossa crença é de que é possível desenvolver o conhecimento com verdadeira compreensão.
Bom trabalho!
As autoras.
5
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE O ENSINO DA
GEOMETRIA NA PERSPECTIVA DESTE TRABALHO
O desenvolvimento de habilidades matemáticas
A Geometria é um dos ramos da Matemática que, dependendo da maneira como for trabalhada,
permite o estímulo e o interesse pelo aprendizado, principalmente porque o aluno vivencia
várias experiências com material concreto, com a intuição e pode estabelecer relações entre o
objeto geométrico e a realidade, oportunizando-o o desenvolvimento de habilidades criativas.
Vale pensar que a Geometria é um campo fértil, pois permite relacionar objetos geométricos
com argumentos acerca das propriedades desses objetos, que poderão, posteriormente,
constituir-se como demonstrações.
De acordo com Passos (2000), a curiosidade, a fantasia e a imaginação, qualidades típicas das
crianças e jovens, constituem-se em fatores fundamentais a serem considerados no
desenvolvimento dos conceitos geométricos. O ensino da Geometria deve estar voltado para
problemas abertos (com mais de uma resposta e/ou com diferentes formas de resolução), com
caráter dinâmico, que propiciem um processo de busca e investigação para resolvê-los.
Um curso eficaz e efetivo de Geometria deve permitir ao aluno desenvolver habilidades de
observação e de lógica, percepção espacial, argumentação, representação gráfica, imaginação,
iniciativa, a descoberta e a criatividade e não somente a memorização das nomenclaturas das
figuras geométricas, o “conhecimento” dos conceitos primitivos (ponto, reta e plano),
postulados, axiomas e deduções para, posteriormente, enunciar teoremas. As representações
não devem ter simplesmente a natureza de ilustrações, pois, quando se pensa em figuras
geométricas, elas são simultaneamente conceitos e representações espaciais.
Para o pesquisador e autor de livros didáticos Roberto Dante, o pensamento geométrico, a partir
do 6º ano do Ensino Fundamental, deve ser trabalhado primeiramente com as figuras espaciais
(ou tridimensionais), posteriormente com as figuras planas (ou bidimensionais) e, em seguida,
os contornos de figuras planas (ou unidimensionais); classificando essas figuras, observando e
estabelecendo relações de semelhanças e diferenças entre elas; construindo representações
planas das figuras espaciais de diferentes pontos de vista; compondo, decompondo, ampliando
e reduzindo figuras geométricas planas; localizando pontos no plano cartesiano; verificando o
que varia e o que não varia em uma transformação geométrica, levando os alunos ao
entendimento dos conceitos de congruência e semelhança; trabalhando, incialmente, de modo
experimental (Geometria experimental) para, pouco a pouco, apresentar pequenas
demonstrações (Geometria dedutiva). (DANTE, 2012, p.10).
6
Imenes corrobora com Dante e afirma que, em geral, os alunos são apenas informados a
respeito das propriedades das figuras e as ideias contidas nas proposições deixam de ser
construídas. A Geometria apresentada desta maneira reduz-se a uma série de receitas,
sendo esta meramente dogmática, pois, não trabalha intuição ou experimentação, nem
dedução. Porém, muitas vezes, é possível construir conceitos e estabelecer relações,
realizando experimentos simples com tesoura e papel para, depois, apresentá-las
dedutivamente. (IMENES, 1987).
Acreditando no ensino de Geometria pautado nas características apresentadas por Dante e
Imenes é que pensamos na sequencia didática, composta por dez tarefas, apresentadas a seguir:
1. Classificando
figuras planas e
espaciais.
2. Investigando
polígonos e suas
características.
3. Investigando
os ângulos de um
polígono.
4. Investigando a
soma dos
ângulos internos
de um triângulo
qualquer.
5. Investigando a
soma dos
ângulos internos
de um
quadrilátero
qualquer.
6. Construindo
polígonos
regulares por
dobraduras.
8. Classificando
sólidos
geométricos em
Poliedros ou
Corpos
Redondos.
7. Investigando
diferentes
pavimentações
de polígonos
regulares no
plano.
9. Investigando a
relação entre
pavimentação e
ângulo
poliédrico.
10. Construindo
poliedros
regulares.
7
Iniciamos as tarefas com a exploração das figuras espaciais e planas, em seguida, classificamos
os polígonos e estabelecemos as relações entre seus ângulos. Trabalhamos com a decomposição
dos polígonos regulares em triângulos, experimentamos as pavimentações para estabelecer as
relações entre os polígonos regulares, a pavimentação e o ângulo poliédrico; para que a
compreensão do ângulo poliédrico seja, de fato, significativa.
Cabe ressaltar que tanto a Geometria experimental quanto a dedutiva são importantes. O que se
deve buscar são estratégias de ensino que englobem as duas abordagens, na compreensão de
que não existe um modelo linear melhor ou pior para se trabalhar. É importante saber, porém,
que quando se escolhe utilizar materiais manipulativos na Geometria experimental, em sala de
aula, eles são apenas acessórios. Sozinhos não implicam em aprendizagem, sendo fundamental
a intervenção do professor para que as sistematizações aconteçam. Quando se pensa em
Geometria dedutiva, não se está defendendo um ensino de modelos clássicos, conforme
enunciados por Euclides, e sim, em possibilitar ao aluno entender, em momentos adequados,
que algumas proposições estruturadas de maneira lógica geram teoremas.
O trabalho de Geometria baseado nos experimentos com material concreto mobiliza algumas
estruturas cognitivas que permitem ao estudante vivenciar experiências autênticas. Além disso,
a manipulação de objetos pode auxiliar o aluno a construir o conceito mental. (PAIS, 1996).
Segundo Pais (1996), embora não seja fácil definir formalmente o que seja uma imagem
mental, pode-se dizer que o indivíduo tem uma dessas imagens quando ele é capaz de enunciar,
de uma forma descritiva, propriedades de um objeto ou de um desenho na ausência desses
elementos. Assim, como as noções geométricas são ideias abstratas e, portanto, estranhas à
sensibilidade exterior do homem, a formação de imagens mentais é uma consequência quase
que exclusiva do trabalho com desenhos e objetos.
A sala de aula como ambiente de manipulação, experimentação e
investigação
Em um ambiente de manipulação e investigação, o aluno encontra condições para produzir o
conceito, o conhecimento, experimentar combinações, expressar-se livremente, desenvolver a
criatividade, resolver problemas e ampliar sua noção de mundo. Nesse contexto, o diálogo do
professor com a classe é importante, porém, sem impedir que cada estudante elabore o seu
pensamento. Para isso, dar tempo para que observe, pense e expresse o seu pensamento pode
motivar o aluno para que expresse suas ideias com clareza, a fim de que seja interpretado
corretamente. A linguagem do professor, para atingir esse objetivo precisa ser concisa e
cuidadosa, suficientemente rica para utilizar expressões equivalentes que tornem claras as
ideias e facilitem a compreensão dos significados. Após o estudante ter encontrado as relações
esperadas, faz-se mister os registros a fim de ir adquirindo a simbologia adequada.
(MACHADO, 2012).
8
De acordo com Pais (1996), o trabalho de Geometria pautado em elementos experimentais se
constitui um recurso necessário à transposição de um nível pré-categorial para o mundo das
ideias abstratas. Para ele, quatro elementos são fundamentais no ensino e aprendizagem da
Geometria euclidiana plana e espacial, sendo esses: o objeto (que também pode ser chamado
como material didático ou modelo físico para o ensino de Geometria), o conceito, o desenho e a
imagem mental. E esses quatro elementos estão correlacionados aos aspectos intuitivo,
experimental e teórico do conhecimento geométrico.
Uma das preocupações geradoras deste caderno de tarefas foi pensar em como relacionar a
experiência da manipulação com a Matemática presente no ângulo poliédrico, uma vez que essa
manipulação não deve ser vista apenas como uma atividade lúdica e sim como um instrumento
essencial para efetivar as relações entre teoria e prática.
Entre os pressupostos teóricos que embasam a maneira de ensinar a Matemática, gostaríamos
de destacar que, diferentemente do que foi praticada durante muitos anos, a Matemática deve
ser vista como um processo em permanente evolução, ou seja, não se trata de uma ciência
pronta e acabada que deve ser apenas estudada e não construída de maneira dinâmica.
Acreditamos que a compreensão do mundo para atuar melhor nele é essencial e, para que essa
compreensão aconteça, é necessário que os saberes informais e culturais sejam incorporados à
prática escolar, para que o aluno perceba a presença da Matemática no dia a dia, diminuindo a
distância entre a Matemática da escola e a Matemática da vida. Se conseguíssemos fazer com
que nossos alunos pensem de forma lógica, relacionem ideias para que haja a descoberta de
regularidades e padrões, desenvolvam o espirito de investigação, a curiosidade e a criatividade
na solução de problemas não teríamos discussão em relação à eficácia e à relevância do ensino
da Matemática.
Ao pensar na estrutura deste Caderno de Tarefas, procuramos elaborar uma sequência didática
que aliasse a investigação matemática com alguns recursos, como figuras impressas para a
manipulação, dobraduras, geoplano, transferidor e régua. Em nossa prática docente, já
adotávamos sequências investigativas e sempre buscávamos desenvolver nos alunos, uma
postura autônoma diante de atividades que exigem o envolvimento e a atenção na construção
dos conceitos.
Adotaremos o conceito de investigação de acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2005, p. 9-
13), para os quais investigar
[…] é procurar conhecer o que não se sabe. […] Mas isso não significa,
necessariamente, lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do
conhecimento. […] Significa, tão-só, que formulamos questões que nos
interessam para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa
resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso.
9
O primeiro grande passo para iniciar uma investigação é ter clareza do problema que se deseja
resolver. E nessa pesquisa, a busca passa pela compreensão e consolidação de alguns conceitos
da Geometria, como polígonos regulares, ângulos, ângulos dos polígonos regulares e
pavimentação, que servem de suporte para o entendimento do Ângulo Poliédrico.
O estudo da Geometria pode proporcionar a exploração de situações de investigação,
principalmente pela natureza dos conceitos e, por ser uma ciência a ser desenvolvida desde os
primeiros anos do Ensino Fundamental, sua exploração vai muito além da simples
memorização e da utilização de técnicas. Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2005, p.71),
As investigações geométricas contribuem para perceber aspectos essenciais
da atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a
procura e demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos
de investigação geométrica pode também contribuir para concretizar a
relação entre situações da realidade e situações matemáticas, desenvolver
capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas
de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos
interessantes da história e da evolução da Matemática.
Não pensamos que o uso do material didático seja apenas um elemento motivador em sala de
aula, pois apenas um material nas mãos não é suficiente para o aluno aprender. Por isso,
buscamos relacionar, didaticamente, o uso do material, como uma maneira primária de
representar um conceito, à investigação de relações, mediadas pelo professor, na busca pela
abstração.
Para Lorenzato (2006), na escola, a experimentação é um processo que permite ao aluno se
envolver com o assunto em estudo, participar das descobertas e socializar-se com os colegas.
Inicialmente, a experimentação pode ser concebida como ação sobre objetos (manipulação),
com valorização da observação, comparação, montagem, decomposição (separação),
distribuição. Mas a importância da experimentação reside no poder que ela tem de conseguir
provocar raciocínio, reflexão, construção de conhecimento, o que lembra Guimarães Rosa:
“mesmo quando nada acontece, há um milagre que não estamos vendo”.
Mas quais são os efeitos de se utilizar materiais didáticos nas aulas? Estamos de acordo com
Lorenzato (2006) quando este discorre que se for verdadeiro que “ninguém ama o que não
conhece”, então fica explicado que tantos alunos não gostam da matemática, pois, se a eles não
foi dado conhecer a Matemática, como podem vir a admirá-la? No entanto, com o auxílio de
materiais didáticos, o professor pode, se empregá-lo corretamente, conseguir uma
aprendizagem com compreensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o
risco de serem criadas ou reforçadas falsas crenças referentes à Matemática, como a de ser ela
uma disciplina “só para poucos privilegiados”, “pronta”, “muito difícil”, entre outras. Outra
consequência possível se refere ao ambiente predominante durante as aulas de Matemática,
onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídos pela satisfação, pela alegria ou
pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito será o aumento da autoconfiança e a melhoria
da autoimagem do aluno.
10
Assim, sequência didática apresentada a seguir foi elaborada a partir da teoria da Investigação
Matemática, mais especificamente das Investigações Geométricas, do percurso apresentado ao
Ensino de Geometria e sua importância (principalmente pelo aspecto experimental) e, pela
prática e busca das autoras em promover atividades eficientes e eficazes, baseadas na
experimentação, no trabalho em duplas, na reflexão sobre a experiência e no registro dos
resultados encontrados.
A sequência de tarefas
As tarefas podem ser realizadas em duplas. Antes de iniciar o trabalho com a sequência
investigativa, sugerimos que os alunos sejam orientados a montar um kit com todo o material
necessário para o desenvolvimento das tarefas. Uma sugestão é que providenciem uma caixa
(tipo de sapatos) e, nessa caixa, coloquem: régua, lápis de escrever, lápis de cor, tesoura, fita
adesiva, transferidor e uma esfera de isopor. Além disso, o professor deverá disponibilizar
polígonos (30 triângulos, 10 pentágonos, 15 hexágonos, 5 heptágonos e 5 octógonos) em papel
sulfite, que deverão ser recortados, planificações dos sólidos geométricos (cubo, prisma
triangular, prisma pentagonal, prisma hexagonal, pirâmide triangular, pirâmide quadrangular,
pirâmide pentagonal, pirâmide hexagonal, cone e cilindro) que deverão ser montados e
guardados no kit. Será necessário, também, um geoplano em madeira (ver abaixo) e cinco
gominhas (tipo de amarrar dinheiro) para cada dupla.
Veja no quadro a seguir a distribuição das tarefas com os objetivos relacionados a cada uma e
os recursos necessários.
11
Organização das tarefas
Tarefas /
Conteúdos abordados Objetivos Recursos
1
Classificando
figuras planas e
espaciais.
- Classificar figuras em
planas e espaciais a partir
de suas características.
- Compreender o
significado de
bidimensionalidade e
tridimensionalidade.
Polígonos e não
polígonos
impressos em
papel sulfite.
2
Investigando
polígonos e suas
características.
- Classificar um polígono a
partir do seu número de
lados.
- Identificar semelhanças e
diferenças entre polígonos,
usando critérios, como
número de lados, número
de ângulos, eixos de
simetria etc.
Polígonos
impressos em
papel sulfite e
régua.
3
Investigando os
ângulos de um
polígono.
- Compreender a ideia de
ângulo, suas características
e nomenclaturas.
- Reconhecer ângulos em
figuras planas.
Geoplano de
madeira.
4
Investigando a
soma dos ângulos
internos de um
triângulo qualquer.
- Compreender, de maneira
prática, que a soma dos
ângulos internos de um
triângulo é 180º.
Papel sulfite,
tesoura e lápis de
cor.
5
Investigando a
soma dos ângulos
internos de um
quadrilátero
qualquer.
- Compreender que
qualquer polígono pode ser
composto a partir de
figuras triangulares.
- Determinar a soma dos
ângulos internos de um
polígono convexo
qualquer.
Papel sulfite e
lápis de cor.
12
Tarefas /
Conteúdos abordados Objetivos Recursos
6
Construindo
polígonos regulares
por dobraduras.
- Compreender o que são
polígonos regulares.
- Construir polígonos
regulares através de
dobraduras.
Polígonos
impressos em
papel sulfite,
transferidor,
régua e papel
colorido.
7
Investigando
diferentes
pavimentações de
polígonos regulares
no plano.
- Compreender a
pavimentação de polígonos
regulares no plano.
Polígonos
regulares
impressos em
papel sulfite.
8
Classificando
sólidos
geométricos em
Poliedros ou
Corpos Redondos.
- Identificar um poliedro
qualquer.
- Compreender diferentes
planificações de alguns
poliedros.
Sólidos
geométricos
construídos com
papel 60kg.
9
Investigando a
relação entre
pavimentação e
ângulo poliédrico.
- Estabelecer uma relação
entre pavimentação de
polígonos regulares
diferentes.
- Compreender o que é um
ângulo poliédrico.
Polígonos
regulares
impressos em
papel sulfite e fita
adesiva.
10 Construindo
poliedros regulares.
- Compreender a relação
entre o ângulo poliédrico e
os Poliedros de Platão.
Polígonos
regulares
impressos em
papel sulfite e fita
adesiva.
13
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR
Nossa proposta é trabalharmos focados na investigação matemática e nos recursos didáticos
possíveis para o contexto de aplicação, com o objetivo de trabalhar, também, de maneira
experimental.
As tarefas foram elaboradas com o objetivo de propiciar aos alunos experiências que
promovessem a ressignificação ou a construção de conceitos importantes da Geometria plana
para a compreensão do ângulo poliédrico, presente nos Poliedros Platônicos da Geometria
espacial.
Buscamos trabalhar utilizando diferentes materiais didáticos, buscando sempre a atividade
experimental aliada à reflexão e ao entendimento dos conceitos envolvidos.
Como acreditamos na importância do registro das conclusões ou simplesmente das percepções
de regularidades, nos anexos deste caderno, você encontrará modelos de folhas de registros
como sugestão a ser aplicada após cada tarefa ser realizada. Ressaltamos que essas folhas
podem ser adaptadas de acordo com a demanda do seu trabalho.
A sequência didática apresentada foi pensada no seguinte formato: iniciamos com a exploração
das figuras espaciais e planas, utilizando polígonos regulares impressos em papel, planificação
e montagem de sólidos geométricos. Em seguida, classificamos os polígonos e estabelecemos
as relações entre seus ângulos, utilizando os polígonos impressos, transferidor e régua.
Utilizamos, ainda, o Geoplano como material de suporte para o entendimento dos ângulos de
um polígono e das suas classificações (reto, agudo ou obtuso). Após, realizamos as atividades
práticas de demonstração da soma dos ângulos internos de qualquer triângulo e, também, dos
quadriláteros, utilizando papel, tesoura e lápis de cor. Fizemos a construção de alguns
polígonos regulares através de dobraduras em papel sulfite. Em seguida, investigamos a
decomposição dos polígonos regulares em triângulos, buscando a compreensão da soma dos
ângulos internos dos polígonos. Experimentamos as pavimentações, utilizando diversos
polígonos, para estabelecer as relações entre os polígonos regulares, a pavimentação e o ângulo
poliédrico: tudo isso pensado para que a compreensão do ângulo poliédrico fosse, de fato,
significativa e, que desse ao aluno a possibilidade de consolidar e conseguir justificar o porquê
de só existirem cinco poliedros regulares.
É interessante que, ao final de cada atividade, os alunos possam socializar os resultados, com o
objetivo de perceber as explorações e as descobertas feitas pelos colegas. Esse momento é
extremamente importante, pois permite que os alunos comuniquem suas ideias e, que você,
professor, faça a mediação da aprendizagem.
14
TAREFA 1:
CLASSIFICANDO FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS
Objetivos:
- Classificar figuras em planas e espaciais a partir de suas características.
- Compreender o significado de bidimensionalidade e tridimensionalidade.
Material utilizado: sólidos geométricos (pirâmide triangular, cubo, prisma pentagonal,
pirâmide hexagonal, prisma heptagonal e pirâmide octogonal) e algumas figuras planas.
(triângulo equilátero, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono e octógono).
Duração: 50 minutos (1 hora aula).
Sugerimos que esta tarefa seja realizada em trio.
Solicite aos alunos que dividam as figuras planas e os sólidos recebidos em dois grandes
grupos.
Em seguida, questione:
- Qual/is foi/foram o/os critério/s utilizado/s para separar os grupos?
Peça aos alunos para fazer o registro dos grupos separados (ANEXO 1). As
representações podem ser feitas com desenhos ou com a própria nomenclatura.
Continue questionando:
- Existem características comuns a todos os elementos do grupo 1? Justifique.
- Existem características comuns a todos os elementos do grupo 2? Justifique.
Agora, cada aluno deverá retirar um elemento do grupo 1 e um elemento do grupo 2 que
tenham alguma característica em comum e alguma diferença.
Em seguida, o aluno deve apresentar para todo o grupo a sua escolha e fazer a exposição
das características.
Mais uma vez cada componente do trio retira outros dois elementos, um do grupo 1 e
outro do grupo 2 que tenha alguma característica em comum e alguma diferença.
Novamente, apresenta para todo o grupo.
15
Após as exposições, solicite o preenchimento da ficha:
O professor deve questionar o que significa dizer que algo é bidimensional ou tridimensional.
Bidimensional: que tem duas dimensões.
Tridimensional: que tem três dimensões.
Em seguida, questione: Em algum momento da tarefa vocês relacionaram uma figura
bidimensional com uma tridimensional? Como?
Não precisa desmontar. Essa é só para
pensar: Como ficariam as figuras
tridimensionais se fossem desmontadas?
16
TAREFA 2:
INVESTIGANDO POLÍGONOS E SUAS
CARACTERÍSTICAS.
Objetivos:
- Classificar um polígono a partir do seu número de lados.
- Identificar semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios, como número de lados,
número de ângulos, eixos de simetria, etc.
Material utilizado: Polígonos impressos em papel sulfite e régua.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
O professor deverá solicitar aos alunos que separem todas as figuras bidimensionais
usadas na Tarefa 1.
Em seguida, questionar:
- Além da bidimensionalidade, vocês percebem mais alguma característica comum a todas
elas?
Espera-se que após discussões e intervenções do professor, os alunos cheguem à seguinte
conclusão:
Essas figuras são representações de Polígonos ou Regiões Poligonais.
É importante reconhecer nos polígonos, os seus lados, seus vértices, ângulos internos e
externos.
Vamos caminhar por partes!
17
Instigue os alunos a perceber que:
Os lados são os segmentos de reta que compõem o polígono.
O encontro de dois lados consecutivos deste polígono é o vértice.
Os lados de um ângulo interno, também são lados do polígono.
O vértice de um ângulo interno, também é vértice do polígono.
Em geral, quando falamos em ângulo do polígono, estamos nos referindo a um de seus
ângulos internos.
A palavra polígono vem do grego. “POLI” quer dizer muitos e “GONO” quer dizer ângulo.
Cada polígono recebe um nome especial, que corresponde ao seu número de lados.
Veja:
Polígono de 3 lados: triângulo ou trilátero
Polígono de 4 lados: quadrângulo ou quadrilátero
Polígono de 5 lados: pentágono
Polígono de 6 lados: hexágono
Polígono de 7 lados: heptágono
Polígono de 8 lados: octógono
Polígono de 9 lados: eneágono
Etc.
Voltando aos nossos polígonos, têm algo comum a todos eles?
Agora, oriente os alunos que utilize uma régua e meça, em centímetros, as medidas dos
lados de cada polígono.
Registro: O que é possível concluir?
18
TAREFA 3:
INVESTIGANDO OS ÂNGULOS DE UM POLÍGONO
Objetivos:
- Compreender a ideia de ângulo, suas características e nomenclaturas.
- Reconhecer ângulos em figuras planas.
Material utilizado: Geoplano de madeira.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
Reflita com os alunos que a palavra “ângulos” apareceu muitas vezes nas tarefas
anteriores.
Em seguida, solicite aos alunos que façam o registro do que entendem por ângulo.
Em geral, definimos como ângulo a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As
semirretas são seus lados e o ponto de origem das suas semirretas é seu vértice.
O instrumento mais comum, utilizado para medir ângulos é o transferidor.
Porém, se não for necessário saber exatamente a medida de um ângulo, podemos usar a
aproximação, tomando como referência o ângulo reto.
Como esse não é o primeiro contato dos alunos com os conceitos de ângulos, solicite
que respondam:
Lemos ângulo ou ângulo .
19
- Quantos graus tem um ângulo reto?
- Como podemos identificar um ângulo agudo?
- E um ângulo obtuso?
- Quanto mede um ângulo raso?
Agora, utilize um geoplano e gominhas/elásticos e represente:
Dois ângulos retos
Dois ângulos agudos
Dois ângulos obtusos
Nos anexos deste caderno, constam as imagens dos geoplanos a seguir:
20
Peça aos alunos que observem os ângulos representados em cada um deles e responda:
- Em quais geoplanos estão representados ângulos retos?
- E ângulos agudos?
- Algum geoplano apresenta um ângulo obtuso?
É importante que façam o registro de como pensaram para concluir se os ângulos eram
retos, agudos ou obtusos.
Voltando aos nossos Polígonos...
Solicite aos alunos que retirem os polígonos do Kit.
- Como podemos relacionar o número de lados e o número de ângulos de um polígono?
Peça aos alunos que registrem.
21
TAREFA 4:
INVESTIGANDO A SOMA DOS ÂNGULOS
INTERNOS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
Objetivos: Compreender de maneira prática que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
180º.
Material utilizado: Caderno de atividades, papel sulfite, tesoura e lápis de cor.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
Uma das figuras mais importantes a estudar na Geometria é o triângulo. Sua importância se
deve ao fato de ser base para a construção de outras figuras e pela riqueza das propriedades
matemáticas possíveis de explorar nesta simples região interna à três segmentos de reta
distintos.
Quantos ângulos o triângulo ABC possui?
Quais são eles?
Solicite que cada aluno desenhe, usando um lápis e uma régua, um triângulo. Sugestão:
um aluno desenha um triângulo médio, o outro desenha um triângulo pequeno e o outro,
um triângulo grande. Faça as marcas dos ângulos.
No caso, AB, BC e CA são os segmentos,
lados do triângulo ABC.
A, B e C são os vértices do triângulo.
22
Agora, cada aluno deverá dividir este triângulo em três partes, de modo que cada
vértice do triângulo esteja em uma delas.
Solicite ao aluno que recorte o triângulo nessas três partes e encaixe-as de modo que os
três vértices coincidam.
Questione:
- A união destes três ângulos gerou um ângulo muito conhecido. Que ângulo é esse?
- Quantos graus ele mede?
- O que essa medida representa no triângulo?
Acabamos de concluir uma importante propriedade da Geometria. Ela será bastante útil para
nossas próximas descobertas!
23
TAREFA 5:
INVESTIGANDO A SOMA DOS ÂNGULOS
INTERNOS DE UM QUADRILÁTERO
QUALQUER
Objetivos:
- Compreender que qualquer polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares.
- Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.
Material utilizado: Caderno de atividades, papel sulfite, tesoura e lápis de cor.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
Na Tarefa 4, investigamos e descobrimos a propriedade da soma dos ângulos internos dos
triângulos.
- Existe uma propriedade para a soma dos ângulos internos dos quadriláteros? Vamos
investigar?
Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se
os segmentos AB, BC, CD e DA interceptaram-se apenas nas extremidades, a reunião desses
quatro segmentos é um quadrilátero.
Semelhante ao que fizemos na Tarefa 4, cada componente do grupo deverá desenhar um
quadrilátero qualquer em tamanho diferente e marcar os quatro ângulos usando cores
diferentes.
24
Em seguida, divida o quadrilátero em quatro partes de modo que cada vértice esteja em
uma delas.
Recorte as quatro partes e encaixe-as de modo que os quatro vértices coincidam.
A união destes quatro ângulos gerou um ângulo conhecido. Quantos graus ele mede?
Podemos concluir então que:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é ______________.
É possível também pensar de outra maneira. Observe os quadriláteros.
Podemos dividi-los da seguinte maneira:
25
- O que você observa?
- É possível fazer esta divisão em todo quadrilátero?
- Então, todo quadrilátero pode ser decomposto em dois triângulos?
- Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, o que podemos concluir da soma dos
ângulos internos dos quadriláteros a partir da decomposição em dois triângulos?
É possível pensar na decomposição de outros polígonos em triângulos. Esta decomposição deve
ser feita com os vértices dos triângulos nos vértices dos polígonos.
Os polígonos a seguir constam no anexo desta tarefa.
Solicite aos alunos que considerem um único vértice de cada polígono como ponto de
partida e faça a divisão de cada polígono em triângulos, partindo sempre do mesmo
vértice.
Agora, complete a tabela:
Comparando o número de lados do polígono com o número de triângulos em que foi
decomposto, escreva uma relação válida para todos os casos.
Se tomarmos um polígono de 100 lados e o dividirmos, partindo sempre do mesmo vértice, em
triângulos, quantos obteríamos?
Assim como a soma dos ângulos internos dos quadriláteros pode ser entendida como a soma
dos ângulos internos de dois triângulos, ou seja:
26
Soma dos ângulos internos dos quadriláteros = 180º + 180º
Soma dos ângulos internos dos quadriláteros = 360º
Pode-se também concluir a soma dos ângulos internos dos outros polígonos com a
decomposição em triângulos. Complete na tabela:
- Qual é a soma dos ângulos internos do polígono de 100 lados?
27
TAREFA 6:
CONSTRUINDO POLÍGONOS REGULARES
POR DOBRADURAS
Objetivos:
- Compreender o que são polígonos regulares.
- Construir polígonos regulares através de dobraduras.
Material utilizado: Polígonos impressos em papel sulfite, transferidor, régua e papel colorido.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
Nesta tarefa vamos precisar novamente dos polígonos recortados.
Na Tarefa 2, medimos e concluímos que estes polígonos têm as medidas de todos os lados
congruentes (iguais).
Solicite aos alunos que use o transferidor, meça cada ângulo interno dos polígonos e
registre o valor. No heptágono, deve-se aproximar a medida para a casa das unidades.
Questione os alunos:
- O que você pôde observar sobre os ângulos destes polígonos?
Um polígono é dito regular quando possui todos os lados de mesma medida e todos os ângulos
iguais.
- Estes polígonos podem ser considerados regulares?
- Sabendo a soma dos ângulos internos dos polígonos e, que estes polígonos são regulares,
como poderíamos determinar cada ângulo interno sem usar o transferidor?
28
- Que tal construir alguns polígonos regulares usando dobraduras?
Precisaremos de papel A4.
1ª CONSTRUÇÃO
1) Dobre ao meio uma folha, obtendo uma
dobra perpendicular à base AB.
2) Dobre novamente, fazendo o ponto
coincidir com a 1ª linha de dobra. Marque
o ponto C.
3) Corte o triângulo de vértices A, B e C.
É um triângulo equilátero.
4) Dobre as pontas do triângulo
equilátero, fazendo-as coincidir com o
centro do triângulo.
Você obtém um hexágono regular!
2ª CONSTRUÇÃO
1) Recorte um quadrado.
2) Dobre-o ao meio e mais uma vez ao
meio.
3) Faça uma dobra na diagonal.
4) Desdobre e dobre de acordo com o
esquema.
5) Corte a aba da figura resultante. Você
obtém um octógono regular!
29
3ª CONSTRUÇÃO
1) Pegue uma ficha de papel de 1cm a 2cm de largura.
2) Dê um “nó”, de acordo com o esquema acima.
3) Você obtém um pentágono regular!
Agora, meça com uma régua os lados e com um transferidor os ângulos e registre na tabela a
seguir as medidas:
30
TAREFA 7:
INVESTIGANDO DIFERENTES PAVIMENTAÇÕES
DE POLÍGONOS REGULARES NO PLANO
Objetivo:
- Compreender a pavimentação de polígonos regulares no plano.
Material utilizado: Polígonos regulares impressos em papel sulfite.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
Nosso objetivo é usar os polígonos regulares, já recortados do Kit, para entender alguns tipos
de pavimentações no plano, ou melhor, entender formas de ocupação do plano por polígonos,
sejam eles todos iguais ou não.
Vamos começar experimentando!
Escolha um tipo de polígono regular;
Estabeleça um ponto de referência e ao redor deste ponto, vá encostando os polígonos
lado a lado;
Foi possível o “encaixe” das figuras sem justaposição?
Solicite aos alunos que experimentem para todos os polígonos e preencham a tabela.
Agora, vamos pavimentar com polígonos regulares de tipos diferentes.
Peça aos alunos que façam primeiro com dois tipos de polígonos. Em seguida, com três
tipos e registre as descobertas na tabela:
31
Instigue os alunos a perceber que todos os polígonos têm a mesma medida do lado.
Questione:
- Se as medidas dos lados já são iguais, “o quê” está influenciando na pavimentação ou na não-
pavimentação?
Relembre os conceitos que trabalhamos nas Tarefas 5 e 6, descubra o padrão existente nas
pavimentações e faça o registro das conclusões.
32
TAREFA 8:
CLASSIFICANDO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EM POLIEDROS
OU CORPOS REDONDOS
Objetivos:
- Identificar um poliedro qualquer.
- Compreender diferentes planificações de alguns poliedros.
Material utilizado: Sólidos geométricos construídos com papel 60kg.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
Para realizar esta tarefa, serão necessários alguns sólidos geométricos do kit.
Solicite aos alunos que coloque todos os sólidos sobre uma mesa, deixando-os
movimentarem-se livremente sobre ela.
Agora, observando cada um deles separadamente, responda:
- Se você inclinar o tampo da mesa, ele rola em alguma posição? Ele rola em qualquer posição?
- Ele tem “pontas”? Quantas?
- Ele tem “dobras”? Quantas?
- Alguma parte da superfície deste sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a superfície plana
da mesa?
- Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a superfície plana
da mesa?
Separe os sólidos que rolam em alguma posição dos que não rolam em nenhuma posição.
Estes sólidos que rolam em alguma posição são classificados como CORPOS REDONDOS.
Os demais são conhecidos como POLIEDROS. Poliedro, assim como polígono é uma palavra
de origem grega, derivada de Polys, que significa várias e Hedrái que significa faces.
A partir das observações, como você definiria um poliedro? Instigue os alunos a responder que:
Um poliedro possui faces, que são polígonos, arestas, que são os lados dos polígonos e vértices,
que são os vértices dos polígonos.
33
TAREFA 9:
INVESTIGANDO A RELAÇÃO ENTRE
PAVIMENTAÇÃO E ÂNGULO POLIÉDRICO
Objetivos:
- Estabelecer uma relação entre pavimentação de polígonos regulares diferentes.
- Compreender o que é um ângulo poliédrico.
Material utilizado: Polígonos regulares impressos em papel sulfite e fita adesiva.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
Para realizar esta tarefa, precisaremos novamente dos polígonos em papel e um rolo de fita
adesiva.
Nossa meta é a compreensão do fato (aparentemente pouco intuitivo) de que, enquanto
podemos construir uma infinidade de polígonos regulares, só é possível construir cinco tipos de
poliedros regulares.
Faremos análises de três casos para estabelecer as relações.
Professor, oriente os alunos a experimentar cada um dos três casos a seguir e registrar as
conclusões.
1º CASO:
Tente formar um “bico” com as seguintes peças:
- Dois pentágonos e um hexágono;
34
- Um heptágono, um quadrado e um pentágono;
- Dois hexágonos e um pentágono.
Registre o que vocês concluíram.
2º CASO:
Agora, tente formar um “bico” com as seguintes peças:
- Seis triângulos;
35
- Quatro quadrados;
- Três hexágonos.
Registre o que vocês concluíram.
3º CASO:
Novamente, tente formar um “bico” com as seguintes peças:
- Três heptágonos e três octógonos.
Registrem o que vocês concluíram.
36
Após registrarem cada caso, discuta com os alunos e solicite que respondam:
- Qual é a relação entre os ângulos internos dos polígonos que vocês utilizaram no 1º caso?
- E no 2º caso?
- E no 3º?
A partir das observações que vocês fizeram, responda:
- Em qual situação é possível formar um “bico”? Justifique.
- Em qual caso você formou um ângulo plano?
Quando não conseguimos formar “bico” temos duas situações: ou formamos um ângulo plano
ou não conseguimos o encaixe.
- Em qual caso você formou um ângulo poliédrico?
Quando você consegue um encaixe das três peças e forma um “bico”, esse é um ângulo
poliédrico.
37
TAREFA 10:
CONSTRUINDO POLIEDROS REGULARES
Objetivo: Compreender a relação entre o ângulo poliédrico e os Poliedros de Platão.
Material utilizado: Polígonos regulares impressos em papel sulfite e fita adesiva.
Duração: 50 minutos (1 hora aula)
Solicite aos alunos que com os ângulos montados na Tarefa 9, construam poliedros.
Oriente-os a usar, primeiramente, somente triângulos. Em seguida os quadrados e por
último os pentágonos.
DICA: Com os triângulos vocês conseguirão construir três poliedros.
Agora, use fita adesiva para fixar os ângulos poliédricos e montar os Poliedros Platônicos.
38
39
Concluindo:
Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prática, que não é possível fazê-lo nem
com hexágonos nem com polígonos que tenham mais que seis lados.
Enfim, só se pode construir cinco tipos de poliedros regulares:
Usando pentágonos, somente conseguimos construir o dodecaedro;
Usando quadrados, somente é possível construir o hexaedro;
Usando triângulos, é possível construir o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.
Chegamos a essa conclusão valendo-nos de raciocínios simples e trabalhando apenas com construções
de papel. E pudemos compreender esse fato, conhecido desde a época de Platão, de que não existem
mais poliedros regulares do que os dedos de uma mão.
Bibliografia: MACHADO, N. J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão – São Paulo: Scipione, 2000. –
(Coleção Vivendo a matemática).
40
ANEXOS
Folhas de registros dos alunos
Material para montagem do kit
TAREFA 1 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___
Quais foram os critérios utilizados para se separar os grupos de figuras?
Registrem, no espaço a seguir, os grupos de figuras que vocês separaram. Vocês
podem representar com desenhos ou com a própria nomenclatura.
GRUPO 1
GRUPO 2
41
Existem características comuns a todos os elementos do grupo 1? Justifiquem.
Existem características comuns a todos os elementos do grupo 2? Justifiquem.
Após as exposições, preencham a ficha:
Figura do grupo 1 Figura do grupo 2 Características comuns Diferenças
Em algum momento da tarefa vocês relacionaram uma figura bidimensional com uma
tridimensional? Como?
42
TAREFA 2 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___
Além da bidimensionalidade, vocês percebem mais alguma característica comum a
todas as figuras?
00
Voltando aos nossos polígonos, têm algo comum a todos eles?
Utilizem uma régua e meça, em centímetros, as medidas dos lados de cada polígono.
O que é possível concluir?
43
TAREFA 3 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/____
Discutam com o seus colegas e façam o registro do que vocês entendem por ângulo,
no espaço a seguir:
Quantos graus tem um ângulo reto? ________________________
Como podemos identificar um ângulo agudo?
E um ângulo obtuso?
Quanto mede um ângulo raso? ________________________
Atividade: Geoplano
44
Em quais geoplanos estão representados ângulos retos? ________________
E ângulos agudos? ______________________________________________
Algum geoplano apresenta um ângulo obtuso? ________________________
Registre como vocês pensaram para concluir se os ângulos eram retos, agudos ou
obtusos.
Voltando aos nossos Polígonos...
45
Como podemos relacionar o número de lados e o número de ângulos de um
polígono?
46
TAREFA 4 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___
Investigando triângulos
A união dos três ângulos gerou um ângulo muito conhecido. Que ângulo é esse?
Quantos graus ele mede?
O que essa medida representa no triângulo?
Quantos ângulos o triângulo ABC possui?
Quais são eles?
47
TAREFA 5 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___
Ângulos nos quadriláteros
A união dos quatro ângulos gerou um ângulo conhecido. Quantos graus ele mede?
Podemos concluir, então, que:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é ______________.
O que vocês observam nos quadriláteros acima?
É possível fazer esta divisão em todo quadrilátero?
Então, todo quadrilátero pode ser decomposto em dois triângulos?
Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, o que podemos
concluir da soma dos ângulos internos dos quadriláteros a partir da
decomposição em dois triângulos?
48
Considerem um único vértice de cada polígono como ponto de partida e façam
a divisão de cada polígono a seguir em triângulos.
Agora, completem a tabela:
Polígono Nº de triângulos em que
foi dividido
Quadriláteros 2
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Comparando o número de lados do polígono com o número de triângulos em que foi
decomposto, escrevam uma relação válida para todos os casos.
Se tomarmos um polígono de 100 lados e o dividirmos, partindo sempre do
mesmo vértice, em triângulos, quantos obteríamos?
49
Pode-se também concluir a soma dos ângulos internos dos outros polígonos
com a decomposição em triângulos. Completem na tabela:
Polígono Soma dos ângulos
internos
Triângulos 180º
Quadriláteros 360º
Pentágonos
Hexágonos
Heptágonos
Octógonos
Eneágonos
Decágonos
Qual é a soma dos ângulos internos do polígono de 100 lados?
50
TAREFA 6 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___
O que vocês puderam observar sobre os ângulos dos polígonos?
Estes polígonos podem ser considerados regulares?
Sabendo a soma dos ângulos internos dos polígonos e, que estes polígonos são
regulares, como vocês poderiam determinar cada ângulo interno sem usar o
transferidor?
Agora, meça com uma régua os lados e com um transferidor os ângulos e registrem
na tabela a seguir as medidas:
Polígono Medida dos lados Medida dos Ângulos
Triângulo equilátero
Hexágono regular
Octógono regular
Pentágono regular
51
TAREFA 7 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___
Foi possível o “encaixe” das figuras sem justaposição?
Vocês deverão experimentar para todos os polígonos e preencher a tabela.
Polígonos Foi possível pavimentar? Sim
ou não?
Triângulos
Quadrados
Pentágonos
Hexágonos
Heptágonos
Octógonos
Registre as descobertas na tabela:
Polígonos usados Pavimentam? Sim ou não?
Se as medidas dos lados já são iguais, “o quê” está influenciando na
pavimentação ou na não-pavimentação?
52
Relembrem os conceitos que trabalhamos nas tarefas 5 e 6, descubra o padrão
existente nas pavimentações e façam o registro no espaço a seguir:
53
TAREFA 8 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___
Observando cada um dos sólidos separadamente, responda:
Sólido 1: _________________________
Se inclinarmos o tampo da mesa, ele rola em alguma posição? Ele rola em
qualquer posição?
Ele tem “pontas”? Quantas?
Ele tem “dobras”? Quantas?
Alguma parte da superfície deste sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a
superfície plana da mesa?
Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a
superfície plana da mesa?
Sólido 2: _________________________
Se inclinarmos o tampo da mesa, ele rola em alguma posição? Ele rola em
qualquer posição?
Ele tem “pontas”? Quantas?
Ele tem “dobras”? Quantas?
Alguma parte da superfície deste sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a
superfície plana da mesa?
54
Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada
sobre a superfície plana da mesa?
Sólido 3: _________________________
Se inclinarmos o tampo da mesa, ele rola em alguma posição? Ele rola em
qualquer posição?
Ele tem “pontas”? Quantas?
Ele tem “dobras”? Quantas?
Alguma parte da superfície deste sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a
superfície plana da mesa?
Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a
superfície plana da mesa?
Sólido 4: _________________________
Se inclinarmos o tampo da mesa, ele rola em alguma posição? Ele rola em
qualquer posição?
Ele tem “pontas”? Quantas?
Ele tem “dobras”? Quantas?
Alguma parte da superfície deste sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a
superfície plana da mesa?
55
Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada
sobre a superfície plana da mesa?
Sólido 5: _________________________
Se inclinarmos o tampo da mesa, ele rola em alguma posição? Ele rola em
qualquer posição?
Ele tem “pontas”? Quantas?
Ele tem “dobras”? Quantas?
Alguma parte da superfície deste sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a
superfície plana da mesa?
Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a
superfície plana da mesa?
A partir das observações, como vocês definiriam um poliedro?
56
TAREFA 9 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___
1º CASO:
Registrem o que vocês concluíram:
2º CASO:
Registrem o que vocês concluíram:
3º CASO:
Registrem o que vocês concluíram:
Qual é a relação entre os ângulos internos dos polígonos que vocês utilizaram no 1º caso?
57
E no 2º caso?
E no 3º?
A partir das observações que vocês fizeram, responda: Em qual situação é possível formar
um “bico”? Justifique.
Em qual caso vocês formaram um ângulo plano?
Em qual caso vocês formaram um ângulo poliédrico?
58
Atividade: Montagem do “Kit”
1) Recortar as figuras planas.
2) Recortar e montar os sólidos geométricos. (Dica: encha-os de
algodão ou papel para dar firmeza).
3) Colocar o material em uma caixinha (de sapatos, por
exemplo).
4) Providenciar e também guardar na caixinha: uma régua, um
transferidor, quatro lápis de cores diferentes, uma tesoura e um
rolinho de durex.
ATENÇÂO: A utilização do “Kit” será imprescindível em todas
as aulas.
59
60
61
62
63
64
REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Projeto Telaris: Matemática, 6º ao 9º anos. São Paulo: Ática, 2012.
FIORENTINI, Dario. & MIORIM, Maria Ângela.Uma reflexão sobre o uso de materiais
concretos e jogos no Ensino da Matemática. Boletim da SBEM-SP, São Paulo: SBM/SP, ano
4, n.7, 1990.
GAZIRE, Eliane Scheid. O não resgate da Geometria. 2000. 224f. Tese (Doutorado em
Educação Matemática). Campinas, SP, 2000.
IMENES L.M. A Geometria no Primeiro Grau: Experimental ou Dedutiva? Revista de Ensino
de Ciências n. 19. FUNBEC: São Paulo, 1987.
LORENZATO, Sérgio. Laboratório de ensino de Matemática e materiais didáticos
manipuláveis. In: LORENZATO, Sérgio. (Org.) Laboratório de Ensino de Matemática na
formação de professores. Autores Associados, Campinas- SP, 2006. p.3-38.
MACHADO, N. J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 2000.
(Coleção Vivendo a Matemática).
MACHADO, Rosa Maria. Explorando o Geoplano. In: BIENAL DA SOCIEDADE
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2. Minicurso… Salvador – BA: UFBA, 2012. Disponível
em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf..> Acesso em: 24 mar. 2017.
NACARATO, Adair M.; PASSOS, Carmem L. B. A Geometria nas Séries Iniciais. Uma
análise sob a perspectiva da prática pedagógica e da formação de professores. São Carlos, SP:
Edufscar, 2003.
PAIS, Luís Carlos. Intuição, Experiência e Teoria Geométrica. In: Zetetiké. v. 4, n. 6,
julho/dezembro, p. 65-74, Campinas: CEMPEM /FE/ UNICAMP, 1996.
PASSOS, Carmem Lúcia. Brancaglion. Representações, interpretações e prática
pedagógica: a Geometria na sala de aula. 2000. 186f. Tese (Doutorado em Educação).
Universidade Estadual de Campinas. 2000.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas
na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
VAN de WALLE, John A. O pensamento e os conceitos geométricos. In: VAN de WALLE,
John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de
aula. São Paulo: Papirus, 2009. p.438-484.